経営統計学

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くにもとみうら
5 years ago
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1 5 章基本統計量 3.5 節で量的データの集計方法について簡単に触れ前章でデータの分布について学びましたがデータの特徴をつの数値で示すこともよく行なわれますこれは統計量と呼ばれ主に分布の中心や拡がりなどを表わしますこの章ではよく利用される分布の統計量を特徴で分類して説明します数式表示を統一的に行なうためにデータの個数を個としそれらを,,, と表わすことにしますここで学ぶ統計量は統計分析の基礎となっており基本統計量とも呼ばれています 5. 分布の中心を表わす基本統計量分布の特徴を表わすにはまず分布の中心がどこにあるのかを示さなければなりませんこの分布の中心を表わす統計量には重要なものが 3 つあります. 平均値 me, verge) これは最もよく使われている中心を表わす統計量で特に統計を学んでいなくても知っていると思います平均値はデータから以下のような式で与えられます ) 度数重心図 5. 平均値この定義は図 5. のようにヒストグラムの重心を通り軸に下ろされた垂線の座標を表わしています Ecel にもこの統計量を求める以下の関数があります平均値 = verge 範囲 ). 中央値 med) これは中間値またはメジアンとも呼ばれデータを小さい方から大きい方に並べた真中の値です度数分布を用いると面積が度数を表わしますので図 5.b のように左右の面積の等しい位置が中央値となります例として以下のデータの中央値を求めてみましょう,, 3, 5, 7, 8, 9,, 3, 4, 5, 7, 8, 9 度数 S S 図 5.b 中央値 5-

2 最初のデータは奇数個ですから中央値は 5 です番目のデータは偶数個で中央値は / 番目と / 番目の値の平均を取りますこの場合 4 5) 4. 5 となります Ecel にも中央値を求める以下の関数があります中央値 = med 範囲 ) ひん 3. 最頻値 mode) 度数分布で最も頻度の高い値を最頻値またはモードといいます Ecel にも最頻値を求める関数があります最頻値 = mode 範囲 ) しかしこの関数を利用するときには注意が必要です例えば,, 4, 5, 6, 6 というデータで最頻値を求めてみますこのデータだと 6 がつ他はつですから最頻値は 6 ということになってしまいますデータ数が少ない場合やデータが多くても殆ど同じ値を持たないとき利用には注意が必要です度数分布表を作って最も頻度の高い値を最頻値とするのが無難なようです度数図 5.c 最頻値 5. 分布の拡がりを表わす基本統計量分布の中心と同様拡がりも分布の特徴を表わす大切な指標ですここでは分布の拡がりを与える統計量を見てみましょう. レンジ rge) 最も単純な分布の拡がりを表わす統計量はデータの最大値と最小値の差ですこれをレンジまたは範囲といいます R m X ) m X ) ここに X,,, } { これは単純な定義で分かり易いのですが飛び離れたデータがある場合にはレンジがそのデータによって拡がりすぎて必ずしも現実の拡がりを表わしていると言えなくなります Ecel では最大値として =m 範囲 ) 最小値として =m 範囲 ) という関数がありその差がレンジを表わしていますレンジ = m 範囲 ) m 範囲 ). 分散 vrce) レンジは飛び離れたつのデータに大きく左右されるのが欠点でしたこの欠点を除いて現在最もよく利用されている統計量はここで述べる分散または不偏分散 ) と分散から得られる標準偏差です分散は各データの平均からのずれの乗を合計してデータ数で割ったもので以下の式 5-

3 によって与えられます ) ) ) ) 我々は分散をという表式で表わします分散はデータのばらつきが平均からずれているほど大きな値となりますまたつのデータの寄与は ) ですので全体に対してレンジのように大きな影響はありませんまた分散は以下のようにも変形できます ) これはコンピュータでプログラムする際にデータを読みながら平均と分散が同時に計算できる便利な公式です Ecel では分散を求める以下のような関数が用意されています分散 = vrp 範囲 ) 名前は vrce から取られています 3. 不偏分散 ubed etmtor of vrce) 分散にはもうつの定義があり不偏分散と呼ばれています場合によってはこちらの定義の方がよく利用されているかも知れません Ecel で分散というとこの不偏分散を示しています我々は不偏分散を分散と区別して表わすためにu という記号を用います不偏分散の定義と通常の分散との関係は以下のように与えられます u ) 分散と不偏分散はどのように使い分けるのでしょうか通常母集団の分散は通常の分散を標本から母集団の分散を推測する場合は不偏分散を使います Ecel には不偏分散を表わす以下のような関数があります不偏分散 = vr 範囲 ) 4. 標準偏差 tdrd devto) 分散はデータと平均との差の乗を取ったせいでデータの単位の乗の単位を持っていますので例えばデータが cm なら分散は cm ) これから直接データの広がりを見ることはできませんそこでデータの単位に合わせるために分散の平方根を取って標準偏差と呼びますこれにより分布の拡がりという意味がはっきりとしますまた標準偏差には分散から求められるものと不偏分散から求められるものがあります我々はそれらを区別するためにそれぞれとu の記号を用いて表わします分散または u 不偏分散 Ecel にもこれらを表わす関数が以下のように与えられています名前は tdrd devto 5-3

