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なおみかつま
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1 電気学会技術者教育委員会パワーエレクトロニクス教育 WG パワエレセミナー永久磁石同期電動機駆動の基礎年月日火 :~7: 於 : 青山学院大学相模原キャンパス棟 - 教室主な内容. はじめに : 本セミナーの概要位置センサ ABZ エンコーダを用いた永久磁石同期電動機可変速駆動システムの基本的な構成について説明. 空間ベクトルと三相変換 : 空間ベクトルと三相 αβ 変換 αβ 変換の考え方を説明. 電動機モデルの導出 : 座標での電圧電流方程式機械系の運動方程式から電動機モデル基本式を導出. 三相電圧形インバータの PWM 制御 : 三相電圧形インバータの PWM 制御について空間ベクトルを用いて説明三角波比較方式でも空間ベクトル変調と同じ性能が得られる手法中間電圧重畳法を紹介 5. 制御系のゲイン設計 : 非干渉制御など電流制御系の考え方インバータの制御遅れの影響と対策遅れを考慮した制御法など制御系のゲイン設計法を含め説明 6. 位置および速度の計算法 : エンコーダの ABZ 信号から位置を決める手法位置データより速度を推定する手法の考え方を説明 7. アンケート : 基礎知識これまでの学習内容の状況セミナーの内容やレベルについて資料や説明方法について今後開催を希望するテーマなど

2 . はじめに永久磁石同期電動機の可変速駆動システムの構成三相変換三相電圧指令コモンモード電圧加算変調率,, 演算三相 PWM 三角波比較速度制御 P 制御電流制御 P 制御 + 非干渉制御三相変換三相電流電圧 E 電流, 検出直流電圧三相電圧形 PWM インバータゲート信号回転速度演算回転角度演算 ABZ パルス ABZ エンコーダ永久磁石同期電動機主なハードウェア電動機 ABZ エンコーダ付インバータ電流センサおよび直流電圧センサ付制御はワンチップマイコン高性能低価格多機能 :ABZ エンコーダ入力 AD コンバータ PWM 機能基本的には電流制御など全ての機能を制御プログラムで実現プログラミングのためには原理を確実に理解しておく必要あり制御系の設計には定量的な検討が不可欠このセミナーでは基本的な考え方具体的な計算方法を解説制御系設計の基礎数式が多くなるがご容赦を

3 . 空間ベクトルと三相変換空間ベクトルとは基本式三相 αβ 変換空間ベクトルの定義一般零相分がある場合の取り扱い A A, A A A 三相線式ではであり, だけを考え複素数で表示可能 co

4 , αβ の座標軸の関係, 注 : 複素数は各相の固定子巻線正弦波分布を仮定に正の電流を流した場合にギャップの起磁力回転子から固定子に向かう方向を正とするが最大となる方向を表すもので三相交流で良く使われるフェザーとは異なる注 : 例えば三相電流のフェザーは正弦波波形の実効値と位相を複素数で表したものでありそれぞれ co co co に対応するものである注 : 交流フェザーは角周波数が一定の正弦波のみ考えるのに対し空間ベクトルでの三相電圧電流は瞬時値高調波を含む任意の波形を考えるただし三相電流あるいは三相電圧の合計は零とする

5 5 注 : 三相電流あるいは三相電圧にコモンモード成分が含まれていてもであることから空間ベクトルには反映されない空間ベクトル複素数の内積複素数を単位ベクトルをおよびとしたベクトルと考え内積演算子をで表すを計算する基本 co, xy c y c x y x y x 大切な関係式 y x y x これらの関係を用いると R 同様に R, R

6 6 電圧電流とも同じ変換式に従う三相の瞬時電力は電圧ベクトルと電流ベクトルの内積注 5:αβ 変換の係数は絶対変換変換の前後で電力が変化しないとなるように選んだ結果である即ち電圧と電流が同じ変換式に従い三相全体の電力が電圧ベクトルと電流ベクトルの内積で簡単に計算できるように選んだ結果である注 6: 三相電流を次式で与えると co, co, co 対応する空間ベクトルはとなる即ち空間ベクトルの大きさは線電流の実効値のとなる電圧の場合は線間電圧実効値

