点におけるひずみの定義 ( その1)-(ε, ε,γ ) の定義ひずみは構造物の中で変化しているのが一般的であるこのために応力と同様に構造物内の任意の点で定義できるようにした方がよいまた応力と同様に一つの点に注目してもひずみは向きによって値が異なるこれらを勘案しあ

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きみとしうとだ
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1 3. 変位とひずみ 3.1 変位関数構造物は外力の作用の下で変形するいまこの変形により構造物内の任意の点 P(,,z) が P (',',z') に移動したものとする ( 図 3.1 参照 ) (,,z) は変形前の点 Pの座標 (',', z') は変形後の座標であるこのとき次式で示される変形前後の座標の差 u ='- u ='- u z =z'-z (3.1) を変位成分と呼ぶ変位 ( u, u, u z ) は向きを持っておりベクトル量である構造物が連続体であれば変位成分 u (,,z) u (,,z) u z (,,z) は連続関数になっている ( 変位関数と呼ばれる ) 3.2 ひずみ変形とひずみ構造物が外力を受けると構造物中の各点は移動 ( 変位 ) するまた外力を受ける前と後では構造物の形状は一般には一致しないこの差異が変形である変形は一見複雑そうに見えるしかし後で証明するように構造物の微小な領域に注目すると変形は長さの変化 ( 伸縮 ) と角の変化の2つから成り立っておりこれが場所ごとに違うために構造物全体としてみると変形が複雑であるように見えるのである * 変形をもたらす長さの変化および角の変化の程度をひずみという所与の向きを持った長さlの線分が変形後長さがl+ lになったものとする ( 図 3.1 参照 ) この線分の伸縮の程度を直ひずみと呼び次式のように定義する {(l+ l)-l}} / l = l/l (3.2) この直ひずみにはεという記号を用いるのが普通である変形に伴い所与の向きを持った線分とその一端から出た法線方向の線のなす角度が直角から γだけ減少し π/2-γ になったものとするこのとき角の変化量 γをせん断ひずみと呼ぶせん断ひずみにはγという記号を用いるのが普通である ~~~~~~~~~~~~ * 構造物にあらかじめ格子状の線を細かく引いておけば変形後元の正方形は平行四辺形に変わっていることがわかるであろう変形の成分は長さと角の変化であることが理解される 20

2 点におけるひずみの定義 ( その1)-(ε, ε,γ ) の定義ひずみは構造物の中で変化しているのが一般的であるこのために応力と同様に構造物内の任意の点で定義できるようにした方がよいまた応力と同様に一つの点に注目してもひずみは向きによって値が異なるこれらを勘案しある任意点 Pにおけるひずみ成分 (ε, ε,γ ) を以下のように定義する * いま構造物中の任意の1 点 Pに注目する ( 図 3.2 参照 ) 変形前のこの点の座標をP(,) とする点 Pの近傍に2つの点 Q(+δ,),R(,+δ) を考えるここに δ δ は十分に小さい寸法とする変形によりこれら3 点は変位し P' Q' R' に移ったものとする点 Pにおける方向のひずみ成分 (ε, γ ) は次のように定義される ε =lim[{(q'-p')- (Q-P)}/ (Q-P)] (Q P) γ =lim{ QPR - Q'P'R' } (Q P, R P) * (3.3) また点 Pにおける方向の直ひずみ成分 ε は次のように定義される ε =lim[{(r'-p')- (R-P)}/ (R-P)] (R P) ひずみ成分 (ε, ε,γ ) の向きを示すと図 3.4(a) のようになる *γ は定義しないことにする (3.3)' ひずみと変位の関係 (,) 座標で定義される変位関数を (u,u ) とする図 3.2に示す3 点 P,Q,Rの変位後の座標は次のように表される P': 座標 + u X (,) 座標 + u (,) Q': 座標 +δ + u X (+δ,) 座標 + u (+δ, ) R' 座標 + u X (,+δ) 座標 + δ + u (,+δ) (3.4) なお点 P' から軸に平行に引いた線上に点 Q' から降ろした垂線と線の交点を点 Q'' 点 P' から軸に平行に引いた線上に点 R' から降ろした垂線と線の交点を点 R'' とする (a) 直ひずみε と変位の関係 Q -P の方向成分は (3.4) 式から Q -P'=δ +u X (+δ,)- u X (,) これを (3.3) 式に代入すれば次式が得られる ε =lim[{( u X (+δ,)- u X (,)}/δ ] ここで, u X (+δ,) はTalor 展開を用い一次微小項まで取るものとすれば次のように表すことができる u X (+δ,)= u X (,)+ u X (,)/ δ 21

