Microsoft PowerPoint 確率レジュメA

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ほだかそめや
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1 確率統計レジュメ集 ( 前半 ) 版立命館大学電子情報デザイン学科

2 この講義の目標進め方この講義は指定教科書の内容をしっかりと理解することを目的とする. 配布するレジュメはその理解を助けるための資料である. 必ず教科書に書かれた基礎的な内容をひとつひとつ理解するように努めること. レジュメの空欄の箇所は教科書からそのヒントを見つけることができる. 予習時に教科書を読みレジュメの空欄を埋める努力をすること. さらに理解の確認のために教科書の演習問題を自力で解き解答を確認するとよい. これらの地道な努力により真に応用力のある基礎的な実力を身につけることができる. 以上

. 度数分布表と累積度数分布表 2 統計量の把握 ( 章 ) 本日の目標統計量を扱う方法を知る事象計算の公式確率に関する基礎定理.2 ヒストグラムと累積度数分布図 3 ( 演習 ) 度数分布表ヒストグラム 4 下記のデータ列が得られた. これを度数分布表ヒストグラム累積度数分布図にしなさい.

3 . 度数分布表と累積度数分布表 2 統計量の把握 ( 章 ) 本日の目標統計量を扱う方法を知る事象計算の公式確率に関する基礎定理.2 ヒストグラムと累積度数分布図 3 ( 演習 ) 度数分布表ヒストグラム 4 下記のデータ列が得られた. これを度数分布表ヒストグラム累積度数分布図にしなさい. ヒストグラム累積度数分布図度数分布表変数度数 , 3, 4, 3, 2, 2, 5, 6, 4,,,, 2, 3 度数ヒストグラム累積度数分布図代表値 5 偏差 (diviation) 6 算術平均 (arithmetical mean) 基準値 x 0 からの差 : x x 0 ( 基準値は一般的に平均を用いる ) 幾何平均 (geometrical mean) 中央値 (median) 最頻値 (mode)

.4 散布図 7 ( 演習 ) 統計値 8 散布度 ( 散布の度合い ) を示すもの分散 (variance) 平均からの偏差の 2 乗平均 σ 2 = 標準偏差 (standard deviation) 分散の平方根 σ= 下記のデータ列の統計値を求めよ., 3, 4, 3, 2, 2, 5, 4 平均 2 分散 3 標準偏差チェビシェフの不等式分散の上限を与える式 9.

4 .4 散布図 7 ( 演習 ) 統計値 8 散布度 ( 散布の度合い ) を示すもの分散 (variance) 平均からの偏差の 2 乗平均 σ 2 = 標準偏差 (standard deviation) 分散の平方根 σ= 下記のデータ列の統計値を求めよ., 3, 4, 3, 2, 2, 5, 4 平均 2 分散 3 標準偏差チェビシェフの不等式分散の上限を与える式 9.5 相関係数相関図相関係数 r (- r ) = 0 数学英語分散標準偏差 25 8 相関係数 0.78 相関図サンプル英語数学回帰直線とはを最小にする直線または 2 2

5 3 確率とは? 4 2 確率の公理 (2 章前半 ) 同様に確からしい硬貨の表 / 裏の出る場合さいころの,2,3,4,5,6 の各々の目が出る場合本日の目標確率の定義事象余事象排反独立確率起こりうるすべての場合が n 通りでそれぞれの場合は排他的で同様に確からしいときある事象 A の起こる場合が a 通りである事象 A の起こる確率は Pr{A} a/n である. 3 事象に対する諸概念全事象 ( 前提条件 ) サイコロを2 回投げるときの目の出方. {,}, {,2},,{6,6} _ 通り 5 事象事象の場合の数事象 = 集合 A 事象の場合の数 A ( 集合の要素数 ) 6 事象 ( 調べたい条件 ) 事象 A: サイコロを2 回投げ合計が0 以上である. {4,6}, {5,5}, {5,6}, {6,4},{6,5},{6,6} _ 通り余事象 ( 全事象からある事象を除外した部分 ) Aの余事象: サイコロを2 回投げ合計が0より小さい. {,}, ---- 通り余事象全事象 I: サイコロの目の出方 ( すべての場合 ) 事象 A: 合計が0 以上となる目の出方事象 A: 合計が0 未満となる目の出方 A =? 事象の合成ある駐車場に置かれている車の集合を全体集合とする. 事象 A: 車は赤い色である事象 B: 車は日本製である和事象 A B: 車は赤色または日本製である積事象 A B: 車は赤くかつ日本製である 7 排反事象排反 (= 同時に起きない ) 事象 A: 目の合計が 8 以上である. 事象 B: 目の合計が 8 以下である. 目の合計がちょうど 8 となる場合はどちらにも含まれるので排反ではない. (A B φ) 事象 A: 目の合計が偶数である. 事象 B: 目の合計が奇数である. 事象 A と事象 B は同時に起こりえないので排反である.(A B=φ) 8 3

