FdData中間期末数学2年
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- うきえ たかひ
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1 中学中間 期末試験問題集( 過去問 ): 数学 年 方程式とグラフ [ 二元一次方程式 ax + by = c のグラフ ] [ 問題 ]( 後期中間 ) 二元一次方程式 x + y = 4 のグラフをかけ [ 解答 ] 方程式の解を座標とする点の全体を, その方程式のグラフという 二元一次方程式 x + y = 4 の解は無数にあるが, 例えば, 次の表 のようになる x - 0 y これらの ( x, y) を で表し, その点を結ぶと右の直線になる この直線が二元一次方程式 x + y = 4 のグラフである x + y = 4 のグラフをかくには, x + y = 4 を y について解いて, y = x + 4 と変形すればよい y = x + 4 は傾きが- で切片が 4 の一次関数になる
2 [ 問題 ]( 学期 ) 次の二元一次方程式のグラフをかけ ( グラフには番号をつけること ) x + y = x y = [ 解答 ] x + y = より y = x + なので, 傾きが-, 切片が の直線になる x y =, y = x +, y = x 4 y = x 4 は傾きが, 切片が-4 の直線になる
3 [ 問題 ]( 後期中間 ) 二元一次方程式 x y = 6 について, 次の各問いに答えよ () y 軸との交点の座標を求めよ () x 軸との交点の座標を求めよ () 方程式 x y = 6 のグラフをかけ () () () [ 解答 ]() (0,-) () (,0) () () y 軸上では x = 0 である x y = 6 に x = 0 を代入すると, 0 y = 6, y = したがって, y 軸との交点の座標は (0,-) である () x 軸上では y = 0 である x y = 6 に y = 0 を代入する と, x 0 = 6, x = したがって, x 軸との交点の座標は (,0) である () ()() より, x y = 6 は (0,-),(,0) を通るので, 右図のように, この 点を座標軸にとり, 直線で結べばよい
4 [ 問題 ]( 学期中間 ) 次の方程式のグラフをかけ x y = 4 x + 4 y = 4 x y + 6 = 0 [ 解答 ] x y = 4 に x = 0 を代入すると, y = 4, y = 4 なので,(0,-4) を通る x y = 4 に y = 0 を代入すると, x = 4, x = なので,(,0) を通る 点 (0,-4),(,0) を通る直線をかく x + 4 y = 4 に x = 0 を代入すると, 4 y = 4, y = なので,(0,) を通る x + 4 y = 4 に y = 0 を代入すると, x = 4 なので,(4,0) を通る 点 (0,),(4,0) を通る直線をかく x y + 6 = 0 に x = 0 を代入すると, y + 6 = 0, y = 6, y = なので, (0,) を通る x y + 6 = 0 に y = 0 を代入すると, x + 6 = 0, x = 6, x = なので, (-,0) を通る 点 (0,),(-,0) を通る直線をかく * ax + by = c のグラフは,) x 軸, y 軸との交点を求めて, 点を結ぶ方法, ) y = ~の式に変形してかく方法がある 4
5 [ 問題 ]( 学期期末 ) 次の各問いに答えよ () 方程式 x y = 6 のグラフと x 軸との交点の座標を求めよ () 方程式 5 x 4y = のグラフと y 軸との交点の座標を求めよ () () [ 解答 ]() (,0) () (0,-) () x y = 6 に y = 0 を代入すると, x = 6, x = よって, x 軸との交点の座標は (,0) である () 5 x 4y = に x = 0 を代入すると, 4 y =, y = よって, y 軸との交点の座標は (0,-) である [ y = k, x = h のグラフ ] [ 問題 ]( 学期 ) 次の方程式のグラフをかけ y = 4 x = [ 解答 ] 5
6 方程式 y = 4 で,,(-,4),(0,4),(,4),(,4), は この方程式の解である このように,x がどのような値をとっても, y の値は 4 になる したがって, 方程式 y = 4 のグラフは, 点 (0, 4) を通り, x 軸に平行な直線になる 方程式 x = で,,(-,-),(-,0),(-,),(-, ), はこの方程式の解である このように, y がどのような値を とっても, x の値は- になる したがって, 方程式 x = のグラフは, 点 (-,0) を通り, y 軸に平行な直線になる [ 問題 ]( 学期期末 ) 次の方程式のグラフをかけ y = 5 y 8 = 0 x + 8 = 0 [ 解答 ] y 8 = 0, y = 8, y = 4 x + 8 = 0, x = 8, x = 4 6
7 [ 問題 ]( 学期期末 ) 次の文中の,に適語を入れよ 方程式 y = k のグラフは, 点 (0,( )) を通り, x 軸に ( ) な直線である [ 解答 ] k 平行 [ 問題 ]( 後期中間 ) 次の文中の~にあてはまる値や式を答えよ ( ) のグラフは, 点 (0,) を通り, x 軸に平行な直線である x = のグラフは点 (( ),0) を通り,( ) 軸に平行な直線である [ 解答 ] y = - y 7
8 連立方程式とグラフ グラフをかいて連立方程式の解を求める [ 問題 ]( 学期中間 ) 次の各問いに答えよ () 次の つの二元一次方程式を, それぞれグラフに表せ ( 書いたら必ず番号をつけておくこと ) x y = x + y = 4 () () の,の直線の交点の座標を読み取れ () () の,を連立方程式として解け () () () [ 解答 ]() () (,-) () x =, y = x y = より y = x +, y = x 切片は- なので P(0,-) を通る ( 傾き )= = = ( yの増加量 ) なので, ( xの増加量 ) ( x の増加量 )= のとき,( y の増加量 )= 8
9 P から x 方向に+, y 方向に+ だけすすめた点 Q をとる PQ を結んだ直線が y = x の グラフになる x + y = 4 より, y = x + 4, y = x + 切片は なので,R(0,) を通る ( 傾き )= = = ( yの増加量 ) なので,( x の増加量 )= のとき, ( xの増加量 ) ( y の増加量 )=- R から x 方向に+,y 方向に- だけすすめた点 S をとる RS を結んだ直線が y = x + のグラフになる グラフから交点の座標を読むと, x =, y = よって, 交点の座標は (,-) ( 注 ) この交点はの直線上にあるので x =, y = を x y = に代入すると, ( 左辺 )= x y = ( ) = =( 右辺 ) が成り立ち,の解の つとなる 同様に, x =, y = を x + y = 4 に代入すると, ( 左辺 )= x + y = + ( ) = 6 = 4 =( 右辺 ) が成り立ち, の解の つとなる よって, x =, y = はとをともに満たし,, の連立方程式の解となる 次に, 計算で 解く x y = x + y = 4 代入法で解く より x = y + これをに代入すると, ( y + ) + y = 4, y y = 4, 5y = 5, y = y = を に代入すると, x = + =, よって x =, y = * この x, y の値は () で求めた交点の座標と一致する 9
10 [ 問題 ]( 学期中間 ) 連立方程式 () のグラフをかけ () のグラフをかけ x 5y = 0 について, 次の各問いに答えよ y = x 6 () 連立方程式の解を求めよ ()() () [ 解答 ]()() () x = 5, y = 4 () まず y =~ の形に変形する x 5y = 0, 5y = x 0, 5y = x + 0, y = x + 5 y = x + の切片は なので,P(0,) を通る 5 ( 傾き )= = ( yの増加量 ) なので, 5 ( xの増加量 ) ( x の増加量 )=5 のとき,( y の増加量 )= 0
11 P から x 方向に+5, y 方向に+ だけすすめた点 Q をとる PQ を結んだ直線が y = x + 5 のグラフになる () y = x 6 の切片は-6 なので,R(0,-6) を通る ( 傾き )= = = ( yの増加量 ) なので, ( xの増加量 ) ( x の増加量 )= のとき,( y の増加量 )= R から x 方向に+, y 方向に+ だけすすめた点 S をとる RS を結んだ直線が y = x 6 のグラフになる () 直線 との交点の座標は, の連立方程式の解と等しくなる との交点の座標をグラフから読み取ると,(5,4) したがって, 連立方程式の解は, x = 5, y = 4 [ 問題 ]( 学期中間 ) 次の連立方程式の解を, グラフを使って求めよ () y = x 5 y = x 8 () () () x + y = 4 x y = 0 [ 解答 ]() x =, y = () x =, y =
12 交点の座標を求める [ グラフから ] [ 問題 ]( 学期中間 ) 右の図で,は方程式 x + y =,は方程式 y = x +,は一次方程式 y = の解のグラフである () 交点 P の座標を求めよ () 交点 Q の座標を求めよ () () 5 [ 解答 ](), (), 交点の座標は つの直線の式を連立方程式として解いて求める () x + y =, y = x + を連立方程式として解く をに代入すると, x ( x + ) x = をに代入すると, y = よって交点 P の座標は, + =, x =, x = 5 + = () y = x +, y = を連立方程式として解く より, y = これをに代入すると, よって交点 Q の座標は, 5 = x +, x = =
13 [ 問題 ]( 学期期末 ) 右のグラフについて, 次の問いに答えよ () 右の図で,の直線の式を求めよ () 右の図で,の直線の式を求めよ () 直線,の交点の座標を求めよ () () () [ 解答 ]() y = x + () y = x + () 9, 4 4 () y = ax + b で a は傾き,b は切片 ( 直線が y 軸と交わる点の y 座標 ) を表す の直線が y 軸と交わる点の座標は P(0,) と読み取ることができる したがって切片 b は, x, y ともに整数になる点をグラフから読み取ると右図の点 Q P から Q で, x は+, y は- 変化する したがって直線の傾き a は = ゆえに, 求める直線の式は y = x + である + () の直線が y 軸と交わる点の座標は R(0,) と読み取ることができる したがって切片 b は, x, y ともに整数になる点をグラフから読み取ると右図の点 S R から S で, x は+, y は+ 変化する したがって直線の + 傾き a は = + ゆえに, 求める直線の式は y = x + である () 直線の交点を求めるためには, 直線の式を連立方程式として解けばよい y = x + での y をに代入すると, y = x + x + = x +, x + x =, 4x =, x = 4 x = をに代入すると, 4 y = よって, 交点の座標は 9, = = 9 4
14 [ 問題 ]( 学期期末 ) 右の図で, 直線 l は y = x + のグラフであり, 直線 m は 点 A(0,6),B(-,0) を通る直線である 直線 l と m の交点を P とするとき, 次の各問いに答えよ () 直線 m の式を求めよ () 点 P の座標を求めよ () () [ 解答 ]() y = x + 6 () (-,4) () 直線 m は 点 A(0,6),B(-,0) を通るので, ( 直線 m の傾き )= = = ( ) 切片は 6 であるので, m の式は y = x + 6 である () 直線 y = x +, y = x + 6 の交点を求めるためには, 直線の式を連立方程式として解けばよい の y をに代入すると, x + 6 = x +, x + x = 6, x =, x = x = をの y = x + に代入すると, ( ) + y =, y = 4 よって, 交点 P の座標は (-,4) である [ 問題 ]( 学期期末 ) 右の図のように つの直線,があり, それらの交点を P とするとき, 交点 P の座標を求めよ [ 解答 ](,) 4
