三者ミーティング

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1 Corral Puzzle の 整数計画法による解法と評価 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 2016 年 月 7 日 ( 月 ) 大阪電気通信大学 弘中健太鈴木裕章上嶋章宏

2 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 2 発表の流れ 研究の背景 整数計画法と先行研究 2 Corral Puzzle ルールと定義 定式化 2 種類の閉路性の定式化 評価 計測結果と考察 まとめと今後の課題

3 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 研究背景 : 整数計画法 問題 A 符号化 数理モデル 入力 ソルバ A の解 数理モデルの解 出力 変換

4 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 研究背景 : 整数計画法 Corral puzzle 符号化 整数計画問題 入力 整数計画ソルバ Corral Puzzle の解 変換 整数計画問題の解 出力

5 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 5 研究背景 : 整数計画法 整数計画法 スケジューリング問題 巡回セールスマン問題 ペンシルパズル シャカシャカ [ 岡本, 201] etc Slitherlink [ 石濱, 久野,201]

6 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 6 研究背景 : 計算複雑さ Corral Puzzle の NP 完全性 問題の効率的な解法がない [E. Friedman,2002] Corral Puzzle の ASP 完全性 [ 上野,2015] 想定解以外の解の発見が困難

7 m = //7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 7 ルール 盤面サイズは m n 1 点線に線を引き 1 つの単純閉路を作る 2 数字マスは閉路まで数字分マスが並ぶ 数字マスはループ線の内側に入る 問題 n = 7 線は交差, 枝分かれしない 答え

8 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 8 1 点線に線を引き 1 つの単純閉路を作る 2 数字マスは閉路まで数字分マスが並ぶ 大域的 数字マスはループ線の内側に入る 線は交差, 枝分かれしない 局所的

9 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 9 定式化の方策 各マスが閉路の内側か外側かを 2 種類の変数で表現 内側と外側のマスの境界線を閉路とする 内側のマスを白マス :b(i, j) 外側のマスを黒マス :w(i, j) 入力盤面に対し,1 周り分マスを用意する 外枠と呼び, 黒マスである 6

10 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 10 定式化 閉路性を保証する制約を有する Slitherlink パズルの解法 [ 石濱, 久野,201] 外部的に制約を加える 矢印と数値を与える ある閉路の生成を禁止

11 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 11 定式化 閉路性を保証する制約を有する Slitherlink パズルの解法 [ 石濱, 久野,201] 外部的に制約を加える 矢印と数値を与える ある閉路の生成を禁止 一番小さい閉路がなくなる制約を追加

12 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 12 定式化 集約法 切除平面法 一番小さい閉路がなくなる制約を追加

13 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 1 集約法 : 白マス ver 特別なマスを 1 つ選ぶ 特別なマスは矢印を持たず小さい値を固定して与える

14 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 1 集約法 : 白マス ver 特別なマスを 1 つ選ぶ 特別なマスは矢印を持たず小さい値を固定して与える

15 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 15 集約法 : 白マス ver 特別なマスを基準に矢印と数値を与える 隣接するマスで向かい合う矢印を置いてはいけない矢印の向いてる先に自分と違う色のマスがあってはいけない矢印の向いてる先の隣接するマスの数値が小さい

16 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 16 集約法 : 白マス ver 特別なマスを基準に矢印と数値を与える 隣接するマスで向かい合う矢印を置いてはいけない矢印の向いてる先に自分と違う色のマスがあってはいけない矢印の向いてる先の隣接するマスの数値が小さい

17 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 17 集約法 : 白マス ver 特別なマスを基準に矢印と数値を与える 隣接するマスで向かい合う矢印を置いてはいけない矢印の向いてる先に自分と違う色のマスがあってはいけない矢印の向いてる先の隣接するマスの数値が小さい

18 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 18 集約法 : 白マス ver 特別なマスを基準に矢印と数値を与える 隣接するマスで向かい合う矢印を置いてはいけない矢印の向いてる先に自分と違う色のマスがあってはいけない矢印の向いてる先の隣接するマスの数値が小さい

19 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 19 集約法 : 白マス ver 特別なマスを基準に矢印と数値を与える 隣接するマスで向かい合う矢印を置いてはいけない矢印の向いてる先に自分と違う色のマスがあってはいけない矢印の向いてる先の隣接するマスの数値が小さい

20 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 20 集約法 : 白マス ver 特別なマスを基準に矢印と数値を与える 隣接するマスで向かい合う矢印を置いてはいけない矢印の向いてる先に自分と違う色のマスがあってはいけない矢印の向いてる先の隣接するマスの数値が小さい

