テレビ講座追加資料1105

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ぎんといせき
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1 数学類題にチャレンジ資料の活用資料の活用語句のまとめ階級資料を整理したときのつつの区間のこと階級の幅区間の幅のこと各階級の最大値と最小値の差度数各階級にはいる資料の個数 ( 人数 ) のこと度数分布表資料をいくつかの階級に分け階級ごとに度数を示して分布の様子をわかりやすくした表のこと階級値度数分布表で各階級の真ん中の値のことヒストグラム度数分布多角形 ( 度数折れ線 ) 階級の幅を横度数を縦とする長方形を並べたグラフのことヒストグラムのそれぞれの長方形の上辺の中点どうしを線分で結んだグラフのこと左右の両端は度数が 0 の階級があるものとして線分で結ぶヒストグラム ( 人 ) 度数分布表年組通学時間時間 ( 分 ) 度数 ( 人 ) 以上未満 ~ ~ 0 ~ 8 ~ 計度数分布多角形 0 ( 分 )

2 各階級の度数の全体に対する割合のこと相対度数相対度数 = 階級の度数度数の合計代表値資料の値全体をつの値で代表させこれを基準にしてものごとを考えたり判断したりすることがあるこのようなとき資料の値全体を代表する値のこと平均値平均値 = 資料の個々の値の合計資料の個数中央値 ( メジアン ) 最頻値 ( モード ) 範囲 ( レンジ ) 真の値資料の値を大きさの順に並べたときその中央の値のこと資料の中でもっとも多く現れる値のこと資料の最大の値と最小の値の差のことそのものの本当の値のこと近似値測定して得られた値などのように真の値に近い値のこと誤差近似値から真の値をひいた差のこと誤差 = 近似値 - 真の値有効数字近似値を表す数で意味のある数字のことどこまでが有効数字であるかはっきりさせたいとき ( 整数部分がけたの数 ) (0 の累乗 ) の形で表すことがある例 : 測定値 0g の有効数字が,, のとき次のように表す. 0 g

3 数学類題にチャレンジ資料の活用問題編類題下の表の空欄を埋めましょう資料を整理したときのつつの区間のこと区間の幅のこと各階級の最大値と最小値の差各階級にはいる資料の個数 ( 人数 ) のこと資料をいくつかの階級に分け階級ごとに度数を示して分布の様子をわかりやすくした表のこと度数分布表で各階級の真ん中の値のこと階級の幅を横度数を縦とする長方形を並べたグラフのことヒストグラムのそれぞれの長方形の上辺の中点どうしを線分で結んだグラフのこと左右の両端は度数が 0 の階級があるものとして線分で結ぶ各階級の度数の全体に対する割合のこと資料の値全体をつの値で代表させこれを基準にしてものごとを考えたり判断したりすることがあるこのようなとき資料の値全体を代表する値のこと資料の値を大きさの順に並べたときその中央の値のこと資料の中でもっとも多く現れる値のこと資料の最大の値と最小の値の差のことそのものの本当の値のこと測定して得られた値などのように真の値に近い値のこと近似値から真の値をひいた差のこと近似値を表す数で意味のある数字のこと

4 類題右の図は, 小学校の男子生徒のボール投げの記録をヒストグラムに表したものですこのヒストグラムからわかることとして正しいものを, 下のア~オの中からつ選び, その記号を書きなさい ( 人 ) (m) ア平均値は 9m より小さいイ中央値含まれている階級の相対度数は 0. より小さいウ階級の幅は m であるエボール投げの記録の分布の範囲は m より大きいオ度数がである階級の階級値は m である

5 類題下の表値は, ある中学年生クラス人の体重測定の結果です ( 単位 :kg) 人の体重の中央値を求めなさい右の表は, 上の結果の度数分布表ですこの表における人体重の最頻値を求めなさい体重が kg の生徒は, この人のなかでは軽いほう重いほうのどちらですかまたそう判断した理由を答えなさい体重 (kg) 度数 ( 人 ) 以上未満 ~ 9 9 ~ ~ 7 7 ~ ~ 計

