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1 統計の分析と利用 00/9/4 統計の分析と利用. データとその扱い 堀田敬介 -.. 一次元のデータ度数分布 ヒストグラム 幹葉プロット 箱ひげ図代表値と散らばりデータの尺度 -.. 二次元のデータ散布図 クロス集計二次元データの関係 : 相関係数 相関比 連関係数 00/9/4, Fri.~ -. 一次元のデータ 度数分布 ヒストグラム 幹葉プロット 箱ひげ図 (,,, ) 個 L,, 3, 4, 5, ( 6)

2 統計の分析と利用 00/9/4 度数分布 データ [ 土日の来店客数の 年間のデータ ] 週末はどのぐらいお客さんが来てくれたの? , L ( 04 データが多すぎて全体の傾向全体の傾向がよくわからない! ( ) ), 04 度数分布 度数分布表 [ 土日の来店客数の 年間のデータ ] 階級 (class) 階級数 :0 階級幅 :30 階級値各階級の上限 下限値の中間値 例 例 来店客数 日数 計 04 全体の傾向がよくわかる! 度数 (frequecy) なるほど, 週末の来店客数はだいたいこのぐらいのことが多いんだ

3 統計の分析と利用 00/9/4 度数分布 度数分布表 [ 土日の来店客数の 年間のデータ ] 来店客数 日数 計 04 階級数 :0 階級幅 :30 来店客数 日数 計 04 階級数 :6 階級幅 :50 階級数 ( 階級幅 ) をどうするかが問題 度数分布にすると全体の傾向がわかりやすくなるが, 生データと比べて情報量が少なくなるため, このようなことがおこる. 来店客数 日数 来店客数 日数 計 04 階級数 :8 階級幅 :0 度数分布 スタージェスの公式 [ 階級数の目安 ] k + log (k: 階級数,: データ数 ) 先の例では k + log より, 階級数は 8 程度がお勧めだよ Ecel では LOG( 04, ) 3

4 統計の分析と利用 00/9/4 度数分布 階級数 8( 階級幅 38) で書くと 来店客数 日数 相対度数 計 なるほど, 週末の来店客数の全体傾向はだいたいわかったぞ でも, 度数の多い階級は全体からみてどのぐらいの割合なの? 相対度数 (relative frequecy) 度数分布 度数分布表 [ 相対度数 ] B さんのお店と比べて, うちのお客さんの来店傾向はどうなのか比較したいな 来店客数 日数 相対度数 来店客数 日数 相対度数 計 計 00 データ数が異なる つのグループの比較ができる

5 統計の分析と利用 00/9/4 度数分布 累積度数分布表 [ 累積度数, 累積相対度数 ] 来店客数 日数 相対度数累積度数累積相対度数 計 累積度数 (cumulative frequecy) 累積相対度数 (cumulative relative frequecy) 演習 -: 度数分布 以下のデータの度数分布を作れ

6 統計の分析と利用 00/9/4 ヒストグラム ヒストグラム (histogram) 柱状グラフ 30 ヒストグラム ( 級間隔 30) 5 日 0 日数 5 0 数 来店客数 ヒストグラム ヒストグラム (histogram) 柱状グラフ ヒストグラム ( 級間隔 50) 日 数 日数ヒストグラム ( 級間隔 0) 0 日 来店客数 4 数 日数 来店客数

7 統計の分析と利用 00/9/4 度数分布 階級数 8 で書くと 来店客数 日数 計 ヒストグラム ( 級間隔 37 階級数 8) 日数 ヒストグラム ヒストグラムの形状 左に歪んだ分布 単峰型 (uimodal) 右に歪んだ分布 峰が中央から右に寄っていて, 左側に長く裾を引く分布 双峰型 (bimodal) 峰が つ以上ある分布 峰が中央から左に寄っていて, 右側に長く裾を引く分布 層別 ( 適当にグループ分けすること ) を行うと単峰型分布が出現することが多い 7

