様々なミクロ計量モデル†

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よりおふじがわ
5 years ago
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1 担当 : 長倉大輔 ( ながくらだいすけ ) この資料は私の講義において使用するために作成した資料です WEB ページ上で公開しており自由に参照して頂いて構いませんただし内容について一応検証してありますがもし間違いがあった場合でもそれによって生じるいかなる損害不利益について責任を負いかねますのでご了承ください間違いは発見次第継続的に直していますがまだ存在する可能性があります 1

2 カウントデータモデル労働経済学などで扱うデータには連続変数ではなく離散変数特に非負の整数の値を取るデータが多い例えばある個人による通院の回数などは非負の整数のデータであるこのようなデータはカウントデータと呼ばれるそのような変数をその性質を考慮しないでたとえば線形回帰分析などを行うといろいろと不都合なことが起きる以下ではこのようなデータを扱うのに適したミクロ計量モデルを紹介する 2

3 ポアソン分布カウントデータのような非負の整数の値を取る離散型の分布の代表的なものにポアソン分布がある確率変数 Y がポアソン分布に従うとは Y の確率関数が以下のように与えられる時である Pr(Y = y) = exp( ) y! y, y = 0, 1, 2, ここで λ は正の実数である ( 整数ではないことに注意 ) この分布の期待値は λ で与えられ分散も λ で与えられる以下では確率変数 Y がパラメーター λ のポアソン分布に従うことを Y ~ Po(λ) と表すとする 3

4 ポアソン回帰モデル前述のポアソン分布においては期待値は λ で一定であるより柔軟性のあるモデルにしたい場合特に説明変数による影響を考えたい場合この仮定は制約的である例えば線形回帰分析などは被説明変数 Y i の期待値を説明変数の線形の関数でモデル化していると考えることができるが同じような拡張をポアソン分布に対して行ったものがポアソン回帰モデルと呼ばれるモデルである 4

5 線形回帰分析の時と同様にポアソン分布の期待値 λ を説明変数の関数として表すことを考えるただし λ は常に正の値をとらないといけないのでポアソン回帰モデルではそれを考慮して λ i = exp(β 0 + β 1 X 1i + + β K X Ki ), のように定式化するこのように定式化すると λ i は各説明変数 X ki の値に依存して変わりまた X ki の値によらず正の実数をとる λ i の定式化としては分析の目的に応じて他の定式化を使用することも可能であるが上記の定期化が非常によく用いられる 5

6 よって非負の整数の値をとる被説明変数 Y i に対するポアソン回帰モデルは以下で与えられる Pr(Y i = y) = λ i = exp(β 0 + β 1 X 1i + + β K X Ki ) λ i の部分は exp( ) i y! y i, y = 0, 1, 2,. log λ i = β 0 + β 1 X 1i + + β K X Ki と書き直すこともできる 6

7 最尤法によるポアソン回帰モデルの推定ポアソン回帰モデルは最尤法で簡単に推定できる β = [β 0, β 1,.., β K ] T とすると実現値 y 1, y 2,., y n が与えられた下での対数尤度関数は log L(β) i= 1 λ i = exp(β 0 + β 1 X 1i + + β K X Ki ) によって与えられる n = log Pr( Y = y ) i n n n = + y log y! i i i i i= 1 i= 1 i= 1 i 7

8 最大化の 1 階の条件は log L( β) n = X + y X = 0, k = 0,..., K ki i i ki k i= 1 i= 1 n であるここで X 0i = 1 とするこの連立方程式は β について明示的には解けないのでポアソン回帰モデルの最尤推定値は数値的に求めることになる 8

9 例題 1 ポアソン回帰モデル Y i ~ Po(λ i ), λ i = exp(β 0 + β 1 X i ) を考えるここで X i は i 番目の観測値に対する説明変数である Y i, i =1,,n は λ i が与えられたもとで互いに独立であるとする今 n = 3 であり X i と Y i の観測値として X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, y 1 = 5, y 2 = 4, y 3 = 3 が与えられたとするこの時 β 0 と β 1 の最尤推定値を求めなさい 9

10 デュレーションモデルデュレーションモデルとは何らかのイベントが起こる ( または終わる ) までの時間を分析したい場合によく用いられる例えば病気が治癒するまでの時間製品が故障するまでの時間失業が続く期間などの分析であるデュレーション分析は生存時間分析などとも呼ばれる 10

11 生存関数確率変数 T は非負の実数とするここで T はあるイベントが続いた時間を表すと解釈しよう T の分布関数 F(t) = Pr(T t) はこのイベントが続く時間が t 以下になる確率言い換えると ( 時点 0 から始まった ) このイベントが時点 t までに終わる確率を表しているこの時 S(t) = 1 F(t) と定義される関数 S(t) は生存関数と呼ばれる S(t) はこのイベントが続く時間が t より大きくなる確率つまりこのイベントが時点 t になっても続いている確率を表している 11

12 ハザード関数 Δt を任意の小さな値を表すとするこのイベントが続く時間が t 以上 t + Δt 以下となる確率は Pr(t < T t + Δt ) = F(t + Δt) F(t) であるこれは無条件確率であることに注意しよう今興味のある確率としてこのイベントが時点 t まで続いたという条件付きでさらに非常に小さな時間 Δt 続く確率を考えたいとするこれは Pr(t < T t + Δt T t ) = と表すことができる F( t + t) F( t) St () 12

