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ときなたておか
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1 yleigh-bénard Ekman Analysis of Ekman Layer in yleigh-bénard Convection with Rotation Study on resistance of cracks in asphalt concrete as base layer Shoji KOYAMA 1 yleigh-bénard RBC 3 DNS Ekman Taylor-Proudman no-slip Ekman Ekman Ekman 1 Gill 2 Pedlosky 3 Ekman Ekman Rossby Hart 4 6 Hide 7 Boussinesq stress-free stress-free Ekman stressfree Ekman Ekman Hide 7 stress-free no-slip 1 Julien et al. 8 RBC DNS apple RBC DNS Ekman Julien et al. 8 Julien DNS apple DNS 2 RBC DNS 3 DNS 4 2 Boussinesq yleigh-bénard 22

2 u +u u = p t x + v + u v = p t y + w + u w = p t z + Ù + u Ù = 1 Ù, t 1/2 (Pr) u+ 1 v, Ro v 1 u, Ro w + Ù, u x + y v + w z = x y z u u v w p Ù nabla» Laplace Pr Ro Prandtl yleigh Rossby = c Pr = 1 Re 1590 Ro =1 Ta = c yleigh no-slip t = t 200 Adams-Bashforth Julien Julien et al. 8 Pr = v Ô, Çg Td3 = Ôv, Ro = U fd 2.6 Ù = Ï(1 z/apple) (z < apple). 0 (z apple) 2.11 d U Ç g v Ô f 2 d U = (Çg»Td) 1/2»T Reynolds Re = Ud/v Taylor Ta = (fd 2 /v) 2 Pr Ro Re 2 =/Pr Ta =/PrRo 2 t = no-slip u(x, y, 0)=0, u(x, y, 1)=0, 2.7 Ù(x, y, 0) =0.5, Ù(x, y, 1) = u(x +6, y +6, z) =u(x, y, z), 2.9 Ù(x +6, y +6, z) =Ù(x, y, z) Ï 2.8 Ï =0.5 apple apple = apple(x, y) 1 Ù 2.11 X = X E + X th, 2.12 X E = q 1 z X 0 (1 e qz ) 2.13 (Λ/q 4 apple 2 )(1 +qapple)e qapple (e qz +e qz 2) (Λ/q 2 )(z/apple) 2 (z <apple) X th = (Λ/q 4 apple 2 ) (2 q 2 apple 2 ) 2(1+qapple)e qapple + (1+qapple)e qapple (1 +qapple)e qapple e qz (z apple) 2.14 X = u + iv, q =( Ta ) 1/4, Λ = Ï 2 Re( xapple+i y apple) X q Λ Ekman Julien et al. 8 23

55 巻 1 号 2003 24 研究速生産研究報図 1 a 温度場と b 温度境界層の厚みの水平面図あるので注意されたい線形解 2.

3 55 巻 1 号研究速生産研究報図 1 a 温度場と b 温度境界層の厚みの水平面図あるので注意されたい線形解 2.12 は粘性効果だけによる通常の Ekman 層解 XE と温度による補正解 Xth の重ね合わせになっているこの温度補正項の効果は Λ に依存しの水平勾配が存在するところでは効いてくるが存在しないところでは殆ど効かず通常の解に近づくことを意味しているここで問題になることは第一にをどの図2 局所的な温度場の鉛直分布図ように評価するかということであり第二にその求まったを用いて実際の温度分布が式 2.11 の線形分布で近似層を温度境界層と仮定し温度がほぼ一様になると思われできるのか否かの 2 つであるる高さこの場合は Ù = 0 付近までをその厚みと考える上記の 2 つの問題に対する 1 つの提案として今回本研とやはり P0 から P1 P2 と次第に小さくなることが分か究では下記に示すようにを下壁における温度勾配の逆るまた上記で示したの値を用いた各点の線形分布をそ数で定義したれぞれ L0 L1 そして L2 とすると DNS のデータから仮定した温度境界層内全体は一致していないことが分かる (x, y) = 1 / Ù z z= この原因は式 2.16 で予想したの値が壁近傍の温度勾配のみから定義されていて他の様々な要素が含まれるそして次に式 2.16 で定義したで線形近似がどの程度それらは上方に向かうに従ってその予想から逸脱してくる成り立つかを調べるため図 1 に a 温度場と b 温度ためだと考えられるつまりこの線形分布が適用できる境界層の厚みの等高線図をそれぞれ示すまた図 1(a とのは壁近傍のみに対してでありそもそも線形解析自身が b ともに赤味がかった色の方が値の大きいことを表して非線形効果の弱いこの場所を対象にしているのである以いる図 1(a を見て分かるように今回選んだ解析点は上のような考えから壁付近およそ z < 0.1 までの範囲で線周囲より温度の高い場所つまり上昇プルームが生成して形解が DNS の速度場をどの程度補正できるのか考察するいるポイントであるそれらを上昇プルームの中心と思わ 3.2 Julien 解と DNS の比較れる点から右に向かってそれぞれ P0 P1 そして P2 と名図 3 に解析点 P0 における a u v ホドグラフ b u の鉛づけるそして図 1(b からの水平分布は温度場のそ直分布そして c v の鉛直分布をそれぞれ示す但しこれとほぼ相似的な分布を示しこの周囲にの水平勾配が存在することが分かる図 2 は解析点 P0 P1 そして P2 こでは鉛直座標を Ekman 層の厚み ËE で規格化した拡張座標で = z/ 2 Ë E である図 3(a における拡張座標の温度の鉛直分布とそれぞれのから求めた線形分布であの範囲はおよそで粘性 Ekman 層解 XE よりもるここで各解析点における式 2.16 より求めたの値温度補正項 Xth を足し合わせた XE + Xth の方が DNS の速度はそれぞれ (P0) = 0.63 (P1) = 0.21 そして (P2) = 場を良く再現していることが分かる特に上方において 0.08 である DNS のデータから下層部における各点の DNS における速度の大きさが粘性 Ekman 層解よりも小さ平均温度分布からのずれはプルームの中心部に相当するくなることは Carrier9 等により非線形効果が原因であると P0 が最も大きくその外側に向かう P1 P2 に従って小さ指摘されているがこれにより温度補正項を施すことでもくなることが分かるここでは壁近傍の急激な変化をする解消に向かう可能性があることが分かる次に図 3(b と 24

4 P 0 a u v b u c v 4 P P

5 c u th v th u u E = 0.75 DNS u th = 1 v DNS = 0.2 v th 4 5 P 1 P 2 3 4(a 5(a Ekman P 0 4(b c 5(b c = 0.2 DNS 4 yleigh-bénard Ekman Julien et al. 8 DNS Ekman DNS ) V. W. Ekman, Arkiv. Matem. Astr. Fysik, Stockholm 2 11, 1 52 (1905). 2) A. E. Gill, Atmosphere-Ocean Dynamics (Academic Press, 1982). 3) J. Pedlosky, Geophysical Fluid Dynamics, 2 nd edition (Springer- Verlag, 1987). 4) J. H. Hart, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 79, (1995). 5) J. H. Hart, J. Phys. Oceanogr. 26, (1996). 6) J. H. Hart, Phys. Fluids 12, (2000). 7) R. Hide, Tellus XVI, (1964). 8) K. Julien, S. Legg, J. McWilliams and J. Werne, J. Fluid Mech. 322, (1996). 9) G. F. Carrier, J. Fluid Mech. 49, (1971). 26

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