15 直線 は A(0,5),B(5,0) を通るので, ( 直線 の傾き )= = = 切片は 5 であるので,の式は y = x + 5 である 直線 は C(0,-4),D(,0) を通るので, ( ) ( 直線 の傾き )= = = 切片は-4 であるので,の式は y = x 4 である 直線 y = x + 5, y = x 4 の交点を求めるためには, 直線の式を連立方程式として解けばよい の y をに代入すると, x 4 = x + 5, x + x = 5 + 4, x = 9, x = x = をの y = x + 5 に代入すると, y = + 5, y = よって, 交点 P の座標は (,) である [ つの直線が 点で交わる ] [ 問題 ]( 後期中間 ) 次の つの方程式のグラフが 点で交わるとき, m の値を求めよ 4 x + y = 4, x + y = 6, mx + y = 5 [ 解答 ] m = まず, 4 x + y = 4, x + y = 6 の交点を求める -より, x =, x = x = をに代入すると, 4 + y = 4, y = 8 よって, 交点の座標は (-,8) である 直線 mx + y = 5 も交点(-,8) を通るので,に x =, y = 8 を代入して, m + 8 = 5, m =, m = 5
16 [ 問題 ]( 学期期末 ) 直線 4 x 5y =, x + y = 8, 5x ay = 4 が 点で交わるとき, a の値を求めよ [ 解答 ] a = 6 まず, 4 x 5y =, x + y = 8 の交点を求める 交点を求めるためには,, を連立方程式として解けばよい より, x 5y = 9 4 より, x + 8y = - より, y =, よって y = y = をに代入すると, 4 x 5 =, 4x = 8, x = よって, 交点の座標は (,) 直線 5 x ay = 4 も交点(,) を通るので,に x =, y = を代入して, 5 a = 4, 0 a = 4, a = 4 0, a = 6, a = 6 [ その他 ] [ 問題 ]( 学期中間 ) 一次関数 y = x 7 のグラフ上で, x 座標と y 座標の値が等しくなる点の座標を求めよ [ 解答 ](7,7) x 座標と y 座標の値が等しい点の座標は ( a, a ) とおくことができる 点 ( a, a ) は y = x 7 のグラフ上にあるので, y = x 7 に x = a, y = a を代入すると, a = a 7, a a = 7, a = 7, a = 7 よって, 求める点の座標は (7,7) である *( 別解 ) x 座標と y 座標の値が等しくなる点は y = x 上にあるので, y = x 7 と y = x の交点を, 連立方程式を解いて求めることもできる の y をに代入すると, x 7 = x, x = 7 x = 7 をに代入すると, y = 7 よって, 求める座標は (7,7) 6
17 [ 問題 ]( 前期期末 ) 一次関数 y = x のグラフ上で, x 座標と y 座標の値が等しくなる点の座標を求めよ [ 解答 ](-6,-6) x 座標と y 座標の値が等しい点の座標は ( a, a ) とおくことができる 点 ( a, a ) は y = x のグラフ上にあるので, y = x に x = a, y = a を代入すると, a = a, 両辺を 倍すると, a = a 6, a = 6 よって, 求める点の座標は (-6,-6) である [ 問題 ]( 学期中間 ) 直線 x + y = 5, x + ay = 9 の交点が (, m ) のとき, m, a の値を求めよ m = a = [ 解答 ] m = a = 5 x + y = 5 は交点 (, m ) を通るので, x + y = 5 に x =, y = m を代入して, + m = 5, m = 5 = したがって, 交点の座標は (,) である x + ay = 9 は交点 (,) を通るので, x + ay = 9 に x =, y = を代入して, + a = 9, 6 + a = 9, a = 9 + 6, a = 5, a = 5 [ 問題 ]( 学期期末 ) x y = 5と + y = 7 きの a の値を求めよ ax のグラフが点 (, k) k = a = [ 解答 ] k = a = 8 で交わるとき,k の値を求めよ また, そのと 7
18 x は点 (, k) y = 5 k = 5, k =, k = を通るので, x y = 5に x =, y = k を代入して, したがって, 交点の座標は (,-) である ax + y = 7 は交点 (,-) を通るので, ax + y = 7 に x =, y = を代入して, a = 7, a = 8 8
19 一次関数のグラフの応用 面積を求める [ 問題 ]( 学期 ) 右図で, 直線 l は y = x + 8, 直線 m は y = x + 5 である l と m の交点を P, l と x 軸との交点を A, m と x 軸との交点を B とする () 点 A の座標を求めよ () 点 P の座標を求めよ () PAB の面積を求めよ () () () [ 解答 ]() (-4,0) () (-,6) () 7 () x 軸との交点の y 座標は 0 なので, y = x + 8 に y = 0 を代入する 0 = x + 8, x = 8, x = 4 よって点 A の座標は (-4,0) () 直線の交点は, 直線の式を連立方程式として解いて求める y = x + 8 y = x + 5 の y をに代入すると, x + 8 = x + 5, x =, x = x = をに代入すると, y = ( ) + 5 = + 5 = 6 よって点 P の座標は (-,6) () まず, 点 B の x 座標を求めておく y = x + 5 に y = 0 を代入すると, 0 = x + 5, x = 5 PAB で底辺を AB とすると, ( 底辺 )=AB= 5 ( 4) = = 9 点 P の y 座標が 6 なので,( 高さ )= 6 よって,( PAB の面積 )= ( 底辺 ) ( 高さ )= 9 6 = 7 9
20 [ 問題 ]( 学期中間 ) 右の図で, 直線 l, m はそれぞれ, x + y = 4, x + y = 8のグラフである このとき, 次の各問いに答えよ () 交点 P の座標を求めよ () PAB の面積を求めよ () () [ 解答 ]() (4,4) () () 直線の交点は, 直線の式を連立方程式として解いて求める x + y = 4 x + y = 8 -より, x =, x = 4 x = 4 をに代入すると, 4 + y = 8, y = 4 連立方程式の解が x = 4, y = 4 なので, 交点の座標は (4,4) () まず, 点 A,B の x 座標を求める x 軸との交点の y 座標は 0 なので, x + y = 4 に y = 0 を代入すると, x + 0 = 4, x = よって, 点 A の x 座標は x + y = 8に y = 0 を代入すと, x + 0 = 8, x = 8 よって, 点 B の x 座標は8 PAB で底辺を AB とすると,( 底辺 )=AB=8 = 6 点 P の y 座標が 4 なので,( 高さ )= 4 よって,( PAB の面積 )= ( 底辺 ) ( 高さ )= 6 4 = 0
21 [ 問題 ]( 学期中間 ) 右図の直線アの式は y = x + である 直線イ は 点 (, 9), (, 4) を通る直線である () 直線イの式を求めよ () 直線ア, イの交点 A の座標を求めよ () 直線ア, イが y 軸と交わる点をそれぞれ B,C とする 三角形 ABC の面積を求めよ ただし, 目もりを cm とする () () () [ 解答 ]() = x 6 y () (, ) () () 直線イは 点を (, 9), (, 4) y y 4 ( 9) ( 傾き )= = = = x x ( ) + 7 cm を通るので, 5 5 = 傾きが なので, この直線の式は y = x + b とおくことができる 点 (, 4) を通るので, y = x + b に x =, y = 4 を代入すると, 4 = + b, b = 6 よって, 直線イの式は, y = x 6 である () 直線の交点の座標は 直線の式を連立方程式として解いて求める y = x 6 の y を y = x + に代入すると, x 6 = x +, x = 9, x = x = を y = x 6 に代入すると, y = 6 =, よって, アとイの交点は ( ) () ABC の BC を底辺とすると, 高さは点 A の x 座標になる ア y = x + の y 切片は なので点 B の y 座標は y = イ y = x 6 の y 切片は 6 なので点 B の y 座標は y = 6 よって,( 底辺 BC の長さ )= ( 6) = 9 (cm) () より点 A の x 座標は なので高さは (cm) 7 よって,( ABC の面積 )= 9 = (cm )
22 [ 問題 ]( 学期中間 ) 右の図で, 直線 l の式は y = x 4 で, 直線 m は 点 B(8,0),D(0,8) を通る 次の問いに答えよ () 点 A の座標を求めよ () 直線 m の式を求めよ () 点 P の座標を求めよ (4) PAB の面積を求めよ (5) 四角形 PAOD の面積を求めよ () () () (4) (5) [ 解答 ]() (,0) () y = x + 8 () (4,4) (4) (5) 0 () x 軸との交点の y 座標は 0 なので, y = x 4 に y = 0 を代入して, 0 = x 4, x = 4, x = よって点 A の座標は (,0) () 直線 m は 点 B(8,0),D(0,8) を通るので, y y ( 直線 m の傾き )= = = = x x また, 図より直線 m の切片は 8 である よって, 直線 m の式は, y = x + 8 () 直線の交点は, 直線の式を連立方程式として解いて求める y = x 4 y = x + 8 の y をに代入すると, x 4 = x + 8, x =, x = 4 x = 4 をに代入すると, y = = 4 よって点 P の座標は (4,4) (4) PAB で底辺を AB とすると, A(,0),B(8,0) なので,( 底辺 )=AB=8 = 6 点 P の y 座標が 4 なので,( 高さ )= 4 よって,( PAB の面積 )= ( 底辺 ) ( 高さ )= 6 4 =
23 (5) ( OBD の面積 )= OB OD= 8 8 = ( 四角形 PAOD の面積 )=( OBD の面積 )-( PAB の面積 )= = 0 [ 問題 ]( 後期中間 ) 右の図のように, 直線 y = x + 4, y = ax + b があり, この 直線は y 軸上で交わっている x 軸と直 線, 直線 との交点をそれぞれ A,B, 直線 と直線 の交点を C とする 点 B の座標が (,0) であるとき, 次の各問いに答えよ () 直線 の式を求めよ () 点 A の座標を求めよ () ABC の面積を求めよ () () () [ 解答 ]() y = 4 x + 4 () (-,0) () 6 () 直線 の式は y = x + 4 なので, 切片は 4 である したがって, 点 C の座標は (0,4) であ る また, 点 B の座標は (,0) である y y 0 4 よって,( 直線 の傾き )= = = 4 x x 0 切片は 4 なので, 直線 の式は y = 4 x + 4である () 点 A の y 座標は 0 なので, y = x + 4 に y = 0 を代入すると, 0 = x + 4, x = 4, x = よって, 点 A の座標は (-,0) である () ABC で,AB を底辺とすると, 高さは CO になる AB=-(-)=+=,CO=4 なので, ( ABC の面積 )= AB CO= 4 = 6
24 [ 問題 ]( 後期中間 ) 右の図のように, 点 A(-,0) と C(0,) を通る直線 l と, 点 B(,0) と D(0,6) を通る直線 m がある 直線 l, m は点 P で交わっている このとき, 次の各問いに答えよ () 直線 l の式を求めよ () 直線 m の式を求めよ () 交点 P の座標を求めよ (4) PAB の面積を求めよ ただし, 目もりは cm とする () () () (4) [ 解答 ]() y = x + () y = x + 6 () (,4) (4) cm () 直線 l は 点 A(-,0) と C(0,) を通るので, y y 0 ( 直線 l の傾き )= = = = x x 0 ( ) 切片は なので, 直線 l の式は y = x + である () 直線 m は 点 B(,0) と D(0,6) を通るので, y y ( 直線 m の傾き )= = = = x x 0 切片は 6 なので, 直線 m の式は y = x + 6 である () 直線の交点は, 直線の式を連立方程式として解いて求める y = x + y = x + 6 の y をに代入すると, x + = x + 6, x + x = 6, x =, x = x = をに代入すると, y = + = 4 よって, 交点 P の座標は (,4) である (4) PAB で,AB を底辺とする AB=-(-)=+=6 高さは点 P の y 座標の 4 になる よって,( PAB の面積 )= 6 4 = (cm ) 4