3 これを上式に代入すると次式が得られる ε = u X (,)/ (3.5) (b) せん断ひずみγ と変位の関係 (3.3) 式のせん断ひずみの定義から γ =lim(π/2- Q'P'R' ) =lim( Q''P'Q'+ R''P'R') Q''P'Q'=tan -1 [(Q'-P' の座標 )/( Q'-P' の座標 )] R''P'R'=tan -1 [(R'-P' の座標 )/( R'-P' の座標 )] Q'-P' の座標およびQ'-P' の座標は Q'-P' の座標 =u Y (+δ, )- u (,) Q'-P' の座標 =δ + u X (+δ,)- u X (,) R'-P' の座標, R'-P' の座標は R'-P' の座標 =δ +u (,+δ )- u (,) R'-P' の座標 =u X (,+δ )- u Y (,) ここで, u (,+δ ) はTalor 展開を用い一次微小項まで取るものとすれば次のように表すことができる u (,+δ)= u (,)+ { u (,)/ }δ これを定式に代入すると次式が得られる (Q'-P' の座標 )/( Q'-P' の座標 )=[ u (+δ,)- u (,)]/[{1+ u X (,)/ }δ] u X (,)/ は1に比べて十分小さいと仮定できるので (Q'-P' の座標 )/( Q'-P' の座標 )=[ u (+δ,)- u (,)]/δ Q''P'Q' =[tan -1 {(Q'-P' の座標 )/( Q'-P' の座標 )} lim[u (+δ,)- u (,)]/δ] lim[ Q''P'Q']= u (,)/ 同じように (R'-P' の座標 )/( R'-P' の座標 ) =[ u X (,,+δ)- u (,)]/δ lim[ R''P'R']= u X (,)/ (3.3) 式から γ =lim{ Q''P'Q' + R''P'R' } = u (,)/ + u X (,)/ (3.5)' 得られた結果を纏めて示すと次のようになる ε = u (,)/ γ = u (,)/ + u (,)/ (3.5)'' ひずみは2 成分とも変位の1 次微分になっているせん断ひずみは元々角の変化として定義され 22

4 ているが変化量が微小であれば ( 長さの変化 / 長さ ) に等しいので直ひずみと同じ単位になっていることに注意されたい変位とひずみの単位と符号変位の単位は長さでひずみの単位は定義から ( 変位 )/ 長さ=( 長さ )/ 長さなので無次元である変位成分の符号は座標軸の正の向きになっていれば+ 逆向きであれば-とするひずみの符号は直ひずみの場合伸びを+ 縮みを-とするせん断ひずみは直角の減少を+ 増加を-と約束するひずみは応力と同様に考える点と向きを指定して初めて定まる ( テンソル量である ) 3.3 任意点 Pにおけるθ 方向 ( 軸から反時計回りに測って ) の2つのひずみ成分 (ε θ,γ θ ) とひずみ成分 (ε,ε,γ ) との関係任意点 P(,) における (ε θ,γ θ ) の定義点 Pから軸から反時計回りに測ってθ 方向の線上において点 Pの近傍に1 点 Qを θ+π/2 方向の線上において点 Pの近傍に1 点 Rを取る ( 図 3.3 参照 ) また PQ PRに平行に ( 局座標 OXY) をとるこの局座標を用いると各点は次のように表される P(0,0) Q(dX,0) R(0,dY) 点 Pのθ 方向のひずみ (ε θ,γ θ ) を次のように定義する ( 図 3.4(b) 参照 ) ε θ =lim[{(q'-p')- (Q-P)}/ (Q-P)] (Q P) γ θ =lim{ Q'P'R' - QPR } (Q P, R P) (3.6) 任意点 P(,) における (ε θ,γ θ ) と (ε,ε,γ ) との関係明らかに (ε θ,γ θ ) は次のように表現できる ε θ =ε X γ θ =γ XY (3.7) (3.5) 式より次式が成立する ε θ =ε X = U X (X,Y)/ X γ θ =γ XY = U Y (X,Y)/ X + U X (X,Y)/ Y (3.8) ここに (U X, U Y ) は (0,XY) 座標で定義される (X,Y) 方向の変位成分である 2つの直交座標 :(0-) と (0-XY) の間には 23

