統計学 Ⅱ8-9 章 確率分布 確率の条件 8 ページ p: 確率関数 p は の関数とみなせる 確率分布 : すべてのに関する = または p の分布 グラフや表で表わすことが多い サイコロの例 : 計 縦軸は p または = 棒の幅は 線 確率 p.. = / / / / / / サイコロの目の

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1 統計学 Ⅱ8-9 章 章確率と確率分布. 確率変数と離散的確率分布 確率変数 確率分布. 確率変数の平均と分散 確率変数 の平均と期待値 確率変数 の分散 期待値の性質 期待値の一般的な定義 基準化確率変数 歪度 尖度. 同時確率 周辺確率 条件付確率 項確率モデル 同時確率と同時確率分布 周辺確率 一般的な場合の同時確率 周辺確率 条件付確率 ベイズの定理. つの確率変数の平均 分散 共分散 変数の関数の期待値 つの確率変数の 次式の平均値 分散と共分散 個の確率変数の同時確率分布 推測統計学の基本的考え方 - 章 : データ 所与 give 与えられたデータの中で 平均 分散等の計算を行い データの特徴をつかむ 記述統計学 章 ~ : データの生成プロセスを考察 データ= 母集団から 確率的に 発生した標本 母集団 標本抽出 推定 標本 視聴率調査名古屋地区全体..... 母集団と標本 標本抽出 推定 世帯 サイコロ振ることができる回数 標本抽出 推定 為替レート取り得る値すべて 8. ある日のレート 振った回数. 確率変数と離散的確率分布 教科書 - ページ 確率変数 例 : サイコロを 回投げたら が出た データ : = = = = = このデータに関して 平均 分散 が計算可能 サイコロを投げる前に 出る目を表わす変数をとする は のいずれかの値を取ることはわかっているが どの値を取るのかは事前にはわからない しかし 一定の確率 =/? でそれぞれの値を取る 例 : 硬貨投げ ページ 表が出たら 裏が出たら で数値化する 例 : 回目に裏 回目に表が出たら = = 確率変数と確率 確率変数 : あるデータが実現する前の変数 e. サイコロの目 為替レート ある番組をみたか データ : 実現したあとの一定の値 iを固定 与えられたデータに対して それを発生させた実現前の変数が確率変数確率変数は ある値をとる確率が付与されている 実現したデータ は が一定の確率でその値を実現したとみる で確率を表わす サイコロの例 硬貨投げの例 :roilit の の中は不等式でもよい e. > より一般的な表現 離散的 確率変数の取りうる値 : サイコロの例 で コインを 回投げる で 確率変数がある値をとる確率 : が決まれば 確率 別の表わし方 p = が決まる は順序を表す p p p p pは関数の記号 f でもよい. サイコロの例 または p p p コインの例 または p p

2 統計学 Ⅱ8-9 章 確率分布 確率の条件 8 ページ p: 確率関数 p は の関数とみなせる 確率分布 : すべてのに関する = または p の分布 グラフや表で表わすことが多い サイコロの例 : 計 縦軸は p または = 棒の幅は 線 確率 p.. = / / / / / / サイコロの目の例の確率分布 cf. 度数分布表における階級との違い 連続的確率変数 9 ページ参照 横軸は または 確率は非負 以上の値をとる 確率の和は すべての取りうる場合について確率を合計するとになる p で表わしても同様 p p 確率変数の平均と分散 確率変数 の平均と期待値 確率変数 : 確率分布をもつ 度数分布と同様に平均や分散をもつ 平均 :μ または μ や 分散 :σ または やVr 標準偏差 :σ または 確率変数の特性値 平均 分散 にはギリシャ文字を用いることが多い μ: ミュー σ: シグマ σ : シグマ エックス 乗 確率変数の平均 μ = 期待値 教科書 -9 ページ 期待値の例 宝くじの例 ページ 期待値 または平均値 =すべての宝くじを購入したときの 枚あたりの賞金 = 枚あたりの期待される賞金 = 賞金総額 宝くじの枚数 平均値 9 9 合計 p 9/ / / / 確率変数の期待値 期待値の定義 μ でもよい 期待値は の取りうる値 にそれぞれが起こる確率 = を掛けて加えたもの p でもよい サイコロの例. 確率変数 の分散 分散 = 平均からの偏差 乗の平均 期待値 確率変数 の期待値 平均 = 分散は の期待値の期待値 確率変数 の分散は のかわりに -μ を代入する Vr cf. s 標準偏差 p でもよい サイコロの例 Vr i Vr などで表す. 9 i