21 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 21 集約法 : 白マス ver 特別なマスを基準に矢印と数値を与える 隣接するマスで向かい合う矢印を置いてはいけない矢印の向いてる先に自分と違う色のマスがあってはいけない矢印の向いてる先の隣接するマスの数値が小さい

22 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 22 集約法 : 白マス ver 特別なマスを基準に矢印と数値を与える 隣接するマスで向かい合う矢印を置いてはいけない矢印の向いてる先に自分と違う色のマスがあってはいけない矢印の向いてる先の隣接するマスの数値が小さい

23 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 2 集約法 : 白マス ver 特別なマスを基準に矢印と数値を与える 隣接するマスで向かい合う矢印を置いてはいけない矢印の向いてる先に自分と違う色のマスがあってはいけない矢印の向いてる先の隣接するマスの数値が小さい

24 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 2 集約法 : 白マス ver 特別なマスを基準に矢印と数値を与える 隣接するマスで向かい合う矢印を置いてはいけない矢印の向いてる先に自分と違う色のマスがあってはいけない矢印の向いてる先の隣接するマスの数値が小さい

25 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 25 集約法 : 白マス ver 特別なマスを基準に矢印と数値を与える 隣接するマスで向かい合う矢印を置いてはいけない矢印の向いてる先に自分と違う色のマスがあってはいけない矢印の向いてる先の隣接するマスの数値が小さい

26 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 26 切除平面法 ルール 2~ を満たす制約 領域の数を調べる 複数の閉路を許す解 1 点線に線を引き1つの単純閉路を作る 2 数字マスは閉路まで数字分マスが並ぶ 数字マスはループ線の内側に入る 線は交差, 枝分かれしない

27 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 27 切除平面法 領域の数を調べる 2 つ 単純閉路になっている Corral Puzzle の解となっている

28 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 28 切除平面法 領域の数を調べる 2 つ つ以上 複数閉路が存在する制約を加えてもう一度解く

29 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 29 切除平面法 複数の閉路から最小の閉路領域を調べる 一番小さい閉路領域の閉路を構成する内側の輪と外側の輪を用いて閉路の生成を禁止する制約を加える

30 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 0 切除平面法 複数の閉路から最小の閉路領域を調べる 一番小さい閉路領域の閉路を構成する内側の輪と外側の輪を用いて閉路の生成を禁止する制約を加える

31 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 1 切除平面法 白白白白黒黒黒白白黒黒白白黒黒黒白白白白 複数の閉路から最小の閉路領域を調べる 一番小さい閉路領域の閉路を構成する内側の輪と外側の輪を用いて閉路の生成を禁止する制約を加える b(i, j) (i,j) L in + w(i, j) (i,j) L out L in + L out 1

32 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 2 切除平面法 白白白白黒黒黒白白黒黒白白黒黒黒白白白白 複数の閉路から最小の閉路領域を調べる 一番小さい閉路領域の閉路を構成する内側の輪と外側の輪を用いて閉路の生成を禁止する制約を加える 実行可能解が変わり別解が導かれる b(i, j) (i,j) L in + w(i, j) (i,j) L out L in + L out 1

33 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 切除平面法 白白白白黒黒黒白白黒黒白白黒黒黒白白白白 複数の閉路から最小の閉路領域を調べる 一番小さい閉路領域の閉路を構成する内側の輪と外側の輪を用いて閉路の生成を禁止する制約を加える 実行可能解が変わり別解が導かれる b(i, j) (i,j) L in + w(i, j) (i,j) L out L in + L out 1

34 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 実験的評価 (1) 通常, 人手で解かれる規模の問題例を効率的に解けるか? 集約法 vs. 切除平面法 目的関数の設定による計算効率の違いは? 評価方法 ニコリパズルの逆襲 (10 10 盤面, 難易度別 5 題ずつ ) を対象 5 題, 5 題, 5 5 題の計 15 問 1 時間を上限に計測し, 回平均で評価 実験環境 CPU: Intel Core i5-250m CPU@ 2.60 GHz 2.60 GHz メモリ :.00 GB OS: Microsoft Windows 7 Professional Edition Solver: GLPK version. (CPLEX LP 形式で記述 )

35 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 5 実験的評価 (2): 目的関数の設定 影響を与えない式 maximize: b 0,0 必ず1となる変数の最大化 白マスの総数の最大化 maximize: w(i, j) 解として白マスを最も多くする 白マスの総数の最小化 minimize: w(i, j) 解として白マスを最も少なくする

