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きみつぐあわび
5 years ago
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1 区間推定に基づくサンプルサイズの設計方法 7.7. 株式会社応用数理研究所佐々木俊久永田靖サンプルサイズの決め方朝倉書店 (3) の章です原本とおなじ 6 種類を記述していますが平均値関連 4 つをから4 章とし, 分散のつを 5,6 章に順序を変更しました推定手順サンプルサイズの設計方法は, 原本をそのまま引用しています R(S-PLUS) 関数での計算方法および例を追加しました. 母分散が既知の場合の母平均. 母平均の推定手順 x, x,, x が互いに独立に正規分布 N(, ) に従っているとするここで母分散は既知とする点推定 : ^ x xi / (.) 区間推定 : 信頼率をとする x z x z /, / (.) z は, 標準正規分布 N(, ) の上側 P% 点である p この式は x が N(, / ) に従うから, 標準化することにより u x / は標準正規分布 N(, ) に従うこれより Pr z u z / / を展開して求まります. サンプルサイズの設計方法 (.) 式に示した信頼区間の区間幅が一定値 ( デルタ ) 以下になるようにサンプルサイズを設計するすなわち, z / (.3) としたい, これより, 4z / (.4) となる R(S-PLUS) での関数

2 (.3) 式 z / の計算, alpha( ), sigma( ) から, 値 ( 区間幅 ) を計算 siki.3<-fuctio(, alpha, sigma) elta <- qorm(-alpha/) sigma /sqrt() elta [ 例 ]., 信頼率として, サイズ 7 での信頼区間幅 > siki.3(7,.5, ) [] サンプルサイズの計算 alpha( ), sigma( ),elta( 区間幅 ) から, サイズ ( ) を計算 <-fuctio(alpha, sigma, elta) <- (( qorm(-alpha/) sigma /elta))^ <- ceilig() [ 例 ], 信頼率とし, 信頼区間幅の期待値が 3. 以下になるサ. ンプルサイズ > (.5,, 3) [] 7. 母分散が未知の場合の母平均. 母平均の推定手順 x, x,, x が互いに独立に正規分布 N(, ) に従っているとするここで母平均と母分散はともに未知である点推定 : ^ x (.) 区間推定 : 信頼率をとする V V x t(, ), x t(, ) (.)

3 S ( xi x) xi ( xi ) / ここで, V である t(, ) は自由度のt 分布 t( ) の両側 P% 点であるこの式はt ( x ) / V / が t( ) に従うから, Pr t (, ) t t(, ) を展開して求まります. サンプルサイズの設計方法 (.) 式で示した信頼区間の区間幅は t (, ) V / である区間幅の期待値が一定値 ( デルタ ) 以下になるようにサンプルサイズを設計するすなわち, E( V) t(, ) (.3) ここで E( V ) c を使用すると, となりますここで c t(, ) (.4) (( )/ ) c (.5) ( / ) であり, である, () はガンマ関数であり, m を正の整数とするとき, ( m) ( m )( m ) 3 ( m )! 3 3 ( m m m が成り立つ c の値を図 -に示すが 5 程度より大きくなれば c の値はかなりに近くなるこの c の値は,R(S-PLUS) で下記の関数を使用しました c.star <- fuctio(fai) cc <- sqrt(/fai) gamma((fai+)/) / gamma(fai/) の値が大きい場合は, ガンマ関数の精度が悪くなるので, ガンマのログ (log) 計算の次の関数の方がよいでしょう証明は, 元本の練習問題.8,5. 参照 3

4 c.star.log <- fuctio(fai) cc <- sqrt(/fai) exp(lgamma((fai+)/) - lgamma(fai/)) (.4) 式には未知数が含まれているから, この値をあらかじめ想定しておく必要がある従来の値, 予備的な実験値により求めた値, または何らかの情報からを想定し, それをと想定して (.4) 式を満たすを求めることになるまず, 章の (.4) 式を用いての値を求め, この値から順次大きくしていきながら (.4) 式を満たすを求めればよい図 - c の値 R(S-PLUS) での関数 c (.4) 式 t(, ) の計算, alpha( ), sigma( ) から, 値 ( 区間幅 ) を計算 siki.4<-fuctio(, alpha, sigma) elta <- qt(-alpha/, -) sigma /sqrt() c.star(-) elta 4

