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1 1 計算理論 I( チューリング機械と決定不能性 ) 平成 21 年度第 I 期 ソフトウェア基礎学講座安本慶一 スケジュール 2 講義日程 (6 回 ) 5 月 11,14,18,21,25,28 日 ( 月曜 1 限, 木曜 2 限 ) テスト :6 月 1 日 ( 月 )1 限 ( 資料, 参考書持込可 ) 講義資料 以下の URL で配布 毎回の授業前に各自でダウンロード 印刷すること 参考書 参考書 1. Michael Sipser: Introduction to the Theory of Computation, Second Edition, Course Technology, 2006 (Chapter 3-5) 2. 野崎, 高橋, 町田, 山崎訳 : オートマトン言語理論計算論 II [ 第 2 版 ], サイエンス社,2003 ( 第 8 章 ~9 章 ) 3. 丸岡章 : 計算理論とオートマトン言語理論, サイエンス社,2005( 第 6 章 ~7 章 ) 4. 岩間一雄 : アルゴリズム理論入門, 昭晃堂,2001 1

2 3 その他 成績判定 オートマトン ( 伊藤先生担当分 50 点 )+ チューリング機械 ( 安本担当分 50 点 ) の合計 60 点以上を合格 質問など 在室時オフィスまで直接, または, にて随時 担当教員 ( オフィス :A613 ) 安本 (yasumoto@is) TA ( オフィス :A616) D2 勝間 (ryo-k@is),m2 清川 (kota-k@is),m2 神山 (naoya-k@is) 4 本講義の目的 計算機とは何か? 何ができて何ができないのか? 究極に簡素化した数学的計算モデル ( チューリング機械 ) を使って 計算可能性 を学ぶ 計算可能 : 問題に対し解を答える / 解がない と答える計算手順 ( アルゴリズム ) が存在 チューリング機械 (TM): 現代の計算機にいくらでもメモリ, 時間を使えるとしたもの 計算可能性の定義 :TMで計算できる 一般的に計算できる ( 他の定義とも一致 ) 計算できない問題がある ( プログラムの停止性問題, ヒルベルト第 10 問題など ) 計算量理論を学ぶための準備 計算量理論 ( アルゴリズムの実行時間や必要な記憶容量を数学的に扱う理論 ) は本講 計算量理論 ( アルゴリズムの実行時間や必要な記憶容量を数学的に扱う理論 ) は本講義では扱わないが, 学ぶためにはチューリング機械の知識が必須 多項式問題 : 問題サイズ n に対し, 計算量は多項式オーダ (O(n 2 ) など ) 実行可能 NP 完全問題 : 問題サイズ n に対し, 計算量は指数オーダ (O(2 n ) など ) 実行不能 与えられた問題が NP 完全であるかどうかの証明 ( 計算理論 III で学ぶ ) 2

3 5 講義概要 チューリング機械 ( 第 1 回 ~3 回 ) チューリング機械 (TM) の定義 :TM=FA+ 無限長の書換可能なテープ TM と FA( 有限オートマトン ) との能力 ( 解ける問題のクラス ) の違い TM の能力 現代の計算機の能力 処理速度は無視 TM への機能拡張 ( 拡張しても能力は変わらない ) 標準 TM は十分強力 複数テープ, 非決定性, ランダムアクセスなどを拡張 ( アルゴリズムの記述は容易に ) TMによるアルゴリズムの記述法 計算機で解けない ( 決定不能 ) 問題とその証明法 ( 第 4 回 ~6 回 ) TMで解けない問題 (= 計算機で解けない問題 ) 万能チューリング機械 : 任意のTMのプログラムを読み込んで実行するTM ある問題 ( プログラムの停止性判定問題など ) が決定不能なことを証明 対角線論法によりその問題を解くアルゴリズム (TM) が存在しないことを示す 帰着を用いた証明法 : 既知の決定不能問題の対象問題への変換により証明 6 1. チューリング機械 3

