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- ちかこ たけくま
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1 第 章 微分方程式 ニュートンはリンゴが落ちるのを見て万有引力を発見した という有名な逸話があります 無重力の宇宙船の中ではリンゴは落ちないで静止していることを考えると 重力が働くと始め静止しているものが動き出して そのスピードはどんどん大きくなる つまり速度の変化が現れることがわかります 速度は一般に時間と共に変化します 速度の瞬間的変化の割合を加速度といい で定義しましょう 速度が変化する, つまり加速度がでなくなるためにはその原因があり ニュートンはそれが質量をもつ物質に働く力のせいであることを見抜いたわけです 質量は重さのもとになる量で 同じ大きさの力を受けても質量が大きいと速度は変化しにくく, 質量が小さいと速度はたやすく変化することから 加速度は物体に働く力に比例し 物体の質量に反比例するとニュートンは考えました ここで 比例定数がになるように力の単位をとるとと表されます これが有名な ニュートンの運動方程式 です この式を速度を用いてのように表しましょう 力が既知のとき 未知の関数の導関数を含む方程式 は積分を用いて解くことができます その結果として, 速度は時間の関数として既知になります このような方程式を微分方程式といいます ニュートンはこの方程式を重力に適用して 地球は太陽の周りを楕円軌道を描いて回っていることを力学的に示しました
2 微分方程式の基礎 原始関数と不定積分 関数 が与えられたとき となるような関数 を の原始関数といいます が の原始関数で が定数のとき も の原始関数となります を の原始関数の つとすれば 任意の原始関数は の形にかけます これを の不定積分といい であらわします したがって 原始関数と不定積分 ( は積分定数 ) 次に重要な初頭関数の積分の公式をあげておきます 初頭関数の積分公式 ( 証明 ) ~ は省略 とおく とおく
3 例題 次の不定積分を求めよ ( 解答 ) とおく 次の不定積分を求めよ 次の不定積分を求めよ
4 変数分離形 変数分離形 ( または ) の解は次の不定積分で与えられる ( 証明 ) 解をとする 置換積分法によって この左辺は に等しいから 例題 ( 解答 ) のとき は積分定数 ) は でない任意の定数 ) のとき は微分方程式に代入すると となり成り立つ 以上から求める解は は任意の定数 ) は積分定数 ) は任意の定数 ) 一般に微分方程式の解は なにか条件をつけない限り一意的には定まらなりません このように 任意の定数を含む一般的な解を 微分方程式の一般解といいます これに対してもとの微分方程式に 例えば例題の問題に という条件をつければ となって 解は一意的に定まります このような条件を初期条件といい 初期条件が与えられて一意的に定まる解のことを特殊解といいます
5 同次形 同次形 の解は従属変数のからへの変換 すなわち ( 同次形の変数変換 ) を行うことで変数分離形の微分方程式に変換される さらに を満たす定数が存在すれば も解となる ( 証明 ) 従属変数のからへの変換すなわちを行えば よって のとき のときは 変数分離形 となる の形の解がある場合 となり は変数変換とみなせない この形の解をうる には 同次形の微分方程式に代入して この方程式を満たす定数が存在すれば そのにたいしても解となる 例題 ( 解答 ) すなわち とおくと
6 次に は任意の定数での解があるか調べます よって求める解は は任意の定数で すなわち とおくと 次に の解があるか調べる これはにおいて のときにあたる よって求める解は 例題ののように 一般解に含まれない解を微分方程式の特殊解といいます 微分方程式を解け
7 オランダの数学者 の提唱したロジスティック方程式 を解け は正定数
8 線形微分方程式 階線形微分方程式 階線形微分方程式 階線形微分方程式 の一般解は ( 証明 ) まず同次方程式 を考える ( ) も の解なので 同次方程式 の一般解は ここで を の関数式 と考えた式 が与えられた微分方程式を満たすように を決定する ( 定数決定法 ) を与えられた微分方程式に 代入すると 例題 ( 解答 ) まず同次方程式 を考える ( ) も の解なので 同次方程式 の一般解は ここで を の関数式 と考えた式 が与えられた微分方程式を満たすように を決定する を与えられた微分方程式に代入すると まず同次方程式 を考える のとき
