物理演習問題

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1 < 物理 > =0 問 ビルの高さを, ある速さ ( 初速 をとおく,において等加速度運動の公式より (- : -= t - t : -=- t - t (-, 式よりを消去すると t - t =- t - t ( + - ( + ( - =0 0 t t t t t t ( t + t - ( t - =0 t=t t=t t - 地面 ( t - t t +t 0 より, = 3 図 問 が最高点では速度が 0 になっているので, 最高点に達する時刻を t 0 とおくと, t -t 0= - t 0 t 0 = 3 式より, を消去すると = 0 t 0 問 3 最高点の 座標を H とおくと 0 - =(- H より, H= ( t - t これに 3 式より, を消去すると最高点の 座標は H= 8 問 式 ( 式でもよい, 3 式より, -= ( t - t t t t - t = - を消去すると地面の 座標は 問 5 が再び原点を通過するときの速さは であり, これは が 原点から投げ下ろされた速さに等しい したがって, が再び原点を通過してからのとの 座標の 関係は, が投げ下ろされてからのとの 座標の関係と 同じである また, が再び原点を通過する時刻は, が最高点に達する時刻の 倍 ( であるから, のグラフは, のグラフ ( t<0の t 0 破線部分も含む を t軸の正方向に t 0 だけ平行移動したものである 一方, のグラフより, に相当するは t軸の5 目盛り分の t 0 であることがわかる 以上のことから, グラフは図 ( のようになる t t t -t 0 0 t 0 破線は の運動を表すグラフを延長したものである 図 ( 3

2 問. 力学的エネルギー保存則より, m = m (cos-cos60 = (cos- 60 cos60 問. 円運動の運動方程式より m =-mcos を代入すると (cos- = m = m(3cos- +mcos 問 3. 点 は =0 の点であるから, 問 の結果に =0 を代入して = cos X ' D E X 図 = m mcos 問. D のを t とすると = t したがって, t= 問 5 は運動の方向に垂直に作用するから, がする仕事は 0 である したがって, によって速さは変化しないので, における速さは問 のに等しい ( 図 のように, 磁界の向きが紙面の裏から表の場合, は円の中心の向きになるから, XD= t= 60 cos60 cos 円運動の運動方程式より = + - cos m m を代入して, について解くと, = m(3cos-- (cos- (b 磁界の向きが紙面の表から裏の場合, は円の中心と反対の向きになるから, 円運動の運動方程式より m =--mcos m mcos 図 が働いても垂直抗力が減少し, 向心力は変化しないことがわかる = m(3cos-+ (cos- 問 6 点 での小球の速さは問 3 で求めたに等しいから = = 問 7 図 3 のように で水平投射されたとき, 小球にはたらくが鉛直下向きの成分をもてば D より手前の E に落ちる フレミング左手の法則より, 磁場の向きは紙面の表から裏の向きである 答え ( D E 図 3 問 8 図 のように, 磁場の向きが紙面の裏から表であれば, と重力がつり合い直進するので = = m m m 図

3 ( 求めるばねの縮みをとすると, 力学的エネルギー保存則より ( = 0 = 運エネ : ( M+ m バネ ( が板 ( バネ と接触している間のとの運動方程式は ( M+ m =- =- したがって, がばねと接触している間は, =0 を中心として, 角振動数 ω= の単振動をする 自然長の位置にもどると離れ, 等速直線運動になる は に固定 弾性エネ : 0 補足 単振動のグラフは三角関数であるが, 最大値, 最小値,0 になるポイントを探してグラフを描けばよい 式にするときは, このグラフを元に立式する =sin(ω t+φ, = = ωcos(ω t +φ, =- ω sin(ω t+φ などを用いる必要はない t - t<0, < t では等速運動だから, 一次関数 となる 傾きは速度 であるが, 正確には書きにくいのでなめらかにつなげて描けばよい t<0, < t では等速運動だから 速度一定となる 単振動しているとき, =-ω の 関係があるので, のグラフを反転せたグラフになる (3 慣性力は,の加速度と反対向きにはたらき,- m である 慣性力 m m したがって, 慣性力は =-m= となる との加速度の大きさが最大になるのは, バネの縮みの最大値 = のときだから, にはたらく慣性力の大きさの最大値は = m m 0 = = m ( ポイント 滑り始めるとき, 最大静止摩擦力がはたらいている ばねの縮みが になったときのと の加速度を ' とすると, 運動方程式は ( M+ m ' =- ' =- このとき, にはたらく静止摩擦力が最大摩擦力になっているから, と の間の静止摩擦力を μ とすると, 上から見た にはたらく力のつり合いより, m ' =μ m μ= ( 最大静止摩擦力 μm ' 慣性力 m ' 5

