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1 計量経済学講義 第 回回帰分析 Part 4 7 年 月 7 日 ( 火 ) 限 担当教員 : 唐渡広志 研究室 : 経済学研究棟 4 階 4 号室 emal: kkarato@eco.-toyama.ac.jp webste:

2 講義の目的 最小 乗法について理論的な説明をします 多重回帰分析についての特殊なケースについて 多重回帰分析のいくつかの応用例を検討します keywords: 最小 乗法, 多重回帰分析, 定数項がない回帰式, 多重共線性, 次多項式, コブ = ダグラス型生産関数, ワーキング = レッサー型エンゲル関数 教科書 : pp. 6 6( 第 章 )

3 復習 多重回帰モデル (),,,, サンプルサイズ, 説明変数の数が 個の回帰モデル 説明変数,,, 定数項 説明変数,,,,,,

4 復習 多重回帰モデル () 推定結果の解釈 推定回帰平面 の意味 の意味 が一定のとき, が 単位変化するときの が一定のとき, が 単位変化するときの の変化量 の変化量 k, k,,, K k 4

5 復習 多重回帰モデル () 5,,,, : の自由度は三つのルールが制約になって残差のルール個説明変数の数が 残差 : 残差の自由度,,,, : 残差分散残差分散は残差 乗和を自由度で割った値に等しい : 回帰の標準誤差 K K K 説明変数が K- 個の場合

6 復習 多重回帰モデル (4) 決定係数と自由度調整済み決定係数 決定係数 R yy yy yy 自由度調整済み決定係数 adj. R 注意点 R の値が著しく低い場合, 決定係数が負になる場合がある p.5の例 adj. R R K yy K yy K s y (.4) 式, p. R が に近い値のとき adj. R が負になることもある yy adj. R R 決定係数の方が大きい値をとる 6

7 最小 乗法 : 計算公式の導出 p. 4 最小 乗法 残差乗和 が最小となるような回帰パラメータの推定値 ( たとえば, ) を求める方法 単純回帰モデル : 残差 : 理論値 : 残差の乗 の場合 : 残差 : û 残差 乗和 : H H 最小化 および H を満たす, ( 最小 乗推定値を計算するための公式 ) 傾きと切片の計算 公式 (.), (.) pp.-4 7

8 定数項がない回帰式 () 8 : H 乗和残差 を満たす最小乗推定値 : H 最小化 d d H d d より 推定値の計算公式 切片が必ず になる回帰式

9 定数項がない回帰式 () 9 残差のルール 残差 : 残差の合計はゼロにならない残差のルール 説明変数と残差の積の合計はゼロになる 残差分散は制約式が一つなのでの自由度は乗和残差〇

10 定数項がない回帰式 () のため, yy yy R yy yy yy 定数項がない回帰式の決定係数はソフトウェア (Excel, R, JMP, TP, TATA, P など ) によって計算方式が違っている場合がある 例. R と の相関係数の 乗 Excelの場合 重相関 R, 重決定 R, 補正 R および 分散分析表 は信用できない値になる ( バグが含まれている ) 推定値は正しい計算結果を返す ただし, 散布図に近似曲線を描画するときに表示できる決定係数 ( グラフにR- 乗値を表示する へのチェック ) は正しい計算をしている R で計算している yy 定数項がない場合, 決定係数の解釈には注意が必要

11 定数項がない回帰式 (4) 分析ツールでの実行 定数項なしの回帰分析

12 練習問題 () 例.7 表. pp.7 8 推定結果.5

13 定数項しかない回帰式 () 残差 乗和 : H 最小化 H 最小 乗推定値 : を満たす d d d H より d 定数項しかない回帰モデルの推定値は被説明変数の平均になる

14 定数項しかない回帰式 () 残差 : 残差のルール 残差の合計はゼロ 残差 乗和 yy 残差 乗和残差分散は の自由度は yy 制約式が一つなので s y この場合, 残差 乗和は, 残差分散は yy sy になる 4

15 練習問題 () 例.8 表.4 pp.8 4 l y y : 人口 l a : 年次 c 期間の差分 5 年おきの時系列データなので必ず 5 年 l y l y c v v 両辺を 5 で割る v 5 v 5 定数項しかない回帰モデル v 分析ツール での結果 なので.99 5 年あたり変化率は.99% 5

16 定数項しかない回帰式 () 以下のデータを利用して, 回帰モデル [] 定数項 (Cost.) のデータを作成する Cost を分析ツールで推定する方法 分析ツール ダイアログ 入力 範囲 には, データ {}, 入力 範囲 には, 定数項 {,,...,}, 定数に を使用 にチェックを入れる 6

17 多重共線性 (Mltcolearlty) () と 推定値を計算することができない 線形関係の例 推定値の計算公式 の間に完全な線形関係がある場合, c d (p.4 を参照 ) この場合, d, d y y d d y y.. が成立 p.7 計算不能 (.) や (.) の分母が になるので, 推定値は計算できない ( どんな値も で割ることはできない ) r ( 相関係数が のケース ) 7

18 多重共線性 (Mltcolearlty) () 例. 表.5 のケース 華氏 と摂氏.8 の間に完全な線形関係がある 例 : 摂氏 度は華氏 68 度 係数標準誤差 t P- 値切片 E E #NUM! 計算できていない Excel に限らず, パソコン ソフトウェアで推定値がきちんと計算できていない場合は, 多重共線性に陥っていることを疑った方がよい 8