8 統計の分析と利用 00/9/4 その他の手法 幹葉プロット, ステムプロット (stem-ad-leaf diagram[plot]) 野球選手の打率一覧 A チーム B チーム 幹葉プロットがヒストグラムより優れているのはどんなところ? 幹葉 その他の手法 箱ひげ図, 箱型図 (bo plot) 野球選手の打率一覧 A チーム B チーム ひげ 箱 A チーム ma.0.39 Q med.0.88 Q 0.65 mi. 0.7 全体の 50% B チーム 0.48 ma Q med Q 0.4 mi 注 : ひげの上端 下端は, 必ずma,miを使うわけではない. r:q3-q としたとき, 上端は区間 (q3, q3+.5r] 内の最大値, 下端は区間 [q-.5r, q) 内の最小値を用いる, など. 8

9 統計の分析と利用 00/9/4 演習 -: 幹葉プロット, 箱ひげ図 男女 0 人の身長のデータがある. 男女それぞれのデータについて,0の位までを幹,の位を葉として 幹葉プロットを描け. 男女それぞれのデータについて, 箱ひげ図を描け. 男 女 一次元のデータ データの代表値 算術平均 中央値 最頻値 データの代表値 ( その他 ) 四分位点 ミッド レンジ 幾何平均, 調和平均 対数平均,idetric 平均 (,,, ) 個 L,, 3, 4, 5, ( 6) 9

10 統計の分析と利用 00/9/4 データの代表値を考える 例 :6 個のデータ データ このデータを代表する値代表する値って何だろう? 代表値 AVERAGES 算術平均 ( 相加平均 ) arithmetic mea データ ( L+ 0)

11 統計の分析と利用 00/9/4 代表値 AVERAGES 中央値 media データをソートして, ちょうど真ん中にある値 補足 : ソート sort とは? データを値の小さい ( 大きい ) 順に並べ替えること データ ソート後 med 最頻値 mode データの中で最も頻繁に出てくる値 mode 7 7 補足 : データ数が偶数の場合は, 中央値は真ん中 つの算術平均 補足 : 最も頻繁に出てくる値がない場合は最頻値はなし 代表値 AVERAGES 中央値や最頻値は何故必要なのか? 例 : 年収 ( 単位 : 万円 ) の代表値は? 算術平均 30 万円 中央値 ( ) / 750 万円 最頻値 700 万円,800 万円 ここが平均? ここが平均

12 統計の分析と利用 00/9/4 代表値 AVERAGES 算術平均, 中央値, 最頻値の関係 左に歪んだ分布 単峰型 右に歪んだ分布 平均 最頻値中央値 平均中央値最頻値 最頻値中央値 平均 代表値 AVERAGES 幾何平均 geometric mea 補足 : 対数を利用すると計算が楽になる log G log L log + L+ log データ G L どんなときに幾何平均が役に立つ? 例題 : 次の表から平均経済成長率を求めよ 年度 経済成長率 % % 3% 4% 5% 答えは 3 3% じゃないよ 5 5 答えは G % だよ % % 3% 4% 5% 年の経済規模を とすると, 009 年の経済規模はその 倍となるこれが.00 (+r) 5 に等しい r が平均

13 統計の分析と利用 00/9/4 代表値 AVERAGES 調和平均 harmoic mea データ H L どんなときに調和平均が役に立つ? 例題 : 行き時速 5 km, 帰り時速 5 kmで走った車の平均速度を求めよ 答えは 答えは 5 km /h 5km /h km/h じゃないよ H km/h だよ COFFEE BREAK 和積の記号 和を表す記号 :Σ( しぐま ) i + L+ i i を i を から まで動かして足す 積を表す記号 :Π( ぱい ) i i L i を i を から まで動かして掛ける 使用例 ) 4 i 5 k 4 j yi i 6 t i 3 + k j ( y ( + y 4 + L+ y ) t