5 [ 例 ], 信頼率として, サイズ 7,8, 9 での信頼区間幅. > siki.4(7,.5, ) [] > siki.4(8,.5, ) [] > siki.4(9,.5, ) [].9833 サンプルサイズの計算 alpha( ), sigma( ),elta( 区間幅 ) から, サイズ ( ) を計算 <-fuctio(alpha, sigma, elta) <- (( qorm(-alpha/) sigma /elta))^ # (.4) 式 <- ceilig() for(i i :) haba <siki.4(, alpha, sigma) if (haba <= elta) break <- + [ 例 ], 信頼率とし, 信頼区間幅の期待値が 3. 以下になるサ. ンプルサイズ > (.5,., 3.) [] 9 3. つの母平均の差 3. つの母平均の差の推定手順母集団をつ設定する第母集団では x, x,, x が互いに独立に正規分布 N(, ) に従っているとするまた, これとは独立に, 第母集団では x, x,, x が互いに独立に正規分布 N(, ) に従っているとする母平均とおよび母分散のすべては未知であるただし, つの母集団の母分散は等しいと想定しているこのとき, つの母平均の差の点推定と区間推定は次のように行う点推定 : x (3.) x 5

6 区間推定 : 信頼率をとする x x t(, ) V, x x t(, ) V (3.) t(, P) は自由度のt 分布 t( ) の両側 P 点であるこの式は x x ( ) t V (/ / ) が t( ) に従うこれより Pr t (, ) t t(, ) を展開して求まります (3.3) 3. サンプルサイズの設計方法 (3.) 式で示した信頼区間の区間幅は t(, ) V (/ / ) であるとして,. 節の場合と同様に, 区間幅の期待値が一定値 ( デルタ ) 以下になるようにサンプルサイズを設計するすなわち, t(, ) E( V ) t(, ) c (3.4) ここで, c は. 節の (.5) 式により定まる値で, である (3.4) 式には未知母数が含まれているから, この値をあらかじめ想定しておく必要があるすなわちと想定して (3.4) 式を満たすを求めることになる o (, ) z / 8z / (3.5) (3.4) 式において t, c と想定してについて解くととなるそこで, まず,(3.5) 式を用いての値を求め, この値から順次大きくしていきながら (3.4) 式を満たすを求めればよい R(S-PLUS) での関数 (3.4) 式 t(, ) c の計算, alpha( ), sigma( ) から, 値 ( 区間幅 ) を計算 siki3.4<-fuctio(, alpha, sigma) elta <- qt(-alpha/, -) sigma /sqrt(/) c.star.log(-) elta 自由度が大きいと t 分布は, 正規分布 N(, ) で近似できる ( 注 t 分布は両側 P 点正規分布は上側 P 点 ) 6

7 [ 例 ], 信頼率として, サイズ 8, 9 での信頼区間幅. > siki3.4(8,.5, ) [].6859 > siki3.4(9,.5, ) [] サンプルサイズの計算 alpha( ), sigma( ),elta( 区間幅 ) から, サイズ ( ) を計算 3<-fuctio(alpha, sigma, elta) <- 8((qorm(-alpha/) sigma /elta))^ # (3.5) 式 <- ceilig() for(i i :) haba <-siki3.4(, alpha, sigma) if (haba <= elta) break <- + [ 例 ]., 信頼率とし, 信頼区間幅の期待値が. 以下になるサンプルサイズ > 3(.5,.,.) [] 9 4. 対応がある場合の母平均の差 4. つの母平均の差の推定手順対応のある対 x, x ) が個あるとする ( i,,, ) それぞれの構造式を ( i i x i ii xi ii, ~ N(, ) i, ~ N(, ) i i, i と想定する ( i,,, ) ( i,,, ) はすべて互いに独立であるここで, i は i 番目のデータにおける対応の効果であり, の推定を行いたい対応の効果を消去するために, 第 i 番目の対の差 x x i i i i i をとると, ~ N(, ) となる ( i,,, ) ここで i とき, 対応のある場合の母平均の差の点推定と区間推定は次のように行う点推定 : (4.) 区間推定 : 信頼率をとするであるこの 7