3 統計学 Ⅱ8-9 章 確率変数の平均 分散 標準偏差のまとめ 平均 分散 Vr 標準偏差 データの平均値との対応 度数分布表からの平均値 と表すことも多い * m m f * f 相対度数による加重平均 m f * m * r 基準化確率変数 i zi データに関する基準化 章 s 各データから平均値をひき 標準偏差でわる 基準化すると 平均 分散 標準偏差 確率変数についても同様に基準化を定義する : 基準化確率変数 Z 基準化確率変数の平均 分散 標準偏差 Z Vr Z z z z 同時確率 周辺確率 条件付確率 項確率モデル 8 章 同時確率と同時確率分布 つの確率変数 を考える 例 : サイコロとコインを同時に投げたときの サイコロの目の出方 と表 裏の出方 例 :ABつのサイコロを同時に投げたときの Aのサイコロの目 とBのサイコロの目 の取りうる値 : の取りうる値 : M 例 教科書 9- ページ = で = = = M= で = = 同時確率分布 すべての に対する確率関数例 : コインとサイコロを同時に投げる / 合計 / / / / / / / / / / / / / / 合計 / / / / / / この例では となっている. 同時確率 と が同時に起こる場合を考える 同時に起こる確率 : 同時確率 例 :と表が出る確率 = 同時確率もつの変数の場合と同様に確率 非負で 合計は M M p は表のすべての 行と列を合計すること 周辺確率 コインとサイコロを同時に投げる例 / 合計 / / / / / / / / / / / / / / 合計 / / / / / / の周辺確率分布 p の周辺確率分布 p p の周辺確率分布 p の周辺確率分布

4 周辺確率 周辺確率分布 つの確率変数 のいずれかにだけ注目した確率 周辺確率 周辺確率 = 同時確率分布の合計 周辺 p または p または M 表 - 参照も同様 M M 周辺確率分布の平均 分散 標準偏差 Vr Vr M M 標準偏差分散平均 つの確率変数の平均 分散 共分散 例 変数の和の期待値 : コインとサイコロの例 周辺確率分布の平均 分散も同様に計算可能教科書 - ページ / 合計 / / / / / / / / / / / / / / 合計 / / / / / / 8 + を計算し 新しい つの確率変数を作成 + の計算 対応する確率 + の確率分布 / 合計 / / 合計 / / / / / / / 合計 / / / / / / / / / / / / / / 合計 / / / / / / + p / / / / / / / つの確率変数の和の平均 + の確率分布 + の期待値 平均 + の分散 8 + += / / / / / / / 8 または 8 Vr 変数の和の期待値と分散 平均 期待値 分散の関係 一般的には 分散は特殊な場合を除いて つの変数の分散の和にはならない サイコロとコインの例は特殊な場合 と が無関係 独立 共分散が または 証明は - ページ Vr Vr Vr または と の共分散 Cov 統計学 Ⅱ8-9 章

5 統計学 Ⅱ8-9 章 8 章離散的確率分布 確率変数の独立性 つの確率変数の独立性 独立性と条件付確率 つ以上の確率変数の独立性 iid 独立な確率変数の平均 分散 共分散 平均 分散 共分散 独立な 個の確率変数の平均 分散 項分布 項試行と 項確率 回の 項試行の確率分布 項分布 項分布の平均 分散 その他の離散的確率分布 ポアソン分布 幾何分布 負の 項分布. 確率変数の独立性 つの確率変数の独立性 つの変数が独立である idepedet 教科書 - ページ 一方の変数の値の取り方が 他方の変数に影響を与えない 硬貨とサイコロを同時に投げた場合 サイコロの目 : 硬貨の表裏 : 表 裏 / 合計 / / / / / / / / / / / / / / 合計 / / / / / / e. すべての について成り立つ 独立性の定義 すべての について 周辺確率の積が同時確率に等しい あるいは p p p ; M 組でも 上の関係が成り立たなければ 独立とはいえない の周辺確率 の周辺確率 同時確率 ページ表 - 独立でない場合の例 ページ練習問題 表 - 為替レートの状況とA 株とB 株の予想変化率 % A 株の予想 B 株の予想状況確率変化率 % 変化率 % 円高 / - 変化なし / 円安 / - の周辺 - 確率 - / / / / / / の周辺確率 / / / の周辺確率 の周辺確率が同時確率になっていないので 独立でない おそらく と の間には何らかの関係がある? つ以上の確率変数の独立性 確率変数 が独立 独立 周辺確率 周辺確率 = 同時確率 の取りうる値が共通に で の周辺分布が同じであるという状況を考えることが多い iid 例 : 同じサイコロを 回投げる 独立な確率変数の平均値 分散 共分散 平均値 つの確率変数の和の期待値 = それぞれの確率変数の和 独立であっても 独立でなくても同じ 教科書 - ページ または 分散 共分散 つの確率変数 の和の分散は 独立な場合と独立でない場合で異なる

