重要例題113

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1 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 新課程高校数学 必須公式 定理集 目次数学 Ⅰ... 第 章数と式... 第 章 次関数... 5 第 3 章図形と計量... 9 第 4 章集合と論理... 第 5 章データの分析... 4 数学 A... 6 第 6 章集合と場合の数... 6 第 7 章確率... 8 第 8 章整数の性質... 9 第 9 章図形の性質... 数学 Ⅱ... 7 第 0 章複素数と方程式 式と証明... 7 第 章図形と方程式... 3 第 章三角関数 第 3 章指数関数と対数関数 第 4 章微分と積分... 4 数学 B 第 5 章数列 第 6 章平面上のベクトル 第 7 章空間のベクトル... 5 第 8 章確率分布 第 9 章統計処理 数学 Ⅲ 第 0 章複素数平面 第 章平面上の曲線 第 章関数と極限 第 3 章微分法とその応用 第 4 章積分法とその応用

2 数学 Ⅰ 第 章数と式 00. 指数法則 m, が正の整数のとき m m () () ( m ) m (3) ( ) 乗法公式 () ( ),( ) () (3) (4) (5) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) c d c d c d ( ) c c c c 003. 因数分解の公式 () m m m( ) () (3) (4) -- ( ), ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (5) c ( d c) d ( )( c d) ( この公式は覚えるのではなく, たすき掛け の方法をマスターする.) (6) c c c ( c) 004. 絶対値数直線上の点 P( ) と原点との距離を で表す. ( 0) ( 0) 005. 数直線上の 点間の距離数直線上の 点 A( ), B( ) 間の距離 AB は AB 006. 乗の平方根 ( 0) ( 0) 007. 平方根の積と商 0, 0 のとき () ()

3 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 008. 分母の有理化 0, 0 のとき () () 009. 重根号 0, 0 のとき ( ) () ( ) ( だだし, ) () 00. 乗法公式からの派生公式 () ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 4 c c c ( ) ( c ) ( c ) c c c ( ) ( c ) ( c ) ( )( y ) ( y) ( y) () (3) ( y) ( y) 0. 文字方程式 ( 元 次方程式 ) の解法 についての方程式 の解は (ⅰ) 0のとき ( ただ つの解をもつ ) (ⅱ) 0, 0のとき解なし ( 不能 ) (ⅲ) 0, 0 のときすべての数 ( 不定 ) 0. 不等式の基本性質 (), c ならば c () ならば c c, c c (3), m 0 ならば m m, m m, m 0 ならば m m, m m -3-

4 03. 文字不等式 ( 元 次不等式 ) の解法 についての不等式 の解は (ⅰ) 0 のとき (ⅱ) 0 のとき (ⅲ) 0, 0 のとき 解なし ( 不能 ) (ⅳ) 0, 0 のとき すべての実数 ( 不定 ) 絶対値と方程式 不等式 0 のとき () の解は () の解は (3) の解は, -4-

5 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 第 章 次関数 05. 次関数の基本形 次関数 y ( p) q のグラフは y のグラフを 軸方向に p,y 軸方向に q だけ平行移動した放物線で, 軸は直線 =p, 頂点は点 ( p, q ) >0 のとき下に凸,<0 のとき上に凸 06. 平方完成 ( 両方とも, 式変形の方法をマスターする.) () () p p p 次関数の一般形 次関数 y c のグラフは, y のグラフを平行移動した放物線で, 軸は直線, 頂点は点 4, c 方程式の解の公式 () 次方程式 c 0 の解は () 次方程式 c 0の解は 4c c 09. グラフの移動関数 y f ( ) のグラフを () 軸方向に p,y 軸方向に q だけ平行移動 y q f ( p) () 軸に関して対称移動 y f ( ) (3) y 軸に関して対称移動 y f ( ) (4) 原点に関して対称移動 y f ( ) 00. 次関数の最大 最小 () 次関数 y ( p) q は, 定義域が実数全体のとき () >0 ならば,=p で最小値 q をとり, 最大値はない. () <0 ならば,=p で最大値 q をとり, 最小値はない. 0. 次関数 y c ( p) q の最大 最小 () () グラフが移動する場合 定義域を, 定義域の中点を とする. () 定義域が移動する場合 t( t) 定義域をt t, 定義域の中点を t とする.

6 () グラフが移動 p p p p Å å Å å >0 グラフ Å Å Å å Å å Å Å p À pá À Á pà À p 最大値 f ( ) f ( ) 最小値 f ( ) f ( p) q f ( ) 最大 Å å Å å 最小 Å Å å <0 グラフ Å Å p À αp γ β Á pà À p 最大値 f ( ) f ( p) q f ( ) 最小値 f ( ) f ( ) () 定義域が移動 () t p p t t p p t Å å Å å >0 グラフ Å p t t + Å å Å Á p t t + Å Á Å å p t t + 最大値 f() t f( t ) 最小値 f( t ) f ( p) q f() t Å p t t + Å å Å å Å å Å å <0 グラフ Å p t t + Å Á p t t + p Å Á t t + 最大値 f( t ) f ( p) q f() t 最小値 f() t f( t ) Å p t t + -6-

7 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 0. 次方程式の判別式 次方程式 c 0の判別式を D 4c とおくと () D 4c 0 異なる つの実数解をもつ () D 4c 0 ただ つの実数解 ( 重解 (3) D 4c 0 実数解をもたない 次方程式の実数解条件は D c 4 0 ) をもつ 03. 次関数と 軸との位置関係 次関数 y c ( 0) のグラフと 軸との位置関係は, c 0 の判別式を D とおくと () D 4c 0 異なる 点で交わる () D 4c 0 接する (3) D 4c 0 共有点をもたない 04. 次不等式の解 次不等式 c 0の解は下表のように分類される. ただし, 0 とする. D D 0 D 0 D 0 y c のグラフ α β α c 0の実数解 c 0の 解 c 0 の解 c 0 の解 c 0 の解, ( 重解 ) 実数解はない, を除くすべての実数すべての実数, すべての実数 解はない解はない のみ 05. 絶対不等式の条件 次不等式 c 0がすべての実数 に対して成り立つための条件は 0 かつ D 4c 0 次不等式 c 0 がすべての実数 に対して成り立つための条件は 0 かつ D c

8 06. 次方程式の解の存在範囲 次方程式 c 0( 0 ) の判別式を D, f ( ) c とおくと, 次関数 y f ( ) の軸は, 直線 である. 解の存在範囲グラフの概形グラフの条件 解 ( 重解を含む ) がともに正 0, 0 O y α β D 0 軸 0 f (0) 0 解 ( 重解を含む ) がともに負 0, 0 y α β O D 0 軸 0 f (0) 0 3 解が異符号 0, 0 y α O β f (0) 0 4 解 ( 重解を含む ) が ともに k より大きい k k α β D 0 軸 k f( k) 0 5 解 ( 重解を含む ) が ともに k より小さい k α β k D 0 軸 k f( k) 0 6 つの解が k より小さく, 他の解が k より大きい k k α β f( k) 0-8-

9 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 第 3 章図形と計量 07. 鋭角の三角比の定義右の図の直角三角形 ABC において si A ( 正弦 ) c cos A ( 余弦 ) c t A ( 正接 ) 08. 三角比の値 () θ si cos t 三角比の相互関係 si () t cos () si cos (3) t cos 030. 三角比の変形式 si(90 ) cos () cos(90 ) si t(90 ) t () si(80 ) si cos(80 ) cos t(80 ) t 03. 鈍角の三角比の定義右図のように角 θをとるとき y si r cos r y t P(,y) -r y r O θ r -9-

10 03. 三角比の値 () θ si 0 cos 0 3 t 0 なし 三角比の符号 直線の傾きと三角比直線 y m と 軸の正の向きとのなす角をθとすると m t 035. 正弦定理 c R ( ただし,R は ABC の外接円の半径 ) si A si B si C これから Rsi A, Rsi B, c Rsi C si A, si B, si C c R R R : : c si A:si B :si C 036. 余弦定理 c c cos A c c cos B c cosc 037. 第 余弦定理 ( 正射影の定理 ) cosc c cos B c cos A cosc c cos B cos A 038. 余弦と3 辺の長さ c c c cos A, cos B, cos C c c -0-

11 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 039. 鋭角と鈍角の判定 A が鋭角 cos A 0 c A が直角 A が鈍角 cos A 0 c cos A 0 c 040. 三角形の面積公式 S csi A c si B si C 04. 内接円の半径と三角形の面積 ABC の内接円の半径を r, 面積を S とすると S r ( c ) 04. ヘロンの公式 ABC の 3 辺の長さが,,c であるとき, ABC の面積 S は c S s( s )( s )( s c) ( ただし, s ) --

12 第 4 章集合と論理 集合の基本用語 記号 () A は集合 A の要素 () A B 集合 A は集合 B の部分集合 A B Aかつ B 集合 A と集合 B の共通部分 ( 交わり ) (3) (4) A B Aまたは B (5) 空集合 (6) A U, A 集合 A と集合 B の和集合 ( 結び ) 集合 A の補集合 (U は全体集合 ) (7) A ( ) 集合 A の要素の個数 044. 集合の相等 A B A B かつ A B 045. 分配法則 () A ( B C) ( A B) ( A C) () A ( B C) ( A B) ( A C) 046. 補集合の性質 A A U, A A, A A, U, U 047. ド モルガンの法則 A B A B, A B A B 048. 命題の真偽と集合条件 p を満たすものの集合を P, 条件 q を満たすものの集合を Q とすると命題 p q が真ならば,P Q である. 逆に P Q ならば, 命題 p q は真である 必要条件と十分条件 つの条件 p,q について命題 p q が真であるとき, p は,q であるための十分条件である q は,p であるための必要条件であるという. また, つの命題 p q, q p がともに真であるとき, p は,q であるための必要十分条件であるという ド モルガンの法則 p かつ q p または q p または q p かつ q --