7 同期回転座標座標とは回転磁界に同期して回転する座標同期回転座標から見ると電圧電流の空間ベクトルが静止直流して見えるため解析が簡単となる基本式 αβ 変換,, ただし α 軸に対する軸の角度をとする一例として R R R co co co, 軸 αβ 軸三相の関係軸および αβ 軸から見た空間ベクトルの成分, 7

8 注 : 回転する, にを乗ずると静止した, に変換され逆に静止した, にを乗ずると回転する, に変換されると考えると忘れない注 : 座標軸の動きとその座標から見えるベクトルの動きは逆になることに注意同じ空間ベクトルであっても回転している座標から見ると静止したベクトル, となり静止したαβ 座標から見ると回転するベクトル, となる注 : 同様に相軸の方向に比べ相軸の方向はだけ空間位相が進んでおり相軸の方向はだけ空間位相が進んでいるが回転する空間ベクトルを各軸から見た正弦波電流波形を比較するとに比べはだけ位相が遅れておりはだけ位相が遅れている注 : 複素数を用いて空間ベクトルを表現すると回転座標変換を簡単に表現することができる行列を用いると分かりにくい逆行列も単なる除算となる co co co co co co co co 8

9 9. 電動機モデルの導出永久磁石同期電動機の基本式三相をつの式で表現とする M l M M l M M l M M l ただし M l, 注 5: 相間の相互誘導により各相の有効インダクタンス M は倍されてにあらわれる軸での電圧電流方程式

10 結果としては, とすればよいまた永久磁石による磁束をとするとである突極形 PM などの場合は軸でインダクタンスが異なることを考慮軸の成分に分解すると参考突極形の場合の αβ 軸での電圧電流方程式は複雑な関係式となる軸での関係式を αβ 軸での関係式に変換してみる R

11 実部および虚部をとり α 軸と β 軸での関係に直すと co co 行列の形に変形すると co co 右辺第項目が突極性を考慮する項であるとすると α 軸が軸に β 軸が軸と一致することから上式はとなり軸間の相互インダクタンスは零となる一方とすると αβ 軸ともに軸と軸の中間に位置するため自己インダクタンスは等しくなるが相互インダクタンスが表れる, 以上の結果より突極形 PM などの場合は軸で考えるのが適切

12 空間ベクトルを用いて突極形同期電動機の入力電力を計算してみる第項は銅損第項は磁気エネルギーの変化第項が出力従って極対数をとするとモータの発生トルクは M 電流の大きさが同じ条件でトルクを最大とする, の関係はラグランジュの未定乗数法を用いて求めることができる,,, 未定係数を消去すると整理するとこのパターンに沿って電流を制御すると同じ電流でも大きなトルクを発生できるただし電流ベクトルの大きさの制限値をとする

13 この最大トルク曲線と電流制限の円振幅をとするの交点を求める従って以上の結果より軸電流の制御範囲はとして次式で与えられる

14 電流制御ではこれらの関係式を満足するよう電流指令値を制限する必要がある例えばの場合を考えると下記の制御範囲となる, 電流振幅とトルクの関係最大トルク曲線の場合トルクと電流振幅の関係を求めるため次のように変形する M M 最大トルク曲線にそって運転する場合の軸電流の関係式, を代入するとトルクは次式で表される

15 5 M M インバータの電圧制限と, の関係抵抗の影響が無視できる場合インバータが出力できる六角形の内接円の中に電圧ベクトルの定常値が存在する条件は次式となるただし抵抗の影響は無視できるものとする E

16 6 なおインバータの直流電圧を E とするこの式を, の関係式として考え両辺をで除して以下のように整理する E この結果より E とおくとこの式は楕円を表し楕円の中心は,, 長半径横軸は短半径縦軸はとなり径は角速度に反比例するなおパラメータとの間には次の関係がある