4 中心軸問 重力と遠心力の合力 ( みかけの重力 と面から受ける抗力が mr つり合うから tn= ω Rω = m 小物体 別解 水平, 鉛直方向のつり合いより, mrω =sin, m=cos sin mrω ω を消去すると, tn= = = cos m R 図 問 図 - のように, 見かけの重力加速度をとすると, 三平方の定理より, ' = ( +( ω = +( ω m' m mr ' R ω 問 3 の式で と置き換えればよいから 0 ' =π ' 回転台 R = 0 = ' 0 +( Rω 図 問 問 3 の結果を近似する = 0 +( Rω R = + ω 0 = (+tn tn 0 遠心力 mrω 0.5 題意より が より 0.5% 小さいから, = - となる 図 - m この式にを代入すると, tn =0.005 tn= 0 見かけの重力 m' したがって, 遠心力の大きさは mrω =mtn= m 0 ω 問 5 遠心力 mrω を見かけの重力と考える このときの見かけの重力加速度を '' とすると, m'' = mrω '' =Rω 回転台 φ ( 力学的エネルギー保存則より, m = m'' = = ω '' R 図 3 (b 初速度が = のとき, はじめて円運動になったことから, φ=πで内面からの抗力が 0 になる この位置での小物体の速さを 3 とおくと 力学的エネルギー保存則より, m = + m 3 m'' '' m'' φ 円運動の運動方程式より, 3 m = m'' 式より 3 を消去すると = 5''= ω 5R 3 図 3-6

5 ( コンデンサーに蓄える電荷は微小電荷 Δ を運ぶのに導体 必要な仕事量は ΔW =Δ = [] ( 微小電荷 Δ を導体 から導体 まで [] Δ Δ 運ぶのに必要な仕事は 導体 ΔW = Δ= [J] Δ 図 - 図 (3 図 -のように, -グラフの面積が仕事に相当するから仕事の総和は三角形の面積になる したがって, Q Q W= Q= Q = [J] 補足 電荷を運ぶのに要した仕事が, コンデンサーに静電エネルギーとして蓄えられる S ( 極板間隔が Δ だけ減少したので, 電気容量は =ε 0, S +Δ =ε 0 と表される - Δ したがって, コンデンサーの静電エネルギーの変化は Q Q Q -Δ Q Δ ΔW= - = - = - ( + Δ ε ε ε 電圧 Q = ( + Δ/ / Δ 移動 Δは微小だから電圧 は変化しない 0 Δ Q 図 - 外力 f 面積が仕事 ΔW Δ Q 電荷 Q 電界による力 がする仕事 Δ により, 静電エネルギーは 電荷は Q で保存される 失われるので Δ=- ΔW となる よって, 極板間引力は 極板間引力 は仕事とエネルギー の関係を用いて求める ΔW Q =- = [] Δ ε 補足 極板間引力は = QE となることは覚えておいた方がよい ガウスの法則で証明できる Q Q = QE= Q = = ε Δ 移動 外力 f Q' Q' (5 仕事とエネルギーの関係より, 静電エネルギーの変化 ΔW は電源から供給されるエネルギー ΔW e から電界による力した仕事 Δ を引けばよいから ΔW=ΔW e - Δ Δ=ΔW e - ΔW [J] (6 静電エネルギーの変化は ΔW= ( + Δ - = Δ [J] 電源が接続されているので, 電圧はで一定 (7 ポイント 電源の負極から正極に向けて移動した電荷を ΔQ とおくと, 電源がした仕事 ( 電源から供給されるエネルギー は ΔW e = ΔQ である ΔQ はコンデンサーの電荷の変化量に等しいから ΔQ=( + Δ -= Δ ΔW e = ΔQ = Δ ΔW に等しい (8 電気容量の変化は ε ε ε Δ= - = -Δ - ε Δ + - = ε Δ - Δ/ 7