9 ( ) のとき 与えられた微分方程式を満たす これは において のときである よって同次方程 式 の一般解は ここで を の関数式 と考えた式 が与えられた微分方程式を満たすように を決定する を与えられた微分方程式に代入すると ( 別解 ) ここで とおくと
10 階線形常微分方程式 ( 同次方程式 ) 階線形微分方程式 階線形微分方程式 ( は定数 ) の固有方程式 の つの解を とするとき 一般解は が実数で ならば ならば ならば ( 証明 ) まず微分方程式 を考えると ( は複素定数 ) 固有方程式がつの解をを持つので より は与えられた微分方程式の解である 同様にしても解となる とすると したがって ならば も方程式の解となり これが一般解を与える ならば 一つの解はである もう一つの解を得るために定数変化法を用いる とおいて 微分方程式に代入する ならば オイラーの関係によって ( )
11 回線形微分方程式に対して 次方程式 を微分方程式の特性方程式 特性方程式の解を特性解といいます 階線形微分方程式 の一般解 は 一般に の形をしています とくに も も の解となります このような解 を一般に基本解といいます 例題 ( 解答 ) よって一般解は よって一般解は よって一般解は
12 階線形常微分方程式 ( 非同時方程式 ) 定数と関数が与えられたとき を定数係数 階線形常微分方程式といいます 特に のときを同次方程式 一般の場合を非同次方 程式といいます 重ね合わせの原理微分方程式 の解を の解を とするとき は の解である ( 証明 ) 一般に 階線形微分方程式の非同次方程式を求めることは簡単ではありませんが 特定の について は簡単な求め方が存在します 未定係数法 の 次多項式 ( が特性方程式の 重解 ) の場合 次多項式 とおいて 微分方程式を見たすように係数を決定する の 次多項式 または が特性多項式 の 重解の場合 ) 次多項式 とおいて 微分方程式を見たすように係数を決定する 例題 次の微分方程式の一般解を求めなさい ( 解答 ) より 基本解は とおく よって求める一般解は より は特性方程式の 重解と考え とおく
13 より とおく 次の微分方程式の一般解を求めよ
14
15 完全微分方程式 偏微分平面上の点 に対して 実数 が つ定まるような関数 を 変数関数といい で表し ます 変数のグラフは一般的に曲線を表すことになります 上の点 において 次のような極限を考えます を一定にして の関数 が において便可能なとき つまり が存在するとき は点で偏微分可能であるといいます また この極限値をに関する偏微分係数といいで表します 同様にして に関する偏微分可能性 偏微分係数が定義されます また 集合の各点でに関して偏微分可能なとき はで偏微分可能であるといいます の各点に その点におけるに関する偏微分係数を対応させることにより得られる関数をの偏導関数といい で表します 同様にして に関する偏導関数を で表します 偏導関数を求めることを偏微分するといい とも書きます 例題 次の関数を偏微分せよ ( 解答 ) 次の関数を偏微分せよ
16 全微分 変数関数の微分係数の定義は でした この式を変形すると これを 変数に拡張しましょう 全微分関数 が点 において が成り立つとき は点で全微分可能であるという また 領域 の全ての点で全微分可能であるとき を の全微分という 関数が全微分可能であるとは 点がからまでだけ微小変化した 時のの変化量を と 次近似できることを表しています 例題 関数 は全微分可能であることを示せ また 全微分を求めよ 解答 よって は全微分可能で 次の関数の全微分を求めよ
17 完全形 完全形 微分方程式 において ある関数 または の全微分として と表せるとき すなわち を満たす関数が存在する ( 完全形である ) とき この方程式の一般解は ( 証明 ) の両辺をについて微分すれば ゆえに をみたすは微分方程式の解である 逆に が完全形の微分方程式の解であれば によって 任意の定数に対してを 満たす 完全形であるための条件微分方程式またはが完全形であるための必要十分条件は ( 証明 )( 必要性の証明 ) 与えられた微分方程式が完全形ならば を満たす関数 が存在するから ( 十分性の証明 ) が成り立つとき より とおくと ( はの任意の関数 ) より となるように を選ぶことができれば 微分方程式は完全形である したがって はに無関係なだけの関数である ゆえに が成り立つように を選ぶことができる