13 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 05. 逆 裏 対偶 p q 逆 q p 05. 命題とその対偶の真偽 命題 p p 裏 対偶 裏 q 逆 q p q とその対偶 q p の真偽は一致する 背理法命題 p q が真であることを証明するとき, q であると仮定して,p かつ q から矛盾を導き出す ことによって, 与えられた命題が真であるという論法を背理法という 有理数と無理数,,c,d が有理数, () m 0 0 m が無理数のとき () m c d m c, d -3-

14 第 5 章データの分析 055. 代表値 () 平均値 : 個のデータ,, 3,, の平均値 は ( 3 ) i i () 中央値 ( メジアン M e ): データをすべて大きさの順に並べたときの中央の値 個の変量を小さい順に並べた,,, の中央値は が奇数のとき が偶数のとき (3) 最頻値 ( モード M o ): 度数が最大である値 (4) 範囲 ( レンジ ): データの最大値と最小値の差 (5) 四分位数 : データをすべて大きさの順に並べたとき, データ全体を 4 等分する位置にあるデータを小さい方から順に, 第 四分位数 ( Q ), 第 四分位数 ( Q ), 第 3 四分位数 ( Q 3 ) といい, 第 四分位数は中央値と一致する. (6) 四分位範囲 (IQR): Q 3 とQ の差 Q3Q 3 (7) 四分位偏差 (Q): Q IQ R Q Q 数要約と箱ひげ図データの最大値, 最小値, 中央値, 第 四分位数, 第 3 四分位数を 5 数要約といい, 下のような図で表したものを箱ひげ図という. 最小値 最大値 057. 偏差 個のデータ,, 3,, の平均値を とするとき,, 3,, をそれぞれ,, 3,, の偏差という 分散 個のデータ,, 3,, の分散を s とすると s i i i の平均値 の平均値 i -4-

15 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 059. 標準偏差分散の正の平方根を標準偏差といい,s で表す. 標準偏差 分散 060. 共分散 種類の変量,y をもつデータの組 (, y ), (, y),, (, y) について,,y の平均をそれぞれ, i yとするとき, 共分散 sy s y ( )( y y ) ( )( y y ) ( )( y y ) ( )( y y) Σ i i 06. 相関係数 種類の変量,y をもつデータを(, y ), (, y ),, (, y) とし,,y の平 均値を, y, 標準偏差を s, s とすると, 相関係数 r は ( i ) ( yi y) sy r s s s s 06. 相関係数の性質 () r i y y y ( i )( yi y) ( i )( yi y) i i i i i i i yi y i yi y () r が に近いとき, 強い正の相関関係がある. (3) r が に近いとき, 強い負の相関関係がある. (4) r が 0 に近いとき, 相関関係は弱い. は -5-

16 数学 A 第 6 章集合と場合の数 063. 集合の要素の個数 () ( A B) ( A) ( B) ( A B) とくに, A B のとき ( A B) ( A) ( B) () ( A) ( U) ( A) 和の法則事柄 A の起こり方が m 通り, 事柄 B の起こり方が 通りある.A と B は同時には起こらないとき,A,B のいずれかが起こる場合の数は,m+ 通りである 積の法則事柄 A の起こり方が m 通りあり, それぞれの場合に対して, 事柄 B の起こり方が 通りある. このとき,A,B がともに起こる場合の数は,m 通りである 約数の個数とその総和 p q r 自然数 m が m 3 5 と素因数分解できたとき m の正の約数の個数は ( p)( q)( r ) 個 m の正の約数の総和は p p p ( )( 3 3 )( 5 5 ) 067. 階乗記号 から までの自然数の積を の階乗といい,! で表す. すなわち! ( )( ) 3 ただし, 0! と定める 順列異なる 個のものから r 個取り出して 列に並べる並べ方の総数! P r ( )( ) ( r ) ( r)! とくに, P, P! 069. 円順列と数珠 ( じゅず ) 順列異なる 個のものを円形に並べる並べ方の総数は ( )! 通り異なる 個のものを数珠状に並べる並べ方の総数は ( )! 通り 070. 重複順列異なる 個のものから重複を許して r 個取り出し, 列に並べる並べ方の総数は r 通り 07. 組合せ異なる 個のものから r 個取り出すときの取り出し方の総数 P r! ( )( ) ( r ) Cr r! r!( r)! r( r )( r ) -6-

17 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 07. C r の性質 () C0 C, C () C C r r C C C (3) r r r (4) r Cr Cr 073. 重複組合せ相異なる 個のものから重複を許して r 個取り出す組合せの総数は H C r r r 074. 同じものを含む順列 が p 個, が q 個,c が r 個の合計 個のものを 列に並べる並べ方の総数は! 通り ( ただし,=p+q+r ) pqr!!! -7-

18 第 7 章確率 確率の定義全事象 U に含まれる根元事象の個数を U ( ), 事象 A に含まれる根元事象の個数を A ( ) とするとき, 事象 A の起こる確率 PA ( ) は A ( ) 事象 Aが起こる場合の数 PA ( ) U ( ) 起こりうるすべての場合の数 076. 確率の基本性質 () どんな事象 A に対しても,0 PA ( ) () 空事象 の確率 P( ) 0, 全事象 U の確率 PU ( ) (3) 加法定理 P( A B) P( A) P( B) P( A B) とくに,A,B が排反事象 ( A B) のとき P( A B) P( A) P( B) (4) 余事象の確率 P( A) P( A) 077. 反復試行の確率 回の試行で事象 A の起こる確率を p とすると, この試行を 回繰り返すとき,A が r 回起こる確率は, r r C p ( p) r 078. 条件付き確率 つの事象 A,B について, 事象 A が起こったときに, 事象 B が起こる確率を, 事象 A が起こったときの事象 B が起こる条件付き確率といい, PA ( B) で表す. P( A B) PA ( B) PA ( ) 079. 乗法定理 P( A B) P( A) P ( B) A とくに つの事象 A,B が独立 P( A B) P( A) P( B) -8-

19 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 第 8 章整数の性質 080. 基本用語 () 約数 倍数 つの整数, について, 整数 を用いて と表されるとき, は の倍数, は の約数という. 0 はすべての整数の倍数であり, はすべての整数の約数である. () 公倍数 公約数 つ以上の整数の共通の約数を公約数といい, そのうち最大である数を最大公約数 (G.C.D.) という. また, つ以上の整数の共通の倍数を公倍数といい, そのうち正で最小である数を最小公倍数 (L.C.M.) という. (3) 互いに素 つの整数, の最大公約数が であるとき,, は互いに素という. このとき, ( 0) を既約分数という. (4) 素数自然数 について, とその数自身以外に正の約数を持たない, すなわち正の約数が と の 個しかないものを素数という. は素数ではない. 自然数で, でも素数でもない数を合成数という. 08. 最大公約数と最小公倍数の性質 つの自然数 m, の最大公約数を G, 最小公倍数を L とすると () m mg, G ( m, は互いに素 ) () L mg m m, m GL 08. 除法の基本法則整数 と自然数 について q r (0 r ) を満たす整数 q,r は, ただ一通りに定まる.q を, を で割ったときの商,r を余り ( 剰余 ) といい, r 0 のとき, は で割り切れるという 連続する整数の積 () 連続する つの整数の積は の倍数 ( 偶数 ) である. () 連続する 3 つの整数の積は 6 の倍数である. (3) 連続する 個の整数の積は! の倍数である 倍数判定法 () の倍数 下 桁が偶数 () 3 の倍数 各桁の数字の和が 3 の倍数 (3) 4 の倍数 下 桁が 4 の倍数 (4) 5 の倍数 下 桁が 0 または 5 (5) 8 の倍数 下 3 桁が 8 の倍数 (6) 9 の倍数 各桁の数字の和が 9 の倍数 (7) の倍数 一の位から奇数番目の数字の和 A と偶数番目の数字の和 B について, 差 A Bが の倍数 -9-

20 剰余類 整数全体の集合 は, より大きい整数 で割った余りに注目すると, 次の 通り の組に分類される. { k},{ k },{ k },,{ k ( )} ( ただし, k ) これを法 による剰余類という ピタゴラス数 三平方の定理 c を満たす自然数 (,, c) の組をピタゴラス数という.,,c の最大公約数が であるとき, ピタゴラス数 (,, c) の組には次の性質がある. (), の一方は偶数で他方は奇数であり,c は奇数 (), の一方は 3 の倍数 (3), の一方は 4 の倍数 (4),,c のいずれかは 5 の倍数 (5) c, c の一方は平方数 (6) すべてのピタゴラス数は, m, m, m ( ただし,m, は0 m の整数 ) から作り出せる 互除法の原理自然数 を自然数 で割ったときの商を q, 余りを r とすれば q r (0 r ) が成り立ち, 公約数は最大公約数の約数であるから,, の最大公約数 は,r の最大公約数 に等しい. この原理を用いて最大公約数を求める方法をユークリッドの互除法という 二元一次不定方程式 y の整数解, は互いに素であるとき, 不定方程式 y を満たす整数,y は k ( k ) y k 089. 二元一次不定方程式 y c の整数解整数 c が整数, の最大公約数の倍数であるときに限り, y c を満たす整 数,y が存在する. () 整数, が互いに素であるとき, y を満たす整数,y が存在する. () 整数, が互いに素でなければ, y を満たす整数,y は存在しな い. (3) 整数, が互いに素であるとき, 任意の整数 k は, 整数,y を用いて k y の形に書き表すことができる 記数法 進法 ( は 以上の整数 ) で cd. ef( ) と表された数は cd ef c d e f. ( )

