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1 講義予定 環境プラニング演習 II 第 0 回 千葉大学工学部都市環境システム学科 山崎文雄 tu ujp/ ( 009 年 4 月 8 日 ( 土 :50 ー 4:0 演習の説明, 微分 積分と数値計算 ( 009 年 4 月 5 日 ( 土 :50 ー 4:0 微分 積分と数値計算 (3 009 年 5 月 9 日 ( 土 :50 ー 4:0 振動問題と時間積分 (4 009 年 5 月 6 日 ( 土 :50 ー 4:0 質点系の地震応答計算 ( 課題 (5 009 年 5 月 6 日 ( 土 4:30 ー 6:00 応答スペクトルの計算 (6 009 年 5 月 30 日 ( 土 :50 ー 4:0 フーリエ解析 (7 009 年 5 月 30 日 ( 土 4:30 ー 6:00 フーリエ解析 ( 課題 (8 009 年 6 月 3 日 ( 土 :50 ー 4:0 復習 (9 009 年 6 月 3 日 ( 土 4:30 ー 6:00 確率分布の基礎と正規分布 (0 009 年 6 月 7 日 ( 土 :50 ー 4:0 一様乱数と確率分布の検定 ( 009 年 6 月 7 日 ( 土 4:30ー 6:00 中心極限定理と正規乱数 ( 課題 3 ( 009 年 7 月 4 日 ( 土 :50 ー 4:0 確率紙の作り方 使い方 (3 009 年 7 月 8 日 ( 土 :50 ー 4:0 基礎統計解析 (4 009 年 7 月 8 日 ( 土 4:30 ー 6:00 基礎統計解析 ( 課題 4 乱数 (radom umer とは? 疑似乱数の要件 でたらめな数列 出現がほぼ同じ割合 + 非規則 周期が長いこと ( 短いとすぐ繰り返し数列になる 最も基本的なのは一様乱数 均一分布 ( f X 再現性があること コンピュータで発生させる乱数は, 疑似乱数 (pseudo-radom umer ( 本当は でたらめ ではない. 初期値を与え, 規則にしたがって計算する. 0 a 3 統計的検定に耐えられること ( デタラメであることが証明できる 乱数発生のスピードが速いこと 4

2 合同式 : 一様乱数の発生 ( 合同法 ( k + a ( k (mod L Ecel における一様乱数の発生 挿入 関数 数学 / 三角 RAND mod L Lの倍数は切り捨てる 番目の(: 初期値 a, L, ( は非負の整数 ( 上手に選ぶ必要がある 実際の例 ( 東大計算機センター : 初期値 ( 自分で与える. 大きな整数 a48885 ( なにがいいか検定してみる m (3ビットのコンピュ きる最大の数 (3ビットのコンピュータで表現で Ecel はオーバーフローしないのでこの方法は使えない 平均値, 分散, 変動係数の例 f X ( a 平均値 μ ( a + μ X 分散 σ X 変動係数 ν X 均一分布の場合 ( 3 a + 7 統計関数と Ecel ( 統計量からの検索 統計量 Ecel 関数名 定義式 ( 統計学入門 など 和 SUM 平均 AVERAGE p.8 (. 分散 ( 不偏分散 VAR 偏差の平方和 ( - > p.84 (9.5 分散 VARP 同上 > p.37 (.0 標準偏差 STDEV 分散 ( 不偏分散 VAR の平方根 標準偏差 STDEVP 分散 VARP の平方根 > p.37 (.0 平均偏差 AVEDEV 偏差の絶対値の平均 > p.36 (.9 相関係数 CORREL p.49 (3. 共分散 COVAR 偏差の積和 > p.49 (3. 第 式 データの正規偏差 % 点 ZTEST データ各値の正規分布対応の % 点 名称は不適切 t 検定 TTEST 標本 t 統計量の値に対する片側 両側確率 5% ( 等 と比較 カイ 乗検定 CHITEST ピアソンのカイ 乗の上側確率 独立性の検定のため 標準得点 STANDARDIZE 歪度 SKEW 歪み方の向き 程度 EXCEL 定義に問題 * 尖度 KURT 尖り方の方向 程度 EXCEL 定義に問題 * 順位 RANK のデータ範囲 ( 絶対参照 での順位 タイ分割せず 部分集計 SUBTOTAL 累積和は引数 (9, A$:Aetc. から複写 9 が重要 * 標準的テキストとはやや異なるが サンプルが大なら差は小さい 正式定義はこちら 8