18 例題 ( 解答 ) とおくと したがって この微分方程式は完全形である ゆえに を満たす関数 が存在する この両辺を について偏微分すれば ( はの任意の関数 ) よって求める一般解は とおくと したがって この微分方程式は完全形である ゆえに を満たす関数 が存在する ( はの任意の関数 ) この両辺を について偏微分すれば よって求める一般解は 例題 ( 解答 ) この方程式にをかける とおくと
19 この微分方程式は完全形である ゆえに を満たす関数 が存在する この両辺を について偏微分すれば したがって求める一般解は この方程式に をかける とおくと この微分方程式は完全形である ゆえに を満たす関数 が存在する この両辺を について偏微分すれば したがって求める一般解は 例題のように与えられた微分方程式が完全形でなくても 適当な関数 をかけて が 完全形になるとき この を積分因子という ( )
20 次の関数を偏微分せよ 関数の偏微分係数を求めよ 次の関数の全微分を求めよ
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== 全微分方程式 == 全微分とは 変数の関数 z=f(, ) について,, の増分を Δ, Δ とするとき, z の増分 Δz は Δz z Δ+ z Δ で表されます. この式において, Δ 0, Δ 0 となる極限を形式的に dz= z d+ z d (1) で表し, dz を z の全微分といいます. z は z の に関する偏導関数で, を定数と見なし て, で微分したものを表し, 方向の傾きに対応します.
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応用数学 Ⅱ (7) 7 連立微分方程式の立て方と解法. 高階微分方程式による解法. ベクトル微分方程式による解法 3. 演算子による解法 連立微分方程式 未知数が複数個あり, 未知数の数だけ微分方程式が与えられている場合, これらを連立微分方程式という. d d 解法 () 高階微分方程式化による解法 つの方程式から つの未知数を消去して, 未知数が つの方程式に変換 のみの方程式にするために,
＂éı”ç·ıå½¢ 微勃挹稉弑
== 1 階線形微分方程式 == 次の形の常微分方程式を1 階線形常微分方程式といいます. '+P()=Q() (1) 方程式 (1) の右辺 : Q() を 0 とおいてできる同次方程式 ( この同次方程式は, 変数分離形になり比較的容易に解けます ) '+P()=0 () の1つの解を とすると, 方程式 (1) の一般解は =( Q() +C) (3) で求められます. 参考書には 上記の の代わりに,
( 慣性抵抗 ) 速度の 2 乗に比例流体中を進む物体は前面にある流体を押しのけて進む. 物 aaa 体の後面には流体が付き従う ( 渦を巻いて ). 前面にある速度 0 の流体が後面に移動して速度 vとなったと考えてよい. この流体の質量は単位時間内に物体が押しのける体積に比例するので,v に比例
空気抵抗があるときの自由落下 抵抗が速度に比例する場合 1. 絵を描く, 座標と情報, 記号を記入する x F0 v
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力学 A 金曜 限 : 松田 微分方程式の解き方 微分方程式の解き方のところが分からなかったという声が多いので プリントにまとめます 数学的に厳密な話はしていないので 詳しくは数学の常微分方程式を扱っているテキストを参照してください また os s は既知とします. 微分方程式の分類 常微分方程式とは 独立変数 と その関数 その有限次の導関数 がみたす方程式 F,,, = のことです 次までの導関数を含む方程式を
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微分方程式による現象記述と解きかた 土木工学 : 公共諸施設 構造物の有用目的にむけた合理的な実現をはかる方法 ( 技術 ) に関する学 橋梁 トンネル ダム 道路 港湾 治水利水施設 安全化 利便化 快適化 合法則的 経済的 自然および人口素材によって作られた 質量保存則 構造物の自然的な性質 作用 ( 外力による応答 ) エネルギー則 の解明 社会的諸現象のうち マスとしての移動 流通 運動量則
微分方程式補足.moc