21 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 第 9 章図形の性質 09. 対頂角, 平行な 直線に交わる つの直線定理 対頂角は等しい. 定理 直線に つの直線が交わるとき, () 錯角が等しければ, この 直線は平行である. () 同位角が等しければ, この 直線は平行である. (3) 同側内角の和が 80 ならば, この 直線は平行である. 定理 3 平行な 直線に つの直線が交わるとき, () 錯角は等しい. () 同位角は等しい. (3) 同側内角の和は 80 である. 09. 三角形の内角の和定理 4 三角形の外角は, それと隣り合わない つの内角の和に等しい. 定理 5 三角形の内角の和は 80 である. ( 系 ) 四角形の 4 つの内角の和は 360 である. ( 系 ) 角形の内角の和は ( ) 80 である. ( 系 3) 多角形の外角の和は, 頂点の数に関係なく,360 である 三角形の合同条件定理 6 つの三角形で, 次の条件 (),(),(3) のどれか つが成り立てば, その つの三角形は合同である. () 3 辺がそれぞれ等しい.(3 辺相等 ) () 辺とそのはさむ角がそれぞれ等しい.( 辺夾角相等 ) (3) 辺とその両端の角がそれぞれ等しい.( 角夾辺相等 ) つの直角三角形の合同になる条件は, ( 系 ) 斜辺と つの鋭角が等しい. ( 系 ) 斜辺と他の 辺が等しい 三角形の相似定理 7 つの三角形で, 次の (),(),(3) のうちどれかが成り立てば, その つの三角形は相似である. () 3 組の辺の比がすべて等しい. AB BC CA AB BC CA () 組の辺の比が等しく, そのはさむ角が等しい. AB AC AB AC A= A (3) 組の角がそれぞれ等しい. B= B C= C --

22 平行四辺形の性質と条件定理 8 平行四辺形では () 組の対辺の長さはそれぞれ等しい. () 組の対角の大きさはそれぞれ等しい. (3) つの対角線は, 互いの中点で交わる. ( 系 ) ひし形の対角線は直交する. 定理 9( 定理 8 の逆 ) 四角形は, 次の ()~(4) のどれかが成り立てば, 平行四辺形である. () 組の対辺の長さはそれぞれ等しい. () 組の対角がそれぞれ等しい. (3) つの対角線が互いに他を 等分する. (4) 組の対辺が平行で, かつ, 長さが等しい 三平方の定理定理 0 直角三角形の直角をはさむ 辺の長さを, とし, 斜辺の長さを c とすると c である. 定理 ( 定理 0 の逆 ) 三角形の 3 辺の長さ,,c が, c であれば, その三角形は,c の辺を斜辺とする直角三角形である 三角形の 辺に平行な直線定理 ABC において, 辺 BC に平行な直線が他の 辺 AB, AC または, それらの延長と交わる点をそれぞれ D,E とすれば AD AE DE AB AC BC 定理 3( 定理 の逆 ) 三角形の 辺を等しい比に内分 ( 外分 ) する直線は, 残りの辺に平行である 中点連結定理定理 4 三角形の 辺の中点を結ぶ線分は, 他の辺に平行で, かつ長さは半分である.( 中点連結定理 ) 定理 5( 定理 4 の逆 ) 三角形の 辺の中点を通り, 他の 辺に平行な直線は, 残りの辺の中点を通る. 定理 6 直角三角形の斜辺の中点は,3 頂点より等距離にある 二等辺三角形の底角定理 7 二等辺三角形の底角は等しい. ( 系 ) 正三角形の 3 つの角は等しい. 定理 8( 定理 7 の逆 ) 三角形の 角が等しい三角形は, その 角を底角とする二等辺三角形である. 定理 9 二等辺三角形の頂角の 等分線は底辺を垂直に 等分する. --

23 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 00. 角の 等分線定理 0 ABC において, 辺 BC 上の点 D と辺 BC の延長上の点 E について, 次 のことが成り立つ. () AD が A の 等分線ならば AB:AC=BD:DC () AE が A の外角の 等分線ならば AB:AC=BE:EC この定理は逆も成り立つ. 0. 三角形の 辺と対角の大小定理 つの三角形の大きい辺に対する角は, 小さい辺に対する角より大である. 定理 ( 定理 の逆 ) つの三角形の大きい角に対する辺は, 小さい角に対する辺より大である. 0. 三角形の 辺の和定理 3 三角形の 辺の和は, 残りの辺より大きい. 03. 三角形の成立条件 3 つの実数,,c で三角形が作られるための必要十分条件は c () c () c c c (3) が最大数ならば c 04. 三角形の重心定理 4 三角形の 3 つの中線は 点で交わり, その点は,3 つの中線をそれぞれ : に内分する. この点を, その三角形の重心という. 05. 線分の垂直 等分線と三角形の外心定理 5 線分の垂直 等分線上の任意の 点は, その線分の両端から等距離にある. 定理 6( 定理 0 の逆 ) 線分の両端から等距離にある点は, その線分の垂直 等分線上にある. 定理 7 三角形の 3 辺の垂直 等分線は 点で交わり, その点は 3 頂点から等距離にある. この点を三角形の外心という. 06. 角の 等分線と三角形の内心定理 8 角の 等分線上の任意の点は, その角の 辺から等距離にある. 定理 9 三角形の 3 つの角の 等分線は 点で交わり, その点は 3 辺から等距離にある. この点を三角形の内心という. -3-

24 07.3 垂線と三角形の垂心定理 30 三角形の 3 つの頂点から対辺に下ろした 3 つの垂線は 点で交わる. この点を三角形の垂心という 円の位置関係定理 3 中心が P, 半径が r の円 C と, 中心が Q, 半径が r の円 C の つの円があり,r r で, つの円の中心間の距離 PQ を d とする. このとき, 円の位置関係は次のように場合分けされる. () 離れている d r r () 外接している d r r (3) 点で交わっている r r d r r (4) 内接している d r r (5) 一方が他方の内部にある d r r 09. 弧に対する中心角と弦定理 3 つの円の等しい中心角に対する弧の長さは等しい. 逆も成り立つ. 定理 33 等しい弧に対する弦は等しい. 定理 34 円の中心から弦に下ろした垂線は, その弦を 等分する. 0. 円周角定理 35 円の つの弧に対する円周角は, その弧の中心角の 分の である. ( 系 ) 同じ長さの弧に対する円周角は等しい. ( 系 ) 半円の弧に対する円周角は直角である. 定理 36( 定理 35 の逆 ) 等しい円周角に対する弧は等しい.. 点と円との位置関係定理 37 3 点 A,B,C を通る円について, 点 P が直線 AB に対して点 C と同じ側にあるとき, 次のことが成り立つ. () 点 P が円の内部にある APB> ACB () 点 P が円周上にある APB= ACB (3) 点 P が円の外部にある APB< ACB. 円周上の 4 点定理 38 点 C,P が直線 AB に関して同じ側にあるとき, APB= ACB ならば,4 点 A,B,C,P は同一円周上にある.( 四角形 ABCP は円に内接する.) 3. 円に内接する四角形定理 39 円に内接する四角形の対角の和は 80 である. ( 系 ) 円に内接する四角形の つの内角と, その対角の外角は等しい. 定理 40( 定理 9 の逆 ) 組の対角の和が 80 である四角形は円に内接する. 定理 4 四角形の つの内角がその対角の外角と等しければ, その四角形は円に内接する. -4-

25 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 4. 円と接線定理 4 円の弦と, その一端における接線とのなす角は, その角の中にある円の弧の上の円周角に等しい. 定理 43 円外の 点からその円に引いた つの接線の長さは等しい. 5. 方べきの定理定理 44 円の つの弦 AB,CD またはそれらの延長が点 P で交わるとき, PA PB=PC PD ( 系 ) 円の弦 AB の延長と, 周上の点 T での接線の交点を P とするとき, PAPB PT 定理 45( 定理 44 の逆 ) () つの線分 AB と CD, または, それらの延長どうしが点 P で交わっているとき, PA PB=PC PD ならば,4 点 A,B,C,D は同一円周上にある. () 円外の点 P を通る直線がこの円と 点 A,B で交わっ ているとき, この円上の点 T が, PAPB PT を満たすならば, 直線 PT はこの円の接線である. 6. メネラウスの定理直線 l が ABC の 3 辺 AB,BC,CA またはその延長と, それぞれ点 P,Q,R で交わるとき, 次の式が成り立つ. AP BQ CR PB QC RA 逆に, 上の等式が成り立つとき,3 点 P,Q,R は一直線上にある. 7. チェバの定理 ABC の 3 頂点 A,B,C と任意の点 X を結ぶ線分が, 対辺またはその延長と交わる点をそれぞれ P,Q,R とすると, 次の式が成り立つ. AP BQ CR PB QC RA 逆に, 上の等式が成り立つとき,3 直線 AQ,BR,CP は 点で交わる. -5-

26 8. トレミーの定理円に内接する四角形 ABCD において AB CD+AD BC=AC BD が成り立つ. この定理の逆, すなわち 四角形 ABCD でこの関係式が成り立つならば, この四角形は円に内接する も成り立つ 三垂線の定理 平面 とその平面上にない点 A があり, 上に点 B と直線 l とl 上にない点 O があるとき () OA,OB l AB l () OA,AB l OB l (3) AB l,ob l,oa OB OA 0. 正多面体正多面体 ( どの面も合同な正多角形で, どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている多面体 ) は次の 5 種類しかない. 正 4 面体正 6 面体正 8 面体正 面体正 0 面体 形状 面の形 正三角形 正方形 正三角形 正五角形 正三角形 辺の数 頂点の数 オイラーの多面体定理 多面体の頂点, 辺, 面の数をそれぞれ V,E,F とすると V E F -6-