6 数学類題にチャレンジ類題ポイント資料の活用は用語の確認資料の活用解法解答編階級資料を整理したときのつつの区間のこと階級の幅区間の幅のこと各階級の最大値と最小値の差度数各階級にはいる資料の個数 ( 人数 ) のこと度数分布表資料をいくつかの階級に分け階級ごとに度数を示して分布の様子をわかりやすくした表のこと階級値度数分布表で各階級の真ん中の値のことヒストグラム階級の幅を横度数を縦とする長方形を並べたグラフのこと度数分布多角形 ( 度数折れ線 ) 相対度数ヒストグラムのそれぞれの長方形の上辺の中点どうしを線分で結んだグラフのこと左右の両端は度数が 0 の階級があるものとして線分で結ぶ各階級の度数の全体に対する割合のこと代表値資料の値全体をつの値で代表させこれを基準にしてものごとを考えたり判断したりすることがあるこのようなとき資料の値全体を代表する値のこと中央値 ( メジアン ) 最頻値 ( モード ) 範囲 ( レンジ ) 真の値資料の値を大きさの順に並べたときその中央の値のこと資料の中でもっとも多く現れる値のこと資料の最大の値と最小の値の差のことそのものの本当の値のこと近似値測定して得られた値などのように真の値に近い値のこと誤差近似値から真の値をひいた差のこと有効数字近似値を表す数で意味のある数字のこと

7 類題ア正しい ( 平均値 ) = ( 階級値 ) ( 度数 ) の和 ( 度数の合計 ) で求めます ( 階級値 ) ( 度数 ) の和 = = 男子の生徒数 ( 度数の合計 ) は人であるから, 平均値 = = 7. 9 となりますイ正しくない記録が小さい方から番目の生徒がいる階級を調べればよい 0m 以上 m 未満が人 m 以上 8m 未満が人だから, 記録が小さい方から番目の生徒がいる階級は 8 m 以上 m 未満ですよって中央値はこの階級に含まれますこの階級の度数は 8 人だから相対度数は 8 =0. となりますウ正しくない階級の幅は - 0=m ですエ正しくない分布の範囲は - 0 = m ですオ正しい度数がである階級は,m 以上 8m 未満ですこの階級の階級値は m です答えアオ

8 類題中央値は軽いほうから 8 番目の生徒の体重だから k g です答え k g 最頻値は, 7 k g 以上 k g 未満の階級の階級値 ( 真ん中の値 ) だから 9kg となります答え 9 k g より人の体重の中央値は k g で, この中央値と比較して考えます k g は中央値より小さいので, 体重が k g の生徒は, この人の中では軽いほうということができます答え軽いほう理由 : 中央値と比較すると中央値より軽いから

9 数学類題にチャレンジ確率標本調査問題編類題次の各問に答えなさい () 本のうち当たりが本入ったくじから, 同時に本のくじをひくとき, 少なくとも本は当たりくじである確率を求めなさい () つのさいころを投げるとき, 目の数の和がの倍数になる確率を求めなさい () からまでの数字をつずつ書いた枚のカードをよくきり, 枚ずつ回続けて取り出すとき, 枚とも奇数である確率を求めなさい

10 類題次の各問に答えなさい () ある工場で製造した製品の中から,00 個を無作為に抽出して品質検査をしたところ, 個の不良品が含まれていたこのことから, この工場で製造された 000 個の製品の中には, およそ何個の不良品が含まれていると推定されるか求めなさい () ある湖にすんでいる魚の数を推定するために, わなをしかけて 0 匹の魚をつかまえ, これらの魚に印をつけて湖に戻した週間後に, 再びわなをしかけたところ,70 匹つかまり, そのうちの 7 匹に印がついていたこの湖にはおよそ何匹の魚がすんでいると推定されるか求めなさい () 袋の中に白い碁石がたくさん入っていて, その個数を数えるかわりに, 同じ大きさの黒い碁石 0 個を袋に入れ, よくかき混ぜた後, 袋から任意に 0 個の碁石を取り出したところ, その中に黒い碁石が個含まれていたはじめに袋に入っていた白い碁石はおよそ何個と推定されるか求めなさい