6 統計学 Ⅱ8-9 章 つの確率変数の和の分散 つの確率変数 が独立のとき または Vr Vr Vr 証明は ページ 独立な 変数の和の分散 = それぞれの分散の和 独立でない場合は成立しない 独立でない場合の つの確率変数の和の分散 まとめ または Vr Vr Vr Vr が独立 Vr Vr が独立でない Vr Vr 証明は ページ 独立な 個の確率変数の平均 分散 が互いに独立であれば 平均 分散 Vr Vr Vr Vr e. 硬貨を 回投げたときの表の出る枚数の平均 分散 が互いに独立でなければ 平均 分散 Vr Vr Vr Vr iid 実現したデータ 背後にそれぞれを実現させた確率変数が存在すると想定 そしてそれらの確率変数に以下のつの仮定をすることが多い 各 i は 共通の同一な分布に従う 共通の値をとる 各 i は互いに独立である は互いに独立に同一の分布に従う iid; idepedetl d ideticll distriuted 例 : 同じサイコロを 回振って 出た目のデータを i とする iid の例 : 章練習問題 プリント 袋の中に白玉 個と赤玉 個が入っている. 袋の中を見ないで玉を 個取り出すとき 個とも白である確率を考える. 個目の色 : 個目の色 : 最初の 個を取り出して それを元に戻さずに 個目を取り出す場合 は独立ではない は共通の同一の分布ではない 最初の 個を取り出して それを元に戻して 個目を取り出す場合 は独立 は共通の同一の分布に従う 白 赤 p 白 赤 は互いに独立に同一の分布に従う iid p 最初の 個を取り出して それを元に戻さずに 個目を取り出す場合 重複を許さない抽出 白 赤 p 白 つの例の確率分布 赤 p 最初の 個を取り出して それを元に戻して 個目を取り出す場合 重複を許す抽出 白 赤 p 白 赤 9 p 平均 μ 分散 σ iid と標本抽出 ランダムサンプリング 母集団 : : 標本 = データ : データ の背後に確率変数 を考える は独立 cf. ランダムランプリング は共通の確率分布 母集団分布 をもつと仮定する は 母集団にある 個の値のうちのつをランダムに取る確率変数 は共通の平均 μ 分散 σ をもつ

7 iid と独立な 個の確率変数の和の平均 分散 が互いに独立で同じ分布 iid 共通の平均をもつ 共通の分散をもつ 独立な 個の確率変数の和の平均 分散 Vr Vr Vr Vr Vr Vr Vr 統計学 Ⅱ8-9 章

8 統計学 Ⅱ8-9 章 9 章連続的確率分布と正規分布 確率密度関数 連続的確率変数を離散的に考える 確率密度関数 連続的確率変数の平均値と分散 正規分布 正規分布 正規分布の性質 標準正規分布と正規分布表 正規分布表による確率計算 標準偏差と確率変数の含まれる割合 その他の連続的確率分布 一様分布 指数分布 ガンマ分布 次元確率密度関数 連続的確率変数の独立性 連続的確率変数の独立性と iid 独立性のもとでの平均 分散 共分散 確率密度関数 -8 章 : 離散的確率変数 教科書 9-98 ページ 取りうる値が 離散変数 連続変数 変数の取りうる値は たとえ離散的であっても連続的に取るとみたほうが扱いやすい 身長 体重 為替レート 収益率 度数分布表 階級の設定 章 節参照 連続的確率変数を離散的に考える 離散的確率変数の確率分布 確率関数 p== pは関数の記号 p p 連続的確率変数の確率分布 pを f に変える : f f ただし は連続的なので = = などと書くことができない とりうる値を全部書き出すことができない 問題点 はよいが f f と書けない 確率... 離散的確率変数の確率分布 8 9 連続的確率変数の確率分布 f f は確率ではない 離散化確率変数 が取るうる値を微小な幅 h の区間に分割し 離散的に考える がある区間に入る場合 その区間の上限の値によって 区間に含まれるすべての を代表させる図 9. 参照 例 :h=. の場合. はすべて. とする.<. はすべて. とする.<. はすべて. とする は... という値しかとらず 離散的になる 連続的確率変数における確率 区間に対する確率の与え方 区間上の柱の面積とする 高さは右端の f の値 このように定義すれば と書くことができる f h h f h h h h f h h ~. のとき f...~. のとき f...~. のとき f...-~. のとき f.. 確率密度関数 f は確率を表わしていない 確率密度という 確率はある区間に対する面積で考える ある 点に対する確率は 離散的変数の場合と同様に期待値を定義できる 平均 分散も同様 f. 確率密度関数と確率 f f f d d 8