Bernoulli( ベルヌーイ ) の微分方程式 ' + P( ) = Q() n ( n 0,) 微分方程式の形の補足 ( 階 ) 注意 : n =0 のときは 階線形微分方程式 n = のときは変数分離形となる 解法 : z = -n とおいて関数 z の微分方程式を解く z' =( - n) -n ' よりこれを元の微分方程 式に代入する - n z' + P() = Q() n 両辺を n
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基本公式 例題 0 定義式 f( ) 数 Ⅲ 微分入門 = の導関数を定義式にもとづいて計算しなさい 基本事項 ( f( ), g( ) が微分可能ならば ) y= f( ) g( ) のとき, y = y= f( ) g( ) h( ) のとき, y = ( f( ), g( ) が微分可能で, g( ) 0 ならば ) f( ) y = のとき, y = g ( ) とくに, y = のとき,
1 対 1 対応の演習例題を解いてみた 微分法とその応用 例題 1 極限 微分係数の定義 (2) 関数 f ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか f ( 1, f ( 1) ) と ( 1 + h, f ( 1 + h)
微分法とその応用 例題 1 極限 微分係数の定義 () 関数 ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか ( 1, ( 1) ) と ( 1 + h, ( 1 + h) ) の傾き= ( 1 + h ) - ( 1 ) ( 1 + ) - ( 1) = ( 1 + h) - 1 h ( 1) = lim h ( 1 + h) - ( 1) h ( 1, ( 1) ) と ( 1 - h,
4STEP 数学 Ⅲ( 新課程 ) を解いてみた関数 1 微分法 1 微分係数と導関数微分法 2 導関数の計算 272 ポイント微分法の公式を利用 (1) ( )( )( ) { } ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
微分法 微分係数と導関数微分法 導関数の計算 7 ポイント微分法の公式を利用 () 7 8 別解 [ ] [ ] [ ] 7 8 など () 6 6 など 7 ポイント微分法の公式を利用 () 6 6 6 など () 9 など () þ î ì など () þ î ì þ î ì þ î ì など 7 () () 左辺を で微分すると, 右辺を で微分すると, ( ) ( ) ( ) よって, (
数学 Ⅲ 微分法の応用 大学入試問題 ( 教科書程度 ) 1 問 1 (1) 次の各問に答えよ (ⅰ) 極限 を求めよ 年会津大学 ( 前期 ) (ⅱ) 極限値 を求めよ 年愛媛大学 ( 前期 ) (ⅲ) 無限等比級数 が収束するような実数 の範囲と そのときの和を求めよ 年広島市立大学 ( 前期
数学 Ⅲ 微分法の応用 大学入試問題 ( 教科書程度 )1 問 1 (1) 次の各問に答えよ (ⅰ) 極限 を求めよ 年会津大学 ( 前期 ) (ⅱ) 極限値 を求めよ 年愛媛大学 ( 前期 ) (ⅲ) 無限等比級数 が収束するような実数 の範囲と そのときの和を求めよ 年広島市立大学 ( 前期 ) (2) 次の関数を微分せよ (ⅰ) を正の定数とする (ⅱ) (ⅳ) (ⅵ) ( 解答 )(1) 年群馬大学
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閑話休題 漸化式の解法 基本形 ( 等差数列, 等比数列, 階差数列 ) 等差数列 : d 等比数列 : r の一般項を求めよ () 3, 5 () 3, () 5より数列 は, 初項 3, 公差の等差数列であるので 5 3 5 5 () 数列 は, 初項 3, 公比 の等比数列であるので 3 階差数列 : f の一般項を求めよ 3, より のとき k k 3 3 において, を代入すると 33 となるので,は
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数値計算で学ぶ物理学 4 放物運動と惑星運動 地上のように下向きに重力がはたらいているような場においては 物体を投げると放物運動をする 一方 中心星のまわりの重力場中では 惑星は 円 だ円 放物線または双曲線を描きながら運動する ここでは 放物運動と惑星運動を 運動方程式を導出したうえで 数値シミュレーションによって計算してみる 4.1 放物運動一様な重力場における放物運動を考える 一般に質量の物体に作用する力をとすると運動方程式は