5 X= cosθ+sinθ Y= -sinθ+cosθ (3.9) が成立するあるいは = Xcosθ-Ysinθ = Xsinθ+Ycosθ (3.9) また (0-XY) 座標で定義される変位成分 (U,U Y ) についても (u u ) との間に U = u cosθ+u sinθ U Y =-u sinθ+u cosθ (3.10) が成立する (3.8) 式に (3.9) (3.10) 式を代入すれば次式が得られる ε θ =ε X = U / X= U / / X+ U / / X ここで (3.9)' 式から / X=cosθ / X=sinθ (3.11) これと (3.9) 式を利用して上式を整理すると以下の評価が得られる ε θ = U / / X+ U / / X = { u / cosθ+ u / sinθ}cosθ +{ u / cosθ+ u / sinθ}sinθ = { ε cosθ+ u / sinθ }cosθ +{ u / cosθ+ε sinθ }sinθ = ε cos2θ+( u / + u / )sinθcosθ+ε sin2θ = ε cos2θ+ε sin2θ+γ sinθcosθ = (ε +ε )/2+(ε -ε )/2cos2θ+γ /2sin2θ (3.12) 同様に次式が導かれる γ θ /2= γ XY /2 = -(ε -ε )/2sin2θ+γ /2cos2θ (3.13) このひずみの関係式に対応する応力 : ε θ σ θ γ θ/2 τ θ ε σ ε σ γ /2 τ (3.14) を代入すれば先に求めた応力の関係式が得られるこのように応力とひずみの間には完全な対 24

6 応関係があるしたがって応力で得られた性質はひずみにも成立する問 : 次の関係式が成立することを確認しなさい ε θ (θ=0)=ε γ θ (θ=0)/2=γ /2 ε θ (θ=π/2)=ε γ θ (θ=π/2)/2=-γ /2 (3.15) 3.4 主ひずみ最大せん断ひずみひずみの Mohr 円ひずみの Mohr 円 ( 図 3.4 参照 ) (3.12) 式を次のように変形する ε θ -(ε +ε )/2 =(ε -ε )/2 cos2θ+γ /2 sin2θ (3.12)' (3.12)' と (3.13) 式をそれぞれ2 乗した後和をとると次式が得られる {ε θ -(ε +ε )/2 } 2 +(γ θ /2) 2 ={(ε -ε )/2 } 2 +(γ /2) 2 これはある点のθ 方向のひずみ (ε θ γ θ/2 ) は (ε-γ/2) 座標で円上の1 点として表されることを意味するこの円の中心 (ε m 0 ) と半径 rは次のようになる ε m =(ε +ε )/2 r=[ {(ε -ε )/2} 2 +(γ /2) 2 ] 1/2 (3.16) この円はひずみのMohr 円と呼ばれる θ=0 の方向のひずみ (ε θ γ θ /2) は (3.15) 式より (ε γ /2) で与えられるがもちろんこの点はMohr 円上に位置する任意のθ 方向のひずみ (ε θ γ θ /2) は Mohr 円では 2.5 節 (2) より Mohr 円上の点 (ε γ /2) から時計周りに2θ 回転した円上の点に対応する ( 図 3.4 参照 ) ひずみのMohr 円の描き方 θ=π/2 方向のひずみは (3.12) 式より (ε -γ /2) で与えられるこのひずみは上述したようにひずみの Mohr 円では θ=0 の (ε γ /2) からπだけ回転した点に位置するこのことからひずみのMohr 円は (ε-γ/2) 座標において 2 点 : (ε γ /2) (ε -γ /2) (3.17) を直径の両端とする円として与えられる主ひずみとその向き特にひずみのMohr 円がε 軸と交わる2つの点ではせん断ひずみが0となっており直ひずみは最大最小値を取るこれらの最大最小の直ひずみを主ひずみ ε 1 ε 2 と呼ぶ両者の値は明らかに次式で与えられる ε 1,2 = (ε +ε )/2 ± [{(ε -ε )/2} 2 +(γ /2) 2 ] 1/2 (3.18) 25

