(Keiko Harai) (Graduate School of Humanities and Sciences Ochanomizu University) $\overline{\mathrm{b} \rfloor}$ (Michie Maeda) (De
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- くにひと ありはら
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1 Title 可測ノルムに関する条件 ( 情報科学と函数解析の接点 : れまでとこれから ) こ Author(s) 原井 敬子 ; 前田 ミチヱ Citation 数理解析研究所講究録 (2004) 1396: Issue Date URL Right Type Departmental Bulletin Paper Textversion publisher Kyoto University
2 (Keiko Harai) (Graduate School of Humanities and Sciences Ochanomizu University) $\overline{\mathrm{b} \rfloor}$ (Michie Maeda) (Department of Mathmatics Faculty of Science Ochanomizu University) 1 $\ovalbox{\tt\small REJECT}\lambda$ Gauss Gross Hilbert $Dudley-Feldman-Le$Cam [12] 4 [12] open 5 Baxendale Gauss Gauss $\mathrm{c}$ Gauss 2 $X$ Banach $X $ $X$ $X $ $X$ natural pairing $B$(X) $X$ Borel $\sigma$-algebra $H$ Hilbert < $\cdot>$ $H$ $FD$ (H) $\mathcal{f}$ $H$ $H$ $I$ $($ $)$ $z$ $\xi_{1}$ $\xi_{2}$ $\ldots\xi_{n}\in X $ $D\in B$ (Rn)
3 32 $Z=\{x\in X;((\xi_{1} x) (\xi_{2} x) (\xi_{n} x))\in D\}$ $\xi_{1}$ $\xi_{2}$ $\xi_{n}$ $\mathcal{r}_{\xi_{1}\xi_{2}\ldots\xi_{n}}$ $\ldots$ $\sigma$-algebra $R$ $\sigma$-algebra Hilbert $Z=\{x\in H;Px\in F\}$ ( $P\in \mathcal{f}$ $F\in B$ (PH)) ) $\mathcal{r}$ 21( $\mu$ $\mathrm{r}$ (i) $\mu$ 0) $\mu$ : $\mathcal{r}arrow[01]$ $R_{\xi_{1}\xi_{2}\ldots\xi_{n}}$ Hilbert Gauss 22 (Gauss ) $\gamma$ : Gauss $\mathcal{r}arrow[01]$ $\gamma(z)=$ $( \frac{1}{\sqrt{2\pi}})^{n}\int_{f}e^{-[perp] x_{2}^{2}}dx$ $Z=\{x\in H;Px\in F\}$ =dim $n$ $PH$ $dx$ $PH$ $e$ Lebesgu 23(Gross ) $\epsilon>0$ $P[perp] P_{0}$ $P\in \mathcal{f}$ $P_{0}\in \mathcal{f}$ $\mu(\{x\in H; Px >\epsilon\})<\epsilon$ $ $ $\mu$- (Gross) $ $ $\mu$- J(Gross) $\Leftrightarrow$
4 $weak*$ 33 $\epsilon>0$ $FD$ (H) $j$ $G\in FD$ (H) $F[perp] G$ $F\in$ $\mu(\{n_{\epsilon}\cap F+F^{[perp]}\})\geq 1-\epsilon$ $N_{\epsilon}=\{x\in H; x \leq\epsilon\}$ $F$ \perp $F$ $\iota$ Hilbert Gauss $\gamma$ Gauss LGross $H$ 24 (Abstract $\gamma$ Wiener Space) $H$ Gauss $ \cdot $ $\gamma$- (Gross) $B$ $ \cdot $ $H$ $i$ $H$ $B$ $(i H B)$ Abstract Wiener Space Gross Dudley-Feldman-LeCam 25(DFL ) $\epsilon>0$ $G\in FD$ (H) $F[perp] G$ $F\in FD$(H) $\mu$({f $F$(N $\epsilon)+f[perp]\}$ ) $\geq 1-\epsilon$ $ \mathrm{r} $ \mu (DFL) $P_{F}$ $H$ $F$ $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{l}$ 2 Gross 3 Gross DFL 31 $H$ $\mu$ $H$ $ $ $H$ $B$ $ \cdot $ $H$ $i$ $H$ $B$ $\mathrm{y}$ $\sigma(b" B)$ $B$ bidual $B $ $j$ $H$ $\mathrm{y}$ $(i)\rightarrow(ii)\rightarrow(iii)\rightarrow(iv)$ $(i)\rightarrow(ii)\rightarrow(v)\leftrightarrow(vi)\rightarrow(vii)$