9 統計学 Ⅱ8-9 章 正規分布 f 正規分布 最もよく用いられる分布 左右対称 釣り鐘状 ell-shped の形 正規分布の確率密度関数 98 ページ f ep 平均 Vr 分散 教科書 98- ページ 証明は 国沢清典編著 9 確率統計演習 ページなど参照. 正規分布の平均 分散と形状 正規分布 : 平均と分散の大きさによって 形が変わる 平均 分散 の正規分布 で表す.. f ~ 標準正規分布と正規分布表 正規分布に従う変数 ~ を基準化 Z Z~ 標準正規分布 標準正規分布の確率密度関数 f の代わりにz と書く z ep z μ や σ が含まれていないので 各 z についてか確率を計算できる 正規分布表 正規分布表 ページ 標準正規分布 におけるある値以下の確率を与える Φz: 標準正規分布関数 Zがc 以下である確率 = c Z c 分布関数 : ある値以下の確率 cf. 累積相対度数 zを決めれば 確率 Φz が計算できるので zの値ごとに表にしたもの c 正規分布表の使い方 Z.8.99 Z. Z.9.8 Z.8 Z Z. Z.9.8 Z.8 Z Z. Z.9. Z..9 Z Z.8 Z 重要 例題 9.なども参照のこと celでは ORM.S.DISTc で求められる 9

10 統計学 Ⅱ8-9 章 例題 9. 8 で > を求める 通常の正規分布では確率計算が困難 標準正規分布で考える を基準化 平均をひき 標準偏差でわる Z とすれば Z ~ 8 Z. 8 Z..89. Z. 8 Z. Z 標準偏差と確率変数の含まれる割合 Z~ で - Z =.9 平均 ± 標準偏差の - に9.% が含まれる 同様に Z.99 Z. 8 ~μσ で 平均 ± 標準偏差をつくる.9. Z 9 正規分布であれば 平均 ± 標準偏差に約 9% が含まれる 平均 ± 標準偏差に約 99.% が含まれる

11 統計学 Ⅱ8-9 章 章確率と確率変数練習問題. 袋の中に と書いてある 枚のカードが入っている. 袋の中を見ないで カードを 枚取り出すとき 取り出したカードに書かれている数字を確率変数 とする. の取りうる値を とするとき はいくつか. また はそれぞれどのような値になるか. = = = を求めよ. 確率分布のグラフを作成せよ. 確率変数 の期待値 平均値 µ = = を求めよ. 確率変数 の分散 σ = µ = = = 標準偏差 σ = σ を求めよ.. 袋に 本のくじが入っている. そのうち 本は当たりで 当たりくじをひくと 円の賞金がもらえるが はずれくじの場合は賞金はもらえないとする. そして賞金の額を確率変数 とする. の取りうる値を とするとき はいくつか. また はそれぞれどのような値になるか. = = = を求めよ. 確率分布のグラフを作成せよ. 確率変数 の期待値 平均値 µ = = を求めよ. 確率変数 の分散 σ = µ = = = 標準偏差 σ = σ を求めよ.. 袋に 本のくじが入っている. そのうち 本は当たりで 当たりくじをひくと 円の賞金がもらえるが はずれくじの場合は 賞金はもらえないとする. 得られる賞金額を とするとき と同様に ~ の問いに答えよ.. 硬貨を 枚投げるときに 表の出る枚数を確率変数 で表す. このときと同様の ~ に答えよ.. 袋の中に白玉が 個と赤玉 個と入っている. 袋の中を見ないで 玉を 個取り出すとき 取り出した赤玉の個数を確率変数 とする. このときと同様の ~ に答えよ.. 教科書の練習問題 ページ の例について と同様の~ に答えよ.. 教科書の練習問題 ページ 8. ある店では 雨が降ると客は 日 8 人 雨が降らないと 人の客があるという. ある日の降水 確率が % のとき 来店する客数の平均 期待値 µ 分散 σ 標準偏差 σ を求めよ. 9. 教科書の練習問題 - ページ