27 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 数学 Ⅱ 第 0 章複素数と方程式 式と証明.3 次の乗法公式 () ( ) 3 3 () ( ) ( )( ) 3 3 ( )( ) 乗法公式からの派生公式 () ( ) 3 ( ) () ( ) 3 ( ) 4. 因数分解の公式 3 3 () ( )( ), 3 3 ( )( ) () (3) (4) ( ), ( ) c c c c c c 5. ニ項定理と多項定理 3 ( )( ) 3 ( )( ) r r Σ r r0 ( ) C C C C C C C r r 0 r ( c) の展開式における p q c r の項の係数は ( ただし,=p+q+r )! pqr!!! である. 6. 整式の除法における商と余り整式 f( ) を整式 P ( ) で割ったときの商を Q ( ), 余りを R ( ) とすると f ( ) P( ) Q ( ) R( ) ( R ( ) の次数 )<( P ( ) の次数 ) 7. 分数式の計算法則 A () AC, A AC B BC B B C () A C AC, A C A D AD B D BD B D B C BC A (3) B A B, A B AB C C C C C C 8. 虚数単位 i 平方して- になるような数を i と表し, 虚数単位という. i 0 のとき, i とくに, i -7-

28 9. 複素数, を実数,i を虚数単位とするとき, i の形に表される数を複素数といい, を実部, を虚部という. 複素数 i について 0のときは実数, 0 のときは虚数という. とくに, 0, 0 のときは純虚数という. 30. 数の分類 正の整数 ( 自然数 ) 整数 0 有理数 負の整数 実数 複素数 有限小数 小数 循環小数 無理数 ( 循環しない無限小数 ) 虚数 3. 複素数相等の定義,,c,d が実数のとき, i c di c, d とくに, i0 0, 0 3. 共役な複素数, が実数のとき, 複素数 i に対して, 虚部の符号を変えた数 i を と共役な複素数という. () 互いに共役な複素数の和 と積 はともに実数である. () が実数 33. 複素数の四則,,c,d が実数のとき () 加法 ( i) ( c di) ( c) ( d) i () 減法 ( i) ( c di) ( c) ( d) i (3) 乗法 ( i)( c di) ( c d) ( d c) i i ( i)( c di) ( c d) ( c d) i (4) 除法 c di ( c di)( c di) c d ( c di 0) 34. 次方程式の解の公式 () 次方程式 c 0 の解は 4c () 次方程式 c 0の解は c -8-

29 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 35. 次方程式の判別式 次方程式 c 0の判別式を D 4c とおくと () D 4c 0 異なる つの実数解をもつ () D 4c 0 ただ つの実数解 ( 重解 (3) D 4c 0 異なる つの虚数解をもつ 次方程式の実数解条件は D 4c 0 ) をもつ 36. 次方程式の解と係数の関係 次方程式 c 0の つの解を, とすると c, 37. 次方程式の解と因数分解 次方程式 c 0の つの解を, とすると c ( )( ) 38. 数を解とする 次方程式 つの数, を解とする 次方程式の つは ( ) 0 39.つの実数, の符号 0 かつ 0 0 かつ 0 0 かつ 0 0 かつ 0 と が異符号 剰余定理 () 整式 P ( ) を 次式 で割ったときの余りは P ( ) () 整式 P ( ) を 次式 で割ったときの余りは 4. 因数定理 () が整式 P ( ) の因数 P ( ) 0 () ( 0) が整式 P ( ) の因数 P の解 3 3 次方程式 の虚数解の つを とすると 3 () の解は,,, である. () (3) 3 0 P -9-

30 43.3 次方程式の解と係数の関係 3 3 次方程式 c d 0 の 3 つの解を,, c d,, 44. 基本的な対称式の変形 () ( ) () ( ) 3 ( ) (3) (4) (5) (6) ( ) ( ) とすると ( )( ) 恒等式 () c c が についての恒等式,, c c () c 46. 大小の判定 0 0が についての恒等式 0, 0, c 実数の性質 () すべての実数 について, 0 ( 等号成立は, 0 のとき ) () 実数, について, 0 ( 等号成立は, 0 かつ 0 のとき ) 48. 平方の大小 0, 0 のとき 49. 絶対値を含む不等式, が実数のとき ( 0 のとき) () ( 0 のとき) (), (3) (4) (5) ( 三角不等式 )

31 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 50. 相加平均と相乗平均 () 0, 0のとき, ( 等号成立は, のとき ) 5. 相加平均と相乗平均 () 0, 0, c 0 のとき c 3 c ( 等号成立は, cのとき ) 3 0, 0, c 0, d 0 のとき, c d 4 cd ( 等号成立は, c d のとき ) 4 一般的には, i 0 ( i,,, ) のとき -3-

32 第 章図形と方程式 5. 数直線上の 点間の距離数直線上の 点 A( ), B( ) 間の距離 AB は AB 53. 数直線上の内分点 外分点 中点の座標数直線上の 点 A( ), B( ) に対して, 線分 AB を m () m: に内分する点の 座標は m m () m: に外分する点の 座標は m (3) 中点の 座標は 54. 平面上の 点間の距離 点 A(, y ), B(, y ) 間の距離は AB ( ) ( y y ) とくに, 原点 O と点 A(, y) の距離は OA y 中線定理 ABC の辺 BC の中点を M とすると AB AC ( AM BM ) 56. 平面上の内分点 外分点 中点の座標平面上の 点 A(, y ), B(, y) に対して, 線分 AB を m y my () m: に内分する点の座標は, m m m y my () m: に外分する点の座標は, m m (3) 中点の座標は, y y 57. 三角形の重心 3 点 A(, y), B(, y), C( 3, y3) を頂点とする ABC の重心の座標は, y y y

33 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 58. 直線の方程式 () 傾き m,y 切片 の直線 y m () 切片が k で y 軸に平行な直線 k (3) 点 (, y) を通り, 傾き m の直線 y y m( ) (4) 異なる 点 (, y), (, y) を通る直線 y y のとき, y y ( ) のとき, (5) 0, 0 のとき, 切片が,y 切片が の直線 y 59. 直線の平行 垂直条件 () 直線 y m, y m について () 平行である m m, () 一致する m m, (3) 垂直である mm 60. 直線の平行 垂直条件 () 直線 y c 0, y c 0 について () 平行である 0 () 垂直である 0 6. 直線のなす角 直線 y m, y m のなす角を (0 90 ) t m m mm 6. 点と直線の距離公式 (, y ) と直線 y c 0の距離 d は 点 d y c -33- とすると 63. 直線の交点を通る直線 直線 y c 0, y c 0 に対して, 直線 y c k( y c) 0 (k は任意の実数 ) は,k の値に関わらず, 直線の交点を通る. 64. 円の方程式 () 原点を中心とする半径 r の円 y r () 中心 (, ), 半径 r の円 ( ) ( y ) r (3) 点 (, y ), (, y) を直径の両端とする円 ( )( ) ( y y )( y y ) 0

34 65. 円の位置関係と共通接線 中心が P, 半径が r の円 C と, 中心が Q, 半径が r の円 C の つの円があり, r r で, つの円の中心間の距離 PQ を d とする. このとき, 円の位置関係は次 のように場合分けされる. (ⅰ) 分離 d r r 共通接線 4 本 (ⅱ) 外接 d r r 共通接線 3 本 (ⅲ) 点で交わる r r d r r 共通接線 本 (ⅳ) 内接 d r r 共通接線 本 (ⅴ) 包含 d r r 共通接線 0 本 ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ 66. 円と直線の位置関係 () 円 ( ) ( y ) r と, 直線 m y l 0 の位置関係は, 式から つの文字を消去して得られる 次方程式の判別式を D とすると D 0 共有点は 個 ( 異なる 点で交わる ) D 0 共有点は 個 ( 接する ) D 0 共有点はない 67. 円と直線の位置関係 () 円 ( ) ( y ) r と, 直線 m y l 0 の位置関係は, 円の中心と直線の距離を d とすると d r 共有点は 個 ( 異なる 点で交わる ) d r 共有点は 個 ( 接する ) d r 共有点はない 68. 円の接線の方程式 () 円 y r 上の点 (, y) における接線の方程式は y y r -34-

35 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 69. 円の接線の方程式 () () 円 ( ) ( y ) r 上の点 (, y) における接線の方程式は ( )( ) ( y )( y ) r () 円 y r の傾き m の接線の方程式は y m r m 70. アポロニウスの円 定点 A,B からの距離の比が m: である点の軌跡は () m のとき, 線分 AB を m: に内分する点と外分する点を直径の両端とする円である.( アポロニウスの円 ) () m のとき, 定点 A,B を結ぶ線分 AB の垂直二等分線である. 7. 不等式の表す領域 () 不等式 y m の表す領域は, 直線 y m の上側不等式 y m の表す領域は, 直線 y m の下側 () 不等式 y r の表す領域は, 円 y r の内部 不等式 y r の表す領域は, 円 y r の外側 -35-