5 34 $\mu$ $(iii)\rightarrow(\prime u\prime i)$ $(iv)\rightarrow$ ( $v^{i}i $i) $\mathcal{f}$ $I$ $P_{n}$ (i) $\epsilon>0$ (ii) $ $ (iii) $I$ (iv) $I$ ^ $\lim\mu$ ( $\{x\in H;$ $ $I $nx-p_{m}x >\epsilon\}$ ) $=0$ $nmarrow\infty$ l $\mu$- (Gross) $P_{n}\in \mathcal{f}$ $\epsilon>0$ $\lim\mu$ ( $\{x\in H; $I $n$x-f $m$ x $nmarrow\infty$ $P_{n}\in \mathcal{f}$ $ >\epsilon$}) $=0$ $\lim_{narrow\infty}\lim_{narrow\infty}\mu$( $\{x\in H;\sup_{1\leq k\leq n} $ P$k$x $ >N\}$) $=0$ (v) $ $ (vi) $i$ l $\mu$- (DFL) (\mu ) (vii) $j$ (\mu ) $(i)\rightarrow(ii)$ $(ii)\rightarrow(iii)$ (iii) $\Rightarrow(iv)$ $(v)\leftrightarrow(vi)$ $(iii)\rightarrow(iv)$ $(iv)\rightarrow(vii)$ ([1]) ([1]) ([8]) ([2]) ([14]) ([3]) ([14]) $(l^{2})^{*}$ 4 Dirac $e_{n}=(0 \ldots 010\ldots)$ (1 $n$ ) $\{e_{n}\}$ $l^{2}$ (i) $ $ $ \mathrm{i} $ 1 4 $\Gamma_{1}$ $\{\alpha_{n}\}_{n=12}\ldots$ $\alpha_{n}arrow\infty(narrow\infty)$
6 1 $\mu_{\mathrm{a}}$ 35 { $\pm\alpha_{n}$ (e1 $U_{1}=\Gamma_{1}+B_{1}$ $ l $ 1 $U_{1}$ $+e_{2}+\ldots e$n); $n=12$ } $B_{1}$ convex hull open convex absorbing circled gauge $U_{1}$ $ x _{4}=\sqrt{\sum_{n_{-}^{-}1}^{\infty}(\frac{x_{n}}{n})^{2}}$ $ $ 4 $ \cdot $ $l\mathrm{h}$ [12] $\#/$ $ $ $ _{1}$ $ $ 4 (ii) $\mu_{\mathrm{a}}$ $\mu_{\mathrm{b}}$ $(\ell^{2})^{*}$ $\sigma((\ell^{2})^{*}\ell^{2})$ \cdot)$ $(\ell^{2})^{*}$ natural pairing $Z$ $(\ell^{2})^{*}$ $\tilde{z}$ $(\cdot $Z=\{x\in\ell^{2} : (<x\xi 1> $ $<x \xi_{n}>)\in D\}$ $\tilde{z}=\{x\in(\ell^{2})^{*} : ((x \xi 1) (x \xi_{n}))\in D\}$ $\xi_{1}$ $\ldots$ I $\{e_{n}\}_{n=12}\ldots$ $(\ell^{2})^{*}$ $\xi_{n}\in\ell^{2}$ $D\in B$(R) a $\mathrm{b}$ $(\mathrm{a} e_{n})=1$ $n$ =12 $\mathrm{r}$ $(\mathrm{a} e_{\alpha})=0$ $e_{\alpha}\in \mathrm{i}\backslash \{e_{n}\}_{n=12}\ldots$ $(\mathrm{b} e_{n})=n$ $n$ =12 $\ldots$ $(\mathrm{b} e_{\alpha})=0$ $e_{\alpha}\in \mathrm{i}\backslash \{e_{n}\}_{n=12}\ldots$ $\delta_{\mathrm{a}}$ $(\ell^{2})^{*}$ Dirac $\delta_{\mathrm{b}}$ $\mu$b $\mu_{\mathrm{a}}(z)=\delta_{\mathrm{a}}(\tilde{z})$ $\mu$ b(z) $=\delta_{\mathrm{b}}$(z) $\mu_{\mathrm{a}}$ (iii) (vi) $\mu_{\mathrm{a}}$ $\mu$ b (vi)