12 統計学 Ⅱ8-9 章. 袋の中に と書いてある 枚のカードが入っている. 袋の中を見ないで カードを 枚取り出すとき 取り出したカードに書かれている数字を確率変数 とする. 確率変数 の平均値 µ = = 分散 σ = µ σ = σ を求めよ. = µ を基準化した基準化確率変数 Z = を求めよ. Z の期待値 平均値 が 分散 標準偏差が になることを確かめよ.. 教科書の練習問題 8 ページ. 教科書の練習問題 ページ σ = = 標準偏差.. と の同時確率が右のように与えられている. p と の周辺確率を求めよ. と の平均 μμ μμ 分散 σσ σσ 標準偏差 σσ σσ をそれぞれ求めよ. + の分布を下の表に作成せよ. + の平均 μμ + 分散 σσ + 標準偏差 σσ + を求めよ. そして μμ + = μμ + μμ σσ + σσ + σσ となることを確かめよ. + 計 + / p... と の同時確率が右のように与えられている. / p このとき 上の問題と同様の ~ に答えよ... と の周辺確率を求めよ. と の平均 μμ μμ 分散 σσ σσ 標準偏差 σσ σσ をそれぞれ求めよ. + の分布を下の表に作成せよ. p. + の平均 μμ + 分散 σσ + 標準偏差 σσ + を求めよ. そして μμ + とμμ + μμ 及びσσ + とσσ + σσ を 比較せよ. + 計 +

13 統計学 Ⅱ8-9 章 8 章離散的確率分布練習問題. 教科書の練習問題 89 ページ. 教科書の練習問題 89 ページ. と をそれぞれ 円玉と 円玉を投げたときに 表が出たら 裏が出たら を 取る確率変数とする. このときの同時確率分布が右の表で与えられている. と の周辺確率を求めよ. と は独立といえるか. と の平均 期待値 分散 標準偏差をそれぞれ求めよ. + の平均 期待値 分散をそれぞれ求め + よ. + / p.... p 計. と の同時確率が右のように与えられている. と の周辺確率を求めよ. と は独立といえるか. と の平均 期待値 分散 標準偏差をそれぞれ求めよ. + の平均 期待値 分散をそれぞれ求めよ. + / p... p 計 +. と の同時確率が下のように与えられている. と同様の問いに答えよ. p p + + 計

14 統計学 Ⅱ8-9 章 9 章連続的確率分布と正規分布練習問題. 教科書の例題 9. ページ. 教科書の練習問題 9 ページ.Z~ として 次の値を求めよ. Z Z > Z < Z Z Z > Z < 8 Z 9 Z. Z.. Z. Z. Z~ として 次の値を求めよ. Z. Z >. Z.. Z. Z. Z >.. Z. 8 Z. 9. Z.. z.. 教科書の練習問題 9 ページ. 教科書の練習問題 ページ. 教科書の練習問題 ページ 8. あるテストの得点は正規分布をしていて 平均点が 点 標準偏差が 点であったという. このテストで 点を取った人は上位何 % のところにいるか. また 点の人はどうか. 9. 偏差値が正規分布に従うとして 偏差値が 以上になる確率 以上になる確率 以下になる 確率をそれぞれ求めよ.. 内容量が グラムのヨーグルトを生産している工場がある. 過去の経験から ヨーグルトの内容量 の平均は グラム 標準偏差は. グラムであることがわかっている. 内容量が正規分布に従うもの として ヨーグルトが 99 グラム以下になる確率を求めよ.. ある工場で寿命時間が 時間の電球を生産している. 過去の経験から その電球の寿命時間の平 均は 時間 標準偏差は 時間であることがわかっている. 寿命時間が正規分布に従うものとして 寿命時間が 99 時間以下になる確率を求めよ. また 時間以上になる確率を求めよ.. ある魚の大きさは 平均 cm 標準偏差 cm であることがわかっている. この魚を釣ったとき cm を超える確率を求めよ. また 8cm 以下である確率を求めよ.