36 第 章三角関数 7. 一般角の三角関数右図のように角 θをとるとき y si ( 正弦 ) r cos ( 余弦 ) r y t ( 正接 ) P(,y) -r y r θ O -r r 73. 単位円原点 O を中心とする半径 の円 ( 単位円 ) 上の点 P (, y) をとると cos, y si と表せる. すなわち, 点 P の座標は P (cos, si ) になる. 74. 三角関数の値の範囲 si, cos t はすべての実数値をとる. y P(cosθ,siθ) θ - O 三角関数の符号 三角関数の間の関係 si () t () cos si cos (3) t cos 77. 弧度法 80 ( ラジアン ) ( ラジアン )= 扇形の弧の長さと面積半径 r, 中心角 θラジアンの扇形の弧の長さ l と面積 S は l r, S r r l -36-

37 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 79. 還元公式 負角 余角 補角 si ( は整数 ) si cos cos si si si cos cos si si cos cos cos t t t t t t t si cos si cos t cos si si t si cos cos t t t si cos si cos cos si si cos t t t t 80. 周期関数関数 f( ) が 0 でない定数 p に対して, つねに f ( p) f ( ) となるとき, このような関数を周期関数といい,p を周期という. 正の周期のうちで最小のものを基本周期という. 8. y si のグラフ 値域 : y, 原点について対称 ( 奇関数 ), 周期 : 8. y cos のグラフ 値域 : y,y 軸について対称 ( 偶関数 ), 周期 : -37-

38 83. y t のグラフ 値域 : 実数全体, 原点について対称 ( 奇関数 ), 周期 : ( は整数 ) が漸近線 84. 加法定理 () si( ) si cos cos si si( ) si cos cos si () cos( ) cos cos si si cos( ) cos cos si si t t t t (3) t( ), t( ) tt tt 85. 倍角の公式 () si si cos () cos cos si cos si t (3) t t 86.3 倍角の公式 () si 3 3si 3 4si () cos3 3 4cos 3cos (3) 3 3t t t3 3t 87. 半角の公式 cos cos () si () cos (3) cos t cos -38-

39 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 88. 三角関数の合成 () si cos si( ) () cos si cos( ) ただし, は cos, si を満たす角である. 89. 直線のなす角 直線 y m, y m のなす角を とすると, m m mm のとき, t mm mm のとき, 直線は垂直 -39-

40 第 3 章指数関数と対数関数 90. 指数の定義 0 で,m が整数, が正の整数のとき m 0 m m,, とくに, 9. 累乗根 0, 0 で,m,,p が正の整数のとき () (4) m m () (3) (5) m m (6) 9. 指数法則 0, 0 で,p,q が実数のとき () (4) p () q p q p q p q p q (5) p m p mp pq (3) ( ) p p p p p 93. 指数関数 y のグラフ () のとき () 0 のとき 94. 指数関数の性質 () 定義域は実数全体, 値域は正の実数全体であり p q p q () グラフは定点 (0,) を通り, 軸が漸近線である. (3) のとき増加関数で,0 のときは減少関数である. p q のとき p q 0 のとき 95. 対数と指数の関係 0, のとき log M p M p q p q p -40-

41 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 96. 対数の性質 M 0, N 0のとき () log 0, log () log MN log M log N (3) log M log N M log (4) log r M r log M (5) log M M 97. 底の変換公式,,c が正の数で,, c のとき logc log とくに, log log log c N 98. 対数関数 y log のグラフ () のとき y () 0 のとき y y log 99. 対数関数の性質 () 定義域は正の実数全体, 値域は実数全体であり log p log q p q () グラフは定点 (,0) を通り,y 軸が漸近線である. (3) のとき増加関数で,0 のときは減少関数である. のとき p q log p log q 0 のとき p q log p log q 00. 常用対数底が 0 である対数 log0 N を常用対数という. 0. 桁数 を正の整数とするとき () log0 の整数部分は 桁 () log0 の小数第 位に初めて 0でない数が現れる y log -4-

42 第 4 章微分と積分 0. 平均変化率関数 y f ( ) において, の値が から まで変わるときの f( ) の平均変化率は f ( ) f ( ) 03. 微分係数の定義式 f ( h) f ( ) f ( ) f ( ) f( ) lim lim h0 h 04. 導関数の定義式 f ( h) f ( ) f( ) lim h 0 h 05. 導関数の公式 のとき (),, 3 () k が定数のとき k 0 (3) k が定数で, y k f ( ) のとき y k f ( ) (4) y f ( ) ( ) のとき y f ( ) ( ) y f ( ) ( ) のとき y f ( ) ( ) ( ) ( ) (5) 06. 接線 法線の方程式曲線 y f ( ) 上の点, ( ) y f ( ) f ( )( ) f( ) 0 のとき法線の方程式は y f ( ) ( ) f ( ) f における接線の方程式は 07. 曲線が接するための条件 曲線 y f ( ), y ( ) が の点で接する. の点で 曲線の接線が一致する. f ( ) ( ) かつ f ( ) ( ) 方程式 f ( ) ( ) 0 が重解 をもつ. 曲線 y f ( ) ( ) が 軸上の点 において 軸に接する. f ( ) ( ) ( ) Q( ) とおける. 08. f( ) の符号と関数の値の増減関数 y f ( ) の値の増減は f( ) 0 となる の値の範囲で y の値は増加する. f( ) 0 となる の値の範囲で y の値は減少する. -4-

43 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 09. f( ) の極大 極小関数 y f ( ) について, f( ) 0 となる の値の前後で f( ) の符号が, 正から負に変わるとき, f( ) は極大になり, 負から正に変わるとき, f( ) は極小になる. 0.3 次方程式の実数解の個数 3 3 次方程式 c d 0 ( 0) に 3 おいて, f ( ) c d とし, f ( ) f ( ) 3 c 0 が異なる つの実 f( ) f ( ) f ( ) 数解, ( ) をもつとすると, 関数 f( ) は右の増減表から極大値 f ( ) と極小値 f ( ) をもつ. この つの極値 f( ), f( ) の符号と 軸との共有点の個数 ( 実数解の個数 ) は, 次のように分類できる グラフ 極値 共有点実数解 f ( ) 0 または f ( ) 0 個 f ( ) 0 または f ( ) 0 個 f ( ) 0 かつ f ( ) 0 3 個 -43-

44 . 不定積分 F( ) f ( ) のとき f d F C C ( ) ( ) ( は積分定数 ) の不定積分 () () 3. 不定積分の性質 () d C ( C は積分定数 ) ( ) d ( ) C ( C は積分定数 ) k f d k f d k ( ) ( ) ( は定数 ) f ( ) ( ) d f ( ) d ( ) d () ( 複号同順 ) 4. 定積分の定義 f( ) の原始関数のつを F ( ) とすると 5. 定積分の性質 () () (3) (4) f d F F F ( ) ( ) ( ) ( ) f d ( ) 0 f ( ) d f ( ) d c f ( ) d f ( ) d f ( ) d c k f d k f d k ( ) ( ) ( は定数 ) f ( ) ( ) d f ( ) d ( ) d (5) f ( ) ( ) d f ( ) d ( ) d 6. 次方程式と定積分 次方程式 c 0の つの実数解が, であるとき ( c) d ( )( ) d ( ) 微分と積分の関係 が定数のとき d d f t dt ( ) f ( ) -44-

45 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 8. 面積と定積分曲線 y f ( ) と 軸および 直線, とで囲まれた部分の面積 S は の範囲で f( ) 0のとき f( ) 0のとき S S f ( ) d f ( ) d 9. 曲線間の面積 つの曲線 y f ( ) とy ( ) が, の範囲で f ( ) ( ) のとき, この つの曲線と 直線, とで囲まれた部分の面積 S は S f ( ) ( ) d -45-

46 数学 B 第 5 章数列 0. 等差数列の一般項初項, 公差 d の等差数列の第 項は は ( ) d 等差数列の和初項 の等差数列の初項から第 項までの和 S は () 末項を l とすると S ( l ) S ( ) d () 公差を d とすると. 等比数列の一般項初項, 公比 r の等比数列の第 項は は r 3. 等比数列の和初項, 公比 r の等比数列の初項から第 項までの和 S は () r のとき () r のとき S S ( r ) ( r ) r r 4. 等差中項 等比中項 3 つの数,,c について,,,c がこの順に等差数列をなす c,,c がこの順に等比数列をなす c ) c ( ただし, 0 5. 複利法元金が 円, 年利率が r の複利法で 年後の元利合計は, ( r) 円となる. また, 毎年はじめに 円ずつ積み立て, 毎年末に利息を元金に繰り入れる複利法では, 年利率を r とすると, 年後の元利合計 S 円は S ( r) ( r) r 6. 自然数の和 () 3 ( ) () 3 ( )( ) (3) 3 ( ) -46-

47 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 7. 部分分数分解 ( 分解の方法をマスターする ) () k( k ) k k () k ( k )( k ) k k (3) (3k )(3k ) 3 3k 3k (4) k( k )( k ) k( k ) ( k )( k ) 8.Σ 公式 () k 3 ( 定義 ) k () (3) (4) c c ( ただし,c は定数 ) k k k k ( ) k ( )( ) 6 3 (5) k ( ) (6) k ( r ) k r ( ただし, k r r ) 9.Σ の性質 () ck c k ( ただし,c は定数 ) () k k ( ) k k k k k k k 30. 数列の和と一般項数列 の初項から第 項までの和を S とすると S ( ) S S 3. 階差数列と一般項数列 の階差数列を k k とすると, のとき 3. 数列の帰納的定義 (), d ( ) 初項, 公差 d の等差数列 (), r ( ) 初項, 公比 r の等比数列 -47-