14 統計の分析と利用 00/9/4 COFFEE BREAK 記号を用いた平均の定義 算術平均 幾何平均 調和平均 L + + i i G i L i H i i + L+ 幾何平均 個の積の 乗根 調和平均 逆数の算術平均の逆数 代表値 AVERAGES Q Q Q 3 四分位点 quartile データをソートし,4 等分したときの 3 つの分割点の値 Q : 第 四分位点,QQ 3 : 第 3 四分位点 注意 : 四分位数の定義は複数ある k : 0.5 (-), k 3 : 0.75 (-) とし, Q k + + ( k k ) ( + + ) k k Q3 + k + ( k3 k3 ) ( + + ) 3 k 3 k3 Q など 0.5, Q med 補足 :QQ : 第 四分位点は中央値 med である データ ソート後 quartile: 四分位数 quatile: 分位数 MS Ecel の関数 QUARTILE() では,Q 5.75, Q Mathematica の関数 quatile[] では,Q 5, Q 3 9 R の関数 quatile() では,Q 5.75, Q

15 統計の分析と利用 00/9/4 代表値 AVERAGES ミッド レンジ mid-rage データの最大値と最小値の算術平均 MR {, L, } + mi{, L, } ma データ ソート後 MR ma(0,7, L,0) + mi(0,7, L,0) 演習 -3: 代表値 統計データを使って代表値を計算する 総務省統計局 ( から世帯収入, 世帯貯蓄などのデータを取得し, グラフ化せよ. グラフの形状はどのようになるか? このデータの 算術平均 中央値 最頻値 を計算し, 分布の代表値として最も適切だと思われるのはどれか考察せよ. 第 四分位数 第 3 四分位数 ミッドレンジ を求めよ. 簡単なデータを使って代表値を計算する 以下の 0 個のデータがある 算術平均 中央値 最頻値 を求めよ. 第 四分位数 第 3 四分位数 ミッドレンジ を求めよ. 5

16 統計の分析と利用 00/9/4 -. 一次元のデータ データの散らばり範囲四分位偏差平均偏差分散, 標準偏差 (,,, ) 個 L,, 3, 4, 5, ( 6) データの値らばりを考える 例 :6 個のデータ データ このデータの散らばり具合散らばり具合はどのように測るの? 散らばりの度合いを一つの数値で示し, 利用したい 6

17 統計の分析と利用 00/9/4 散らばり DISPERSION 偏差 deviatio データと平均の差 0.38 : : : 偏差の和は必ず0になる ( 偏差の和を散らばりの指標としては使えない ) データ 平均 偏差 偏差の和 算術平均 偏差 (- 側 ) 偏差 (+ 側 ) 散らばり DISPERSION 分散 variace 偏差の 乗和を平均化した値 S (0 9.63) + (7 9.63) + L + (0 6 平均値からの平均的な差 9.63) データ 平均 偏差 偏差の和 ( 偏差 ) 分散 算術平均 それぞれの偏差を 乗し, 平均する 偏差 偏差

18 統計の分析と利用 00/9/4 散らばり DISPERSION 標準偏差 stadard deviatio 分散の平方根 S (0 9.63) + (7 9.63) 6 + L+ (0 9.63) データ 平均 偏差 偏差の和 ( 偏差 ) 分散 0.6 標準偏差 分散の平方根 散らばり DISPERSION 平均偏差 mea deviatio 偏差の絶対値の合計を平均化した値 平均値からの平均的な差 データ 平均 偏差 偏差の和 ( 偏差 ) 分散 0.6 標準偏差 偏差 平均偏差 算術平均 それぞれの偏差の絶対値をとり, 平均する 偏差 偏差

19 統計の分析と利用 00/9/4 散らばり DISPERSION 範囲 rage 最大値と最小値の差 {, L, } mi{, } R ma, L データ ソート後 R ma(, L, 6) mi(, L, 6) 散らばり DISPERSION 四分位偏差 quartile deviatio 第 3 四分位点 Q 3 と第 四分位点 Q の差の半分 Q 3 Q Q データ ソート後 Q Q Q