25 [ 問題 ]( 後期中間 ) 右の図について, 次の各問いに答えよ () 直線 AB の式を求めよ () OAB の面積を求めよ () () [ 解答 ]() y = x + () 6 () A(-,),B(4,4) なので, y y 4 ( 直線 AB の傾き )= x x 4 = ( ) = = 6 傾きがなので, この直線の式は y = x + b とおくことができる 点 A(-,) を通るので, y = x + b に x =, y = を代入すると, = ( ) + b, = + b, b = よって, 直線 AB の式は, y = x + である () OAB の OA,OB,AB は, x 軸または y 軸に平行 ではない そこで, OAB を OCA と OCB の つに分割して考える 右図のように, OCA で CO= を底辺とすると, 高さは AD= となる したがって, ( OCA の面積 )= CO AD= = 同様に, OCB で CO= を底辺とすると, 高さは BE=4 となる したがって, ( OCB の面積 )= CO BE= 4 = 4 よって,( OAB の面積 )=( OCA の面積 )+( OCB の面積 )=+4=6 5
26 [ 問題 ]( 学期期末 ) 直線 l, m, n が, 右の図のように交わっている l, m は原点を通る直線である A(-,),B(,5) であるとき, 次の各問いに答えよ () 直線 l の式を求よ () 直線 m の式を求よ () 直線 n の式を求よ (4) OAB の面積を求めよ () () () (4) 5 [ 解答 ]() y = x () y = x () y = x + (4) 5 5 () 直線 l は原点 (0,0) を通るので切片は 0 である また,B(,5) を通るので, y y ( 直線 l の傾き )= = = である x x 0 5 よって, 直線 l の式は, y = x である () 直線 m は原点 (0,0) を通るので切片は 0 である また,A(-,) を通るので, y y 0 ( 直線 m の傾き )= = = = である x x 0 よって, 直線 m の式は, y = x である () 直線 n は 点 A(-,),B(,5) を通るので, y y 5 ( 直線 n の傾き )= = = x x ( ) 5 傾きがなので, この直線の式は y = x + b とおくことができる 5 5 点 A(-,) を通るので, y = x + b に x =, y = を代入すると, 5 6 = ( ) + b, = + b, b 5 5 よって, 直線 n の式は, 6 = + = 5 5 y = x + である 5 5 6
27 (4) OAB を OCA と OCB の つに分割して考える 点 C は直線 n : y = x + の切片なので, 5 5 CO= である 5 右図のように, OCA で CO= 5 を底辺とすると, 高さは AD= となる したがって, 6 ( OCA の面積 )= CO AD= = 5 0 同様に, OCB で CO= 5 を底辺とすると, 高さは BE= となる したがって, 4 ( OCB の面積 )= CO BE= = よって,( OAB の面積 )=( OCA の面積 )+( OCB の面積 )= = 05 0 = [ 問題 ]( 後期中間 ) 右の図において,,,は直線を表している 次の各問いに答えよ () の式を求めよ () の式を求めよ () つの直線で囲まれた ABC の面積を求めよ () () () [ 解答 ]() y = x () y = x 5 () 0 () グラフより, 直線 は 点 (0,-),(,0) を通るので, y y 0 ( ) ( 傾き )= = = = で, 切片は- である x x 0 よって, 直線 の式は y = x である () 直線 上の 点 A,C の座標がわかれば, 直線 の式を求めることができる 点 A は, 直線 上の点でもあるので, x = を,() で求めたの式 y = x に代入すると, 7
28 y = = になる よって, 点 A の座標は (-,-) であることがわかる <> 点 C の y 座標は 7 であるが,x 座標は与えられていない 直線 の式がわかれば, 点 C の x 座標を求めることができる そこで, まず, 直線 の式を求める グラフより, 直線 は点 (0,5) を通るので切片は 5 である 点 B は直線 上にもあるので, x = 4 を () で求めたの式 y = x に代入すると, y = 4 = となる したがって, 点 B の座標は (4,) である 以上より, 直線 は 点 (0,5),(4,) を通るので, y y 5 ( 傾き )= = = = で, 切片は 5 である x x よって, 直線 の式は, y = x + 5 であることがわかる 点 C の y 座標は 7 であるので, y = x + 5 に y = 7 を代入すると, 7 = x + 5, 4 = x + 0, x = 0 4, x = 4 よって, 点 C の座標は (-4,7) である <> <>,<> より, 直線 は, 点 A(-,-),C(-4,7) を通る y y 7 9 ( 傾き )= = = = x x ( 4) 傾きが- なので, 直線 の式は y = x + b とおくことができる 点 A(-,-) を通るので, y = x + b に x =, y = を代入すると, = ( ) + b, = + b, b = 5 よって, 直線 の式は, y = x 5 () ABC の AB,BC,CA は, x 軸または y 軸に 平行ではないので, ABC を つの三角形に分割して考える y 軸で分割しようとすると, 三角形と四角形になる そこで, 右図のように, 点 A を通って y 軸に平行な 直線 AE で, ADB と ADC の つの三角形に分ける 点 D の x 座標は- であるので, 直線 y = x + 5 に x = を代入すると, = ( ) + 5 = + 5 = y よって,AD= ( ) = + = 5 8
29 5 ADB で AD= を底辺とすると, 高さは BF=4-(-)=5 なので, 5 75 ( ADB の面積 )= 5 = 4 5 ADC で AD= を底辺とすると, 高さは CE=--(-4)= なので, 5 45 ( ADC の面積 )= = よって,( ABC の面積 )=( ADB の面積 )+( ADC の面積 )= + = =
30 面積の二等分 [ 問題 ]( 学期期末 ) 直線 l : y = x + 4, 傾き- の直線 m が図のように点 P(,8) で交わっている 次の各問いに答えよ () 直線 m の式を求めよ () ABP の面積を求めよ () 点 P を通り, ABP の面積を 等分する直線の式を 求めよ () () () [ 解答 ]() y = x + 0 () 48 () y = 4 x + 6 () 傾きが- なので m の式は y = x + b とおくことができる P(,8) を通るので, x =, y = 8 を y = x + b に代入して, 8 = + b, b = 0 よって, 直線 m の式は, y = x + 0 となる () 直線 l : y = x + 4 に y = 0 を代入すると, 0 = x + 4 で x = よって点 A の x 座標は- () より, 直線 m : y = x + 0 y = x +0 に y = 0 を代入すると, 0 = x + 0, x = 0 よって, 点 B の x 座標は 0 したがって,AB=0-(-)= 底辺を AB とすると, 高さは点 P の y 座標で 8, よって,( ABP の面積 )= 8 = 48 () 線分 AB の中点を M とする PAM と PBM で, それぞれの底辺を AM,BM とすると, AM=BM で底辺の長さは等しい 高さは図の PH で共通 よって, PAM と PBM の面積は等しくなる + 0 AB の中点 M の x 座標は, = 4 面積を二等分する直線は点 P(,8) と M(4,0) とを通る y ( 直線 PM の傾き )= x y x = = = 4 4 傾きが-4 なので, 直線 PM の式は y = 4x + b とおくことができる 直線 PM は M(4,0) を通るので, y = 4x + b に x = 4, y = 0 を代入すると, 0 = b, b = 6 よって, ABP の面積を 等分する直線 PM の式は, y = 4 x + 6 である 0
31 [ 問題 ]( 学期中間 ) 右の図のように, 直線 y = x + 4 と直線 y = ax + 0 がある この 直線と, x 軸との交点をそれぞれ A,B とする B の 座標は (,0) である () 直線 y = ax + 0 の傾き a の値を求めよ () 直線 y = x + 4 と直線 y = ax + 0 の交点 C の座標を求め よ () 点 C を通り, ABC の面積を 等分する直線の式を求め よ () () () [ 解答 ]() a = 5 () (,5) () 5 5 y = x + () 直線 y = ax + 0 は点 B(,0) を通るので, y = ax + 0 に x =, y = 0 を代入して, 0 = a + 0, a = 0, a = 5 () 直線の交点は, 直線の式を連立方程式として解けばよい y = x + 4 を y = 5 x + 0 に代入すると, x + 4 = 5x + 0, x + 5x = 0 4, 6x = 6, x = x = を y = x + 4 に代入すると, y = + 4 = 5 よって, 交点 C の座標は (,5) () 点 C を通り, ABC の面積を 等分する直線は, 右図のよう に線分 AB の中点 M を通る y = x + 4 に y = 0 を代入すると, 0 = x + 4, x = 4 なので, 直線 y = x + 4 と x 軸との交点 A の座標は (-4,0) 4 + 点 B の座標は (,0) なので, 中点 M の x 座標は, = M(-,0) と C(,5) を通る直線 MC の式を求める y ( 直線 MC の傾き )= x y x = ( ) = 5 5 傾きがなので, 直線 MC の式は y = x + b とおくことができる 5 直線 MC は M(-,0) を通るので, y = x + b に x =, y = 0 を代入すると,
32 5 5 0 = ( ) + b, b = 5 5 よって, ABC の面積を 等分する直線 MC の式は, y = x + である [ 問題 ]( 学期中間 ) 右の図で, 点 A,B は,x 軸上, 点 C は y 軸上の点である 直線 AC の式が y = x + 6 であるとき, 次の問いに答えよ () AOC の面積を求めよ () COB の面積が, AOC の 倍であるとき, 直線 CB の式を求めよ () 直線 CB が () の条件を満たすとき, 点 C を通り CAB の面積を 等分する直線の式を求めよ () () () [ 解答 ]() 9 () y = x + 6 () y = x + 6 () 点 A の y 座標は y = 0 なので, y = x + 6 に y = 0 を代入して, 0 = x + 6, x = 6, x = よって, 点 A の座標は (-,0) で,OA= 点 C の x 座標は x = 0なので, y = x + 6 に x = 0を代入すると, y = = 6 よって, 点 C の座標は (0,6) で,OC=6 ( AOC の面積 )= OA OC= 6=9 () COB の底辺を OB とすると高さは CO である また, AOC の底辺を OA とすると高さは CO である したがって, COB と AOC は高さが CO で共通なので, つの三角形の底辺の長さの比と面積比は等しくなる COB の面積は AOC の 倍であるので,OB=OA= =9 となり, 点 B の座標は (9, 0) となる 点 C(0,6),B(9,0) を通る直線 CB の式を求める y y ( 直線 CB の傾き )= = = = x x 直線 CB は C(0,6) を通るので切片は 6 である
33 よって, 直線 CB の式は, y = x + 6 となる () 点 C を通り CAB の面積を 等分する直線は, 右図のよう に線分 AB の中点 M を通る A(-,0),B(9,0) なので, 中点 M の x 座標は, = = となる 点 C(0,6),M(,0) を通る直線の式を求める y ( 直線 MC の傾き )= x y x = = = 0 直線 MC は C(0,6) を通るので切片は 6 である よって, ABC の面積を 等分する直線 MC の式は, y = x + 6 である [ 問題 ]( 学期中間 ) 右の図のように, つの直線 y = x 4, y = x + 5 の交点を A, y 軸と交わる点をそれぞれ B,C とするとき, 次の各問いに答えよ () 交点 A の座標を求めよ () ABC の面積を求めよ () 点 B を通り, ABC の面積を 等分する直線の式を求めよ () () () [ 解答 ]() (,-) () 7 () y = 4x 4 () 直線の交点は, 直線の式を連立方程式として解いて求める y = x 4 y = x + 5 の y をに代入すると, x 4 = x + 5, x = 9, x = x = をに代入すると, y = 4 = よって, 交点 A の座標は (,-) となる