11 数学類題にチャレンジ確率標本調査解法解答編類題ポイント樹形図に丸を付ける解法 ( ) 当たりくじを,, はずれくじを,,, として樹形図をかき, 少なくとも本は当たりくじの場合に, 丸を付ける 9 よって, = 答え ( ) さいころの目の組み合わせを樹形図にかき, 目の和がの倍数になる場合に, 丸を付ける 9 よって, = 答え ( ) カードの組み合わせを樹形図にかき, 枚とも奇数である場合に, 丸を付けるよって, = 答え

12 類題ポイント比例式を利用して解く解法 () 不良品を個とすると, 000:=00: = 答えおよそ個 ( ) ある湖にすんでいる魚の数を匹とすると, :0=70:7 =700 答えおよそ 700 匹 ( ) はじめに袋に入っていた白い碁石の個数を個とすると, 袋の中と抽出した標本で, 白い碁石と黒い碁石の個数の比は等しいと考えられるので :0=(0-): =90 答えおよそ 90 個

13 SIEI ランクアップポイント余事象の確率余事象とはある事象 ( 事柄 ) に対して, が起こらないという事象 ( 事柄 ) のことです例えば, さいころを回ふるとき, の目が出るという事象 ( 事柄 ) に対する余事象はの目が出ないことすなわち,,,, の目が出ることです ( ある事柄が起こる確率 )+( ある事柄が起こらない確率 )= ですから直接求めにくい確率は, もう一方を求めてから引けばよいのですこの余事象の確率の考えを用いる時のキーワードは少なくとも ~ です類題の ( ) の問題では, 少なくとも本は当たりくじの余事象は本ともはずれくじですから本ともはずれの確率を求めてから引けばよいのです本ともはずれくじは上の樹形図の印ですその確率は = なので少なくとも本は当たりくじの確率は - = となります

14 数学類題にチャレンジ関数問題編類題右の図で, 曲線は = のグラフです曲線上に座標が - である点と, 座標が正である点をとります直線の傾きがであるとき, 次の各問に答えなさい () 点の座標を求めなさい () O の面積を求めなさい O () 曲線上を, 座標が -<< の範囲で動く点 P を考えますただし, 点 P は原点 O とは異なる点とします OP と OP の面積が等しくなるとき, 点 P の座標を途中の説明も書いて答えなさいその際, 図を用いて説明してもよいものとします

15 類題右の図で, 曲線は = のグラフです曲線上に座標が - である点と, 座標が正である点をとりますさらに, 軸について点に対称な点を C とします直線の傾きが - であるとき, 次の各問に答えなさい C () 点の座標を求めなさい O () 四角形 OC の面積を求めなさい () 点と点 C の間を動く曲線上の点 P を考えます PC と CP の面積が等しくなるとき, 点 P の座標を途中の説明も書いて答えなさいその際, 図を用いて説明してもよいものとします

16 類題右の図で, 曲線は =- のグラフです曲線上に座標が - である点と, 座標が正であるをとります直線の傾きがであるとき, 次の各問に答えなさい O () 点の座標を求めなさい () 軸上に, 座標が -0 である点 C をとりますこのとき, C の面積を求めなさい () 曲線上を, 座標が > の範囲で動く点 P を考えます OP と P の面積が等しくなるとき, 点 P の座標を途中の説明も書いて答えなさいその際, 図を用いて説明してもよいものとします

17 数学類題にチャレンジ関数解法解答編ポイント関数は交点の座標を求めるポイント等しい三角形は平行線ポイント放物線上の平行線は座標の和が等しい類題詳しくは SIEI ランクアップポイントを参照してください解法 ( ) 関数 = において,=- のとき = (-) = よって, の座標は (-,) 直線の式を =+b とおき, 点の座標を代入すると, =-+b これを解いて,b= よって, 直線の式は =+ 放物線 = と直線 =+ との交点が点なので, ポイントより = =+ この連立方程式から, 次方程式 =+ を解いて,=-, 点の座標は正の数なので, 放物線の式 = に代入して,= = よって, 点の座標は (,) 答え (,) ( ) 直線と軸との交点を C とする () で求めた直線の切片より, 点 C の座標はなので,OC= 次に, O を OC と OC に分けて面積を求めるいずれも辺 OC を底辺とする点, の座標から, OC の高さは, OC の高さはよって, それぞれ面積は OC= =9 OC= =8 したがって, O=9+8=7 答え 7 C - O ( ) OP と OP において, 共通な辺は辺 OP よって, ポイントより //OP となるように点 P をとれば, OP= OP となる点 P の座標を p とおくポイントより, 0+p=-+ これを解いて,p= = に座標のを代入して, = = よって, 点 P の座標は (,) 答え (,) P - O p