4 7 チューリング機械登場の背景 19 世紀末 ~20 世紀初頭ヒルベルト プログラム (D. Hilbert) 始動 数学の全てを形式化し, 数学全体の完全性と無矛盾性を示そうとする試み ヒルベルトの 23 の問題 (1900 年 ) 第 10 問題 :n 個の未知数を含む整数係数の多項式 P(x 1,,x n ) が与えられたとき, 方程式 P(x 1,,x n )=0 が整数解を持つかどうか を判定するアルゴリズムを考案せよ例 )6x 3 yz 2 +3xy 2 x 3 10=0 のとき, 解 (x,y,z)=(5,3,0) が存在する答え : そのようなアルゴリズムは, 存在しない! 当時, アルゴリズム が何を意味するかは数学的に厳密に定義されておらず, 直感的なイメージ ( 意図した計算結果を得るための計算手順, 等 ) が用いられていた. アルゴリズムを数学的に扱う枠組み 1936 年チューリング (A. Turing) がチューリング機械発表 あらゆる計算 ( すなわち, アルゴリズム ) の形式化, 数学的議論が可能に 年頃最初のプログラム可能な計算機登場 1945 年プログラム内蔵方式 (J. von Neumann) ( 万能チューリング機械はその概念を先取り ) 1946 年米ペンシルバニア大が ENIAC 開発 8 チューリング賞 コンピュータサイエンス分野のノーベル賞にあたる権威ある賞 優れた功績を残した人に年に1 度, 米国学会 ACM (Association for Computing Machinery) が贈る 賞金は10 万ドル以上 (Intel, Googleが後援 ) 近年の受賞者 2003 年 Alan Kay オブジェクト指向技術 2004 年 Robert E. Kahn,Vinton G. Cerf TCP/IP 2005 年 Peter Naur プログラミング言語 ALGOL60 の定義 2006 年 F E All コンパイラ最適化技術 2006 年 Frances E. Allen コンパイラ最適化技術 2007 年 Edmund M. Clarke,E. Allen Emerson,Joseph Sifakis モデル検査技術 2008 年 Barbara Liskov プログラミング言語設計技術 4

5 チューリング機械 ( 以下 TM と略記 ) でできること 9 有限オートマトン (FA) で受理できない言語の取り扱い L={0 n 1 n } これらの言語を受理するプログラムを L={w w=w R } C 言語などで作成するのは簡単,TMでももちろん可能 チューリング機械では, 計算機で実行可能な任意のプログラムを, シンプルなモデルで表現できる TM= 有限オートマトン + 無限容量メモリ ( 無限長テープへの読み書き ) 計算機で扱うあらゆる問題に対する計算可能性を数学的に議論 与えられた問題が決定不能 ( 計算機で解けない / アルゴリズムが存在しない ) であることを数学的に証明 与えられた問題がどれくらい難しい ( 解くのに時間を要する ) のかを解析 TM の入出力 10 有限オートマトンと同じく,TM は与えられた入力記号列 w を受理するかどうかを判定 入力 :w TM M 動作 : 受理状態, 拒否状態で停止または停止しない ( 無限ループ ) 出力 : 受理で停止時のテープの内容 M(w) と表記 TM M が受理する入力の集合 受理言語と言い,L(M) と表記 L(M) は, ( どの入力も受理しない ), 有限集合, 無限集合のいずれか どんな ΤΜ Μ に対しても, その受理言語 L(M) が存在し, 一意に定まる 5

6 TM が扱う問題 11 TM M は入力文字列 w が,M の受理言語 L(M) に属しているかどうかを判定 言語とは何か? ある性質を持つ文字列集合 ( 文字列に含まれる0の数と1の数が同じ, など ) すなわち, 入力が, ある特定の性質をもつかどうかを判定する問題をTMは扱う. 本講義では, 以降, 言語への所属判定 = 判定問題, として扱う例 ) 言語 L={ 素数の集合 } を受理する TM は, 問題 入力が素数かどうか を判定する. 例えば以下の判定問題は全て言語として定式化でき,TM で扱うことができる プログラムの停止性判定問題 グラフがオイラー閉路 ( 全ての辺が一筆書きできる ) を持つか 論理関数 f(x 1, x 2,..., x n ) に対し,f(x 1,..., x n )=1 となる各変数への割当て方は存在するか? TM の定義 12 有限オートマトンに無限容量メモリ ( 読み書き可能なテープ ) を拡張した計算モデル 有限制御部 : 有限個の状態を持ち, 現在どの状態にいるのか記憶 テープ : セルに分割されており, 各セルは一つの記号を保持 最初, 有限長の入力記号列 wがテープ上に左詰で置かれる (wは空白を含まない!) ヘッド : 現在指しているセルの内容の読み取り, 書き込み, 左右への移動が可能 TM 始動時のヘッドの位置は, 入力記号列 wの左端 終端マーカ ( これより左には移動しない ) テープ q $ 入力列 w( 空白含まない ) ヘッド 有限制御部 空白記号 a a b a a... r テープの右側は空白のセルが無限にある 6