34 () BC を底辺とすると, 高さは A 点の x 座標と等しくなる 点 C の y 座標は y = x + 5の切片なので, y = 5 点 B の y 座標は y = x 4 の切片なので, y = 4 よって,BC= 5 ( 4) = 9,() より点 A の座標は (,-) なので高さは である よって, ( ABC の面積 )= BC ( 高さ )= () 線分 AC の中点を M とする 9 = 7 BAM と BCM でそれぞれの底辺を AM,CM とすると, AM=CM で底辺の長さは等しい 高さは図の BH で共通 ゆえに BAM と BCM の面積は等しくなる そこで, まず M の座標を求める () より A(,-), 点 C は y = x + 5の切片なので C(0,5) A(,-),C(0,5) の中点 M は, =, * 点 (, y ), ( x y ) x の中点の座標は,, x + x y +, y 点 B は y = x 4 の切片なので, y 座標は 4 求める直線も B 点を通るので切片は 4, ゆえに y = ax 4 とおくことができる この y = ax 4 は M, を通るので, x =, y = を y = ax 4に代入して, = a 4, 4 = a 8, a =, a = 4 よって求める直線の式は y = 4x 4 4
35 その他 [ 回転体の体積 ] [ 問題 ]( 学期期末 ) 右の図で, 直線 l, m はそれぞれ 次関数 y = x +, y = x + 6 のグラフである 直線 l, m の交点を P とし, 直線 l, m と x 軸との交点をそれぞれ A,B とする この とき, 次の各問いに答えよ () 点 A,B,P の座標をそれぞれ求めよ () APB の面積を求めよ () 点 B を通り APB の面積を 等分する直線の式を求 めよ (4) APB を, x 軸を軸として回転させたときにできる立体の体積を求めよ ()A: B: C: () () (4) [ 解答 ]()A:(,0) B:(-,0) P:(-,4) () () y = x + (4) π () 点 A: y = x + に y = 0 を代入して, 0 = x +, x = よって,A(,0) 点 B: y = x + 6 に y = 0 を代入して, 0 = x + 6, x = よって,B (-,0) 点 P: y = x +, y = x + 6 を連立方程式として解く の y をに代入すると, x + 6 = x +, x =, x = x = をに代入すると, y = ( ) + = 4 よって,P(-,4) () AB を底辺とする A (,0),B (-,0) なので,AB=-(-)=6 高さは点 P(-,4) の y 座標の 4 になるので, ( APB の面積 )= ( 底辺 ) ( 高さ )= 6 4 = () 右図のように,AP の中点を M とすると, 直線 BM は APB の面積を二等分する () より,A(,0),P(-,4) なので,M,,M(,) になる 直線 BM は 点 B(-,0),M(,) を通るので, 5
36 y ( 直線 BM の傾き )= x y x 0 = ( ) = = 4 傾きがなので, 直線 BM の式は y = x + b とおくことができる 直線 BM は B(-,0) を通るので, y = x + b に x =, y = 0 を代入すると, 0 = ( ) + b, b = よって, APB の面積を 等分する直線 BM の式は, y = x + である (4) APB を, x 軸を軸として回転させたときにできる立体は 右図のように, つの円錐 V と V を合わせた形になる 右図より,PH=4-0=4 AH=-(-)=4,BH=--(-)= V は底面の円の半径が PH=4 で, 高さが AH=4 の円錐である ので, (V の体積 )= π PH AH= π = π V は底面の円の半径が PH=4 で, 高さが BH= の円錐であるので, (V の体積 )= π PH BH= π 4 = π よって,(V の体積 )+(V の体積 )= π + π = π = π [ 問題 ]( 学期中間 ) 右の図で, 直線,の式は, それぞれ, : y = x + 6 : y = x 6 で, それぞれの直線と y 軸との交点を A,B とする また, つの直線の交点を C とする このとき, 次の各問いに答えよ ただし, 座標の 目もりを cm とする () 点 C の座標を求めよ () ABC の面積を求めよ () ABC を, y 軸を軸として回転させてできる立体の体積を求めよ ただし, 円周率をπ とする 6
37 () () () [ 解答 ]() (8,) () 48cm () 56πcm () y = x + 6, y = x 6 を連立方程式として解く の y をに代入すると, x 6 = x + 6, x = x + x + x = +, x = 4, x = 8 x = 8をに代入すると, y = 8 6 = よって, 点 C の座標は (8,) である () y = x + 6 の切片は 6 なので, 点 A の y 座標は 6 である y = x 6 の切片は-6 なので, 点 B の y 座標は-6 である よって,AB=6-(-6)=(cm) ABC の底辺を AB とすると, 高さは点 C の x 座標の 8cm になる よって,( ABC の面積 )= 8 = 48(cm ) () ABC を, y 軸を軸として回転させてできる立体は右図のように, つの円錐 V と V を合わせた形になる 右図より,CH=8-0=8(cm) AH=6-=4(cm),BH=-(-6)=8(cm) V は底面の円の半径が CH=8cm で, 高さが AH=4cm の円錐であるので, 56 (V の体積 )= π CH AH= π 8 4 = π (cm ) V は底面の円の半径が CH=8cm で, 高さが BH=8cm の円錐であるので, 5 (V の体積 )= π CH BH= π 8 8 = π (cm ) よって,(V の体積 )+(V の体積 )= π + π = π = 56π (cm ) 7
38 [ 等積変形など ] [ 問題 ]( 学期中間 ) 右の図のように, 次関数 y = x + y = x + 6 のグラフがある, のグラフの交点を A, のグラフと y 軸との交点を B, のグラフと x 軸との交点を C とするとき, 次の問いに答えよ () 点 B,C の座標をそれぞれ求めよ () 点 A の座標を求めよ () y 軸上に点 P をとって, ABC と面積が等しくなるように ABP をつくりたい この とき, 点 P の y 座標の値 p を求めよ ( ただし, p < である ) ()B: C: () () [ 解答 ]()B:(0,) C:(6,0) () (,5) () p = () 点 B の座標を求めるために,の y = x + に x = 0 を代入すると, y = よって, 点 B の座標は (0,) になる 次に, 点 C の座標を求めるために,の y = x + 6 に y = 0 を代入すると, 0 = x + 6, x = 6 よって, 点 C の座標は (6,0) になる () 直線の交点を求めるために, 直線の式 y = x + と y = x + 6 を連立方程 式として解く の y を に代入すると, x + = x + 6, x + x = 6, x =, x = x = をに代入すると, y = + = 5 よって, 交点 A の座標は (,5) () * この問題は, 数学 年の図形の 等積変形 の考え 方を使う 点 C を通り AB に平行な直線をひくと, この直線と y 軸が 交わる点が点 P である このとき, ABC と ABP は底辺 AB を共有する ABC の高さ CQ と ABP の高さ PR は,AB // CP なので等しく なる よって, ABC と ABP の面積は等しくなる 点 C を通って と平行な直線の傾きは の傾きと等しくな 8
39 るので, 式は, y x + b 0 = + b で b = 式は y = x = と表すことができる これに C (, 0) y = x が y 軸と交わる点 P の座標は (0,-) よって, p = 6 を代入して, [ 問題 ]( 後期期末 ) 右の図のように, つの直線 y = x + 6, y = x + が ある 次の各問いに答えよ () 点 A,C の座標をそれぞれ求めよ () 四角形 OACB と面積の等しい三角形 OBP をつくりたい 点 P の座標を x 軸上にとるとき, 点 P の座標を求めよ ただし, x > 6 とする ()A: C: () [ 解答 ]A:(6,0) C:(,4) () (0,0) ()A: y = x + 6 に y = 0 を代入すると, 0 = x + 6, x = 6 よって,A(6,0) C: y = x + 6, y = x + を連立方程式として解く の y をに代入すると, x + = x + 6, 両辺を 倍すると, x + 6 = x +, x + x = 6, x = 6, x = x = をの y = x + 6に代入すると, y = + 6 = 4 よって, 点 C の座標は (,4) である () * この問題は, 数学 年の図形の 等積変形 の考え方を使う 右図で,BA // CP となるように, 直線 CP をひくと, BAC と BAP は, 底辺 BA が共通で高さ (CD と PE) が等しいので, 面積が等しくなる このとき, ( 四角形 OACB)=( OAB)+( BAC)=( OAB)+( BAP)=( OBP) となる そこで, 直線 CP の式を求めて, 点 P の座標を求める 9
40 点 B は y = x + の切片であるので B の座標は (0,) である また,() より点 A の座標は (6, y 0) である よって,( 直線 BA の傾き )= x CP // BA なので, 直線 CP の傾きは y x である 0 = = = したがって, 直線 CP の式は y = x + b とおくことができる 直線 CP は C(,4) を通るので, y = x + b に x =, y = 4 を代入すると, 4 = + b, 4 = + b, b = 5 よって, 直線 CP の式は, y = x + 5 であることがわかる 点 P の y 座標は 0 であるので, y = x + 5 に y = 0 を代入すると, 0 = x + 5, 両辺を 倍して, 0 = x + 0, x = 0 したがって, 点 P の座標は (0,0) である 40
41 [ 印刷 / 他の PDF ファイルについて ] このファイルは,FdData 中間期末数学 年 (7,800 円 ) の一部を PDF 形式に変換したサンプルで, 印刷はできないようになっています 製品版の FdData 中間期末数学 年は Word の文書ファイルで, 印刷 編集を自由に行うことができます FdData 中間期末 ( 社会 理科 数学 ) 全分野の PDF ファイル, および製品版の購入方法は に掲載しております 下図のような,[FdData 無料閲覧ソフト (RunFdData)] を,Windows のデスクトップ上にインストールすれば,FdData 中間期末 FdData 入試の全 PDF ファイル ( 各教科約 800 ページ以上 ) を自由に閲覧できます 次のリンクを左クリックするとインストールが開始されます RunFdData ダイアログが表示されたら, 実行 ボタンを左クリックしてください インストール中, いくつかの警告が出ますが,[ 実行 ][ 許可する ][ 次へ ] 等を選択します Fd 教材開発 (09)
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平面上のベクトル 6 ベクトルと図形 A B AB AA AB + AC AA + AB AA AB + AC AB AB + AC + AC AB これと A B ¹, AB ¹ より, A B // AB \A B //AB A C A B A B B C 6 解法 AB b, AC とすると, QR AR AQ b QP AP AQ AB + BC b b + ( b ) b b b QR よって,P,
FdData中間期末数学1年
中学中間 期末試験問題集 ( 過去問 ): 数学 年 四則をふくむ式の計算 http://www.fdtext.com/dat/ [ 加減と乗除が混じった計算 ] [ 問題 ]( 前期中間 ) 9+8 (-) [ 解答 ]-7 加減と乗除が混じった式では, 乗除を先に計算する ( +-の順で計算) 9+8 (-) では,8 (-) の部分を先に計算 9+8 (-)9--7 [ 問題 ]( 学期期末
2013年度 九州大・理系数学
九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a> とし, つの曲線 y= ( ), y= a ( > ) を順にC, C とする また, C とC の交点 P におけるC の接線をl とする 以下 の問いに答えよ () 曲線 C とy 軸および直線 l で囲まれた部分の面積をa を用いて表せ () 点 P におけるC の接線と直線 l のなす角を ( a) とき, limasin θ(
20~22.prt