48 第 6 章平面上のベクトル 33. ベクトルの計算法則 () 交換法則 () 結合法則 ( ) c ( c) (3) k( l) ( kl) (4) ( k l) k l (5) k( ) k k 34. ベクトルの平行条件 0, 0 のとき k となる実数 k がある 35. 単位ベクトル 0 のとき, と同じ向きの単位ベクトルは と平行な単位ベクトルは 36. ベクトルの分解 と が 次独立 ( 0, 0, ) のとき m m m m, とくに m 0 m 0, ベクトルの基本ベクトルと成分表示 e (, 0), e (0,) とすると e e ( 基本ベクトル表示 ) (, ) ( 成分表示 ) 38. ベクトルの相等と大きさ (, ), (, ) のとき (), () (, ) のとき 39. 成分の計算法則 k(, ) ( k, k ) () () (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) -48-

49 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 40. AB の成分と大きさ 点 A(, ), B(, ) に対して 4. 内積の定義 AB (, ), ( ) ( ) AB ベクトル, のなす角が (0 80 ) のとき cos 4. 内積の性質, 43. ベクトルの垂直条件 0, 0のとき 44. 内積と成分 0 (, ), (, ) のとき 45. ベクトルのなす角 (, ) 0, (, ) 0 のとき, つのベクトルのなす角をθとすると cos 46. 内積の計算法則 () () ( c) c, ( c) c (3) ( k) ( k) k( ) 47. 三角形の面積 OA, OB のとき, OAB の面積 S は S さらに, (, ), (, ) のとき S 48. 位置ベクトル 点 A( ), B( ) に対して AB -49-

50 49. 内分点 外分点の位置ベクトル 点 A( ), B( ) に対して, 線分 AB を m: に () 内分する点の位置ベクトル p は () 外分する点の位置ベクトル q は (3) 中点の位置ベクトルは 50. 重心の位置ベクトル m p m m q m 3 点 A( ), B( ), C( c) を頂点とする ABC の重心 G の位置ベクトルは c 点が同一直線上にあるための条件 3 点 A,B,P が一直線上にある AP kab となる実数 k がある 5. 直線のベクトル方程式 () 定点 A( ) を通り, 方向ベクトルが d ( 0) である直線のベクトル方程式は p td () 異なる 点 A( ), B( ) を通る直線のベクトル方程式は p ( t) t s t ( ただし, s t ) (3) 定点 A( ) を通り, 法線ベクトルが ( 0) である直線のベクトル方程式は ( p ) 直線の媒介変数表示点 (, y) を通り, 方向ベクトルが d ( l, m) である直線の媒介変数表示は l t y y mt 54. 法線ベクトルと直線 () 点 (, y) を通り, 法線ベクトルが (, ) である直線の方程式は ( ) ( y y) 0 () 直線 y c 0の法線ベクトルの つは (, ) -50-

51 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 55. 円のベクトル方程式 () 点 C( c) を中心とする半径 r の円のベクトル方程式は p c r () 点 A( ), B( ) を直径の両端とする円のベクトル方程式は ( p ) ( p ) ベクトルと領域一直線上にない 3 点 O,A,B をとり OP soa tob (s,t は実数 ) で定まる点 P の存在範囲は次のようになる. () s,t がすべての実数値をとる 平面全体 () st 直線 AB B O A (3) s t, s 0, t 0 線分 AB B O A (4) 0 s, 0 t 平行四辺形 OACB の周および内部 B C O A (5) s t, s 0, t 0 OAB の周および内部 B O A -5-

52 第 7 章空間のベクトル 57. 空間の 点間の距離原点 O と 点 点 A(,, 3), B(,, 3 ) に対して AB ( ) ( ) ( ) 3 3 OA 球面の方程式点 C(,, c) を中心とする半径 r の球面の方程式は ( ) ( y ) ( z c) r とくに, 原点 O を中心とする半径 r の球面の方程式は y z r 59. ベクトルの平行条件 空間の つのベクトル 0, 0について k となる実数 k がある 60. ベクトルの基本ベクトルと成分表示 e (, 0, 0), e (0,, 0), e (0, 0,) とすると 3 e e e 3 3 (,, ) ( 成分表示 ) 3 ( 基本ベクトル表示 ) 6. ベクトルの相等と大きさ (,, ), (,, ) のとき () 3 3,, (,, ) のとき () 成分の計算法則 k(,, ) ( k, k, k ) () (,, ) (,, ) (,, ) () (,, ) (,, ) (,, ) AB の成分と大きさ 点 A(,, 3), B(,, 3 ) に対して AB (,, ) AB 3 3 ( ) ( ) ( )

53 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 64. 内分点 外分点の座標 点 A(,, 3), B(,, 3 ) に対して, 線分 AB を m: に m m 3 m3 () 内分する点の座標は,, m m m m m m () 外分する点の座標は,, m m m 3 3 (3) 中点の座標は,, 65. 内積の定義 空間のベクトル, のなす角が (0 80 ) のとき cos 内積と成分 (,, ), (,, ) のとき ベクトルのなす角 (,, ) 0, (,, ) 0 のとき, つのベクトルのなす角をθとする と, 3 3 cos 68. ベクトルの垂直条件 , 0のとき 空間の位置ベクトル () 点 A( ), B( ) に対して AB () 点 A( ), B( ) に対して, 線分 AB を m: に内分する点を P( p ), 外分する m m p, q m m c を頂点とする ABC の重心 G の位置ベクトル は 点を Q( q) とすると (3) 3 点 A( ), B( ), C( ) c 点が同一直線上にあるための条件 3 点 A,B,P が一直線上にある AP kab となる実数 k がある 7. 直線のベクトル方程式空間の 点 A( ), B( ) を通る直線のベクトル方程式は p s t ( ただし, s t ) -53-

54 第 8 章確率分布 7. 乗法定理 P( A B) P( A) PA ( B) とくに, つの事象 A,B が独立 P( A B) P( A) P( B) 確率変数の平均確率変数 X の確率分布が右の表で与えられたとき E( X ) p p p X 計 p P p p p k 74. 確率変数の分散 標準偏差 () 分散 k k k k V ( X ) E ( X m) ( m) p E( X ) E( X ) () 標準偏差 k ( ) ( ) ( k ) k ( ) ( ) k D X V X m p E X E X 75.X+ の平均 分散 標準偏差, を定数,X を確率変数とするとき, E( X ) E( X ) V X V X ( ) ( ) D( X ) D( X ) 76. 確率変数の和 積の平均, 和の分散 () E( X Y) E( X ) E( Y) () X と Y が独立であるとき E( XY ) E( X ) E( Y) (3) X と Y が独立であるとき V( X Y) V( X ) V( Y) 77. ニ項分布 回の試行で事象 A の起こる確率が p で, 起こらない確率が q のとき, 回の試行が独立ならば, この反復試行で事象 A が k 回起こる確率は, k k P( X k) C p q, p q k となり, 確率変数 X の確率分布は下表のようになる. X 0 k 計 C q p 0 C pq C k k この確率分布を二項分布といい, B(, p) で表す. 78. 二項分布の平均 分散 標準偏差確率変数 X が B(, p) に従うとき, q E( X ) p, V( X ) pq, D( X ) pq pq k C p pとすると

55 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 第 9 章統計処理 79. 確率密度関数連続的な確率変数 X の分布曲線が y f ( ) で表されるとき, 関数 f( ) を確率密度関数といい, である. P( X ) f ( ) d 80. ニ正規分布連続的な確率変数 X の確率密度関数 f( ) が ( m) f ( ) e で与えられるとき,X の分布は平均 m, 分散 の正規分布であるといい, Nm (, ) で表す. とくに, m 0, の正規分布 N(0,) を標準正規分布という. m 3 8. 標準化 確率変数 X が正規分布 Nm (, ) に従うとき X m Z で表される確率変数 Z は, 標準正規分布 N(0,) 準化するという. 8. 正規分布と二項分布二項分布 (, ) る. に従う. これを, 確率変数 X を標 B p は の値が大きいとき, 正規分布 N p, p( p) で近似され 83. 標本平均母集団から無作為抽出する大きさ の標本の変量を X, X,, X で表すとき X X k ( X X X ) k を標本平均という. 84. 標本平均の平均と標準偏差母平均 m, 母標準偏差 σ の母集団から大きさ の標本を復元抽出するとき, 標本平 均 X の平均と標準偏差は, E X m D X -55-

56 85. 標標本平均の分布母平均 m, 母標準偏差 σの母集団から大きさ の標本を復元抽出するとき, が十 分大きければ, 標本平均 X の分布は, 正規分布 Nm (, ) で近似できる. 86. 母平均の推定標準偏差 σの母集団から, 大きさ の標本を無作為抽出するとき, が大きければ, 母平均 m に対する信頼区間は, 信頼度 95% では X m X 信頼度 99% では X m X -56-

57 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 数学 Ⅲ 第 0 章複素数平面 87. 共役複素数複素数 z i (, は実数,i は虚数単位 ) に対して, i といい, z で表す. 複素数平面上で 88. 共役複素数の性質 点 zと点 z は実軸に関して対称点 zと点 z は原点に関して対称 点 zと点 z は虚軸に関して対称 複素数, と, その共役複素数, について () (), (3), ( 0) 89. 実数 純虚数となるための条件 () 複素数 z が実数 z z () 複素数 z が純虚数 z z 0 ( z 0) 90. 実部と虚部複素数 z の実部, 虚部をそれぞれ Re( z), Im( z) とすると Re( z) ( z z), Im( z) ( z z) i 9. 複素数の実数倍複素数, 3 点 0,, 9. 複素数の絶対値 を z の共役複素数 について, 0のとき が一直線上にある k を満たす実数 k が存在する 原点 O と点 z との距離を z の絶対値といい, z で表す. z i (, は実数 ) のとき z i 93. 複素数の絶対値の性質 () z 0 とくに, z 0 z 0 () z z, z z (3) z zz とくに, z z z (4), ( 0) -57-