3 標本平均 (sample mea 標本平均 : 標本に対して計算した平均値 は標本数 ( サンプル数, : エックスバー は標本数が大きくなると, 母集団の平均値 μ に近づく. データの合計 データの数 + + L + Ecelにおける使い方 : 例えば AVERAGE(A:A (A からAまでの平均 Ecel におけるヒストグラム作成 9 標本分散 (sample varace 標本分散 : 標本に対して計算した分散 s ( 不偏標本分散 : 偏りを除いた標本分散 s ( Ecel では VARP(A:A Ecel では VAR(A:A 標本数が大きくなると, 標本分散と不偏標本分散で差はない 標本数が大きくなると, 不偏標本分散は母集団の分散 σ に近づく Ecel では両方の関数がある. 標本標準偏差 s ( STDEV(A:A Ecelでは 0 観測データの適合度検定 適合度検定 : 観測データが理論的な確率モデルに 適合しているかどうかの検定 カイ二乗 (χ 検定 : ヒストグラムと理論的な確率密度を比較するもの ツール 分析ツール ヒストグラム棒をクリック データ系列の書式設定 オプション 棒の間隔 0 コロモゴロフースミルノフ検定 (Kolmogorov-Smrov Test : 観測データの累積率と理論的な確率分布関数を比較するもの

4 観測データの適合度検定 ( カイ二乗 (χ 検定 Kolmogorov-Smrov 検定 手順 : 仮説の設定 適合度検定の手順と例 ( 帰無仮説 H0 : EXCELの一様乱数は一様である様. 対立仮説 H : EXCELの一様乱数は一様でない. 手順 : 有意水準の設定 有意水準 α は帰無仮説が正しいにもかかわらず, 帰無仮説が誤っていると判断する ( 棄却する 確率. 通常,5% で考える. 手順 3: 検定方式と棄却域の設定 ヒストグラムと理論度数の比較なので, カイ二乗検定を用い, 有意水準 0.05と自由度からχ の上側確率に対応する値を求める. 3 4 適合度検定の手順と例 ( 手順 4: 検定統計量の計算データに基づき検定統計量の値を求める. カイ二乗検定では, 観 測度数の期待度数からの乖離の指標 χ ( カイ二乗 を計算. r ( A E χ E 手順 5: 判定と結論 検定統計量の値が棄却域に入っている場合には, 帰無仮説 H0 を棄却し, 対立仮説 Hを有意と判断する. 棄却域に入っていない場合には,H0 を棄却することができず,H を有意とは判断できない. χ 分布における自由度と有意水準 自由度 df 上側確率 ( 有意水準 α 帰無仮説 H0が棄却された場合, 対立仮説 Hを積極的に支持. 帰無仮説 H0が棄却されなかった場合は, 疑わしさを立証できなかったに過ぎない. 5 Fgure 8.3. Ch-Square Samplg Dstrutos for df, 3, ad 4 Fgure 8.4. Ch-Square Samplg 6 Dstruto for df4

5 CHITEST カイ 乗 (χ 検定 EXCEL のヘルプ カイ 乗 (χ 検定を行います CHITEST 関数では 統計と自由度に対するχ 分布から値を抽出して返します χ 検定を行うことにより 仮説が実験によって証明されたかどうかを判断することができをがます 書式 CHITEST( 実測値範囲, 期待値範囲 実測値範囲期待値に対する検定の実測値が入力されているデータ範囲を指定します 期待値範囲期待値が入力されているデータ範囲を指定します 実測値と期待値では 行方向の値の合計と列方向の値の合計がそれぞれ等しくなっている必要があります EXCEL で作成した χ 分布の上限確率表 有意水準 α 解説 実測値範囲と期待値範囲に含まれるデータの個数が異なる場合 エラー値 #N/A が返されます χ 検定では まず χ 統計量が計算され 次に実測値と期待値の差が加算されます CHITEST 関数は 等式 CHITEST p(x >χ で表されます ここで r c また ( Aj E j χ Aj 行 j 列内の実測値の度数 ( 実測値頻度 Ej 行 j 列内の期待値の度数 ( 期待値頻度 j Ej r 行数 c 列数 CHITEST 関数では χ 統計量と自由度 df に対する確率が計算されます このとき 7 df (r-(c- となります ( 次元の場合はdf r- 挿入 関数 統計 CHIINV CHIINV(α, f 8 EXCEL によるカイ二乗検定 練習問題さいころシミュレーション したがって, この結果は一様分布であるとの仮説を棄却できない. χ CHITEST(B:B,C:C 自由度 f0-9 CHIINV(p, f Ecelの一様乱数 RAND( を用いて, さいころのシミュレーションを 0 回行い, 各目の値 (3456 (,,3,4,5,6 がそれぞれ何回出るか試してみよ. またこのシミュレーション結果が一様分布かどうか, カイ二乗検定により検定せよ. ヒント INT( 実数の小数点以下を切り捨てて整数化するすなわち,INT(RAND(*6+ でから6の間の整数が出る. 自由度と右側確率値に対応する χ 値 9 0

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