[ 三クリア W] 辺が等しいことの証明 ( 円周角と弦の関係利用 ) の の二等分線がこの三角形の外接円と交わる点をそれぞれ とするとき 60 ならば であることを証明せよ 60 + + 0 + 0 80-60 60 から ゆえに 等しい長さの弧に対する弦の長さは等しいから [ 三クリア ] 方べきの定理 接線と弦のなす角と円周角を利用 線分 を直径とする円 があり 右の図のように の延長上の点
Microsoft Word - スーパーナビ 第6回 数学.docx
1 ⑴ 与式 =- 5 35 +14 35 =9 35 1 ⑵ 与式 =9-(-5)=9+5=14 1 ⑶ 与式 = 4(a-b)-3(5a-3b) = 8a-4b-15a+9b = -7a+5b 1 1 1 1 ⑷ 与式 =(²+ 1+1²)-{²+(-3+)+(-3) } 1 ⑷ 与式 =(²++1)-(²--6)=²++1-²++6=3+7 1 ⑸ 与式 = - ² + 16 = - +16
1 次関数 1 次関数の式 1 次の表は, ろうそくを燃やした時間 x 分と残りのろうそくの長さ ycm の関係を表しています 次の問いに答えなさい x( 分 ) y(cm ) (1) 上の表のをうめなさい (2) ろうそくは,5 分間に何 cm 短くなっていく
次関数 次関数の式 次の表は, ろうそくを燃やした時間 分と残りのろうそくの長さ cm の関係を表しています 次の問いに答えなさい ( 分 ) 0 5 0 5 (cm ) 0 () 上の表のをうめなさい () ろうそくは,5 分間に何 cm 短くなっていくか () ろうそくは, 分間に何 cm の割合で短くなっていくか () ろうそくは, 分間に何 cm の割合で短くなっていくか (5) ろうそくの長さ
【FdData中間期末過去問題】中学数学1年(負の数/数直線/絶対値/数の大小)
FdData 中間期末 : 中学数学 年 : 正負の数 [ 正の数 負の数 / 数直線 / 正の数 負の数で量を表す / 絶対値 / 数の大小 / 数直線を使って ] [ 数学 年 pdf ファイル一覧 ] 正の数 負の数 [ 負の数 ] 次の文章中の ( ) に適語を入れよ () +5 や+8 のような 0 より大きい数を ( ) という () - や-7 のような 0 より小さい数を ( ) という
2015 年度新中学 3 年数学 春休みの課題 3 年組番氏名
015 年度新中学 3 年数学 春休みの課題 3 年組番氏名 正負の数 (1) 6-1 4 3 を計算しなさい () 6-4 ( -3) を計算しなさい (3) 4+5 ( -6) を計算しなさい 正負の数指数を含む計算 (4) 3-3 - 3 1 を計算しなさい 1 1 3 (5) ( 3- ) + - 4 を計算しなさい (6) 9 5 3 1 - - 3 6 を計算しなさい 3 (7) { (
2017年度 長崎大・医系数学
07 長崎大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 以下の問いに答えよ () 0 のとき, si + cos の最大値と最小値, およびそのときの の値 をそれぞれ求めよ () e を自然対数の底とする > eの範囲において, 関数 y を考える この両 辺の対数を について微分することにより, y は減少関数であることを示せ また, e< < bのとき, () 数列 { } b の一般項が,
2015年度 金沢大・理系数学
05 金沢大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ四面体 OABC において, 3 つのベクトル OA, OB, OC はどの つも互いに垂直で あり, h > 0 に対して, OA, OB, OC h とする 3 点 O, A, B を通る平面上の点 P は, CP が CA と CB のどちらとも垂直となる点であるとする 次の問いに答えよ () OP OA + OB とするとき, と
【FdData中間期末過去問題】中学数学3年(二次方程式応用/係数/数/面積・体積/動点)
FdData 中間期末 : 中学数学 3 年 : 二次方程式応用 [ 係数の決定 / 整数の問題 / 面積 体積の問題 / 動点の問題 ] [ 数学 3 年 pdf ファイル一覧 ] 係数の決定 [ 係数 a を求める ] 二次方程式 + a = 0 の 1 つの解が 3 であるとき, a の値を求めよ また, もう 1 つの解を求めよ a = = a = 3 = 1 + a = 0 1の解の 1
平成 30 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 2 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 2 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の (1)~(7) の問いに答えなさい (1) -3 (-6+4) を計算しなさい 表合計 2 次の (1)~(6) の問
平成 30 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 2 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 2 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の (1)~(7) の問いに答えなさい (1) -3 (-6+4) を計算しなさい 表合計 2 次の (1)~(6) の問いに答えなさい 合計 (1) 関数 y = x 2 において,x の変域が -2 x 3 のとき, y
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- = 4 = 4 = - y = x y = x y = x + 4 y = x 比例は y = ax の形であらわすことができる 4 - 秒後 y = 5 y = 0 (m) 5 秒後 y = 5 5 y = 5 (m) 5 0 = 05 (m) 05 5 = 5 (m/ 秒 ) 4 4 秒後 y = 5 4 y = 80 (m) 5-80 5 4 = 45 (m/ 秒 ) 5 v = 0 5
頻出問題の解法 4. 絶対値を含む関数 4.1 絶対値を含む関数 絶対値を含む関数の扱い方関数 X = { X ( X 0 のとき ) X ( X <0 のとき ) であるから, 絶対値の 中身 の符号の変わり目で変数の範囲を場合分けし, 絶対値記号をはずす 例 y= x 2 2 x = x ( x
頻出問題の解法 4. 絶対値を含む関数 4.1 絶対値を含む関数 絶対値を含む関数の扱い方関数 X = { X ( X 0 のとき ) X ( X
2015年度 岡山大・理系数学
5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ を 以上の自然数とし, から までの自然数 k に対して, 番号 k をつけたカードをそれぞれ k 枚用意する これらすべてを箱に入れ, 箱の中から 枚のカードを同時に引くとき, 次の問いに答えよ () 用意したカードは全部で何枚か答えよ () 引いたカード 枚の番号が両方とも k である確率を と k の式で表せ () 引いたカード 枚の番号が一致する確率を
2014年度 センター試験・数学ⅡB
第 問 解答解説のページへ [] O を原点とする座標平面において, 点 P(, q) を中心とする円 C が, 方程式 y 4 x で表される直線 l に接しているとする () 円 C の半径 r を求めよう 点 P を通り直線 l に垂直な直線の方程式は, y - ア ( x- ) + qなので, P イ から l に引いた垂線と l の交点 Q の座標は ( ( ウ + エ q ), 4 (
数学 Ⅲ 微分法の応用 大学入試問題 ( 教科書程度 ) 1 問 1 (1) 次の各問に答えよ (ⅰ) 極限 を求めよ 年会津大学 ( 前期 ) (ⅱ) 極限値 を求めよ 年愛媛大学 ( 前期 ) (ⅲ) 無限等比級数 が収束するような実数 の範囲と そのときの和を求めよ 年広島市立大学 ( 前期
数学 Ⅲ 微分法の応用 大学入試問題 ( 教科書程度 )1 問 1 (1) 次の各問に答えよ (ⅰ) 極限 を求めよ 年会津大学 ( 前期 ) (ⅱ) 極限値 を求めよ 年愛媛大学 ( 前期 ) (ⅲ) 無限等比級数 が収束するような実数 の範囲と そのときの和を求めよ 年広島市立大学 ( 前期 ) (2) 次の関数を微分せよ (ⅰ) を正の定数とする (ⅱ) (ⅳ) (ⅵ) ( 解答 )(1) 年群馬大学
2018年度 神戸大・理系数学
8 神戸大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ t を < t < を満たす実数とする OABC を 辺の長さが の正四面体とする 辺 OA を -t : tに内分する点を P, 辺 OB を t :-tに内分する点を Q, 辺 BC の中点を R とする また a = OA, b = OB, c = OC とする 以下の問いに答えよ () QP と QR をt, a, b, c を用いて表せ
座標軸以外の直線のまわりの回転体の体積 ( バウムクーヘン分割公式 ) の問題の解答 立体の体積の求め方 図 1 の立体の体積 V を求める方法を考えてみる 図 1 図 1 のように 軸の から までの長さを 等分する そして とおく とすると となる 図 1 のように のときの 軸に垂直な平面 に
立体の体積の求め方 図 1 の立体の体積 V を求める方法を考えてみる 図 1 図 1 のように 軸の から までの長さを 等分する そして とおく とすると となる 図 1 のように のときの 軸に垂直な平面 による立体の断面積を とする 図 1の から までの斜線部分の立体 の体積を とすると, 図 2のように は 底面積 高さ の角柱の体積とみなせる よって 図 2 と表せる ただし とすると,
二等辺三角形の性質 (2) 次の図の の大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形 は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を 底角を y で表すとき y を の式で表しなさい y 2-5-2
三角形 四角形 二等辺三角形の性質 () 二等辺三角形と正三角形 二等辺三角形 2つの辺が等しい三角形( 定義 ) 二等辺三角形の性質定理 二等辺三角形の底角は等しい 定理 2 二等辺三角形の頂点の二等分線は 底辺を直角に2 等分する 正三角形 3 辺が等しい三角形 ( 定義 ) 次の図で 同じ印をつけた辺や角が等しいとき の大きさを求めなさい () (2) (3) 65 40 25 (4) (5)
【FdData中間期末過去問題】中学数学3年(乗除/乗法公式/因数分解)
FdDt 中間期末 : 中学数学 年 : 式の計算 [ 多項式と単項式の乗除 / 多項式の乗法 /()() の展開 /(),(-) の展開 / ()(-) の展開 / 乗法公式全般 / 複数の公式を使う / 乗法公式全般 / 因数分解 : 共通因数 /()(-)/(±) /()()/ いろいろな因数分解 / 因数分解全般 ] [ 数学 年 pdf ファイル一覧 ] 多項式と単項式の乗除 [ 多項式と単項式の乗法
2016年度 九州大・理系数学
0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面上の曲線 C, C をそれぞれ C : y logx ( x > 0), C : y ( x-)( x- a) とする ただし, a は実数である を自然数とするとき, 曲線 C, C が 点 P, Q で交わり, P, Q の x 座標はそれぞれ, + となっている また, 曲線 C と直線 PQ で囲まれた領域の面積を S,
2011年度 東京工大・数学
東京工業大学前期日程問題 解答解説のページへ n n を自然数とする 平面上で行列 n( n+ ) n+ の表す 次変換 ( 移動とも いう ) を n とする 次の問いに答えよ () 原点 O(, ) を通る直線で, その直線上のすべての点が n により同じ直線上に移 されるものが 本あることを示し, この 直線の方程式を求めよ () () で得られた 直線と曲線 (3) を求めよ n Sn 6
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平成 28 年度全国学力 学習状況調査 中学校数学 2 特徴的な問題 A 問題より A B C 垂線の作図方法について理解しているかどうか 3 関連問題 問題番号 問題の概要 全国正答率 三重県 公立 正答率 H24A 4 (1) 角の二等分線の作図の方法で作図された直線がもつ性質として, 正しい記述を選ぶ 58.2% 56.9% H26A 4 (2) 線分の垂直二等分線の作図の方法で作図される直線について,
( 表紙 )
( 表紙 ) 1 次の各問いに答えなさい. 解答用紙には答えのみ記入すること. ( 48 点 ) (1) U108 -U8 %5U6 + 7 U を計算しなさい. () 15a 7 b 8 &0-5a b 1& - 8 9 ab を計算しなさい. () + y - -5y 6 を計算しなさい. (4) 1 4 5 の 5 枚のカードから 枚を選び, 横に並べて 桁の数を作 るとき, それが の倍数になる確率を求めなさい.