8 V V t(, ), t(, ) (4.) t(, ) は自由度のt 分布 t( ) の両側 P% 点であるこの式は t ( )/ V / が t( ) に従うから, ) Pr t (, ) t t(, ) を展開して求まります 4. サンプルサイズの設計方法 (4.) 式で示した信頼区間の区間幅は t(, ) V / である. 節の場合と同様に, 区間幅の期待値が一定値 ( デルタ ) 以下になるようにサンプルサイズを設計するすなわち, E( V) c t(, ) t(, ) (4.3) ここで, c は. 節の (.5) 式により定まる値で, である (4.3) 式には未知母数が含まれているから, この値をあらかじめ想定しておく必要があるすなわちを勘案して想定と想定しておく必要があるこれは, o する必要があるまず,(.4) 式を用いての値を求め, この値から順次大きくしていきながら (4.3) 式を満たすを求めればよい R(S-PLUS) での関数 c (4.3) 式 t(, ) の計算, alpha( ), sigma( ) から, 値 ( 区間幅 ) を計算 siki4.3<-fuctio(, alpha, sigma) elta <- qt(-alpha/, -) sigma /sqrt() c.star.log(-) elta [ 例 ]., 信頼率として, サイズ 8,9, 3での信頼区間幅 > siki4.3(8,.5, ) [] > siki4.3(9,.5, ) [] > siki4.3(3,.5, ) 8

9 [].4886 サンプルサイズの計算 alpha( ), sigma( ),elta( 区間幅 ) から, サイズ ( ) を計算 4<-fuctio(alpha, sigma, elta) <- ((qorm(-alpha/) sigma /elta))^ # (.4) 式 <- ceilig() for(i i :) haba <-siki4.3(, alpha, sigma) if (haba <= elta) break <- + [ 例 ]., 信頼率とし, 信頼区間幅の期待値が. 5 以下になるサンプルサイズ > 4(.5,.,.5) [] 3 5. 母分散 5. 母分散の推定手順 x, x,, x が互いに独立に正規分布 N(, ) に従っているとする母平均および母分散の両者とも未知である点推定 : S V (5.) 区間推定 : 信頼率をとする S S, (, / ) (,/ ) V, V (5.) (, / ) (,/ ) (, P) は自由度の分布 ( ) の上側 P% 点であるこの式は S / が ( ) に従うから, Pr (, / ) を展開して求まります (, / ) 5. サンプルサイズの設計方法母分散の信頼区間については, 区間幅を小さくすることよりも, 信頼上限と信頼下限の比を小さくすることを考える方が妥当であるそこで (5.) 式の信頼限界の比が一定値以下 9

10 になるようにサンプルサイズを設計する ( ) 信頼上限 (, / ) 信頼下限 (, / ) (5.3) (, P) / z フィッシャーの近似法に基づく P% 点の近似式いることにより, を求める近似式を得る ( ) z / 3 (5.4) ただし, z / ( ) とする ( z /. 96 なら 4が必要 ) 近似値計算なので, 端数を切捨てたり, 切上げて, この値の前後で逐次 (5.3) 式を満たす値を求めればよい R(S-PLUS) での関数 (5.3) 式 (, / ) の計算 (, / ), alpha( ) から, 値 ( 信頼限界の比 ) を計算 siki5.3<-fuctio(, alpha) elta <- qchisq(-alpha/, -) / qchisq(alpha/, -) elta [ 例 ] 信頼率として, サイズ 7, 8 での信頼限界の比 > siki5.3(7,.5) [] > siki5.3(8,.5) [] p を用サンプルサイズの計算 alpha( ), elta( 信頼限界の比 ) から, サイズ ( ) を計算 5<-fuctio(alpha, elta) <-.5((+sqrt(elta))qorm(-alpha/)/(sqrt(elta)-))^ + 3/ # (5.4) 式 <- ceilig() hi <- siki5.3(, alpha) if(hi < elta) for(i i :3) <- - hi <- siki5.3(, alpha) if(hi > elta) break hi <- hi