7 定義 1.1: TM の形式的定義 13 7 項組 M = (Q,, Γ, δ, q 0, q accept, q reject ) で定義 ( 定義は参考書ごとに異なる ) 記号 説明 TMへの入力 wにはσ の元のみ現れる Q 状態の有限集合 Γ-Σ の元 ( 空白記号 入力記号の集合 を含まない など ) は現れない Γ テープ記号の集合 (Σ {$,,...}) δ 遷移関数 ( Q Q Γ {L, R}) ) q 0 初期状態 (q 0 Q) q accept 受理状態 (qq accept Q) 到達すると直ちに停止拒否状態 (q reject Q) 到達すると直ちに停止 q reject L, R はヘッドの移動方向 q r a/b, R δ の各遷移は δ(q,a) = (r,b,r) と表記 状態 q で記号 a を読んだら, 現セルをb に書き換え, ヘッドを右に1つ移動し, 状態 r に移る 例 1.1: Σ={0,1}, Γ=Σ {$,,X,Y} TM の状態遷移図 Y/Y, R /, R q accept Y/Y, R q 0 q 3 0/X, R /, R 1/1, R Y/Y, R q 4 1/1, L 0/0, L 遷移は x/y, D の形式 D は L( 左 ) または R ( 右 ) のどちらか 0, Y を読み飛ばす q 1 X/X, R 14 遷移元と先が同じなら複数の遷移をまとめて書いても良い Y/Y, R Y/Y, L 0/0, R 0/0, L q 1/Y, L 2 0, Yの間巻き戻す /, R q reject 受理状態, または, 拒否状態に到達すると, 直ちに停止 q 0 初期状態 q accept q reject 受理状態拒否状態 遷移の形式には色々バリエーションがあり, 参考書ごとに異なるが, モデルとしては等価 ( 証明は略 ) D として,S( ヘッドを移動させない ) を持つモデルもある 7

8 TM と有限オートマトンとの違い 15 TM M は読み書き可能な無限テープを持つ テープへの読み書き, および, 読み書き位置の変更が可能 a/, R q accept /, R TM M は入力の末尾に達しても停止しない 空白記号を読みながら動作を継続 いつまでも停まらないかも知れない 永遠に止まらない TM を記述するのは簡単 q 0 q 1 /, L 無限ループを含む TM の例 TM M は受理状態または拒否状態に到達すると即座に停止 テープの内容やヘッドの位置に関係なく,q accept または q reject に到達すると停止 入力の読み込み途中で, それより後ろの文字列を読み込んでいなくても, 見てないところも含めて受理する TM M が入力 w に対して動作開始した時の結果は次の 3 通り 受理状態で停止 : M は w を受理する 拒否状態で停止 : M は w を受理しない 停止しない ( 無限ループ ): M は w を受理しない 様相 (configuration):tm のある時点での様子 16 様相の書き方 $ 現在の状態 x 1 x 2...x i-1 q x i x i+1...x n 現在の状態 :q 3 1q 3 10 ヘッドの左側の記号列 ($ からヘッド手前まで.$ は書かない ) ヘッドの右側の記号列 ( ヘッドから最も右の非空白記号まで ) ヘッド上の記号 空白を一つ書く! 特例 : ヘッドの左側に何もないとき,q x 1 x 2...x n ヘッド上から右側が全て空白のとき,x 1...x i-1 q 様相による TM の動作の表現 様相 C 1 にδ の遷移を適用し様相 C 2 が得られるとき, C 1 はC 2 を導出する という C 1 C 2 と表記 C 0 C 1... C n のとき (0 回以上の導出 ), C 0 * C n と書く TM の動作は, 初期様相 C 0 =q 0 w から q accept または q reject を含む様相への列として表現可能 様相の列が q accept または q reject に到達せず無限ループすることもある 8

9 17 TM の動作例 例 1.1 の TM M に文字列 01 を入力したときの動作 X/X, R Y/Y, R 0/0, R Y/Y, L 0/0, L q 0 0/X, R q 1 1/Y, L q 2 Y/Y, R /, R q accept q 3 Y/Y, R /, R 1/1, R Y/Y, R 1/1, L 0/0, L q 4 /, R q reject TM M q 0 01 Xq 1 1 q 2 XY Xq 0 Y XYq 3 XY q accept 0 1 X 1 X Y X Y X Y X Y q 0 q 1 q 2 q 0 q 3 q accept 18 練習問題 問 1.1: 例 1.1 の TM M について以下の問いに答えよ. a) 0011 を入力するとどうなるか. b) 011 を入力するとどうなるか. 9