1 次の (1) から (4) までの各問いに答えなさい (1) ' を計算しなさい (2)2#(-5 2 ) を計算しなさい 中数 A 1
平成 26 年度全国学力 学習状況調査 中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1ページから 30 ページまであります 3 解答は, 全て解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HBまたはBの黒鉛筆( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は,
2019年度 千葉大・理系数学
9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a, a とし, のとき, a+ a + a - として数列 { a } () のとき a+ a a a - が成り立つことを証明せよ () åai aaa + が成り立つような自然数 を求めよ i を定める -- 9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 三角形 ABC は AB+ AC BCを満たしている また,
テレビ講座追加資料1105
数学類題にチャレンジ 問題編 類題 1 下の図のように,1 辺の長さが 8cm の正方形 を, 頂点, がそれぞれ頂点, に重なるように折り, を折り目とします さらに, 頂点 が線分 上に重なるように を折り目として折り曲げ, 頂点 と線分 が重なった点を とします このとき, 次の各問に答えなさい (1) の長さを求めなさい () の面積を求めなさい 類題 縦と横の辺の長さの比が :1 である長方形
2015年度 京都大・理系数学
05 京都大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ つの関数 y= si( x+ ) と y = six のグラフの 0 x の部分で囲まれる領域 を, x 軸のまわりに 回転させてできる立体の体積を求めよ ただし, x = 0 と x = は領域を囲む線とは考えない -- 05 京都大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ次の つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ
【FdData中間期末過去問題】中学数学2年(連立方程式の応用2/速さ/数の問題)
FdData 中間期末 : 中学数学 2 年 : 連立方程式の応用 2 [ 途中で速さを変える / 速さその他 /2 けた (3 けた ) の自然数 / その他の数の問題 ] [ 数学 2 年 pdf ファイル一覧 ] 速さ 途中で速さを変える [ 問題 ](1 学期期末 ) A 市から 160km はなれた B 町へ自動車で出かけた A 市から途中の C 市までは時速 80km で走り,C 市から
2011年度 筑波大・理系数学
0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ O を原点とするy 平面において, 直線 y= の を満たす部分をC とする () C 上に点 A( t, ) をとるとき, 線分 OA の垂直二等分線の方程式を求めよ () 点 A が C 全体を動くとき, 線分 OA の垂直二等分線が通過する範囲を求め, それ を図示せよ -- 0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in( 80 ) in より, S H in H 同様にして, S in, S in も成り立つ よって, S in 三角形の面積 ヘロンの公式 in in 辺の長
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 図形と計量 三角形の面積 三角形の面積 の面積を S とすると, S in in in 解説 から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in より, S H in H STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in(
2017年度 金沢大・理系数学
07 金沢大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ 次の問いに答えよ ( 6 z + 7 = 0 を満たす複素数 z をすべて求め, それらを表す点を複素数平面上に図 示せよ ( ( で求めた複素数 z を偏角が小さい方から順に z, z, とするとき, z, z と 積 zz を表す 点が複素数平面上で一直線上にあることを示せ ただし, 偏角は 0 以上 未満とする -- 07 金沢大学
2014年度 筑波大・理系数学
筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ f ( x) = x x とする y = f ( x ) のグラフに点 P(, ) から引いた接線は 本あるとする つの接点 A (, f ( )), B(, f ( )), C(, f ( )) を頂点とする三角形の 重心を G とする () + +, + + および を, を用いて表せ () 点 G の座標を, を用いて表せ () 点 G
平成 31 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 2 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 2 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の (1)~(7) の問いに答えなさい (1) 3 (-2 2 ) を計算しなさい 表合計 2 次の (1)~(6) の問
平成 1 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の ~(7) の問いに答えなさい (- ) を計算しなさい 表合計 次の ~(6) の問いに答えなさい 合計 関数 y = x のグラフについて正しいものを, 次のア ~ エからすべて選んで記号を書きなさい アイウエ グラフは原点を通る
<8D828D5A838A817C A77425F91E6318FCD2E6D6364>
4 1 平面上のベクトル 1 ベクトルとその演算 例題 1 ベクトルの相等 次の問いに答えよ. ⑴ 右の図 1 は平行四辺形 である., と等しいベクトルをいえ. ⑵ 右の図 2 の中で互いに等しいベクトルをいえ. ただし, すべてのマス目は正方形である. 解 ⑴,= より, =,= より, = ⑵ 大きさと向きの等しいものを調べる. a =d, c = f d e f 1 右の図の長方形 において,
2010年度 筑波大・理系数学
00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ f( x) x ax とおく ただしa>0 とする () f( ) f() となるa の範囲を求めよ () f(x) の極小値が f ( ) 以下になる a の範囲を求めよ () x における f(x) の最小値をa を用いて表せ -- 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ つの曲線 C : y six ( 0
Math-Aquarium 例題 図形と計量 図形と計量 1 直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする A 地点の目の位置 A' から 木の先端への仰角が 30,A から 7m 離れた AQB=90 と なる B 地点の目の位置 B' から木の先端への仰角が 45 であ るとき,
図形と計量 直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする 地点の目の位置 ' から 木の先端への仰角が 0, から 7m 離れた Q=90 と なる 地点の目の位置 ' から木の先端への仰角が であ るとき, 木の高さを求めよ ただし, 目の高さを.m とし, Q' を右の図のように定める ' 0 Q' '.m Q 7m 要点 PQ PQ PQ' =x とおき,' Q',' Q' を
2016年度 京都大・文系数学
06 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ xy 平面内の領域の面積を求めよ x + y, x で, 曲線 C : y= x + x -xの上側にある部分 -- 06 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ ボタンを押すと あたり か はずれ のいずれかが表示される装置がある あたり の表示される確率は毎回同じであるとする この装置のボタンを 0 回押したとき,
2011年度 大阪大・理系数学
0 大阪大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a a を自然数とする O を原点とする座標平面上で行列 A= a の表す 次変換 を f とする cosθ siθ () >0 および0θ
p tn tn したがって, 点 の 座標は p p tn tn tn また, 直線 l と直線 p の交点 の 座標は p p tn p tn よって, 点 の座標 (, ) は p p, tn tn と表され p 4p p 4p 4p tn tn tn より, 点 は放物線 4 p 上を動くこと
567_ 次曲線の三角関数による媒介変数表示 次曲線の三角関数による媒介変数表示 次曲線 ( 放物線 楕円 双曲線 ) の標準形の, についての方程式と, 三角関数による媒介変数表示は次のように対応している.. 放物線 () 4 p (, ) ( ptn, ptn ) (). 楕円. 双曲線 () () (, p p ), tn tn (, ) ( cos, sin ) (, ), tn cos (,
2016年度 広島大・文系数学
06 広島大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a を正の定数とし, 座標平面上において, 円 C : x + y, 放物線 C : y ax + C 上の点 P (, ) を考える - におけるC の接線 l は点 Q( s, t) でC に接してい る 次の問いに答えよ () s, t および a を求めよ () C, l および y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ () 円 C
2018年度 筑波大・理系数学
筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ < < とする 放物線 上に 点 (, ), A (ta, ta ), B( - ta, ta ) をとる 三角形 AB の内心の 座標を p とし, 外心の 座標を q とする また, 正の実数 a に対して, 直線 a と放物線 で囲まれた図形の面積を S( a) で表す () p, q を cos を用いて表せ S( p) () S(
平成25年度全国学力・学習状況調査:調査問題の内容/中学校/数学A|国立教育政策研究所 National Institute for Educational Policy Research
平成 25 年度全国学力 学習状況調査 中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1ページから 30 ページまであります すべ 3 解答は, 全て解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HBまたはBの黒鉛筆( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は,
FdData中間期末数学3年
中学中間 期末試験問題集( 過去問 ): 数学 3 年 http://www.fdtext.com/dat/ 相似比と面積比 [ 相似比と面積比 1] [ 問題 ](3 学期 ) 右の図の 2 つの円 A,B について, 次の各問いに答えよ (1) A,B の円の相似比を求めよ (2) A,B の円の面積をそれぞれ求めよ (3) 面積の比を求めよ (1) (2)A B (3) [ 解答 ](1) 7:10
2015-2017年度 2次数学セレクション(複素数)解答解説
05 次数学セレクション解答解説 [ 筑波大 ] ( + より, 0 となり, + から, ( (,, よって, の描く図形 C は, 点 を中心とし半径が の円である すなわち, 原 点を通る円となる ( は虚数, は正の実数より, である さて, w ( ( とおくと, ( ( ( w ( ( ( ここで, w は純虚数より, は純虚数となる すると, の描く図形 L は, 点 を通り, 点 と点
FdData理科3年
FdData 中間期末 : 中学理科 3 年 : 仕事 [ 仕事の原理 : 斜面 ] [ 仕事の原理 引く力 ] [ 問題 ](2 学期期末 ) 図のような斜面を使って質量 35kg の物体を 3m の高さまで引き上げた ただし, ひもの重さ, 斜面や滑車の摩擦はないものとする また,100g の物体を引き上げるのに必要な力を 1N とする (1) このとき, 物体がされた仕事はいくらか (2) 図のとき,
S02 1 図において = =とする このとき = であることを証明せよ と において = 1 = 2 辺 は共通 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい ゆえに = である
S01 1 図において = =とする このとき であることを証明せよ と において = 1 = 2 辺 は共通 3 1 2 3 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって である S02 1 図において = =とする このとき = であることを証明せよ と において = 1 = 2 辺 は共通 3 1 2 3 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい
2014年度 千葉大・医系数学