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m u. 固有値とその応用 8/7/( 水 ). 固有値とその応用 固有値と固有ベクトル 行列による写像から固有ベクトルへ m m 行列 によって線形写像 f : R R が表せることを見てきた ここでは 次元平面の行列による写像を調べる とし 写像 f : を考える R R まず 単位ベクトルの像 u y y f : R R u u, u この事から 線形写像の性質を用いると 次の格子上の点全ての写像先が求まる
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線積分 線積分 ( n, n, n ) (ξ n, η n, ζ n ) ( n-, n-, n- ) (ξ k, η k, ζ k ) ( k, k, k ) ( k-, k-, k- ) 物体に力 を作用させて位置ベクトル A の点 A から位置ベクトル の点 まで曲線 に沿って物体を移動させたときの仕事 W は 次式で計算された A, A, W : d 6 d+ d+ d@,,, d+ d+
学習指導要領
(1) いろいろな式 学習指導要領紅葉川高校学力スタンダードア式と証明展開の公式を用いて 3 乗に関わる式を展開すること ( ア ) 整式の乗法 除法 分数式の計算ができるようにする 三次の乗法公式及び因数分解の公式を理解し そ 3 次の因数分解の公式を理解し それらを用いて因数れらを用いて式の展開や因数分解をすること また 分解することができるようにする 整式の除法や分数式の四則計算について理解し
Chap2
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単振動と単振動の力学的エネルギー. 弾性力と単振動 弾性力も単振動も力は F = -x の形で表されるが, x = の位置は, 弾性力の場合, 弾性体の自然状態の位置 単振動の場合, 振動する物体に働く力のつり合いの位置 である たとえば, おもりをつるしたばねについて, ばねの弾性力を考えるときは, ばねの自然長を x = とし, おもりの単振動で考える場合は, おもりに働く力がつり合った位置を
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以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (e. d d, dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( や, などがすべて 次で なおかつそれらの係数が定数であるような微分方程式 ) に対して安定性の解析を行ってきた しかしながら 実際には非線形の微分方程式で記述される現象も多く存在する
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1/8 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 11 分 10 複素微分 : コーシー リーマンの方程式 10 複素微分 : コーシー リーマンの方程式 9 複素微分 : 正則関数 で 正則性は複素数 z の関数 f ( z) の性質として導き出しまし た 複素数 z は つの実数, で表され z i 数 u, v で表され f ( z) u i 複素数 z と つの実数, : z + i + です
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パソコンシミュレータの現状
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最適レギュレータ 松尾研究室資料 第 最適レギュレータ 節時不変型無限時間最適レギュレータ 状態フィードバックの可能な場合の無限時間問題における最適レギュレータについて確定系について説明する. ここで, レギュレータとは状態量をゼロにするようなコントローラのことである. なぜ, 無限時間問題のみを述べるかという理由は以下のとおりである. 有限時間の最適レギュレータ問題の場合の最適フィードバックゲインは微分方程式の解から構成される時間関数として表現される.
