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ああすあいしま
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1 統計教育シンポジウム (2012 年 3 2 3, 橋学 ) 次等学校での数学 Ⅰ データの分析に関するアセスメントの提案分学和泉志津恵 * 東京医療保健学深澤弘美東京情報学櫻井尚研究の概要統計教育の標とアセスメント数学 Ⅰ データの分析指導のポイント出題例まとめ及び今後の課題 * 連絡先 : shizue@oita-u.ac.jp 研究の概要研究の背景学習指導要領の改訂平成 24 年度学より統計の必修化 ( 数学 Ⅰ) 研究の的我が国の統計教育のアセスメント基準の確統計教育に関する教授法教材作成の援試験問題の開発への援研究の法諸外国の試制度問題の調査諸外国のアセスメントの実態把握統計教育の標 (Gal and Garfield, 1997) 以下のことができる市を育成不確実性, ばらつきについて理解の回りにある統計情報を活情報満載の現代社会に効率よく参加より専的な課題に関連して, データの提, 説明, 伝達に貢献ト我が国の問題解決型統計教育のアセスメン

2 統計教育のアセスメントの視点 (Davies and Marriott, 2010) 1. 統計的課題解決のプロセスの理解 2. 統計の技術的視点など授業内容の理解 3. パラメータの推測などの分析についての理解 4. 統計ソフトなどの活 5. 応可能な 6. 現実的な視点で批判的に捉える 7. 結果を伝える統計教育のアセスメントの法記述式試験ワークシート ( イギリスの全国共通試験 ) プロジェクト (International Baccalaureate,IB 試験 ) レポート (Advanced Placement,AP 試験 ) 単純な計算問題, 複数選択問題, 短い答えを求める質問よりも, 統計的課題解決のプロセスを体験させる Assessment Resource Tools for Improving Statistical Thinking(ARTIST) 統計教育のアセスメントに関した研究成果を発表試験問題を提供学における統計のコースでの 3 領域とキーワード Statistical Literacy ( 統計的読解 ) Statistical Reasoning ( 統計的推論 ) Statistical Thinking ( 統計的思考 ) Identify ( 特定 ) Explain why ( 理由の説明 ) Apply ( 応用 ) Describe ( 記述 ) Explain how ( 方法の説明 ) Critique ( 批評 ) Translate ( 変換 ) Evaluate ( 評価 ) Interpret ( 解釈 ) Generalize ( 一般化 ) Read ( 読解 ) Compute ( 計算 ) 等学校における作題, 評価の参考に数学 Ⅰ データの分析の指導等学校の指導要領の学習内容データの散らばりデータの相関中学校の指導要領の学習内容データの整理度数分布表とヒストグラム代表値

3 解決すべき課題を明確にするデータの整理課題に適したデータをら集め, 整理するデータの内容および問題の背景情報を理解するデータの収集では, 標本調査や集団と標本について復習するグラフをいたデータの整理実際の新聞やテレビでの活例間違ったグラフの例度数分布表とヒストグラム度数分布表 ( 数量タイプのデータタ ) 平均や累積相対度数, 四分位点を求める散らばりの指標を学習するヒストグラム ( 数量タイプのデータタ ) 度数分布表を基に作成するデータのピーク,5 割,7 割の範囲を特定するパレート図 ( カテゴリーデータ ) データの重点を把握する代表値最頻値, 中央値, 平均値の意味と違い代表値とヒストグラムの関係外れた値の影響平均値 v.s. 中央値代表値の関係から分布の形状を推測代表値から分布の中の位置を把握分布の散らばり具合視覚的データの散らばり箱ひげ図からヒストグラムをイメージするグループ間の分布の較数値的四分位範囲, 四分位数, 四分位偏差, 範囲 ( 最値 - 最値 ) 分散, 標準偏差

4 相関散布図の形状と相関関係を視覚的に把握相関係数をもとに定量的に判断相関と因果関係の違いを理解 Excel 等のソフトウエアの利回帰直線予測の可能性についての理解数学 Ⅰ データの分析の出題例中学校におけるデータの整理度数分布表とヒストグラム代表値の各知識を踏まえて問題例 1 花さんは, リンゴを育ててスーパーマーケットに出荷することになりました. スーパーマーケットからは, きくて, 均なきさのリンゴを出荷するように依頼されています. 花さんは,AとBの2つの品種を育てていますが, そのうちどちらを商品として出荷するかを決めるために, それぞれ 50 個収穫して重さを測りました. 結果は以下の通りです. リンゴ A リンゴ B 平均値中央値最小値最大値単位 : グラム (1) どちらのリンゴを出荷すべきでしょうか? (2) その理由として, このデータから予測できるリンゴ A とリンゴ B の違いを述べなさい. 問題の解説中央値 ( 位置の平均 ) と平均値 ( 算術平均 ) の違いと関係を知る今ある情報から, データの分布の様を予測するリンゴA 最最の差が90, 中央値が平均値より10 きいので, 分布の中がやや右に偏り, 左に裾がくなる形状リンゴB 最最の差が260, 中央値が平均値より 20 さいので, 分布の中が左に偏り, 右に裾がくなる形状, 全体のばらつきがAよりきいと思われる. 出荷するなら,Aを推奨する.