04 千葉大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 袋の中に, 赤玉が 3 個, 白玉が 7 個が入っている 袋から玉を無作為に つ取り出し, 色を確認してから, 再び袋に戻すという試行を行う この試行を N 回繰り返したときに, 赤玉を A 回 ( ただし 0 A N) 取り出す確率を p( N, A) とする このとき, 以下の問いに答えよ () 確率 p( N, A) を N と
2017年度 信州大・医系数学
7 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面上の点 O(, ), A ( a, a ), B( b, b ), C( b, b) を考える さらに,, に対し, D( acos asi, asi + acos ), E( bcos bsi, bsi + bcos ) とおく () OA = OD を示せ () OA OC = かつ OA OB = OD OE ¹ であるとする
公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? 8 和積の公式 A + B A B si A + si B si os A + B A B si A si B os si A + B A B os A + os B os os A + B A B os A os B si si 9 三角関数の合成 si
公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? < 図形と方程式 > 点間の距離 A x, B x, のとき x x + : に分ける点 A x, B x, のとき 線分 AB を:に分ける点 æ x + x + ö は ç, è + + ø 注 < のとき外分点 直線の方程式 傾き で 点 x, を通る : x 点 x, x, を通る : x 注 分母が のとき は座標軸と平行な直線 x x 4 直線の位置関係
重要例題113
04_ 高校 数学 Ⅱ 必須基本公式 定理集 数学 Ⅱ 第 章式の計算と方程式 0 商と余り についての整式 A をについての整式 B で割ったときの商を Q, 余りを R とすると, ABQ+R (R の次数 ) > 0
テレビ講座追加資料1105
数学類題にチャレンジ 資料の活用 資料の活用語句のまとめ 階級 資料を整理したときの つ つの区間のこと 階級の幅 区間の幅のこと 各階級の最大値と最小値の差 度数 各階級にはいる資料の個数 ( 人数 ) のこと 度数分布表 資料をいくつかの階級に分け 階級ごとに度数を示して分布の様子をわかりやすくした表のこと 階級値 度数分布表で 各階級の真ん中の値のこと ヒストグラム 度数分布多角形 ( 度数折れ線
2017年度 神戸大・理系数学
7 神戸大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ を自然数とする f ( si + とおく < < 4 であることを用い て, 以下の問いに答えよ ( < < のとき, f ( < であることを示せ ( 方程式 f ( は < < の範囲に解をただ つもつことを示せ ( ( における解を とする lim であることを示し, lim を求めよ 7 神戸大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ
数学 ⅡB < 公理 > 公理を論拠に定義を用いて定理を証明する 1 大小関係の公理 順序 (a > b, a = b, a > b 1 つ成立 a > b, b > c a > c 成立 ) 順序と演算 (a > b a + c > b + c (a > b, c > 0 ac > bc) 2 図
数学 Ⅱ < 公理 > 公理を論拠に定義を用いて定理を証明する 大小関係の公理 順序 >, =, > つ成立 >, > > 成立 順序と演算 > + > + >, > > 図形の公理 平行線の性質 錯角 同位角 三角形の合同条件 三角形の合同相似 量の公理 角の大きさ 線分の長さ < 空間における座漂とベクトル > ベクトルの演算 和 差 実数倍については 文字の計算と同様 ベクトルの成分表示 平面ベクトル
2017年度 千葉大・理系数学
017 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程問題 1 解答解説のページへ n を 4 以上の整数とする 座標平面上で正 n 角形 A1A A n は点 O を中心とする半径 1 の円に内接している a = OA 1, b = OA, c = OA 3, d = OA4 とし, k = cos とおく そして, 線分 A1A3 と線分 AA4 との交点 P は線分 A1A3 を n :1に内分するとする
高ゼミサポSelectⅢ数学Ⅰ_解答.indd
数と式 ⑴ 氏点00 次の式を展開せよ ( 各 6 点 ) ⑴ (a-)(a -a+) ⑵ (x+y+)(x+y-5) 次の式を因数分解せよ (⑴⑵ 各 6 点, ⑶⑷ 各 8 点 ) ⑴ x y+x -x-6y ⑵ x -x - ⑶ a +5b ⑷ (x+y+z+)(x+)+yz 数と式 ⑵ 氏点00 次の問いに答えよ ( 各 6 点 ) ⑴ 次の循環小数を分数で表せ. a-5 = ⑵ 次の等式を満たす実数
2018年度 岡山大・理系数学
08 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 関数 f ( x) = ( + x) x について, 以下の問いに答えよ () f ( x ) = 0 を満たす x の値を求めよ () 曲線 y = f ( x ) について, 原点を通るすべての接線の方程式を求めよ (3) 曲線 y = f ( x ) について, 原点を通る接線のうち, 接点の x 座標が最大のものを L とする
2018年度 東京大・理系数学
08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ関数 f ( ) = + cos (0 < < ) の増減表をつくり, + 0, 0 のと sin きの極限を調べよ 08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ n+ 数列 a, a, を, Cn a n = ( n =,, ) で定める n! an qn () n とする を既約分数 an p として表したときの分母
熊本県数学問題正解
00 y O x Typed by L A TEX ε ( ) (00 ) 5 4 4 ( ) http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/. ( ) (009 ) ( ).. http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/eng.html 8 i i..................................... ( )0... (
2018年度 2次数学セレクション(微分と積分)
08 次数学セレクション問題 [ 東京大 ] > 0 とし, f = x - x とおく () x で f ( x ) が単調に増加するための, についての条件を求めよ () 次の 条件を満たす点 (, b) の動きうる範囲を求め, 座標平面上に図示せよ 条件 : 方程式 f = bは相異なる 実数解をもつ 条件 : さらに, 方程式 f = bの解を < < とすると > である -- 08 次数学セレクション問題
問 題
数学 出題のねらい 数と式, 図形, 関数, 資料の活用 の 4 領域について, 基礎的な概念や原理 法則の理解と, それらに基づき, 数学的に考察したり, 表現したり, 処理したりする力をみることをねらいとした () 数と式 では, 数の概念についての理解の程度, 文字を用いた式を処理したり, 文字を用いて式に表現したりする力, 目的に応じて式を変形する力をみるものとした () 図形 では, 平面図形や空間図形についての理解の程度,
中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1 ページから 34 ページまであります 3 解答は, すべて解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HB または B の黒鉛筆 ( シャープペンシルも可 )
中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1 ページから 34 ページまであります 3 解答は, すべて解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HB または B の黒鉛筆 ( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は, 解答用紙のマーク欄を黒く塗りつぶしてください
数論入門
数学のかたち 共線問題と共点問題 Masashi Sanae 1 テーマ メネラウスの定理 チェバの定理から 共線問題と共点問題について考える 共線 点が同一直線上に存在 共点 直線が 1 点で交わる 2 内容 I. メネラウスの定理 1. メネラウスの定理とその証明 2. メネラウスの定理の応用 II. 3. チェバの定理とその証明 メネラウスの定理 チェバの定理の逆 1. メネラウスの定理の逆
FdData社会歴史
( ) Home [http://www.fdtext.com/dat/ ] [ ](1 ) (1) (2) (1) (1) (2) [ ](1) (2) [ ] [ ](3 ) () () [ ] [ ] (1874 ) (1876 ) 1877 ( 10 ) ( (1877) ) [ ](2 ) 1877 (1) [ ] (2) (1) (2) [ ](1) (2) [ ](2 ) 1877 (
1 対 1 対応の演習例題を解いてみた 微分法とその応用 例題 1 極限 微分係数の定義 (2) 関数 f ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか f ( 1, f ( 1) ) と ( 1 + h, f ( 1 + h)
微分法とその応用 例題 1 極限 微分係数の定義 () 関数 ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか ( 1, ( 1) ) と ( 1 + h, ( 1 + h) ) の傾き= ( 1 + h ) - ( 1 ) ( 1 + ) - ( 1) = ( 1 + h) - 1 h ( 1) = lim h ( 1 + h) - ( 1) h ( 1, ( 1) ) と ( 1 - h,
2 (1) a = ( 2, 2), b = (1, 2), c = (4, 4) c = l a + k b l, k (2) a = (3, 5) (1) (4, 4) = l( 2, 2) + k(1, 2), (4, 4) = ( 2l + k, 2l 2k) 2l + k = 4, 2l
ABCDEF a = AB, b = a b (1) AC (3) CD (2) AD (4) CE AF B C a A D b F E (1) AC = AB + BC = AB + AO = AB + ( AB + AF) = a + ( a + b) = 2 a + b (2) AD = 2 AO = 2( AB + AF) = 2( a + b) (3) CD = AF = b (4) CE
2017年度 京都大・文系数学
07 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 曲線 y= x - 4x+ を C とする 直線 l は C の接線であり, 点 P(, 0) を通るもの とする また, l の傾きは負であるとする このとき, C と l で囲まれた部分の面積 S を求めよ -- 07 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 次の問いに答えよ ただし, 0.00 < log0
< BD96CA E B816989A B A>
数 Ⅱ 平面ベクトル ( 黄色チャート ) () () ~ () " 図 # () () () - - () - () - - () % から %- から - -,- 略 () 求めるベクトルを とする S であるから,k となる実数 k がある このとき k k, であるから k すなわち k$, 求めるベクトルは --,- - -7- - -, から また ',' 7 (),,-,, -, -,
" 01 JJM 予選 4 番 # 四角形 の辺 上に点 があり, 直線 と は平行である.=,=, =5,=,= のとき, を求めよ. ただし,XY で線分 XY の長さを表すものとする. 辺 と辺 の延長線の交点を, 辺 と辺 の延長線の交点を G とする. 5 四角形 は直線 に関して線対称な
1 " 数学発想ゼミナール # ( 改題 ) 直径を とする半円周上に一定の長さの弦がある. この弦の中点と, 弦の両端の各点から直径 への垂線の足は三角形をつくる. この三角形は二等辺三角形であり, かつその三角形は弦の位置にかかわらず相似であることを示せ. ( 証明 ) 弦の両端を X,Y とし,M を線分 XY の中点,, をそれぞれ X,Y から直径 への垂線の足とする. また,M の直径
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 線分 は の二等分線であるから :=:=:=: よって = = = 線分 は の外角の二等分線であるから :=:=:=: よって :=: したがって == 以上から =+=+= 右の図において, 点 は の外心である α,βを求めよ α β 70
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 図形の性質 線分 に対して, 次の点を図示せよ () : に内分する点 () : に外分する点 Q () 7: に外分する点 R () 中点 M () M () Q () () R 右の図において, 線分の長さ を求めよ ただし,R//Q,R//,Q=,=6 とする Q R 6 Q から,:=:6=: より :=: これから,R:=: より :6=:
( )
18 10 01 ( ) 1 2018 4 1.1 2018............................... 4 1.2 2018......................... 5 2 2017 7 2.1 2017............................... 7 2.2 2017......................... 8 3 2016 9 3.1 2016...............................