58 94. 点間の距離複素数平面上の 点 A( ),B( ) 間の距離 AB は AB 複素数の極形式複素数平面上において, 複素数 z i ( z 0) を表す点を P とし, z =OP=r, OP と実軸の正の部分とのなす角を とすると z r(cos isi ) ( r 0) と表せる. これを複素数 z の極形式という. また, を z の偏角といい, rg z と表す.z の偏角 は,0 の範囲でただ 通りに定まり, それを 0 とすると rg z ( は整数 ) 極形式による乗除計算 0 でない つの複素数 z r (cos isi ), z r (cos isi ) について () 積 : z z rr {cos( ) isi( )} z z z z, rg( z z ) rg z rg z z r () 商 : {cos( ) isi( )} z r z z z z, rg rg z rg z z z とくに, {cos( ) isi( )} z r 97. 複素数の乗除計算が表す点 0 でない複素数 r(cos isi ) に対して () 点 z は, 点 z を原点の周りに だけ回転し, 原点からの距離を r 倍した点 z () 点 は, 点 z を原点の周りに だけ回転し, 原点からの距離を 倍した点 r 98. 原点の周りの回転移動複素数平面上の点 z を原点の周りに角 だけ回転した点は z(cos isi ) とくに, 点 iz は, 点 z を原点の周りに だけ回転した点 99. ド モアブルの定理任意の整数 に対して 点 iz は, 点 z を原点の周りに だけ回転した点 cos isi cos isi が成り立つ. -58-

59 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 300.の 乗根 z の解は z cos k isi k ( k 0,,,, ) 30. 複素数平面上の分点複素数平面上の 点 A( z ),B( z ) に対して, 線分 AB を z mz m: に内分する点 z は z m zmz m: に外分する点 z は z m z z とくに, 線分 AB の中点 z は z 30. 三角形の重心複素数平面上の 3 点 A( z ),B( z ),C( z 3 ) に対して, ABC の重心 G( z) は z z z3 z 複素数平面上の図形 () z r ( r 0) 原点中心, 半径 r の円 () z r ( r 0) 点 を中心とする半径 r の円 (3) z z 点 A( ),B( ) を結ぶ線分の垂直二等分線 304. 複素数平面上の平行移動複素数平面上の点 z を だけ平行移動した点 w は wz 305. 点 z0 の周りの回転移動 複素数平面上の点 z を点 z0 の周りに角 だけ回転した点 w は w ( z z )(cos isi ) z 線分のなす角複素数平面上の異なる 3 点 A( ),B( ),C( ) に対して BAC rg 点の位置関係複素数平面上の異なる 3 点 A( ),B( ),C( ) に対して () 3 点 A,B,C が一直線上 が実数 () 直線 AB,AC が垂直 が純虚数 -59-

60 第 章平面上の曲線 放物線の方程式平面上で, 定点 F とこの点を通らない定直線 l から等距離 (PF=PH) にある点の軌跡を放物線といい, 定点 F を焦点, 定直線 l を準線という. () y 4p ( 標準形 ) () 4py 焦点が ( p, 0), 準線が pの放焦点が (0, p ), 準線が ypの放 物線で, 軸は 軸で, 頂点は原点 H P( ) 物線で, 軸は y 軸で, 頂点は原点 P( ) F( ) F( ) = = H 309. 楕円の方程式平面上の 定点 F,F からの距離の和が一定である点の軌跡を楕円といい この 定点 F,F を楕円の焦点という. y y () ( 0) ( 標準形 ) () ( 0) 焦点が(, 0) PF+PF = 頂点は (, 0), (0, ), 中心は原点 焦点が(0, ) PF+PF = 頂点は (, 0), (0, ), 中心は原点 F F' F P( ) P( ) F' -60-

61 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 30. 双曲線の方程式平面上の 定点 F,F からの距離の差が一定である点の軌跡を双曲線といい この 定点 F,F を双曲線の焦点という. y y () ( 0, 0) ( 標準形 ) () ( 0, 0) 焦点が(, 0) PF-PF = 頂点は (, 0), 中心は原点 漸近線は y 焦点が(0, ) PF-PF = 頂点は (0, ), 中心は原点 漸近線は y P F P F' F F' 3. 曲線の平行移動,y についての方程式 f (, y) 0で表される図形を 軸方向へ p,y 軸方向へ q だけ平行移動して得られる図形の方程式は f ( p, y q) 0 3. 媒介変数表示 P( ) () 円 y 上の任意の点を P(,y) とすると cos y si y () 楕円 上の任意の点を P(,y) とすると cos P'( ) y si P( ) y (3) 双曲線 上の任意の点を P(,y) とする と cos y t -6-

62 33. 離心率平面上に定直線 と, 上にない定点 F があり, 動点 P から直線 に下した垂線の 足を H とする. このとき PF PH e 一定 )( ただし, e 0 ) を満たす点 P の軌跡は 0e のとき楕円 e のとき放物線 e のとき双曲線 となる. また, それぞれの曲線に対して定点 F を焦点, 直線 を準線, 比の値 e を 離心率といい y 楕円の方程式が ( 0) であるとき e y 双曲線の方程式が ( 0, 0) であるとき である. e 34. 極座標と直交座標の関係平面上の点 P の直交座標 (,y) と極座標 (r,θ) の間には, 次の関係が成り立つ. rcos P(,y) y rsi y P( r, ) 逆に, 直交座標で表された点 (,y) を極座標 (r,θ) で表すとき r には, 次の関係式を用いる. y r y, cos, si r r -6-

63 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 第 章関数と極限 35. 分数関数のグラフ k k 分数関数 y qのグラフは, y のグラフを 軸方向に p,y 軸方向に q p だけ平行移動したもので, 直線 =p,y=q を漸近線とする直角双曲線である. (ⅰ) k 0 のとき (ⅱ) k 0 のとき q y=q q y=q p =p p =p 36. 無理関数のグラフ () 無理関数 y のグラフ (ⅰ) 0 のとき (ⅱ) 0 のとき - () 無理関数 y のグラフ (ⅰ) 0 のとき (ⅱ) 0 のとき - (3) 無理関数 y ( p) のグラフは, y 平行移動したものである. 37. 対 の関数 f ( ) f ( ) が成り立つとき, 関数 f は 対 対応の関数であるという. のグラフを 軸方向に p だけ -63-

64 38. 逆関数関数 f( ) が, 対 対応のとき, y f ( ) を について解き, と y の文字を交 換して得られる関数を, y f ( ) とかき, 関数 y f ( ) の逆関数という. 関数 y f ( ) とその逆関数 y f ( ) について () 定義域と値域が入れ替わる. () つのグラフは直線 y= に関して対称である. 39. 合成関数 ( f )( ) f ( ) () ( f) f () 一般的には, f f 30. 積 和公式 si cos si( ) si( ) cos si si( ) si( ) cos cos cos( ) cos( ) si si cos( ) cos( ) 3. 和 積公式 A B A B si Asi Bsi cos A B A B si A si B cos si A B A B cos A cos B cos cos A B A B cos A cos B si si 3. 数列の極限収束 lim ( 極限値 ) 正の無限大に発散 lim 発散負の無限大に発散 lim 振動 極限がある 極限がない -64-

65 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 33. 数列の極限値の性質 lim, lim のとき () lim k k ( ただし,k は定数 ) () lim( ), lim( ) (3) lim (4) lim ( ただし, 0 ) 34. 極限の大小関係 () lim, lim のとき すべての について () lim lim のとき すべての について c lim c ( はさみうちの原理 ) (3) すべての について, つねに のとき lim lim 35. 無限等比数列 r の極限 r のとき lim r r のとき lim r r のとき lim r 0 r のとき 振動 36. 無限等比数列 r の収束条件 37. 無限級数 数列 r が収束する r 無限級数 3 について, この無限級数の部分和を S とするとき k 3 k lim S lim S ( 極限値 ) k k であるとき, 無限級数 は S に収束するという. -65-

66 38. 無限級数の収束, 発散 () 無限級数 が収束する lim 0 ( 注 ) この命題の逆命題は成り立たない. () lim 0 無限級数 は発散する 無限等比級数の収束, 発散初項, 公比 r の無限等比級数 S r r r について (ⅰ) 0のとき r ならば, 収束してその和は r ならば, 発散する S r (ⅱ) 0 のとき, 収束してその和は S 無限級数の性質 つの無限級数, がともに収束するとき () () c c ( ただし,c は定数 ) ( ) 33. 関数の極限値の性質 lim f ( ), lim ( ) のとき () lim k f ( ) k ( ただし,k は定数 ) () lim ( ) ( ) f ( 複号同順 ) (3) lim f ( ) ( ) (4) f( ) lim ( ただし, 0) ( ) 33. 片方極限 () 左方極限を lim f( ), 右方極限を lim f( ) と表す. 0 0 () lim f ( ) lim f ( ) lim f ( )

67 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 333. 指数関数 対数関数の極限 () 指数関数 y について (ⅰ) のとき (ⅱ) 0 のとき lim, lim 0 lim 0, lim y y () 対数関数 y log について (ⅰ) のとき (ⅱ) 0 のとき lim log, lim log lim log, lim log y log 334. 三角関数に関する極限 si () lim () 0 t lim 関数の連続 () 関数 f( ) が で連続 極限値 lim f ( ) が存在して, lim f ( ) f ( ) () 関数 f ( ), ( ) が で連続ならば f( ) f ( ) ( ), f ( ) ( )), ( ただし, ( ) 0) ( ) も, で連続である. (3) 関数 f( ) が定義域内のすべての の値に対して連続であるとき, f( ) は連続 関数であるという. y log -67-