20 統計の分析と利用 00/9/4 演習 -4: 散らばり 以下のデータについて散らばりを計算したい このデータの 偏差 をだし, 合計が 0 になることを確かめよ. このデータの 分散 を計算せよ. このデータの 標準偏差 を計算せよ. このデータの 平均偏差 を計算せよ. このデータの 範囲 を計算せよ. 例 ) data[, 5, 7, 9, 3 ] 範囲 :9 8 このデータの 四分位偏差 を計算せよ. COFFEE BREAK 記号を用いた散らばりの定義 分散 S 標準偏差 S ( ) + L + ( ) ) 平均偏差 d ( ) + L+ ( ) + L + 0

21 統計の分析と利用 00/9/4 -. 一次元のデータ データの変換標準化 ( 正規化 ) Cf. 偏差値 (,,, ) 個 L,, 3, 4, 5, ( 6) データの一次変換 標準化 stadardizatio どんな 次元データも標準化しちゃえば同じ土俵で比較できるね! 各データについて, 平均を引き標準偏差で割る z i i S ( i, L, ) 標準得点 stadard score,z 得点 S 変換後のデータは平均 0, 標準偏差 となる. 平均を引く ということは, i 全体の位置を移動し, 真ん中 ( 平均 ) を0にすること. i 標準偏差で割る ということは, 全体を左右から圧縮して, S 標準偏差をにすること.

22 統計の分析と利用 00/9/4 データの一次変換 偏差値 変換後のデータは 平均 50, 標準偏差 0 となる. 標準得点に以下の一次変換を施す Ti 0zi + 50 ( i, L, ) 偏差値得点,T 得点 80 i S.65 元の点数 z 値 z i i i S 標準化 z i i 0 S 偏差値 T i z i + 50 i S データの一次変換 例 :0 人の中間 期末試験の得点,z 得点と偏差値 中間試験 平均 88, 標準偏差 9.8 得点 z 得点 偏差値 , 平均 33, 標準偏差 6 期末試験得点 z 得点 偏差値

23 統計の分析と利用 00/9/4 演習 -5: データの標準化 偏差値を計算しよう 以下のデータはある試験の5 人の学生の結果である. 英語の結果について, 各学生の得点を標準化し,z 得点を出せ. 英語のz 得点をもとに, 各学生の偏差値を計算せよ. 数学 国語についても同様に計算せよ. A B C D E 英語 国語 数学 一次元のデータ データの尺度 (,,, ) 個 L,, 3, 4, 5, ( 6) 3

24 統計の分析と利用 00/9/4 データの測定尺度による分類 測定 (measuremet) と尺度 (scale) 名義 ( 名目 ) 尺度 omial scale 測定が厳密 属性を表す基準 ( 対象に区別がつけられる ) 例 : 性別 ( 男, 女, それ以外 ), パソコン保有 ( 保有, 非保有 ) 順序尺度 ordial scale 対象間に順序がつけられる基準 質的 ( カテゴリ ) データ 例 : 成績 (A>B>C>D), 居住性 ( 住みやすい > まあまあ > すみにくい ) 間隔尺度 iterval scale 間隔のみが意味を持つ基準 例 : 温度 ( 摂氏, 華氏 F), 時刻 ( 午後 3 時から 時間後 ) 比率尺度 ratio scale 比が意味を持つ基準 質的 ( カテゴリ ) データ 量的 ( 数値 ) データ 量的 ( 数値 ) データ 例 : 身長 ( 父は子の.5 倍の背 ), 体重 (5kg 重い ), 絶対温度 ( K, 絶対零度 ) データの測定尺度による集計例 質的データと量的データの集計例 データ例 集計例 質的データ 性別 ( 男, 女 ) 成績 (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) B C ( 男, 女 ) (A,B,C,D) A B C D 計 男 女 0 5 計 4 3 頻度 量的データ 女性身長 身長 次の級データ区間 4

25 統計の分析と利用 00/9/4 演習 -6: データの尺度 身の回りにあるデータは,4 つの尺度のどれに相当するか考えてみよう. 5

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