13 ここでこの条件付き確率と Δt の比 Pr( t T t + t T t) F( t + t) F( t) 1 = t t S() t を考えこの比が Δt 0 の時にどのように表せるか考えるこれは条件付き分布関数の点 t における ( 右から極限を取った ) 傾きと解釈できる T の確率密度関数を f(t) とするとこの極限は F( t + t) F( t) 1 f ( t) ht ( ) = lim = t 0 t S( t) S( t) と表すことができるこれをハザード関数と呼ぶデュレーション分析ではしばしばこのハザード関数をモデル化する 13

14 ウェイブル分布 T の分布としてウェイブル分布を考えるウェイブル分布の分布関数は以下で与えられる F(t ; β, α) = 1 exp( (βt) α ) ここで β > 0 であるよってその密度関数生存関数ハザード関数はそれぞれ f (t ; β, α) = αβ α t α 1 exp( (βt) α ) S(t) = exp( (βt) α ) h(t) = αβ α t α 1 で与えられる 14

15 ウェイブル分布のハザード関数の性質 t が増加した時ハザード関数が減少していく場合負のデュレーション依存があるといい増加していく場合正のデュレーション依存があるというまたハザード関数が t に依存しないときはデュレーション独立と呼ぶウェイブル分布場合は α < 1 負のデュレーション依存 α > 1 正のデュレーション依存 α = 1 デュレーション独立となる 15

16 対数正規分布確率変数 Y の分布が対数正規分布であるとは log Y ~ N(μ, σ 2 ) となる分布のことであるウェイブル分布のハザード関数は t についての単調関数でありやや制約的である実際の分析ではハザード関数が t が大きくなるにつれて当初は増加するが次第に減少に転じるような場合がよく観測されるそのようなハザード関数はウェイブル分布のハザード関数では表現できないため他の分布を用いる必要があるそのような分布としてよく用いられるのが対数正規分布である 16

17 対数正規分布の分布関数密度関数生存関数ハザード関数は 1 F( t) = (log t ) 1 1 f ( t) (log t ) t = 1 1 S( t) = 1 (log t ) = (log t ) 1 ((log t ) / ) ht () = t (log t ) / ( ) で与えられるここでΦ(.) および (.) はそれぞれ標準正規分布の分布関数と密度関数である 17

18 デュレーションモデルの最尤推定 T i を i 番目のデュレーションで確率変数とするまた t i を i 番目のデュレーションの観測値とする T i は X i という説明変数ベクトルで条件付けした場合条件付きで独立であるとしその条件付き密度関数は f (t i ; X i, θ) で与えられるとするここで θ は未知パラメーターベクトルであるこの時一般的に尤度関数は n log L( θ) = log f ( t ; X, θ) i= 1 i と書けこれを最大化する未知パラメーター θ の値を求めれば最尤推定値が得られる i 18

19 例えばウェイブル分布において i 番目の分布の β を β = β i = exp(β 0 + β 1 X 1i + + β K X Ki ) とすると先ほどのウェイブル分布の密度関数より f (t i ; X i, θ) = f(t i ; α, β 0,, β K ) = αβ iα t i α 1 exp( (β i α t iα )) であるここで β iα = exp(αβ 0 + αβ 1 X 1i + + αβ K X Ki ) であるので γ k = αβ k とすれば f (t i ; X i, θ) = f(t i ; α, γ 0,, γ K ) = αβ i t i α 1 exp( (β i t iα )) β i = exp(γ 0 + γ 1 X 1i + + γ K X Ki ) という表現を得ることもできる 19

20 よってその対数尤度関数は L 0 K = n + i + ti t i i i= 1 i= 1 i= 1 β i = exp(γ 0 + γ 1 X 1i + + γ K X Ki ) log (,,..., ) log log ( 1) log で与えられる n n n 20

21 例題 2 対数正規分布の分布関数密度関数生存関数ハザード関数が前述のように得られることを確認しなさい例題 3 デュレーション T i が log T i ~ N(μ, σ 2 ) の対数正規分布に従っている時 T i = t i が観測された時の μ, σ 2 についての対数尤度関数を書きなさい 21

切片 ( 定数項 ) ダミー以下の単回帰モデルを考えようこれは賃金と就業年数の関係を分析している : ( 賃金関数 ) ここで Y i = α + β X i + u i, i =1,, n, u i ~ i.i.d. N(0, σ 2 ) Y i : 賃金の対数値, X i : 就業年数. (

切片 ( 定数項 ) ダミー以下の単回帰モデルを考えようこれは賃金と就業年数の関係を分析している : ( 賃金関数 ) ここで Y i = α + β X i + u i, i =1,, n, u i ~ i.i.d. N(0, σ 2 ) Y i : 賃金の対数値, X i : 就業年数. ( 統計学ダミー変数による分析担当 : 長倉大輔 ( ながくらだいすけ ) 1 切片 ( 定数項 ) ダミー以下の単回帰モデルを考えようこれは賃金と就業年数の関係を分析している : ( 賃金関数 ) ここで Y i = α + β X i + u i, i =1,, n, u i ~ i.i.d. N(0, σ 2 ) Y i : 賃金の対数値, X i : 就業年数. ( 実際は賃金を就業年数だけで説明するのは現実的はない