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1/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 Ⅰ. 直交座標系 ガウスの定理は 微分して すぐに積分すると元に戻るというルールを 3 次元積分に適用した定理になります よく知っているのは 簡単化のため 変数が1つの場合は dj ( d ( ににします全微分 = 偏微分 d = d = J ( + C d です
2011年度 筑波大・理系数学
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東京大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ x の 次関数 f( x) = x + x + cx+ d が, つの条件 f () =, f ( ) =, ( x + cx+ d) dx= をすべて満たしているとする このような f( x) の中で定積分 I = { f ( x) } dx を最小にするものを求め, そのときの I の値を求めよ ただし, f ( x) は f ( x)
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折戸の物理 スペシャル補習 http://oritobuturi.co/ NO.5(009..16) 今日の目的 : 1 物理と微分 積分について 微分方程式について学ぶ 3 近似を学ぶ 10. 以下の文を読み,[ ア ]~[ ク ] の空欄に適当な式をいれよ 物体物体に一定の大きさの力を加えたときの, 物体の運動について考え よう 右図のように, なめらかな水平面上で質量 の物体に水平に一定の大きさ
2016年度 京都大・文系数学
06 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ xy 平面内の領域の面積を求めよ x + y, x で, 曲線 C : y= x + x -xの上側にある部分 -- 06 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ ボタンを押すと あたり か はずれ のいずれかが表示される装置がある あたり の表示される確率は毎回同じであるとする この装置のボタンを 0 回押したとき,
数学の学び方のヒント
数学 Ⅱ における微分単元の 指導法の改善に関する研究 2017 年 10 月北数教旭川大会で発表した内容です 北海道札幌国際情報高等学校和田文興 1 Ⅰ. 研究の動機と背景 高校では極限を厳密に定義できず, 曖昧でわかりにくい. 私自身は, はじめて微分と出会ったとき, 極限の考え方等が納得できなかった. y () a h 接線 a 傾き (a) 2 Ⅰ. 研究の動機と背景 微分の指導改善に関する優れた先行研究がいくつかあるが,
重要例題113
04_ 高校 数学 Ⅱ 必須基本公式 定理集 数学 Ⅱ 第 章式の計算と方程式 0 商と余り についての整式 A をについての整式 B で割ったときの商を Q, 余りを R とすると, ABQ+R (R の次数 ) > 0
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制御工学 I 第二回ラプラス変換 平成 年 4 月 9 日 /4/9 授業の予定 制御工学概論 ( 回 ) 制御技術は現在様々な工学分野において重要な基本技術となっている 工学における制御工学の位置づけと歴史について説明する さらに 制御システムの基本構成と種類を紹介する ラプラス変換 ( 回 ) 制御工学 特に古典制御ではラプラス変換が重要な役割を果たしている ラプラス変換と逆ラプラス変換の定義を紹介し
1/17 平成 29 年 3 月 25 日 ( 土 ) 午前 11 時 1 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 3 年次秋学期向 ) 量子力学とクライン ゴルドン方程式 素粒子の満たす場 y ( x,t) の運動方程式 : クライン ゴルドン方程式 : æ 3 ö ç å è m= 0
/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期向 量子力学とクライン ゴルドン方程式 素粒子の満たす場 (,t の運動方程式 : クライン ゴルドン方程式 : æ ö ç å è = 0 c + ( t =, 0 (. = 0 ì æ = = = ö æ ö æ ö ç ì =,,,,,,, ç 0 = ç Ñ 0 = ç Ñ 0 Ñ Ñ
1/10 平成 29 年 3 月 24 日午後 1 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 第 5 章ローレンツ変換と回転 Ⅰ. 回転 第 3 章光速度不変の原理とローレンツ変換 では 時間の遅れをローレンツ変換 ct 移動 v相対 v相対 ct - x x - ct = c, x c 2 移動
/ 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 第 5 章ローレンツ変換と回転 Ⅰ. 回転 第 3 章光速度不変の原理とローレンツ変換 では 時間の遅れをローレンツ変換 t t - x x - t, x 静止静止静止静止 を導いた これを 図の場合に当てはめると t - x x - t t, x t + x x + t t, x (5.) (5.) (5.3) を得る
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数値計算入門 武尾英哉. 離散数学と数値計算 数学的解法の中には理論計算では求められないものもある. 例えば, 定積分は, まずは積分 ( 被積分関数の原始関数をみつけること できなければ値を得ることはできない. また, ある関数の所定の値における微分値を得るには, まずその関数の微分ができなければならない. さらに代数方程式の解を得るためには, 解析的に代数方程式を解く必要がある. ところが, これらは必ずしも解析的に導けるとは限らない.