17 7 具体例とし突極比が 5. の場合にはとなる以上電圧制限の条件下ではを次式のように制御する必要があるさてこの曲線が原点,, を通るのはの時であるまたの時この曲線が次式で与えられる, を通るものとする, これらの値が決定されると次式によりを求めることができるトルク最大曲線と電圧制限曲線の交点についての場合にはトルク最大曲線と電圧制限曲線が交差するその交点は次のように求めることができるつの曲線を消去すると

18 8 整理するとここでの関係を用いてを消去すると従ってこれを満足するの値を _ とすると _ この時のを _ とすると最大トルク曲線上にあることよりのように _ を求めることができる電圧制限曲線と電流制限の円との交点の場合には電圧制限曲線と電流制限の円の交点により最大トルクが制限されるこの場合の交点は以下のように求めることができるつの曲線を消去すると

19 9 整理するとこれを満足するの値を x_ とすると x_ この時のを x_ とすると電流制限の円の上にあることより x_ x_ x_ x_ のように x_ を求めることができる制御プログラムの構成以上の結果をまとめると次のような計算手順となる準備ステップ : モータ定数およびインバータの条件より,,, を求めておく E 準備ステップ : 電流制限曲線と最大トルク曲線の交点を求めておく, 準備ステップ : 電圧制限が問題となる角速度を求めておく制御では角速度によりとトルク指令により制御パターンを切り替える

20 ケース: の場合最大トルク曲線にそって制御ただし軸電流指令を大きさを制限するケース: の場合角速度により次式により < < x_ < ケース : _ < をもとめる _ の時は最大トルク曲線にそって x x の時は電圧制限曲線にそって運転 > の場合は電圧制限曲線にそって運転 > _ または

21 機械系の取り扱い機械系の運動方程式 J M J : 系全体の慣性モーメント : 負荷トルク機械系の損失も含む慣性モーメントの考え方機械系では慣性モーメントの値が重要電動機により駆動される機械系全体について運動エネルギー E と慣性モーメント J モータ軸換算電気系換算の間には次の関係がある E J 一例として電気自動車を考え減速機の減速比を車両重量含む乗員を M [ g ] 減速機から見てモータ側にある慣性モーメントの合計を J [g ] モータ軸換算車輪側にある慣性モーメントの合計を J [g ] 車軸換算タイヤの半径を [] 車のスピードを [] とすると運動エネルギーの合計は E M J J 従って J J J M J J M 円柱の中心軸周りの慣性モーメント

22 内径外径重さ M の中空の円柱均質な材料で出来ているの中心軸周りの慣性モーメント J を考える中心からの距離の二乗平均が次のように計算できる従って J M M 回転部分の外形や質量から慣性モーメントを推測できる速度制御のためにも出来るだけ正確な機械系全体の慣性モーメントが必要

23 . 三相電圧形インバータの PWM 制御インバータの構成三相電圧形インバータの等価回路インバータが出力可能な電圧ベクトルオンの素子直流中点からの電圧コモンモード電圧三相出力電圧相相相 =++ 絶対値角度 V 下下下 -E -E -E -E - V 上下下 E -E -E -E6 E -E -E V 上上下 E E -E E6 E E -E π V 下上下 -E E -E -E6 -E E -E π E V 下上上 -E E E E6 -E E E π V5 下下上 -E -E E -E6 -E -E E π V6 上下上 E -E -E E6 E -E E 5π V7 上上上 E E E E -

24 三相電圧形インバータが瞬時値として出力可能な電圧ベクトルは 6 角形の頂点と中心のみ 7 5 6,,,,,, 六角形の内部の任意の電圧ベクトルはそれを囲む点中心とつの頂点に相当する電圧ベクトルを組み合わせ平均値として実現 7 V αβ が V,V,V V7 で囲まれる領域上図にある場合について考えるこの時の関係がある電圧の空間ベクトルは次式のように変換

