材料の力学解答集

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こうたさかど
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1 材料の力学 ( 第章 ) 解答集各種応力の計算問題 (No1) 1. 断面積 1mm の材料に 18N の引張荷重が働くとき, 断面に生じる応力はどれほどか ( 18(N/mm ) または 18(MP)) P 18( N) 18 N / mm 18( MP A 1( mm ) ). 直径 1mmの軟鋼試験片で引張試験を行った引張荷重が 5kN のときに生じた引張応力はいくらか (.5(MP)) P 51.5( N / mm ).5( MP) A 1 ( mm ). 図のような直径 mm のリベットに 8.8kN のせん断力が作用しているリベットに生じているせん断応力はいくらか ( 8.1(MP)) d せん断断面積 A d P 8.81 A 8.1( MP) ( mm ).kn の圧縮荷重を受ける部品を中実丸棒の鋼で作りたい鋼の丸棒に作用する圧縮応力を MP 以下にするには, 部品の直径は最小いくら以上であればよいか (.51(mm 以上 )) 圧縮応力と断面積の関係から P 1 A.1 ( m ).( mm ) 1 ( N / m ) であり, 材料に中実丸棒を使用するからその直径は A. d.515( mm) 問題. に示すようなリベット継手に.kN の引張荷重が作用するとき, 直径 1mm のリベット 1 本に生ずるせん断応力を MP 以下とするには - 1 -

2 リベットの本数は何本以上必要か ( 本以上 ) 必要なリベットの本数をn,1 本の断面積をAとして, リベットのせん断力 >=せん断荷重であれば良いしたがって, P. 1 (N) An P; n. 本以上 A 1 N/m.1 /(m ). 右図のような中空円筒を枚の板ではさみ,1kN の力で圧縮するとき, 円筒に生じる圧縮応力を 7MP 以下にとどめるには, 円筒の外径 d はいくら以上にすればよいかただし, 円筒の内径 d 1 は mm とする ( 7.1(mm 以上 )) 長さの単位をメートルで統一して以下計算を行う中空円筒の断面積 Aは, A 剛体壁面 d d 1 であり, 圧縮応力をとすれば, P より A P 1 1 (N) A N/m したがって, A - (m - - d d ; d -d )..71(m) 7.1(mm) 以上 - - d d ひずみの演習問題 1. 長さ mの棒材が圧縮荷重を受けて. の縦ひずみを生じた縮み ( 変形量 ) は何 mmかより,. ; L=(mm) を代入して, L λ= L= -. =. (mm) したがって,.mm 縮んだ d1 mm (.mm). 引張り荷重を受け材料の伸びが.mm, 縦ひずみが. であるとき, 変形前の元寸法はいくらか ( (mm)) より.; =.(mm) を代入して, L.( mm) L ( mm). d 剛体壁面 - -

3 . 直径 mmの丸棒に引張荷重を作用させたところ, 直径が.mm 縮んだ. 横ひずみはいくらか ( -.1) 横ひずみの定義に従い, d d.( mm).1 d ( mm). 長さ L の丸棒を圧縮したところ, 長さが mm, 縦ひずみが-.5 になった変形前の元寸法は何 mm か ( 1(mm)) 縦ひずみの定義に従って, L L より, L L L であり, したがって, 変形前の元寸法は L L (1 ) L となり, ここで, 圧縮ひずみ ( 縦ひずみ ) はε=-.5 であることに注意して, L ( mm) L 1.5( mm) 1 1.5) 第章.5~. 応力ひずみ, ヤング率, ポアソン比など総合演習問題 1. 表.1 を使って応力 σ ひずみ ε 線図上に硬鋼, ねずみ鋳鉄, 純アルミニュームの線を入れてみなさい省略ただし, 鋼, 鋳鉄, アルミニュームの順に縦弾性係数 ( ヤング率 ) が小さいことを理解しておく. 断面が一辺 cmの正方形で長さが 1cmの軟鋼製角棒が圧縮荷重を受けて,.5cm 縮んだこのとき断面積はいくらとなるかただしポアソン比は.8 とする ( 1.5(cm )) 長さの単位をcmで統一して以下計算する, まず縦ひずみεは.5( cm) 5.1 L 1( cm) 横ひずみε は圧縮後の一辺の長さを L, 圧縮前のそれを L とすれば, 横ひずみの定義 LL /Lから L L ( ) L L cm したがって, 正方形の圧縮後の面積 A は.7 1.5( cm ) A L. 直径 18mm, 長さ.5mの軟鋼製丸棒を天井に溶接し, 下端に Nの - -

4 荷重を加えたこのとき, 棒の伸び λ, 棒に生じる応力 σ を求めよただし, 丸棒の縦弾性係数 ( ヤング率 ) は GP とする ( λ=.115(cm),σ=.1(mp)) 三つの基本式, P / A, = L, =E から材料の伸び λ は, ひとまず長さの単位をメートル (m) で統一して, PL.5 - = = =1.1 1(m).115( cm).18 1 P ( N) 7.11 ( P).1( MP) A.18 ( m ). 同一寸法の鋼棒と銅棒を同一の力で引張ったところ, 伸びが :5 の比となった鋼の縦弾性係数を E=GP として, 銅の縦弾性係数 E を求めよ ( E=1.(GP)) 鋼棒に, 銅棒にの添字をつけて, それぞれの伸びの式を表すと,A,P,L は同一であるから次式が得られる PL PL, 題意から : 5, すなわちしたがって, E : PL E PL E 5 E ( Gp) 5. 右図に示すように, 鋼 ( 寸法 L の部分 ) と銅 ( 寸法 L の部 d d 分 ) を組み合わせた丸棒に引 P 張を加えた時の全体の伸びを求めよただし, 鋼, L L 銅の縦弾性係数をそれぞれ, E=GP,E=1GP とするなお, 各部の寸法および荷重は, L=mm,L=mm, 直径 d=5mm, 直径 d=mm, =8 kn とする ( λ=.18(mm)) 鋼棒に, 銅棒にの添字をつけて, それぞれの伸びの式を表すと, - -