6 独立事象 9 ( 演習 ) 排反事象と独立事象 20 独立 ( 事象の発生が他の事象に依存しない ) 事象 A: 目の合計が 0 以上である. 事象 B: 一方の目は 6 である. 事象 A と事象 B は独立か? 事象 A と事象 B が排反であることを式で表現せよ Pr{B A} --- 事象 A が起きたときに事象 B が発生する確率と Pr{B A} --- 事象 A が起きなかったときに事象 B が発生する確率を比較する. 事象 A と事象 B が独立であることを式で表現せよ Pr{B A} = Pr{B A} --- 等しければ独立順列の数 2 組合せの数 22 順列 (permutation) 異なる n 個のものから r 個とりだして並べる場合の数. 組合せ (combination) 異なる n 個のものから r 個のとりだしかた. ( 並びは無視する ) npr = n (n-) (n-2) (n-r+) = n!/(n-r)! ncr = npr / rpr = 同じものがあるときの順列の個数の求め方に関してテキストを理解せよ.(p.38-39) ( 演習 ) 以下の式の意味を説明しなさい. 4

7 25 二項定理 26 3 事象と組合せ (2 章後半 ) 25 (a + b) 0 パスカルの 3 角形 27 加法定理 28 (a + b) a+ b (a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 (a + b) 4 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4a b 3 + b 4 式で表現すると 4C 0 4 C 4 C 2 4 C 3 4 C 4 (a + b) n-... n-c r- a n-r b r- + n-c r a n-r- b r... (r =,..., n-) (a + b)n... nc r a n-r b r... (r = 0,..., n) 乗法定理 29 独立試行 30 独立に繰り返される操作を独立試行という. ( 問題 ) 以下は独立試行か? 理由と共に答えよ. () コインを投げて表が出るか? 裏がでるか? 式で表現すると (2) 野球のピッチャーが N 回投げる球がストライクになるかどうか? 人間の場合? ロボットの場合? ( 問題 ) A, B が独立の場合はどうなるか考えよ. 5

8 二項分布 3 ( 演習 ) 多項分布 32 ( 問題 ) テキスト p.47 多項分布の公式が 3 項の場合に成立することを確認せよ. ( 問題 ) 0 回さいころを投げて 4 回または 2 が出る確率は? ( 問題 2) テキスト p.39 3 行目の式を使って多項分布の式を証明せよ. 33 相対度数 r/n は, 試行回数 n を大きくするとどうなるか? ベルヌーイの大数の法則 34 アルミ硬貨を投げて表裏の出る事象を観測表の出た回数 r 全試行回数 n としたとき相対度数 r/n は p に限りなく近づくまとめ 35 まとめ 36 以下はどのような定理か? またそれぞれが成立する条件は何か? 条件が成立しない場合はどのように考えればよいか? 以下の意味するところをまとめよ. 独立試行とはどのような試行か? 加法定理二項分布とはどのような分布か? 乗法定理ベルヌーイの大数の法則と期待値の概念 6