7 ひずみのMohr 円上で主ひずみε 1 ε 2 に対応する点は互いにπだけ離れているこれは3.4.1で述べたように物理場では π/2だけ離れていることを意味するつまり 2つの主ひずみは直交しているまたひずみの Mohr 円において軸方向のひずみに対応する点 (ε γ /2) から時計周りにε 軸の正の向きまで測った角度を2αとすれば主ひずみε 1 は軸から反時計周りにαだけ傾いている主ひずみε 1 の方向 αではせん断ひずみγθが0なので (3.13) 式から tan2α= γ /(ε -ε ) (3.19) を満たさなければならないこのように計算でαを求めることもできるただし (3.19) 式を満たすαは多数あるのでその中から正解を探す必要がある問題 : 最大せん断ひずみγ ma の大きさとそれが生じる向きを求めなさい答え : ひずみのMohr 円から明らかに γ ma /2= [{(ε -ε )/2} 2 +{γ /2} 2 ] 1/2 が得られるひずみのMohr 円において点 (ε γ /2) から時計周りに円の頂点まで測った角度を2βとすれば最大せん断ひずみは軸から反時計周りにβだけ傾いている問題 : 広い板に外力が作用し下記のような変位場になっているものとするこのとき点 (1cm,1cm) 上の最大主ひずみの大きさと向きを求めよ u = a, u = b+c, a=510-6 /cm, b=310-6, c= 解 :ε = u (,)/ = a, ε = u (,)/ = c, γ = u (,)/ + u (,)/ = b+a ε (1,1)= a=510-6, ε (1,1)=c=-210-6, γ (1,1)=b+a=810-6 最大主ひずみε 1 (1,1)=( ε +ε )/2 ± [{(ε -ε ) /2} 2 +{γ /2} 2 ] 1/2 = ε 1 の向きα= 0.5[ tan -1 {γ /(ε -ε )} ]= 24.4 (ε 1 は軸から反時計回りに24.4 方向を向いている ) 3.5 ひずみの計測 :(ε ε γ ) の決定方法一般に角変化 ( せん断ひずみγ) よりも長さの変化 ( 直ひずみε) の方が測定しやすい後述する抵抗線型ひずみゲージはその典型例である以下に示すように相異なる3 方向の直ひずみを計測すればせん断ひずみを測らなくてもひずみの状態 (ε ε γ ) が決まる例えば図 3.5に示すように θ 1 =0 θ 2 =π/4 θ 3 =π/2 の3 方向の直ひずみをε θ1 ε θ2 ε θ3 とすれば (3.9) 式より 26