5 φ B φ A PL, PL 題意で与えられた数値を代入して PL ( m).18( mm). 1 PL ( m).118( mm).5 11 したがって, 全体の伸びλは ( mm). 下図に示すように, 内側に直径 A 5mm の軟鋼の丸棒, 外側に直径 B 1mmの黄銅製中空円筒をはめた柱があるこれに圧縮 15kN を加えた時, 各柱に生じる応力,, ひずみε, 縮みを求めなさいただし, 各柱の縦弾性係数は軟鋼 E GP, 黄銅 E 11GP とするなお, 両材料の長さは L mmで, 変形しない黄銅と鋼の縮み板 ( 剛体といい, この場合それぞれのひずみおよび縮みは等しいと考える ) に取り付けられている黄銅鋼 L ( σ =15.78(MP),σ=.1(MP),ε= , λ=.57(mm)) 考え方として, 黄銅の断面で受け持っていると鋼が受け持つの和が圧縮に等しいと考えるすなわち, 黄銅と鋼の断面積および応力をそれぞれ A,σ よび A,σ として, 力のつりあい式は, P PP AA (1) さらに, 両材料は剛体に取り付けられているから, 両材料のひずみ ε,ε または縮 - 5 -

6 み λ,λ は等しいと考えるすなわち, () E E ここで未知数は,σ,σ のつであるから, 式 (1),() を連立させれば解ける { 解答 } (1) 部材の応力を求める式 () から, E E であり, この応力を式 (1) へ代入して, E P A AA A E E EP EP, 同様にして () A E A E となる題意で与えられた数値を代入して, EP A E A E ( P) ( P) 15.78( Mp) さらに,σ は E ( Gp) 15.78( MP).1( MP) E 11( GP) () ひずみεは, E E ( P) ( P) 1 () 縮みλはλ=λ であることに注意して, フックの法則および式 () から L L L ( m).57( mm) E E となる第章.7~.8 材料の機械的性質, 安全直径, 安全率などの総合演習問題 1. 構造物の部材が鋼製の丸棒であり, 引張荷重 kn を受けているものとする引張許容応力をN / mm とするとき, この丸棒の安全直径を求めよ (.(mm 以上 )) 許容応力を, 丸棒の直径を d とすれば, 丸棒に許す引張荷重は P は現在受けている引張り荷重 knより大きくなければならから, 次式が満たされる必要がある d P kn - -

7 したがって, 安全直径 d は, d ( mm) 以上. 引張り荷重 1kN が作用する丸棒の安全直径を求めよただし, 材料の降伏点 ( 基準強さ ) を MP, 安全率をとする ( 1.(mm 以上 )) 安全率の定義から, 基準強さ ( 応力 ) を, 許容応力をとすれば安全率 f は, f σ で表されるから, このときの許容応力 σ f は 1 11 ( P) であり, 丸棒の直径を d とすれば, 丸棒に許す引張荷重は P は現在受けている引張り荷重 1kNより大きくなければならから, 次式が満たされる必要がある d P 1kN したがって, 安全直径 d は, d ( N / mm 1.( mm) 以上 ). 軟鋼丸棒を安全率 7で使用する丸棒の許容応力が 88N / cm であれば, 直径 cm の丸棒を破断するにはいくら以上の荷重を加えればよいか ( (N)) σ 安全率の定義から, 基準強さ ( 応力 ) を, 許容応力をとすれば安全率 f は f σ で表されるから, このときの基準強さは, ( N / cm ) f したがって, この応力以上を加えれば破壊できると考え, 丸棒の直径を d, 破壊荷重を P として, d.1 5 P 最大荷重.MN をクレ-ンで巻き上げるとき, 破壊荷重.5MN のワイヤロープを8 本使った, 安全率 fはいくらか ( f=) ワイヤーロープ8 本が破壊に至るは P クレーンに実際にかかっている最大荷重が.MN であるから, 安全率 f は - 7 -

8 破壊荷重 1 = 実荷重. 1 f = h 5. 図.18 のボルトに 7kNの引張り荷重を加えるボルトの安全直径 d とボルトの安全高さ h を求めよただし, ボルトの許容引張り応力をN / cm, 許容せん断応力を 85N / cm とする ( 直径 d.17( cm ),h 8.( mm) ) 許容引張り応力を, ボルトの直径を d とすれば, 図.18 ボルトの強度ボルトに許容する引張は現在受けている引張り荷重 7kNより大きくなければならから, 次式が満たされる必要がある d P 71 N したがって, ボルトの安全直径 d は, d ( cm) 以上.1 つぎに, ボルト頭部の高さ h については, この部分はせん断応力を受け, せん断面積を A, 許容せん断応力をとすれば, 次式を満たす必要がある A dh P 71 したがって, 安全高さ h は P 71 h.8( cm) 8.( mm) 以上 d N 7kN d - 8 -

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<4D F736F F D208D5C91A297CD8A7793FC96E591E6328FCD2E646F63> -1 ポイント : 材料の応力とひずみの関係を知る断面内の応力とひずみ本章では建築構造で多く用いられる材料の力学的特性について学ぶ最初に応力とひずみの関係次に弾性と塑性また弾性範囲における縦弾性係数 ( ヤング係数 ) について建築構造用材料として代表的な鋼を例にして解説するさらに梁理論で使用される軸方向応力と軸方向ひずみあるいはせん断応力とせん断ひずみについてさらにポアソン比についても説明する