9 4 確率変数 (3 章前半 ) 本日の理解目標確率変数二項分布の性質とポアソン分布. 離散型確率分布平均値 ( または期待値 ) E(X) 分散標準偏差チェビシェフの不等式とベルヌーイの大数の法則の証明 37 二項分布確率分布と確率変数確率変数 X 確率分布 X に対する確率の分布事象 E の起こる確率を p n 回の独立試行を行ったとき事象 E が X 回起こる確率は? X = x のとき nc x p x q n-x である.(2 章参照 ) 二項分布二項分布 39 二項分布の特徴 40 p 小 n 大 p を小さくすると左に偏る.( 図 3.2) n を大きくすると対称型に近似する.( 図 3,3) ポアソン分布 np = m を一定とし n を大きくしたときの分布. ただし m はある程度小さいという前提. n としたとき p 0 nc x p x q n-x e m m x /x! ( 二項分布はポアソン分布に近づく ) ( 補足 ) 4 ポアソン分布とは? 42 n としたとき nc x p x q n-x e m m x /x! となることの証明 (p.86 参照しながら各自証明してみよ ) ( 前提 ) p がかなり小さい n が大きい np = m がある程度小さい ( 例 )P.57 問題 2 n = 400( ページあたりの字数 ) p = 500( 誤植 )/500( ページ )*400( ページあたりの字数 ) np = m = ポアソン分布に従う 7

0 5 ポアソン分布 43 ポアソン分布 ( 実イメージ ) 44 Pr(X=x) =e m m x /x! 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.5 0. 0.05 0 0 2 3 4 5 6 m x 2 3 4 n が大きい. 確率が大きいのは x=m 付近である 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.5 0. 0.05 0 Pr(X=x) =e m m x /x!

10 0 5 ポアソン分布 43 ポアソン分布 ( 実イメージ ) 44 Pr(X=x) =e m m x /x! m x n が大きい. 確率が大きいのは x=m 付近である Pr(X=x) =e m m x /x! m m x m x ポワソン分布の作成例 45 ポアソン分布 46 P57 例 2 p = 0.0, n = 200, m = np = 2 e m m x /x! m x m=np nは大きな数 pは小さな数 +) Pr(X=0) = e m m 0 /0! = 0.35 Pr(X=) = e m m /! = 0.27 Pr(X=2) = e m m 2 /2! = 0.27 Pr(X=3) = e m m 3 /3! = 0.80 Pr(X 3) = Pr(X 4) = = 離散的確率分布 48 P.57 問題 2 n = 400( ページあたりの字数 ) p = 500( 誤植 )/500( ページ )*400( ページあたりの字数 ) np = m = 離散的変数 -- とびとびの値をとる変数 ( 例整数 ) 連続的変数 -- 連続した変数 ( 例実数 ) +) Pr(X=0) = e m m 0 /0! = Pr(X=) = e m m /! = Pr(X=2) = e m m 2 /2! = Pr(X 2) = Pr(X 3) = 確率変数 X の平均値 ( または期待値 ) を E(X) で表す. 8

11 二項分布の期待度数二項分布 Pr {X =x } = n C x p x q n-x 49 変数変換 50 E(X) = = = =! = =!! = ( 二項定理を使う ) = が導かれる. 同様に E(X+Y) = E(X) + E(Y) も導ける 5 σ 2 の定義をつかって証明せよ 52 p.6 の式の証明の説明 σ 2 (cx)=c 2 σ 2 (X) σ 2 (X+c)=σ 2 (X) 分散と標準偏差偏差 X-E(X) --- 平均からのずれ分散 σ 2 = E{(X-E(X)) 2 } 偏差の2 乗平均標準偏差 σ 分散の正の平方根二項分布の分散は npq に等しいポアソン分布の分散は m ( 平均 ) に等しい ( 各自証明してみよ ) 53 ( 公式 III) ( 公式 III ) まとめ二項分布平均 =np, 分散 =npq ポアソン分布 ( 二項分布の特殊な例 np=m が一定 n が大きく,p が小さい場合 ) 平均 =m, 分散 =m 平均 E(X) E(X+c) = E(X)+c E(cX)=xE(X) E(X+Y) = E(X) + E(Y) 分散 σ 2 (X) = E((X-E(X)) 2 ) σ 2 (cx) =c 2 σ 2 (X) σ 2 (X+c) =σ 2 (X) 54 9