25 できる一方図より次式が成り立つ従って, と三相電圧の間には次の関係がある三相 PWM を三角波比較方式で行う場合の選択ベクトルを下図に示す 7 7 E E c c c c c E 5

26 キャリア周期における V および V の選択比率をそれぞれ, とすると三角波と比較する変調率信号,, の間に次の関係が成り立つ : : : : また電圧制御の範囲を広くとるためには飽和までの余裕度正側 - 負側 + が同じとなると都合がよい即ちこれらの関係を組み合わせるとの関係などを用いて変調度について解くと次式が得られるこの結果を見ると中間の電圧のをコモンモード電圧として加算し各相の変調度を計算すればよいことが分かる中間電圧加算の波形を以下に示す.5 E E E 三相電圧と中間電圧の.5.5 E π ω π.5 6

27 .5 相電圧と中間電圧を加算した波形.5.5 E =+E π ω π.5 7

28 8 電流制御の考え方座標での基本式連続系として考えた場合モータパラメータ速度電流の正確な情報が得られれば電流に関するフィードバックは比例制御とする結果として制御の基本式は P 制御 + 非干渉制御ただしパラメータ誤差インバータ電圧制御誤差を考慮し定常偏差低減のために積分制御を付加する場合もある比例制御のフィードバックゲインについて電圧制御誤差が無視できる場合, 基本式と組み合わせて, 連続系として考えるとやを大きく選べば応答速度が上げられる

29 9 PWM インバータを用いる場合の注意点 PWM のキャリア周期毎の平均電圧を調整している電流検出から電圧指令値が有効となるまでにはキャリア周期の遅れが生じるサンプル値制御系として検討サンプル値系は変換で解析定義, 変換の例,,, 変換による電流制御系の解析インダクタンスのみを負荷とした場合基本式のサンプル値系としての表現

30 電流制御の制御遅れサンプリング周期組み合わせると変換した関係式ではサンプルリング周期の遅れがを乗ずることに相当するため具体的な計算例ステップ応答の場合の場合

31 B A A ただし.5.5, ,, B A A 従って 6 6 co B A A 具体的に計算すると

32 の時 B A A,, A A B A A

33 co B A A co 以上の結果をもとにステップ応答をグラフに示すと

34 * = = = 制御遅れに対する対策をしない場合比例ゲインはの程度が適切制御遅れに対する対策現在の電圧を用いて次式に従って電流を予測する電圧の制御式を変更この時次式のように考えることができる

35 5 の場合の場合計算に使用するインダクタンスが実際の値とずれている場合

36 6 ただしは実際値は計算に用いた値この時次のように考えることができる変換して考えると V V 代入して整理すると

37 7 5 以上の結果よりインダクタンスの誤差をパラメータにステップ応答を図示するとインダクタンスの値を正確に合わせる必要があるが制御遅れを考慮した電流制御を行うとサンプル周期で指令値に一致させることができる電流時間間隔

38 永久磁石同期電動機における電流制御制御遅れを考慮のまとめ現在の検出電流値と電圧指令値および非干渉制御成分より次のタイミングでの電流を予測指令電圧がリミットされた場合はリミットされた値を使用次のタイミング _ での抵抗の電圧降下および逆起電力を予測 _ 次のタイミングでの電圧指令値を計算.5 だけ位相を進めておく必要ありを三相電圧に変換ただし現在の回転角度に比べその他の注意点実際には PWM のデッドタイムによる電圧制御誤差の補償が必要磁気飽和によるインダクタンスの変化がある場合には制御ゲインの変更が必要モータパラメータを出来るだけ正確に把握誤差が大きい場合には電流制御に積分も付加することも必要 8