10 TM の停止性 19 TM Mは入力 wに対して, 以下のいずれかの動作を行う (1) q accept に到達して停止 (2) q reject に到達して停止 (3) 永遠に停まらない ( 無限ループ ) M が w を受理するのは (1) の場合のみ (2) と (3) の場合は w を受理しないが,(3) かどうかを見極めるのは困難 Decider と Recognizer 20 計算できる の定義 問題に対し, 解を答える, または, 解がないと答えるアルゴリズムが存在する 語 w の言語 L への所属判定問題の場合 w が L に属する時は w を受理し, そうでない時は w を拒否して停止する TM が存在 TMの能力に応じて以下の呼称を用いる Decider ある言語 Lが存在し, 任意の入力 wに対し,w Lの時はq accept に到達し停止し, w L の時はq reject に到達し停止するTM Recognizer ある言語 L が存在し, 任意の入力 w に対し,w L の時は q accept に到達し停止する TM w L の時は停止しないかも知れない 問題が計算できる decider が存在 decider が存在しないが recognizer なら存在する問題もある ( 両方存在しない問題もある ) 10

11 半決定可能 / 決定可能な言語の定義 21 定義 1.2: ある言語 L の recognizer が存在するとき,L は半決定可能 (semi-decidable or Turing-recognizable) 1 と言う. 定義 1.3: ある言語 L の decider が存在するとき, L は決定可能 (decidable) 2 であると言う. Lが決定可能であるとき,Lは半決定可能でもある L の decider M は, 任意の文字列 w L を受理するため... 参考書によっては, 以下のように呼ぶことも... 1 帰納的可算 (RE: recursively enumerable) 2 帰納的 (recursive) 言語 L が半決定可能 / 決定可能であることの証明法 与えられた言語 L が半決定可能であることを証明したい L の recognizer または decider を一つ構成する 22 L が決定可能であることを証明したい L の decider を一つ構成する 他の証明方法 既知の ( 半 ) 決定可能な言語に帰着する ( 帰着は, 後に学ぶ ) 11

12 23 決定可能な言語の例 問 1.2: a) 有限長文字列の有限集合はどれも決定可能か? b) 正則言語はどれも決定可能か? 24 TM の簡略記述 TMの形式的記述( 形式レベル記述と呼ぶ ) は煩雑 全状態, 状態遷移関数を含む7 項組 M = (Q,, Γ, δ, q 0, q accept, q reject ) 全てを記述する, もしくは, 相当する状態遷移図を与える必要がある 労力軽減のため TM を簡略記述する ( 抽象レベル記述と呼ぶ ) ヘッドの移動, テープに書き込む記号の種類, 手順を自然語で記述 ( 状態, 状態遷移などは与えなくて良い ) 言語 L が半決定可能 ( または決定可能 ) であることを証明するには L 言語 L が半決定可能 ( または決定可能 ) であることを証明するには,L の recognizer( または decider) を抽象レベルで構成する 注意 抽象レベルで記述した TM から, 等価な形式レベルの TM が構成できることが必要 Decider の場合は, どんな入力に対しても停止することが必要 12

13 TM の抽象レベル記述例 n 例 1.2: L = { 0 2 n 0} を受理するTM Mを構成せよ. ( 抽象レベル記述 ) Mは入力 wを入力すると以下のように動作する. 基本アイデア 1 回のループで0の個数を半分にする. 最後に一つだけ0が残れば受理. アルゴリズムはこれ以外に色々考えられる! ( ステップ 1) テープの左端から入力 w の右端に向かってヘッドを移動させながら一つおきに 0 をテープ記号 X に書き換える (0 の個数を半分にする ) ( ステップ 2) ステップ 1 で 0 の数が 1 つだったら, 停止して受理 (accept) ( ステップ 3) ステップ 1 で 0 の数が (1 以外の ) 奇数だったら, 停止して拒否 (reject) ( ステップ 4) ヘッドをテープの左端に戻す ( ステップ 5) ステップ 1 から繰り返す ( 注 )TM を構成する際には, テープ記号として, 入力アルファベット Σ 以外の ( 有限個の ) 記号 (X, Y, Z など ) を使用して良いことに留意せよ. 25 よくある間違い (TM にない機能を使うのは ) 変数を使う, 算術演算を使う, など 練習問題 26 問 1.3: 例 1.2 の TM を形式レベル ( 状態遷移図 ) で記述せよ. ヒント :1 の個数が 1 の場合, 偶数個の場合, 奇数個 (3 つ以上 ) の場合を異なる状態で区別する. 問 1.4: 以下の言語を決定する TM を構成せよ ( 抽象レベル でよい ). a) 同数の 0 と 1 を含む列の集合 ( ただし,Σ={0,1}) b) {ww R w は 0,1 の任意の列 } (2005 年テスト問題 ) c) {0 n 10 n n 0 } (2006 年テスト問題 ) 13