5 問題例 2 ある街のスポーツクラブの会員の男 ( 児を含む ) の体重を整理すると, 下の度数分布表が得られた会員には 80kg以上のはいない. 階級度数 ( 人 ) 男性女性 10kg 未満 kg 以上 20kg 未満 kg 以上 30kg 未満 kg 以上 40kg 未満 kg 以上 50kg 未満 kg 以上 60kg 未満 kg 以上 70kg 未満 kg 以上 80kg 未満 8 1 参考 : 統計検定 4 級問題例 2 (1) この表をもとに, 階級値を使って男性と性の平均値を計算しなさい. (2) 男性と性の体重の分布を較するのに有効なグラフは何か? グラフの名前と, 実際のグラフを描きなさい. (3) 男性と性の分布の違いを章で説明しなさい. (4) 男の分布を較分析した結果, 男性と性には異なるエクササイズプランが必要だという意がでた. この意が妥当だと判断する理由を述べなさい. 問題の解説度数分布表から階級値を使って平均値を計算するヒストグラムを描く描いたヒストグラムをもとに, 分布の集中の様を, 的確な代表値をいて章で説明する表やグラフから読取った情報をもとに, 決定事項の理由を章で記す問題例 3 下の表は, ある校の1 年 10 の英語のテスト (20 点満点 ) の結果をまとめたものである. 次の問いに答えなさい. なお,IDは各学につけた番号である. ID 1 回目 2 回目 1 回目と 2 回目の差合計

6 問題例 3 (1) 1 回と 2 回の結果を散布図に表しなさい. (2) 1 回と2 回の結果について共分散を求め,1 回と2 回の結果の間の相関関係の向について述べなさい. (3) 1 回と 2 回の結果の差について,5 数要約を求めなさい. なお,5 数要約とは, 最値, 第 1 四分位数, 中央値, 第 3 四分位数, 最値を意味する. (4) 1 回と 2 回の結果の差について, 箱ひげ図を描きなさい. (5) 1 回と 2 回では結果がどのように変わっただろうかあなたの考えを述べなさい. 問題の解説 2 変量の関係をあらわす, 最適なグラフを描く共分散の符号から, 相関関係の向を知る 5 数要約 ( 最値, 第 1 四分位数, 中央値, 第 3 四分位数, 最値 ) のそれぞれの意味を理解し, 値を算出する箱ひげ図をもとに, 差の分布の様を説明する差の箱ひげ図から, 1 回と2 回での結果の変化について述べるまとめと今後の課題数学 Ⅰ 標 : 知識の習得 + 実際に活できるを養う作題 : 現実のデータや現実に起こり得る問題を活法 : 統計的課題解決のプロセスを体験して, 得られた成果をレポートにまとめる統計的課題解決の育成統計検定 2 級 : 学基礎,3 級 : データの分析,4 級 : 資料の活における作題との連携参考献 [1] Gal, I. and Garfield, J.B. (1997). Curricular Goals and Assessment Challenges in Statistics Education, The Assessment Challenge in Statistics Education, IOS Press. [2] Davies N. and Marriott J. (2010). Assessment and feedback in statistics, Assessment Methods in Statistical Education 3-19, WILEY. [3] Parsons, R. (2010). GCSE Mathematics Foundation Level, CGP. [4] Metcalf, P. (2006). Cambridge IGCSE Mathematics, Collns. [5] Artist の Web サイト, [6] delmas, R.C. (2002). Statistical Literacy, Reasoning, and Learning: A Commentary. Journal of Statistics ti ti Education Volume 10, Number 3, ml [7] Chance, B. and delmas, R., Rossman, A. (2004). Designing i and Evaluating Assessments for Introductory Statistics, Minicourse #1 Joint Mathematics Meetings, Phoenix, AZ., January 7, 9, 2004.

7 謝辞統計数理研究所統計学の試問題策定に関する研究諸外国事例をもとに (21- 共研 -4210,22 共研 4105), 代表者櫻井尚統計教育の新展開に向けた学学院における統計教育の国際較 (21 共研 4203), 代表者和泉志津恵分学性研究者援プログラム

平均値 () 次のデータは, ある高校生 7 人がヵ月にカレーライスを食べた回数 x を調べたものである 0,8,4,6,9,5,7 ( 回 ) このデータの平均値 x を求めよ () 右の表から, テレビをみた時間 x の平均値を求めよ階級 ( 分 ) 階級値度数 x( 分 ) f( 人 )

平均値 () 次のデータは, ある高校生 7 人がヵ月にカレーライスを食べた回数 x を調べたものである 0,8,4,6,9,5,7 ( 回 ) このデータの平均値 x を求めよ () 右の表から, テレビをみた時間 x の平均値を求めよ階級 ( 分 ) 階級値度数 x( 分 ) f( 人 ) データの分析データの整理右の度数分布表は,A 高校の 0 人について, 日にみたテレビの時間を記入したものである次の問いに答えよ () テレビをみた時間が 85 分未満の生徒は何人いるか () テレビをみた時間が 95 分以上の生徒は全体の何 % であるか (3) 右の度数分布表をもとにして, ヒストグラムをかけ階級 ( 分 ) 階級値度数相対 ( 分 ) ( 人 ) 度数 55 以上 ~65