埼玉県学力 学習状況調査 ( 中学校 ) 復習シート第 3 学年数学 組 番 号 名 前 ( 数と式 を問う問題 ) 1 次の計算をしなさい レベル 6~8 1 (27x-36y+18) (-9) 答え 2 15x 2 y 5xy 2 3 答え 2 次の各問いに答えなさい レベル 9 10 (1)
埼玉県学力 学習状況調査 ( 中学校 ) 復習シート第 3 学年数学 組 番 号 名 前 ( 数と式 を問う問題 ) 1 次の計算をしなさい レベル 6~8 1 (27x-36y+18) (-9) 2 15x 2 y 5xy 2 3 2 次の各問いになさい レベル 9 10 (1) 次の等式を の中の文字について解きなさい c=5(a+b) a a= (2) 次の連立方程式を解きなさい 3x 5y
中1数学 移行措置資料
中 1 数学 学習指導要領改訂に伴う 移行措置資料 大切に保管してください みなさんが受ける授業は, 文部科学省が定める 中学校学習指導要領 にもとづいて進められています 平成 0 年 (00 年 ) に, この学習指導要領が改められ, 平成 年度 (01 年度 ) から, 新しい学習指導要領が実施されることになりました 平成 1 年度から平成 3 年度までは, 新学習指導要領への移行期間にあたります
【FdData中間期末過去問題】中学数学1年(項と係数/加法と減法/乗法と除法)
FdDt 中間期末 : 中学数学 年 : 文字式計算 [ 項と係数 / 加法と減法 / 乗法と除法 / 加減乗除全般 /FdDt 中間期末製品版のご案内 ] [FdDt 中間期末 pdf ファイル ( サンプル ) 一覧 ] [Shift] 左クリック 新規ウィンドウが開きます数学 :[ 数学 年 ],[ 数学 年 ],[ 数学 年 ] 理科 :[ 理科 年 ],[ 理科 年 ],[ 理科 年 ]
代数 幾何 < ベクトル > 1 ベクトルの演算 和 差 実数倍については 文字の計算と同様 2 ベクトルの成分表示 平面ベクトル : a x e y e x, ) ( 1 y1 空間ベクトル : a x e y e z e x, y, ) ( 1 1 z1
代数 幾何 < ベクトル > ベクトルの演算 和 差 実数倍については 文字の計算と同様 ベクトルの成分表示 平面ベクトル :, 空間ベクトル : z,, z 成分での計算ができるようにすること ベクトルの内積 : os 平面ベクトル :,, 空間ベクトル :,,,, z z zz 4 ベクトルの大きさ 平面上 : 空間上 : z は 良く用いられる 5 m: に分ける点 : m m 図形への応用
立体切断⑹-2回切り
2 回切り問題のポイント 1. 交線を作図する 2つの平面が交わると 必ず直線ができます この直線のことを 交線 ( こうせん ) といいます 2. 体積を求める方法は次の 3 通りのどれか! 1 柱の体積 = 底面積 高さ 1 2 すいの体積 = 底面積 高さ 3 3 柱の斜め切り= 底面積 高さの平均 ただし 高さの平均が使えるのは 底面が円 三角形 正方形 長方形 ひし形 平行四辺形 正偶数角形のときだけ
<4D F736F F D2082C282DC82B882AB8FAC8A778D5A94C D828E828F312E646F63>
平成 年度第 回算数 数学調査問題 ( 小学生版 ) いかとこたばんごうえら以下の問いに答え 当てはまる番号を選びなさい () 6+ を計算しなさい 8 () 5 を計算しなさい 7 () + を計算しなさい 8 8 8 5 8 6 5 6 () 96 0.8 を計算しなさい 0.. 0 (5) 5. 6. 5 を計算すると どのような数になりますか 50 より小さい数 50 より大きく 00 より小さい数
[ ] Table
[] Te P AP OP [] OP c r de,,,, ' ' ' ' de,, c,, c, c ',, c mc ' ' m' c ' m m' OP OP p p p ( t p t p m ( m c e cd d e e c OP s( OP t( P s s t (, e e s t s 5 OP 5 5 s t t 5 OP ( 5 5 5 OAP ABP OBP ,, OP t(
学習指導要領
() いろいろな式 学習指導要領ア式と証明 ( ア ) 整式の乗法 除法 分数式の計算三次の乗法公式及び因数分解の公式を理解し それらを用いて式の展開や因数分解をすること また 整式の除法や分数式の四則計算について理解し 簡単な場合について計算をすること 都立清瀬高校学力スタンダード 変数の 次式の展開や因数分解ができる ( 例 ) 次の式を展開せよ y ( 例 ) 次の式を因数分解せよ 8 7y
平成 30 年度入学試験問題 数学 注意事項試験開始後, 問題冊子及び解答用紙のページを確かめ, 落丁, 乱丁あるいは印刷が不鮮明なものがあれば新しいものと交換するので挙手すること 1. 試験開始の合図があるまで問題冊子を聞かないこと 試験開始後は, すべての解答用紙に受験番号 氏名を記入すること
平成 30 年度入学試験問題 数学 注意事項試験開始後, 問題冊子及び解答用紙のページを確かめ, 落丁, 乱丁あるいは印刷が不鮮明なものがあれば新しいものと交換するので挙手すること 1. 試験開始の合図があるまで問題冊子を聞かないこと 試験開始後は, すべての解答用紙に受験番号 氏名を記入すること 各志願者は, 下の表 に指示した問題を解答すること ただし, 教育学部に ついては志望するコース (
図形と証明 1 対頂角 a = b ( 証明 ) a+ c= 180 なので a = c b+ c= 180 なので b = c 1 2 1,2 から a = b a と b のように 交わる直線の向かい合う角を対頂角といいます 等しいことは 当然のように見えますが 証明とは
図形と証明 1 対頂角 a = b a+ c= 180 なので a = 180 - c b+ c= 180 なので b = 180 - c 1 2 1,2 から a = b a と b のように 交わる直線の向かい合う角を対頂角といいます 等しいことは 当然のように見えますが 証明とは それを筋道立てて説明することです a も b も 角度を使った式で 同じ式になる ということを述べるのが この証明です
解答速報数学 2017 年度大阪医科大学 ( 前期 ) 一般入学試験 1 (1) 0, 8 1 e9 進学塾 0t= $ e e 0t= 11 2e -1 1 = 2 e 0t= -11 dy dx = -2 - t te 3t 2-1 = = ビッグバン dy (2) x
解答速報数学 07 年度大阪医科大学 ( 前期 ) 一般入学試験 () 0, 8 9 0t= $ - - 0t= - = 0t= - dx = - - t t t - = = () x 軸と平行 dt =- - t t =0. t=0, x=0, y= dx y 軸と平行 dt = t -=0. t=$ U, x=p U, y= - ( 複号同順 ) () t dx = - t - t - より,
< D8C6082CC90AB8EBF816989A B A>
数 Ⅰ 図形の性質 ( 黄色チャート ) () () () 点 は辺 を : に外分するから :=: :=: であるから :=: == () 点 は辺 を : に内分するから :=:=: = + %= また, 点 は辺 を : に外分するから :=:=: == =+=+= 直線 は の二等分線であるから :=: 直線 は の二等分線であるから :=: 一方, であるから, から, から :=: :=:
2014年度 名古屋大・理系数学
04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ空間内にある半径 の球 ( 内部を含む ) を B とする 直線 と B が交わっており, その交わりは長さ の線分である () B の中心と との距離を求めよ () のまわりに B を 回転してできる立体の体積を求めよ 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 実数 t に対して 点 P( t, t ), Q(
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面積の比 つの三角形の高さが等しいときは, 面積の比は底辺の長さの比に等しい. 三角形の面積は ( 底辺 ) ( 高さ ) で求められる. 右図の ABC と ABD の面積は各々 ABC ABD BC h BD h ここで BC:BDa:b ならば 辺 BC の長さを BC と書く. 文字式の計算として B と C を掛けているわけではない.BD も辺の長さを表す記号. 式の中で ABC と書いたときは
FdText理科1年
中学理科 2 年 : 酸化 燃焼 [ http://www.fdtext.com/dat/ ] [ 要点 ] さんか (1) マグネシウムの酸化 物質が酸素と化合する反応を酸化という 熱や光を出しながらはげしく進む酸化を燃焼という 激しく熱と光を出し, 酸化マグネシウム ( 白色の酸化物 ) ができる マグネシウム+ 酸素 酸化マグネシウム,2Mg+O2 2MgO マグネシウム( 燃焼前 ) と酸化マグネシウム
学習指導要領
(1) 数と式 ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な無理数の四則計算をすること 絶対値の意味を理解し適切な処理することができる 例題 1-3 の絶対値をはずせ 展開公式 ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 を利用して根号を含む分数の分母を有理化することができる 例題 5 5 + 2 の分母を有理化せよ 実数の整数部分と小数部分の表し方を理解している
数学 A 図形の性質発展問題 ( 1) ( 平行線と線分比 ) 3 角形の角の 2 等分線の定理 問 1 ABC の内角 Aの 2 等分線が辺 BCと交わる点を Dとする 内角 Aの外角の 2 等分線が辺 BCの延長線と交わる点を Eとする AB:AC=BD:CD AB:AC=BE:EC が成り立つ
数学 A 図形の性質発展問題 (1) ( 平行線と線分比 ) 3 角形の角の 2 等分線の定理 問 1 ABC の内角 Aの 2 等分線が辺 BCと交わる点を Dとする 内角 Aの外角の 2 等分線が辺 BCの延長線と交わる点を Eとする AB:AC=BD:CD AB:AC=BE:EC が成り立つことを証明せよ ( 証明 ) 点 Cから辺 ABに平行線を引いて ABの延長線と交わる点を Fとする 点
< 中 3 分野例題付き公式集 > (1)2 の倍数の判定法は 1 の位が 0 又は偶数 ( 例題 )1~5 までの 5 つの数字を使って 3 ケタの数をつくるとき 2 の倍数は何通りできるか (2)5 の倍数の判定法は 1 の位が 0 又は 5 ( 例題 )1~9 までの 9 個の数字を使って 3
() の倍数の判定法は の位が 0 又は偶数 ~ までの つの数字を使って ケタの数をつくるとき の倍数は何通りできるか () の倍数の判定法は の位が 0 又は ~9 までの 9 個の数字を使って ケタの数をつくるとき の倍数は何通りできるか () の倍数の判定法は 下 ケタが 00 又は の倍数 ケタの数 8 が の倍数となるときの 最小の ケタの数は ( 解 ) 一の位の数は の 通り 十の位は一の位の数以外の
1999年度 センター試験・数学ⅡB
99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 問題 第 問 ( 必答問題 ) [] 関数 y cos3x の周期のうち正で最小のものはアイウ 解答解説のページへ 0 x 360 のとき, 関数 y cos3x において, y となる x はエ個, y となる x はオ 個ある また, y sin x と y cos3x のグラフより, 方程式 sin x cos3x は 0 x 360のときカ個の解をもつことがわかる