19 次式の推定 () 表. (p.6) 自治体運営の人口一人あたり平均費用 : 人口一人あたり平均費用 : 人口 : 人口の 乗 表.6 (p.4) 労働者の賃金カーブ : 賃金 ( 所定内給与額 ) : 年齢 : 年齢の 乗 d d d d 極値 * d d d d 9

20 次式の推定 () : x x b ax y 次式の例に回帰する多重回帰モデルおよびを定数項, 被説明変数,, b ab a x x x x x x c bx ax 変数次式の例 y 6 5 4,,,,, c b bc ab ac a に回帰する多重回帰モデルおよびを定数項, 被説明変数,,, 交差項 (cross term)

21 練習問題 (): 年功賃金 分析ツール で回帰分析を行う場合年齢の 乗項 ^ を作成して, を定数項,,^ に回帰する 所定内給与額 [ 千円 / 月 ] 賃金が最大となる年齢 * 49. 歳 散布図に描く場合近似曲線の追加多項式近似グラフに数式を表示 y = -.87x x 年齢

22 練習問題 (4): 自治体の最適人口規模 例題 8 (pp.6 6, 表.) P P 4 A 自治体運営の人口一人当たり費用 人口が少ないので規模の経済が活かせない 人口過密の弊害 ( 混雑, 低サービス ) 人口 最小コストで自治体運営 費用が最小となる人口 * 7. 7 [ 百万人 ]

23 市区町村別基準財政需要と人口 対数スケール 市区町村別 人口一人当たり基準財政需要 総務省 人当たり費用 万円.... 万人 万人 万人

24 コブ = ダグラス型生産関数 () 例題 5, pp.5-56, 表.7 コブ = ダグラス型生産関数 AL K K : 資本投入量 : 規模に関して収穫逓増 : 規模に関して収穫一定 : 規模に関して収穫逓減 生産 b al b 収穫逓減の生産技術 労働 労働投入を 倍にすると生産量は 倍未満しか増えない l l A l L l K 生産量の対数値を定数項, 労働投入の対数値および資本投入の対数値に回帰する : 生産の労働投入弾力性労働を% 増やすと生産量は : 生産の資本投入弾力性資本を% 増やすと生産量は % 変化する % 変化する 労働と資本をそれぞれ 倍に増やすと生産は 倍に増大する A L K AL K 4

25 練習問題 (5) 例題 5, pp.5-56, 表.7 l l A l L l K LN 関数で L, K, の対数値を作成しておく 推定結果 l.98.95l L.686l K.67L.95 K.686 5

26 F(K,L) F(K,L) K コブ = ダグラス型生産関数 ().67L.95 K.686 L K L 6

27 家計の費目ごとの支出割合 ( 年収階級別 ). 表.8 より ~ ~ 5 5 ~ ~ 5 5 ~ 4 4 ~ ~ 5 5 ~ ~ 6 6 ~ ~ 7 7 ~ ~ 8 8 ~ 9 9 ~ ~ 5 5 ~ 5 5 ~

28 エンゲル関数 () ワーキング = レッサー型エンゲル関数 Ags Deato ad Joh Mellbaer (98) j j j l x,,,, x y j j : 番目の家計の総支出 : 番目の家計の費目 jの支出 y x j : 番目の家計の費目 jの支出シェア 家計の総支出 = 各費目の支出額の合計 = 食料 + 住居 + 家具 家事用品 + 被服および履物 + x y y 総支出 食料 住居 例. 表.8: 年収 45-5 万円の階級の場合 家計の総支出額が増えると, 食料費が総支出に占める割合はどのように変わるか? 例. 食料の場合 y x エンゲル係数 総支出 : x y y 支出シェア:

29 エンゲル関数 () 表.8 (p.57):9 費目 j =,,,9 9 費目の回帰式をそれぞれ推定 l x 食料の支出シェアを定数項と対数総支出に回帰 l x 住居の支出シェアを定数項と対数総支出に回帰 l x 雑費の支出シェアを定数項と対数総支出に回帰 j j j j j l x j j l x j j 総和条件 j, j 支出弾力性 費目 jへの支出の変化率費目 jの支出弾力性 e j 総支出の変化率 j j e e j j jは基礎的支出費目 ( 必需品 ) jは選択的支出費目 ( ぜいたく品 ) 9

30 エンゲル関数 () データセットの用意 l x, y y y9,,, 9 x x x,,,8

31 エンゲル関数 () 表.9 ワーキング レッサー型エンゲル関数の推定結果 費目 支出弾力性 j j の平均値 決定係数 R 食料 住居 家具 家事用品 被服及び履物 保健医療 交通 通信 教育 教養娯楽 雑費 合計 ( 総和条件 ) 必需品必需品必需品ぜいたく品必需品ぜいたく品ぜいたく品ぜいたく品ぜいたく品 支出弾力性 : 総支出が % 増えると, 食料への支出が.658 % 増える ( 非弾力的 ) 総支出が % 増えると, 交通 通信への支出が.7 % 増える ( 弾力的 )

32 まとめ 最小 乗法とは残差 乗和が最小となる回帰パラメータを求める方法である 定数項がない回帰式の推定値の求め方に注意 決定係数にも注意 Excel の出力結果にも注意 多重回帰モデルにおいて, 説明変数間に完全な線形関係がある場合は推定値を計算できなくなる ( 多重共線性 ) 次式を推定するには, 説明変数の 乗をあらかじめ計算しておき, もとの説明変数とは別の説明変数として利用する ( 多重回帰モデルになる )