14 一般の判定問題を TM で扱う方法 27 扱いたい問題を表す言語を定義 言語への所属判定として TM で扱うことができる. (1) 入力が文字列であるような問題 素数判定問題 :L={ 全ての素数の集合 } 文法チェック問題 :L={ 正しい文法で書かれたJavaプログラムの集合 } (2) 入力が任意のオブジェクトであるような問題 オブジェクトを2 進列に符号化 プログラムの停止性判定問題 任意のプログラムコードは2 進数の列で符号化できる. L={ 任意の入力で停止するようなプログラムの2 進列の集合 } とすれば, 言語になる. グラフがオイラー閉路 ( 全ての辺が一筆書きできる ) を持つか 行列やグラフを2 進文字列として符号化する. L={ オイラー閉路を持つグラフの符号の集合 } とすれば, 言語の認識問題になる. 論理関数 f(x 1, x 2,..., x n ) に対し,f(x 1,..., x n )=1となる各変数への割当て方は存在するか? 例えば,x 1 x 2 x 1 x 3 =1を満たす割り当て方は,x 1 =1, x 2 =0, x 3 =1である. 全ての論理関数を2 進符号化し, 真になる割当て方が存在するものの集合を受理言語とする. TM で解ける ( 決定可能な ) 判定問題の例 28 例 1.3: 判定問題 与えられた無向グラフGが連結であるかどうか は決定可能か? 証明 G=(V,E) で与えられ, 頂点の集合はV={v 1,v 2,...,v n }, 辺の集合はE={e 1,...,e m } 無向グラフGの符号を G と表記する. 図のグラフは例えば G =(1#2#3#4)((1#2)(1#3)(2#3)(3#4)) のように符号化できる. V E 次のTMを構成する. ただし,Σ={(, ), #, 1, 2, 3, 4}, Γ=Σ {1, 2, 3, 4, $, } 1. Gの最初の頂点をマークする ( 頂点 1 を 1 に書き換える ). 2. マークされた頂点がこれ以上増えなくなるまで3. を繰り返す 3. Gの各頂点に対し, マークされた頂点からの辺があるとき, その頂点をマークする 4. 全ての頂点をスキャンし, 全てマークされていたらaccept, そうでなければreject 上記のTMはこの問題のdeciderになっていることは明らか. 決定可能 14

15 練習問題 29 問 1.5: 例 1.3 の判定問題を表す言語を定義せよ. 記号の用法 30 文字 ( 記号 ) 0, 1, a, b, X, Yなどで表記 文字変数は,x, yなどで表記 アルファベット ( 文字の有限集合 ) Σ と表記. 例 ) Σ={0,1}, Σ={a, b, c} など 文字列 ( 語 ) 例 )0010, aabc, 0 k 1 k, vv R 入力文字列は慣用的にw と表記 空列 ε と表記. 例 ) 任意の文字列 wに対して,w 0 =ε 空集合 と表記(εとは異なるので間違えないように!) 言語 ( 文字列の集合 ) L と表記. 例 ) L={0 n 1 n n 0}={ε, 01, 0011, ,...} オブジェクト ( グラフなど )Oを符号化した文字列( 符号化法は固定 ) O と表記. 慣例的な用法 a,b,... 文字 q,r,... 状態 x,y,... 文字変数 w... ( 入力 ) 文字列 i,j,k,l,m,n... 整数 A,B,... 集合 M... 機械 L... 言語 M... 機械 M の符号 (=プログラムコード) 15

16 まとめ 31 チューリング機械 (TM) とは 形式的な定義 状態遷移図 様相 (configuration) TM の記述法 ( 形式レベル記述と抽象レベル記述 ) 半決定可能な言語と, 決定可能な言語 TM が扱う問題は判定問題 言語への所属判定 一般の判定問題 Homework( 次回講義時に提出 ) 問 1.1~1.5 16

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