8 ε θ1 =(ε +ε )/2+(ε -ε )/2=ε ε θ2 =(ε +ε )/2+γ /2 ε θ3 =ε (3.20) が得られるしたがってこれらの式から (ε ε γ ) が次のように求められる ε =ε θ1 ε =ε θ3 γ =2 εθ2 -(ε θ1 +ε θ3 ) (3.21) 小さな構造物のひずみの計測にはしばしば抵抗線型ひずみゲ-ジが用いられるこれは直ひずみの発生 ( 長さの変化 ) に伴い金属製の線の電気抵抗が変化することを利用したものである抵抗変化 (ΔR) とひずみεの間には次のような関係式が成立する ΔR/R=Kε (3.22) 上式中の定数 Kはゲ-ジ率 (gage factor) と呼ばれその値は理論的には2であるが実際は1.7 ~2.3になる 3 方向に抵抗線型ひずみゲ-ジが配置されたロゼットゲージは測点の ( 完全な ) ひずみ状態を決定するのに用いられる大きな領域に生じているひずみを測定対象とする場合には 3 角測量や3 辺測量が用いられる 3.6 補足体積ひずみε v いま長さが (d,d) である長方形 PQRS が変形後四辺形 P'Q'R'S' になったものとする ( 図 3.6 参照 ) 次式が成立するので四辺形 P'Q'R'S' は平行四辺形である S'P'Q' =π/2-γ P'Q'R' =π/2+γ Q'R'S' =π/2-γ R'S'P' =π/2+γ P'Q' =(1+ε )d Q'R' =(1+ε ) d R'S' =(1+ε )d S'P' =(1+ε ) d 面積は (1+ε )d(1+ε )d - dd = (ε +ε )dd だけ増えるこれらから次のことがわかる面積の増減は直ひずみにだけ関係しせん断ひずみには関係しないまた形状の変化はせん断ひずみに関係し直ひずみには関係しない直ひずみは形状の変化を伴わずせん断ひずみは面積の増減を伴わない次に長さが (d,d,dz) である直方体を考えると上と同様の考察から体積は (ε +ε +ε z ) dddz だけ増える変形後の体積増加量を元の体積で割った値を体積ひずみε v というこの量は ε v = (ε +ε +ε z ) dddz/ dddz =ε +ε +ε z 27

9 1 体積ひずみの単位も直ひずみせん断ひずみと同様に無次元であることがわかるまた体積ひずみはせん断ひずみに無関係あるいは角の変化に依存しないことがわかるせん断ひずみが生じても体積の増減は伴わない P 外力 P 変形後変形前 π/2 P l π/2-γ P l+ l 変形後 θ z 拡大変形前 (a) (b) 図 3.1 構造物の載荷に伴う変位 (a) と点 P の近くの線分 l と角の変化 (b) R R Y R(,+d) R(X,Y+dY) P Q Q Q(X+dX,Y) P(,) Q(+d,) P(X,Y) θ X 図 3.2 構造物の変形に伴う構造物中の 1 点 P 図 3.3 構造物中の 1 点 P とその近傍の 2 とその近傍の 2 点 Q,R の変位点 Q,R 0- 座標と 0-XY 座標表示 28

10 γ θ /2 γ (ε, γ /2) γ θ 2θ (ε θ, γ θ /2) ε π/2 ε θ ε θ ε θ (ε, -γ /2) (a) (b) (c) 図 3.4 ひずみの成分 (ε,ε,γ )(a) と (ε θ,γ θ )(b) およびひずみのモール円 (c) ε θ3 ε θ2 45 ゲージ ε θ1 図 3.5 ロゼットひずみゲージ (3 方向の直ひずみを測定するセンサ ) S V R U dz U T S d P d Q R T 変形前 P Q 変形後 z 図 3.6 構造物中の微小な直方体要素の載荷に伴う変形 29

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Microsoft Word - 1B2011.doc 第 14 回モールの定理 ( 単純梁の場合 ) ( モールの定理とは何か?p.11) 例題下記に示す単純梁の C 点のたわみ角 θ C と, たわみ δ C を求めよただし, 部材の曲げ剛性は材軸に沿って一様でとする C D kn B 1.5m 0.5m 1.0m 解答 1 曲げモーメント図を描く,B 点の反力を求める kn kn 4 kn 曲げモーメント図を描く knm 先に得られた曲げモーメントの値を