36 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 6 実験的評価 (2): 目的関数の設定 影響を与えない式 maximize: b 0,0 必ず1となる変数の最大化 白マスの総数の最大化 maximize: w(i, j) 解として白マスを最も多くする 白マスの総数の最小化 minimize: w(i, j) 解として白マスを最も少なくする

37 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 7 実験的評価 (2): 目的関数の設定 影響を与えない式 maximize: b 0,0 必ず1となる変数の最大化 白マスの総数の最大化 maximize: w(i, j) 解として白マスを最も多くする 白マスの総数の最小化 minimize: w(i, j) 解として白マスを最も少なくする

38 問題番号 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 数字マス数 ( 最大 最小 ) 集約法 寄与なし切除平面法 8 制約数変数時間 (s) 制約数変数時間 (s) 反復数 _1 1 ( 2),811 1, _2 1 (19 2) 5,00 1, _ 16 (19 2) 5,006 1, _ 11 (19 2),882 1, _5 12 (19 2),80 1, _1 1 (5 2),780 1, _2 16 (6 2),905 1, _ 1 (19 ),965 1, _ 12 (12 2),879 1, _5 1 (19 2),920 1, _1 17 (5 2),918 1, _2 15 (9 2),8 1, _ 19 ( ) 5,006 1, _ 15 (10 2),867 1, _5 18 (11 2),959 1,

39 問題番号 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 数字マス数 ( 最大 最小 ) 集約法 最大化切除平面法 9 制約数変数時間 (s) 制約数変数時間 (s) 反復数 _1 1 ( 2),811 1, _2 1 (19 2) 5,00 1, , _ 16 (19 2) 5,006 1, , _ 11 (19 2),882 1, , _5 12 (19 2),80 1, _1 1 (5 2),780 1, _2 16 (6 2),905 1,776-1, _ 1 (19 ),965 1, , _ 12 (12 2),879 1,772-1, _5 1 (19 2),920 1, , _1 17 (5 2),918 1, , _2 15 (9 2),8 1, _ 19 ( ) 5,006 1,815-1, _ 15 (10 2),867 1, , _5 18 (11 2),959 1, ,

40 問題番号 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 数字マス数 ( 最大 最小 ) 集約法 最小化切除平面法 0 制約数変数時間 (s) 制約数変数時間 (s) 反復数 _1 1 ( 2),811 1, _2 1 (19 2) 5,00 1, _ 16 (19 2) 5,006 1, _ 11 (19 2),882 1, _5 12 (19 2),80 1, _1 1 (5 2),780 1, _2 16 (6 2),905 1, _ 1 (19 ),965 1, _ 12 (12 2),879 1, _5 1 (19 2),920 1, _1 17 (5 2),918 1, _2 15 (9 2),8 1, _ 19 ( ) 5,006 1, _ 15 (10 2),867 1, _5 18 (11 2),959 1,

41 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 1 評価 考察 (1): 寄与なし 集約法 解けた問題数 : 問 解ける問題も少なく, 解けた場合でも時間がかかる 切除平面法 解けた問題数 :15 問 全問解くことができたが, 計算に時間のかかるものがあった 考察 問題数 : 集約法 切除平面法 計算時間 : 集約法 切除平面法

42 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 2 評価 考察 (2): 白マス数の最大化 集約法 解けた問題数 :9 問 種類の目的関数では解ける問題数が1 番多い 切除平面法 解けた問題数 :1 問 1 問解けなかったが, 寄与しない場合に比べて全体的に計算時間が速く繰り返し回数も少ない 考察 問題数 : 〇 集約法 〇 切除平面法 計算時間 : 集約法 〇 切除平面法

43 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 評価 考察 (): 白マス数の最小化 集約法 解けた問題数 :5 問 他の目的関数と比べた時, 解けたものならば計算時間が一番短い 切除平面法 解けた問題数 :1 問 繰り返し回数が多く, 計算に時間のかかる問題例があった 考察 問題数 : 集約法 〇 切除平面法 計算時間 : 〇 集約法 切除平面法

44 2016//7 第 11 回組合せゲーム パズル研究集会 まとめと今後の課題 まとめ 集約法 vs. 切除平面法 LOSE WIN 目的関数による計算効率 集約法 : 総和の最大化 切除平面法 : 寄与しない 今後の課題 大きい盤面サイズでの検証 集約法の洗練 より良い目的関数の提案 問集約法 切除平面法〇 問集約法 切除平面法〇 問集約法 切除平面法

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