12 5 確率分布 (3 章中 ) 本日の理解目標離散型確率分布 ( 多次元 ) 平均分散標準偏差の考え方と求め方共分散相関係数確率分布一様分布 55 複数変数の確率分布 (3.3 節 ) 変数の独立の定義 (p.64 下 ) 確率変数が独立であるときかつそのときにかぎり P r {X=x i, Y=y j }= P r {X=x i }P r {Y=y j } が成立する. 平均値 (p.65) 56 例をやってみよ 55 確率変数の変換 (p.66-69) 57 分散標準偏差相関係数 58 E(X+Y) = E(X)+E(Y) 複数変数の場合も分散と標準偏差に関して 3.2 節と同様の公理が成立する. E(X Y) = E(X) E(Y) (X,Y が独立の場合 ) 共分散 (covariance) --- 偏差の積の平均 cov(x,y) = E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 相関係数 ρ(x,y) = cov(x,y) /σ(x)σ(y) 変数同志の影響度合いを見るときに使う ( ヒント ) 以下の式を使ってやってみよ. cov(x,y) = E{(X-E(X))(Y-E(Y))} ρ(x,y) = cov(x,y) /σ(x)σ(y) E(X-E(X)) = 0 ( な変数間の相関係数独立 --- 完全相関 0

13 6 まとめ 62 2 個の確率変数の場合以下の各式をまとめなさい. 平均分散共分散相関係数 E(XY)=E(X) E(Y) が成立するのはどのような場合か? 成立しない場合は? 一様分布 63 一般の分布 64 連続変数の場合の確率定義変数個に対する確率は定義できない. 変数の値の範囲に対して定義 ( ルーレットの例を参照 ) 一様分布この面積がになるこの面積がになる正規分布 65 標準正規分布 66 N(0,) μ = 0 σ =

14 6 確率分布 (3 章後半 ) 本日の理解目標確率分布一様分布正規分布標準正規分布 67 p.2 正規分布表の見方 () φ( 確率 ) x 確率 = x? x.298 = 少数位 67 p.2 正規分布表の見方 (2) 69 正規分布の確率の求め方 70 φ( 確率 ) x 確率 = 0.3 x? 少数位.003 = X = [a, b] の確率 z a = (a μ) / σ z b = (b μ) / σ を求める x 表 4 を用いて φ( z a ) φ( z b ) を求める Φ(X)= φ(z b )-φ(z a ) Φ<0.5 のときは x は負の値になる p.8 問題 2,3 をやってみよ. 二項分布と正規分布 7 連続型確率変数の変換 : 離散変数の場合と同様以下の式が成り立つ 72 二項分布の n を十分大きくしていくと正規分布 N(np, npq) に近づく. E(X+c) = E(X)+c E(cX) = c E(X) σ 2 (X) = E(X 2 )-(E(X)) 2 E(X Y) = E(X) E(Y) (X,Y が独立の場合のみ ) 2

15 2 次元同時確率分布 73 再生性 (X,Y が独立で共に正規分布の時に成立 ) 74 変数 XY が N(μ, σ 2 ), N(μ 2, σ 22 ) に従うとき X±Y は N(μ ±μ 2, σ 22 +σ 22 ) に従う X,Y が独立のとき分散標準偏差相関係数離散変数の場合と同様 75 正規分布の演習 P.87 問題, 2 を解いてみよ分布図の見方 ~3 章のまとめ 78 7 理解度テスト (~3 章 ) 確率分布に関する特徴量の求め方独立排反とは? 様々な分布の特徴 77 3

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Microsoft PowerPoint - statistics08_03.ppt [互換モード] 授業担当 : 徳永伸一東京医科歯科大学教養部数学講座前回 ( 第 2 回 ) の授業の概要 : 第 1 回 ( 教科書第 9 章順列組合せと確率ほぼ全部 ) の復習教科書第 10 章記述統計 S. TOKUNAGA 2 1 Overview 確率 (9 章 ) 記述統計 (10 章 ) 情報の要約表やグラフで表す代表値 ( 平均など ) や散布度 ( 分散など ) を求める確率モデル