68 336. 中間値の定理関数 f( ) が区間 [,] で連続で, f ( ) f ( ) ならば, f( ) と f() の間のどんな値 k に対しても f ( c) k, c となる c が少なくとも つ存在する. y f() k O c y=f() f() 337. 解の存在定理関数 f( ) が閉区間 [,] で連続で, f( ) と f() が異符号ならば, 方程式 f( ) 0 を満たす実数解が と の間に少なくとも つ存在する. y f() O y=f() f() -68-

69 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 第 3 章微分法とその応用 338. 微分可能と連続 () 関数 f( ) の における微分係数 f( ) が存在するとき, 関数 f( ) は において微分可能であるという. f ( h) f ( ) f ( ) f ( ) ただし, f ( ) lim lim h0 h または () ある区間のすべての の値について, 関数 f( ) が微分可能であるとき, 関数 f( ) はその区間で微分可能であるという. (3) 関数 f( ) が において微分可能 関数 f( ) は において連続 ( 注 ) この命題の逆は成り立たない 導関数の定義式 y f ( ) f ( ) f( ) lim lim の導関数 αが実数のとき 34. 微分法の公式 () k f ( ) k f ( ) ( ただし,k は定数 ) () f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( 複号同順 ) () (3) 積の微分法 f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) また, f ( ) ( ) h( ) f ( ) ( ) h( ) f ( ) ( ) h( ) f ( ) ( ) h( ) (4) 商の微分法 とくに, f ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 34. 合成関数の微分法 y f ( u), u g( ) がともに微分可能であるとき, 合成関数 y f g( ) 導関数は dy dy du d du d 343. 微分法の公式 () f g( ) f g( ) g( ) () () (3) f ( ) f ( ) f ( ) -69- f ( ) f ( ) の

70 逆関数の微分法 d 0 のとき dy dy d d dy 345. 完全平方式で割り切れるための条件 次以上の整式 f( ) が ( ) で割り切れるための必要十分条件は f( ) f( ) 三角関数の導関数 cos () si cos () cos si (3) t 347.e の定義と関連公式 ( 定義 ) lim e e () (3) 鮒ひと鉢ふた鉢ひと鉢ふた鉢しごくおよごーに lim e log e( ) lim (4) 対数関数の導関数 () log, log log () log lim e () 0 e lim 0 (3) log f( ) f( ) f( ) 349. 指数関数の導関数 e e, log f () () 350. 接線と法線の方程式 () 曲線 y f ( ) 上の点, ( ) y f ( ) f ( )( ) () 曲線 y f ( ) 上の点, ( ) ( ) ( ) f ( ) e e f f における接線の方程式は f における法線の方程式は y f ( ) ( ) f ( ) ( ただし, f ( ) 0 ) -70-

71 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 35. 次曲線の接線 y () 楕円 上の点 (, y) における接線の方程式は yy y () 双曲線 上の点 (, y) における接線の方程式は yy ( 複号同順 ) (3) 放物線 y 4p 上の点 (, y) における接線の方程式は y y p( ) 35. 平均値の定理関数 f( ) が閉区間 [,] で連続, 開区間 (,) で 微分可能であるとき f ( ) f ( ) f ( c) ( c ) を満たす c が少なくとも つ存在する 関数の増減区間 (,) において, () つねに f( ) 0 ならば, 区間 [,] で f( ) は増加する. () つねに f( ) 0 ならば, 区間 [,] で f( ) は減少する. (3) つねに f( ) 0 ならば, 区間 [,] で f( ) は定数である. y f() f() y=f() O c 354. 極値となるための必要条件 f( ) が で極値をとる f( ) 0 ( 注 ) この命題の逆は成り立たない 曲線の凹凸 () f( ) 0 となる区間では, 曲線 y f ( ) は下に凸である. () f( ) 0 となる区間では, 曲線 y f ( ) は上に凸である 変曲点 f( ) 0 で, かつ の前後で f ( ) 線 y f ( ) の変曲点である 関数 y f ( ) のグラフをかくときの要点 の符号が変わるならば, 点, ( ) () 関数の定義域 () グラフの対称性 (3) 関数の増減と極値 (4) 曲線の凹凸および変曲点 (5) 漸近線 (6) グラフと座標軸との交点 f は曲 -7-

72 358. f ( ) の符号と極値 () f ( ) 0, f ( ) 0 ならば, f( ) は で極小 () f ( ) 0, f ( ) 0 ならば, f( ) は で極大 サイクロイド つの円が定直線上をすべることなく転がるとき, その円の周上の定点が描く曲線をサイクロイドといい, 下図のようなサイクロイドの媒介変数表示は ( si ) y( cos ) θ π π 360. 媒介変数で表された関数の微分法 dy f () t dy dt () t のとき y () t d d f () t dt 36. 直線上の点の運動数直線上を運動する点 P の座標 が, 時刻 t の関数 f () t で表されるとき, 時刻 t における点 P の速度 v および加速度 αは d dv d v f ( t), f ( t) dt dt dt 36. 平面上の点の運動座標平面上を運動する点 P の座標 (, y) が, 時刻 t の関数 f () t y g() t で表されるとき, 時刻 t における点 P の速度 v と速さ, 加速度 とその大きさ は d dy d dy v,, v dt dt dt dt d d y d d y,, dt dt dt dt 363. 次の近似式 () h 0のとき f ( h) f ( ) h f ( ) () 0のとき f ( ) f (0) f (0) -7-

73 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 第 4 章積分法とその応用 364. の不定積分 のとき のとき 365. 三角関数の不定積分 () si d cos C dlog C d C () cos d si C (3) d t C cos (4) d C si t 366. 指数関数の不定積分 () () 367. 置換積分法 () () t () ( ) e d e C d C log f ( ) d f ( t) ( t) dt とおくと tとおくと f ( ) ( ) dt f ( t) dt これを利用して, (3) f( ) の不定積分の つを F ( ) とするとき (4) 368. 部分積分法 f ( ) d F( ) C f ( ) d log f ( ) C f( ) f ( ) ( ) dd f ( ) ( ) f ( ) ( ) d 369. 定積分 f( ) の不定積分の つを F ( ) とすると f d F F F ( ) ( ) ( ) ( ) -73-

74 370. 定積分の置換積分法 () t とおくとき, ( ), ( ) ならば f ( ) d f ( t) ( t) dt t 37. 偶関数と奇関数の定積分 () f( ) が偶関数ならば () f( ) が奇関数ならば f ( ) d f ( ) d f d ( ) 定積分の部分積分法 f ( ) ( ) d f ( ) ( ) f ( ) ( ) d 373. 定積分と微分 が定数のとき d f ( t) dt f ( ) d 374. 定積分と和の極限 () 関数 f( ) が区間 で連続であるとき lim f ( ) lim f ( ) f ( ) d k k k0 k ただし,, k k () () において, とくに 0, とすると k k lim f lim f f ( ) d k0 k 定積分と不等式区間 で連続な関数 f ( ), ( ) に対して f ( ) ( ) ならば f ( ) d ( ) d 等号が成り立つのは, この区間においてつねに f ( ) ( ) のときに限る. -74-

75 495_ 新課程高校数学 必須公式 定理集 376. 面積と定積分 () 区間 で f( ) 0のとき, 曲線 y f ( ) と 軸および 直線, で囲まれた図形の面積 S は S f ( ) d () 区間 で f ( ) ( ) のとき, 曲線 y f( ), y ( および ) 直線, で囲まれた図形の面積 S は S f ( ) ( ) d y=f() S y=f() S y=g() (3) 区間 c y d で ( y) 0 のとき, 曲線 ( y) と y 軸および 直線 y c, y d で囲まれた図形の面積 S は S c d ( y) dy d c S =g(y) 377. 定積分と体積右の図のような立体の体積 V は V S( ) d S() 378. 回転体の体積 () 曲線 y f ( ) と 軸および 直線, で囲まれた図形を, 軸のまわりに回転してできる立体の体積 V は V y d f ( ) d () c d のとき, 曲線 ( y) と y 軸および 直線 y c, y d で囲まれた図形を,y 軸のまわりに回転してできる立体の体積 V は d d V dy ( y) dy c c d c =g (y) -75-

76 379. バームクーヘン分割関数 f( ) が閉区間, (0 ) で連続で, f( ) 0 のとき, 関数 y f ( ),,, および 軸で囲まれた図形を y 軸のまわりに 回転してできる立体の体積 V は V ( ) f d で求まる. これをバームクーヘン分割という パップス ギュルダンの定理平面上の曲線で囲まれた図形を, この平面上にあり, これと交わらない つの直線の周りに 回転してできる立体の体積は, この図形の重心が描く円周の長さと, その図形の面積との積に等しい. ( 回転体の体積 )=( 断面積 ) ( 重心の移動距離 ) 38. 一般の直線の周りの回転体の体積 において f ( ) m, t m 0 とする. このとき, 曲線 y f ( ), 直線 y m,, で囲まれた部分を直線 y m の周りに 回転してできる立 体の体積 V は V cos f ( ) ( m ) d 38. 極方程式で表された図形の面積 極方程式 r f( ) ( ) で表された曲線上の点 と極 O を結んだ線分が通過する領域の面積 S は S r d f d { ( )} 383. 曲線の長さ () 曲線 f ( t), y ( t) ( t ) の長さ L は d dy L dt f ( t) ( t) dt dt dt () 曲線 y f ( ) ( ) の長さ L は dy L d f ( ) d d -76-