7 $\mu_{\mathrm{a}}$ 1 38 $\mu_{\mathrm{a}}$ $\mu_{\mathrm{b}}$ $\mu_{\mathrm{a}}$ 41 $\mu_{\mathrm{b}}$ $ $ $ _{l^{2}}$ -norm $7_{n}^{1}(e_{1}+\ldots$ +e\mapsto linear span $narrow\infty$ $ \frac{e_{1}+\ldots+e_{n}}{n^{\frac{3}{4}}} \ell^{2}=\sqrt{\frac{n}{n^{\frac{3}{2}}}}=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{n}}}arrow 0$ (\mu a)nl (el++en) $=\delta=(\mathrm{a}\tau^{1}n(e_{1}+\ldots \mathrm{e}_{n}))\delta\tau^{n=}n$ $narrow\infty$ $\mu_{\mathrm{a}}$ $\delta_{0}$ $\delta_{n}*$ $\mu_{\mathrm{b}}$ = linear span $narrow\infty$ $\mu_{\mathrm{b}}$ $\frac{1}{n}e$n $ \frac{1}{n}e_{n}\mathrm{h}_{p2}=\sqrt{\frac{1}{n^{2}}}=\frac{1}{n}arrow 0$ $(\mu_{\mathrm{b}})_{\frac{1}{n}\mathrm{e}_{n}}=$ \mbox{\boldmath $\delta$}(b ) $=\delta_{1}$ $narrow\infty$ $\mu_{\mathrm{b}}$ $\delta_{0}$ $ $ 42 1 \mu a (DFL) $E$ $ $ 1 $j$ $E$ $j $ $j$ $(\cdot \cdot)_{e}$ dual operator $E $ natural $E$ pairing $E arrow(\ell^{2}) \simeq\ell^{2}arrow Ej j$ $ $ \mu a (DFL) $j$ $\mu_{\mathrm{a}}$ (\mu a) $j$ $(EC_{E})$ \sigma a $j (E )$ 0 $e_{\alpha}\in \mathrm{i}\backslash \{e_{n}\}_{n=12}\ldots$ $(\mathrm{a} e_{\alpha})=0$ $j (y)$ $j (y)= \sum A_{n}e_{n}N$ $A_{1}$ $\ldots$ $A_{n}\in \mathbb{r}$ $n=1$
8 $\mu_{\mathrm{a}}$ 37 $l^{2}$ $\{x^{m}\}$ $x^{1}=e_{1}$ $x^{2}=e_{1}+e_{2}$ $\cdot$ $\cdot$ $x^{m}=e_{1}+\ldots+em$ $m\geq k$ $e_{k}$ $x^{m}>=1$ $m\geq N$ $m$ <j (y) $x^{m}>=$ ( $yj$ (xm))e $<j (y)$ $x^{m}>= \sum_{n=1}^{n}a$ n $m$ $(yj(x^{m}))_{e}= \sum_{n=1}^{n}a$ n $m\geq N$ $m arrow\infty \mathrm{h}\mathrm{m}(yj(x^{m}))_{e}=\sum_{n=1}^{n}a_{n}$ (1) $\{\alpha_{m}\}$ $U_{1}$ $\alpha_{m}x^{m}\in U_{1}$ $ x^{m} _{1}\leq 1/\alpha_{m}$ $\alpha_{m}arrow$ $\infty(marrow\infty)$ $ x^{m} _{1}-arrow 0(marrow\infty)$ $\lim_{marrow\infty}j(x^{m})=0$ in E (2) (1) (2) $\sum_{n=1}^{n}a_{n}=0$ $( \mathrm{a}j (y))=\sum_{n=1}^{n}$ $A\text{ }$ =0 a $j (E )$ 0 $i$ $i\cdot(\delta_{\mathrm{a}})$ $(\ell^{2})^{*}$ $(E )^{*}$ canonical $i(\mathrm{a})=0$ $(E )^{*}$ Di $rac$ $j$ \mbox{\boldmath $\delta$} (\mu a) $E$ $\delta_{0}$ $j$ (\mu a) \sigma $ \cdot $ 43 4 $\mu_{a}$ (DFL) $(\cdot $E$ 4 $ \cdot $ $j$ $E$ $j $ $j$ \cdot)_{e}$ dual operator $E $ natural pairing $E$ $E arrow(\ell^{2}) \simeq\ell^{2}arrow Ej j$ $ \cdot $ 4 \mu a (DFL) $j$ $(EC_{E})$ $j(\mu_{\mathrm{a}})$ \sigma $\iota$ $\epsilon>0$ $N\in \mathrm{n}$ $n>m\geq N$ $n$ $m$ $\sum_{j=m+1}^{n}(\frac{1}{j})^{2}\leq\epsilon^{2}$ $\{x^{m}\}$ $x^{1}=e_{1}$ $x^{2}=e_{1}+e_{2r}$
9 ) 38 $\cdot$ $x^{m}=e_{1}+\ldots+e_{mf}$ $\cdot$ $\epsilon>0$ $N\in \mathrm{n}$ $n>m\geq N$ $n$ $m$ $ x^{n}-x^{m} _{4}= e_{m+1}+\ldots+e_{n} _{4}=\sqrt{\sum_{j_{-}^{-}m+1}^{n}(\frac{1}{j})^{2}}\leq\epsilon$ $\{x^{m}\}$ Caucy hm \rightarrow \infty x-j(xm) 4 $=0$ $x\in E$ $e_{\alpha}\in\overline{[perp]}\backslash \{e_{n}\}_{n=12}\ldots$ $e_{\alpha}$ (a $=0$ $j (y)$ $j (y)= \sum_{n=1}^{n}a_{n}e_{n}$ $A_{1}$ $\ldots$ $A_{n}\in \mathbb{r}$ $m\geq k$ < $x^{m}>=1$ $m\geq N$ $m$ $<j (y)$ $x^{m}>= \sum_{n=1}^{n}a$ n <j (y) $x^{m}>=$ ( $yj$(xm))e $m\geq N$ $m$ $(yj(x^{m}))_{e}= \sum_{n=1}^{n}a$ n $(y x)_{e}= \sum_{n=1}^{n}a_{n}$ (3) $i$ $(\ell^{2})^{*}$ $(E )^{*}$ canonical $(\mathrm{a} e_{n})=1$ $(\mathrm{a} j (y))=$ $\sum_{n=1}^{n}a$n $(i( \mathrm{a}) y)=\sum_{n=1}^{n}a_{n}$ (4) (3) (4) $y\in E $ $(i(\mathrm{a}) y)=(x y)$ $i$ (a) $E$ $x$ $j(\mu_{\mathrm{a}})=\delta_{x}$ $j$ (\mu a) $E$ $\delta_{x}$ $(E C_{E})$ \sigma $\mathrm{r}$
10 $\gamma_{\mathrm{a}}$ $\lambda$ 5 Baxendale Gauss [13] Baxendale Gauss Gauss 4 a $\gamma_{\mathrm{a}}$ Baxendale Gauss Gaus $\gamma$ $\gamma_{\mathrm{a}}$ Baxendale Gauss Gauss $\mathbb{r}$ 51 (a) Bor $el$ Gauss $\lambda=\delta_{0}$ (i) (ii) $B\in B$ (R) $t>0$ $\lambda(b)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\mathrm{b}e^{-_{2l}^{1^{x}[perp]^{2}}}dx$ (b) Banach $E$ $\mu$ Gauss $\xi\mu$ $Earrow \mathbb{r}$ $\mu$ (\mbox{\boldmath $\xi$}: $\mathbb{r}$ $\mu$ ) Gauss (c) Banach $E$ Bor $el$ $\mathrm{c}_{e}$ $\mu$ Gauss $C_{E}$ Gauss $E$ 52 $\mu$ $E$ Baxendale Gauss $A\in L$ (E $E $ ) $\mu$ $A$ $\xi\in E $ $\phi(\mu \xi)=exp\{-(\xi a\xi)/2\}$ $A$ $(\xi A\eta)=(\eta A\xi)(\xi \eta\in E )$ $(\mathrm{a} e_{n})=1$ $n=12$ $\ldots$ $\mathrm{a}\in(\ell^{2})^{*}$ $(\mathrm{a} e_{\alpha})=0$ $\gamma_{\mathbb{r}}$ $\mathbb{r}$ $\gamma_{\mathrm{a}^{\mathrm{r}}}$ $e_{\alpha}\in \mathrm{i}\backslash \{e_{n}\}_{n=12}\ldots$ Gauss $T$ $\mathbb{r}arrow(\ell^{2})^{*}(tarrow t\mathrm{a})$ $T$ : $\mathfrak{w}$ $\gamma_{\mathrm{a}}$ $Z=\{x\in\ell^{2} : (<x\xi\sim> $ $<x \xi_{n}>)\in D\}$ $\tilde{z}=\{x\in(\ell^{2})^{*} : ((x \xi 1) (x \xi_{n}))\in D\}$
11 Baxendale Szymanski 40 $\gamma_{\mathrm{a}}(z)=\gamma_{\mathrm{a}^{\mathrm{r}}}(z)$ $\xi_{1}$ $\ldots\xi_{n}\in\ell^{2}$ $D\in B$(R) $\gamma_{\mathrm{a}}$ Gauss Gauss $E_{1}$ $E_{4}$ $ $ 1 $ $ $j_{1}$ 4 $j_{4}$ $j_{1}$ $j_{1}$ dual operator $j_{4} $ dual operator $j_{4}$ $i_{1}$ $(l^{2})^{*}$ $(E_{1}^{J})\text{ }$ 6 (7) canonical $fg$ mappimg $(\ell^{2})^{*}\text{ }(E_{4})\prime canonical $rx$ mappimg $i_{4}$ 43 a 0 $j_{1}^{l}(e_{1})$ $i_{1}(\mathrm{a})=0$ $i_{1}(\gamma_{a}^{*})$ $(E_{1})^{*}$ Dir $ac$ $j_{1}$ (\gamma a) $E_{1}$ $\delta_{0}$ 44 Cauchy $\lim_{marrow\infty} x-j_{4}(x^{m}) _{4}=0$ $x\in E_{4}$ $y\in E_{4}^{:}$ $(i_{4}(\mathrm{a}) y)=(x y)$ $i_{4}(\mathrm{a})$ $E_{4}$ $x$ $j(\gamma_{\mathrm{a}})=\gamma_{x}$ $j$ (\gamma a) $E_{4}$ $\gamma_{x}$ $ $ $ _{1}$ $ \cdot $ 4 \gamma a (DFL) [1] P Baxendale Gaussian Measures on Function Spaces