4 5-4 から取られています標準偏差 = tdevp 範囲 ) または =tdev 範囲 ) Ecel では通常標準偏差というと不偏分散から得られるものを指しており後者がそれに当ります 5.3 分布の形を表わす基本統計量分布の中心と広がりは分かりましたが分布の形についてはこれらの統計量からは推測できませんそこである程度分布の形が分かるような統計量も考案されていますが頻繁に利用されているかというとそうでもないようです. わいど歪度 kewe) 分布のゆが歪みを表わす統計量には歪度と呼ばれるものがありますこれは以下のような定義で与えられます 3 3 この値は裾が右に伸びている場合に正左に伸びている場合に負になります Ecel の関数は以下の尖度ともに定義が少し異なっていますのでここでは省略します. せんど尖度 kurto) 次に分布のとが尖り方を示す統計量を紹介します尖度と呼ばれる値で以下の式によって表わされますこれはこれから学ぶ標準的な分布正規分布 ) より裾が伸びている場合に 0 以上の値になることが分かっています問題分散の以下のつの表式が同等であることを示せ ) ) )

5 問題 ) 以下のデータで分散を定義に従って求めよ ) Ecel の関数を使って以下のデータの平均値中央値レンジ分散不偏分散それぞれの標準偏差を求めよ身長 cm) 7, 8, 7, 66, 7, 75, 68, 74, 7, 70 ) No. - -) 平均 7 分散 5. まずデータを入力し平均を求めるそれをとしてを計算するさらに ) を求めそれを平均して分散の値を求める ) 平均値 7 分散 5. 中央値 7.5 標準偏差レンジ 5 不偏分散標準偏差変量の関係を表わす統計量 3.4 節でつの量的データの関係を表わす量として相関係数を紹介しましたがここではこの相関係数について少し詳しく説明したいと思います今以下のような対になったつの変数を考えます, ),, ),,, ) この変数の間の相関係数は以下のように与えられます r ), ) ここにとは変数との標準偏差で, ) ) はとの共分散と呼ばれる量ですさて相関係数はどのような値を取るのでしょうか図 5. を見て下さい 5-5

6 r=- -<r<0 r 0 0<r< r= 図 5. 相関係数と散布図これは変数を横軸にを縦軸にして各データを点で表示した散布図です相関係数はつの変数間に完全な b の線形関係があるときの正負に応じて r となるように作られていますそしてそれから外れるごとに 0 に近づいて行き軸のスケールを適当にとることによりデータが球状に分布するときほとんど 0 になります相関係数は上の定義から単位が分子と分母で打ち消されておりどんな単位を使っても例えば m か cm, kg か g 等 ) その値は変化しません問題 ) 以下の対になった身長と体重のデータで相関係数の定義に従ってその値を Ecel で計算せよ ) Ecel の関数を利用してこれらのデータの基本統計量及び相関係数を求めよ身長 cm) 体重 kg) ) No. - -)^ -b -b)^ -)-b) 平均まずとのデータを入力しそれぞれの平均を求めるそれらの平均を, b としてと b を求めるそれらの乗 ), b) とそれらの積 ) b) を求めてそれぞれ平均を計算するその値を使って相関係数を求める r 4.9/

7 ) 特によく利用されるものだけ結果を示す最頻値はこのようなデータでは意味を持たない平均値 7, 66 分散 5.0, 7.6 相関係数 0.77 中央値 7.5, 65.5 標準偏差 3.90, 5.5 レンジ 5, 6 不偏分散 6.89, 標準偏差 4., 5.54 興味ある人に [Skp OK] 相関係数は r の値を取ると言いましたがこれを証明してみましょうまず c を何らかの数として以下の式を考えます c ) ) c c 0 ここで c とするとこの式は以下のように変形できます 0 これから r となり r が示されます問題分布図のデータが完全に直線 b の上に並ぶとき相関係数 r の値はの正負により r となることを示せ b,, ) とする [ b) b)] ) より )[ b) b)] ) r となりの正負により r となる 5-7

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Microsoft Word - Stattext05.doc 5 章基本統計量 3.5 節で量的データの集計方法について簡単に触れ前章でデータの分布について学びましたがデータの特徴をつの数値で示すこともよく行なわれますこれは統計量と呼ばれ主に分布の中心や拡がりなどを表わしますこの章ではよく利用される分布の統計量を特徴