39 9 速度制御の考え方機械系の運動方程式 M M J J 慣性モーメントや負荷トルクが不明な場合には P 補償 P M ただし速度指令値はステップ的に変更しないその変化率を制限する誤差積分をリミットリセットするのなどの対策慣性モーメントが把握できる場合には次式のような制御も可能 P M J ただしは負荷トルク推定値負荷トルクの推定外乱オブザーバ M J 実システムの関係 M J と組み合わせると J ラプラス変換して考えると

40 J J この伝達関数より負荷トルク推定値はステップ及びランプ入力に対して定常偏差は零となる負荷変化が遅い場合には = とすることも可能トルクの制御精度速度の検出精度が十分であればを大きく選ぶことも可能ゲインの設計法の詳細については次節の検討結果を利用できる

41 6. 位置および速度の計算法ロータリーエンコーダ ABZ インクレメンタルロータリーエンコーダとは : 回転するディスクにスリットを設け光信号を検出して回転状況を把握インクレメンタル : 基準の位置の信号 Z と単位回転角毎に発生する信号 A B を出力 A B 信号に位相差を設けることにより回転方向を判断アブソリュート : 回転角度に応じて必要なビット数の角度情報を出力 ABZ 信号と回転位置の関係 A B Z =

42 A 信号 B 信号のいずれかが変化したら位置信号を変更する一回転当たりのパルス数をとするととは同じ位置 AB 信号の周期を分割していることから一回転をに分割を直接決められる場合 Z でAB の場合は Z でAB の場合はを増減する条件 Z 前の状態今の状態の増減 AB= AB= AB= AB= AB= AB= AB= AB= AB= AB= AB= AB= AB= AB= AB= AB= =+ =- の時はにの時に変更角度

43 回転角度 θ から角速度 ω を求める方法基本式角度角度推定値推定誤差角速度演算式ブロック線図伝達関数 P P P P ただし P P

44 , の設計具体的数値例 = 加速時の推定誤差 == 誤差の最大値を求めると 75. x P

45 5 加速時の推定誤差 << 誤差の最大値を求めると x P P P 加速時の推定誤差は最大で P.8 [] 程度

46 6 加速時の角度推定の定常誤差参考, l 加速時の角度推定値の定常誤差は [] 具体的な数値例 8..,., 5 H P.65 l. x 注意制御周期周波数 F のプログラムに組み込む場合 P P F *.

47 エンコーダの分解能によるリプル成分回転パルスのエンコーダの場合の分解能.57.9g 従って P.5のリプルが角速度推定値に重畳する速度推定の伝達関数を考慮した速度制御系の構成ブロック線図 A: 速度推定の伝達関数を指令値側にも挿入ブロック線図 BA と等価 : 速度制御劣化を防止 7

48 5 角速度 [] 5 5 速度誤差角速度速度推定誤差 [] [].5 加減速時の速度推定誤差角速度 [] 角度推定誤差角速度角度推定誤差 [] [] 加減速時の角度推定誤差. 8

. はじめにこれまでのセミナー例えば電動機駆動の基礎 : そのの主な内容空間ベクトルと三相変換三相電流波形と高調波電動機モデルの導出三相電圧形インバータ三相電圧形インバータの PWM 制御今回のセミナーはこれらの復習と PWM と電流制御の解説を中心に進める永久磁石同期電動機の

. はじめにこれまでのセミナー例えば電動機駆動の基礎 : そのの主な内容空間ベクトルと三相変換三相電流波形と高調波電動機モデルの導出三相電圧形インバータ三相電圧形インバータの PWM 制御今回のセミナーはこれらの復習と PWM と電流制御の解説を中心に進める永久磁石同期電動機の電気学会技術者教育委員会パワーエレクトロニクス教育 WG 第回パワエレセミナーテーマ :PWM と電流制御年月 8 日土 :~6: 於 : 青山学院大学相模原キャンパス棟 - 教室主な内容. はじめに : 本セミナーの概要と位置づけこれまで電動機制御を中心に回のセミナーを実施各要素についてもう少し詳細な説明を追加した企画をスタート今回は三相 PWM と電流制御の考え方について