18 類題解法 ( ) 関数 = において,=- のとき = (-) =8 よって, の座標は (-,8) 直線の式を =- +b とおき, 点の座標を代入すると, 8=- (-)+b これを解いて,b= よって, 直線の式は =- + 放物線 = と直線 =- + との交点が点なので, ポイントより = =- + この連立方程式から, 次方程式 =- + を解いて,=-, 点の座標は正の数なので, 放物線の式 = に代入して,= = 9 よって, 点の座標は (, 9 ) 答え (, 9 ) ( ) 点 C は点と軸について対称なので, 座標は (-, 9 ) 四角形 OC を OC と C に分けて面積を求めるいずれも辺 C を底辺とする C=-(-)= 次に, 点, の座標から, OC の高さは 9, C の高さは 8-9 = 7 よって, それぞれ面積は OC= 9 = 7 C= 7 = したがって, 四角形 OC= 7 + = 答え C - 8 O 9 ( ) PC と CP において, 共通な辺は辺 CP よって, ポイントより //CP となるように点 P をとれば, PC= CP となる点 P の座標を p とおくポイントより -+p=-+ C これを解いて,p= = に代入して, = = P よって, 点 P の座標は (,) 答え (,) - - O p

19 類題解法 ( ) 関数 =- において,=- のとき =- (-) =-9 よって, の座標は (-,-9) 直線の式を = +b とおき, 点の座標を代入すると, -9= (-)+b これを解いて,b=- よって, 直線の式は = - 放物線 =- と直線 = - との交点が点なので, ポイントより =- = - この連立方程式から, 次方程式 - = - を解いて,=-, 点の座標は正の数なので, 放物線の式 =- に代入して, =- =- よって, 点の座標は (,-) 答え (,-) ( ) 直線と軸との交点を D とする () で求めた直線の切片より, 点 D の座標は - なので,CD=--(-0)= 次に, C を CD と CD に分けて面積を求めるいずれも辺 CD を底辺とする点, の座標から, CD の高さは, CD の高さはよって, CD= = CD= =8 したがって, C=+8=0 答え 0 - O - D -0 C ( ) OP と P において, 共通な辺は辺 P よって, ポイントより O//P となるように点 P をとれば, OP= P となる点 P の座標を p とおくポイントより, -+p=0+ これを解いて,p=0 =- に代入して, =- 0 =- よって, 点 P の座標は (0,-) 答え (0,-) - O p P

20 SIEI ランクアップポイント放物線と平行線 =a D C p r O s q 上の図で直線の変化の割合 ( 傾き ) は a(p+q), 直線 CD の変化の割合 ( 傾き ) は a(r+s) なので直線と直線 CD が平行なとき,a(p+q)=a(r+s) となり, 両辺を a で割ると p+q=r+s つまり, 放物線上の平行線は座標の和が等しいということが成り立つのです

21 SIEI ランクアップポイント放物線上の三角形の面積 =a S C r O q p 放物線 =a のグラフ上の, 座標が p,q,r である点を頂点とする三角形の面積を S とすると, S = a(p-q)(q-r)(p-r) で求めることができます ( ただし,p>q>r とします ) これは, 放物線 =a のグラフ上に頂点がある三角形の面積は, ( 放物線の定数 ) ( 各辺の両端の点の座標の差 ) で求められるということです

Microsoft Word - スーパーナビ　第６回　数学.docx

Microsoft Word - スーパーナビ　第６回　数学.docx 1 ⑴ 与式 =- 5 35 +14 35 =9 35 1 ⑵ 与式 =9-(-5)=9+5=14 1 ⑶ 与式 = 4(a-b)-3(5a-3b) = 8a-4b-15a+9b = -7a+5b 1 1 1 1 ⑷ 与式 =(²+ 1+1²)-{²+(-3+)+(-3) } 1 ⑷ 与式 =(²++1)-(²--6)=²++1-²++6=3+7 1 ⑸ 与式 = - ² + 16 = - +16