Amer J Math 98(1976) [2] $\mathrm{r}\mathrm{m}$ Dudley J Feldman and L LeCam On semi-norms and probabilities and abstract Wiener Spaces Ann of Math 93(1971) [3] F Gong A note on generalized Gross and Minlos Theorems Dirichet forms and $(\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}1993)$ stochastic process de Gruyter Berlin 1995 [4] L Gross Measurable functions on Hilbert space Trans Amer Math Soc 105(1962) $\mathrm{b}$ [5] S Kwapien and Some remarks on Gaussian measure in Banach spaces ProMath Satis $\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{i}$i(1980) [6] $\mathrm{h}\mathrm{h}$ Kuo Gaussian Measures in Banach Spaces LectureNotes in Math463 Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York 1975
12 NO1(2003) 41 [7] K Harai Measurable norrns and Related conditions in some examples Natural $\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}54$ Science Report of the Ochanomizu University 1-7 [8] K Harai The correction of Measurable norms and Related conditions in sorne examples $fj$ $\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}54\mathrm{n}\mathrm{o}2(2003)$ Natural Science Report of the Ochanomizu University 11 [9] M Maeda Sorne examples of measurable norrns J Math Anal Appl 98(1984) [10] M Maeda Generalized rotationally quasi-invariant cylindrical measures J Math Anal Appl 114(1986) [11] M Maeda K Harai and R Hagihara Some exarnples and connection between cylindrical rneasures and measurable norms J Math Anal App1288(2003) [12] M Maeda K Harai and M Shibuya Some remarks on seven conditions approximating to measurable norms Sientiae Mathmaticae Japonicae 59 $\mathrm{n}\mathrm{o}3(2004)$ [13] A Takizawa The comparsion between $Kuo$ s definition and Baxendale $s$ on Gauss cylindrical measures Master thesis (in Japanese) 2004 [14] $\mathrm{j}\mathrm{a}$ Yan Generalizations of Gross and Minlos $Theorems_{J}$ LectureNotes in Math1372 Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York-London-Paris-Tokyo Hong Kong
~ ご 再 ~
Title 經濟法令 Author(s) Citation 經濟論叢 (1925), 20(5): 925-942 Issue Date 1925-05-01 URL http://dx.doi.org/10.14989/128271 Right Type Departmental Bulletin Paper Textversion publisher Kyoto University ~ ご 再
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More informationTitle 業 績 集 (2000 年 1 月 1 日 ~12 月 31 日 発 表 分 ) Author(s) Citation 京 都 大 学 医 療 技 術 短 期 大 学 部 紀 要 (2001), 21: 63-83 Issue Date 2001 URL http://hdl.handle.net/2433/49432 Right Type Departmental Bulletin Paper
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