11 else <- - for(i i :3) <- + beta <- siki5.3(, alpha) if(beta < elta) break [ 例 ] 信頼率とし, 信頼限界の比が 3. 以下になるサンプルサイズ > 5(.5, 3.) [] 8 6. つの母分散の比 6. つの母分散の比の推定手順母集団をつ設定する第母集団では x, x,, x が互いに独立に正規分布 N(, ) に従っているとするまた, これとは独立に, 第母集団では x, x,, x が互いに独立に正規分布 N(, ) に従っているとする母平均とおよび母分散とのすべては未知であるこのとき,つの母分散の比の点推定と区間推定は次のように行う点推定 : V S /( ) / (6.) V S /( ) 区間推定 : 信頼率をとする V V, F(, ; / ) (6.) F(, ; / ) V V F, ; ) は自由度, ) の F 分布 F, ) の上側 P% 点である ( P ( / ) /( V / ( この式は F ( V ) が F(, ) に従うから, Pr F (, ; / ) F F(, ; / ) を展開して求まります 6. サンプルサイズの設計方法母分散の信頼区間の場合と同様に, 信頼上限と信頼下限の比を小さくすることを考えるとして,(6.) 式の信頼限界の比が一定値以下になるようにサンプルサイズを設計する信頼上限信頼下限 F (, ; / ) (6.3)

12 z F 分布の正規近似式 p F(, ; P) exp に基づき, を求める近似式を得る z p (6.4) log( ) この値から順次大きくしていきながら (6.3) 式を満たすを求めればよい R(S-PLUS) での関数 F(, ; / ) (6.3) 式の計算, alpha( ) から, 値 ( 信頼限界の比 ) を計算 siki6.3<-fuctio(, alpha) elta <- qf(-alpha/, -, -) / qf(alpha/, -, -) elta [ 例 ] 信頼率として, サイズ 4, 5 での信頼限界の比 > siki6.3(4,.5) [] > siki6.3(5,.5) [] サンプルサイズの計算 alpha( ), elta( 信頼限界の比 ) から, サイズ ( ) を計算 6<-fuctio(alpha, elta) <- ( qorm(-alpha/) /log(sqrt(elta)))^ +. # (6.4) 式 <- ceilig() for(i i :) haba <- siki6.3(, alpha) if (haba <= elta) break <- + [ 例 ] 信頼率とし, 信頼限界の比が 9. 以下になるサンプルサイズ > 6(.5, 9) [] 5 付録正規分布近似サンプルサイズの逐次計算の初期値計算では, 各分布関数の正規分布近似を使用しています信頼区間幅や信頼限界の比が一定値以下になる式を満たす最小値を求めています

13 () t 分布 t(, P) zp/ () 分布 (, P ) / z p (3) F 分布以上 z p F(, ; P) exp 3

講義「○○○○」

講義「○○○○」講義信頼度の推定と立証内容. 点推定と区間推定. 指数分布の点推定区間推定 3. 指数分布正規分布の信頼度推定担当 : 倉敷哲生 ( ビジネスエンジニアリング専攻 ) 統計的推測標本から得られる情報を基に母集団に関する結論の導出が目的測定値 x x x 3 : x 母集団 (populaio) 母集団の特性値統計的推測標本 (sample) 標本の特性値分布のパラメータ ( 母数

(.3) 式 z / の計算, alpha( ), sigma( ) から, 値 ( 区間幅 ) を計算 siki.3<-fuctio(, alpha, sigma) elta <- qorm(-alpha/) sigma /sqrt() elta [ 例 ]., 信頼率 として, サイ

(.3) 式 z / の計算, alpha( ), sigma( ) から, 値 ( 区間幅 ) を計算 siki.3<-fuctio(, alpha, sigma) elta <- qorm(-alpha/) sigma /sqrt() elta [ 例 ]., 信頼率として, サイ