2017年度 金沢大・理系数学
07 金沢大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ 次の問いに答えよ ( 6 z + 7 = 0 を満たす複素数 z をすべて求め, それらを表す点を複素数平面上に図 示せよ ( ( で求めた複素数 z を偏角が小さい方から順に z, z, とするとき, z, z と 積 zz を表す 点が複素数平面上で一直線上にあることを示せ ただし, 偏角は 0 以上 未満とする -- 07 金沢大学
応用数学Ⅱ 偏微分方程式（２） 波動方程式(12/13)
偏微分方程式. 偏微分方程式の形 偏微分 偏導関数 つの独立変数 をもつ関数 があるとき 変数 が一定値をとって だけが変化したとす ると は だけの関数となる このとき を について微分して得られる関数を 関数 の に関する 偏微分係数 略して偏微分 あるいは偏導関数 pil deiie といい 次のように表される についても同様な偏微分を定義できる あるいは あるいは - あるいは あるいは -
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0. 固有値とその応用 固有値と固有ベクトル 2 行列による写像から固有ベクトルへ m n A : m n n m 行列によって線形写像 f R R A が表せることを見てきた ここでは 2 次元平面の行列による写像を調べる 2 = 2 A 2 2 とし 写像 まず 単位ベクトルの像を求める u 2 x = v 2 y f : R A R を考える u 2 2 u, 2 2 0 = = v 2 0
例 e 指数関数的に減衰する信号を h( a < + a a すると, それらのラプラス変換は, H ( ) { e } e インパルス応答が h( a < ( ただし a >, U( ) { } となるシステムにステップ信号 ( y( のラプラス変換 Y () は, Y ( ) H ( ) X (
第 週ラプラス変換 教科書 p.34~ 目標ラプラス変換の定義と意味を理解する フーリエ変換や Z 変換と並ぶ 信号解析やシステム設計における重要なツール ラプラス変換は波動現象や電気回路など様々な分野で 微分方程式を解くために利用されてきた ラプラス変換を用いることで微分方程式は代数方程式に変換される また 工学上使われる主要な関数のラプラス変換は簡単な形の関数で表されるので これを ラプラス変換表
DVIOUT-SS_Ma
第 章 テイラー展開 次の図のように関数のグラフをのグラフ ( 積み木のようなものと考えます ) を積み重ねて作ってみましょう ただ単純に足すだけではうまく作れません 色々と削ることが必要になります 次のように半分にしたり, 分のに削らなくてはなりません どうですか? たった枚の積み木を積み重ねただけで, ほぼのグラフに近づきまし たね これから学ぶのがこのテイラー展開のお話です 初等関数の微分 初等関数の微分まずは
Laplace2.rtf
=0 ラプラスの方程式は 階の微分方程式で, 一般的に3つの座標変数をもつ. ここでは, 直角座標系, 円筒座標系, 球座標系におけるラプラスの方程式の解き方を説明しよう. 座標変数ごとに方程式を分離し, それを解いていく方法は変数分離法と呼ばれる. 変数分離解と固有関数展開法. 直角座標系における 3 次元の偏微分方程式 = x + y + z =0 (.) を解くために,x, y, z について互いに独立な関数の積で成り立っていると考え,
2018年度 ２次数学セレクション（微分と積分）
08 次数学セレクション問題 [ 東京大 ] > 0 とし, f = x - x とおく () x で f ( x ) が単調に増加するための, についての条件を求めよ () 次の 条件を満たす点 (, b) の動きうる範囲を求め, 座標平面上に図示せよ 条件 : 方程式 f = bは相異なる 実数解をもつ 条件 : さらに, 方程式 f = bの解を < < とすると > である -- 08 次数学セレクション問題
DVIOUT
第 3 章 フーリエ変換 3.1 フーリエ積分とフーリエ変換 第 章では 周期を持つ関数のフーリエ級数について学びました この章では 最初に 周期を持つ関数のフーリエ級数を拡張し 周期を持たない ( 一般的な ) 関数のフーリエ級数を導きましょう 具体的には 関数 f(x) を区間 L x L で考え この L を限りなく大きくするというアプローチを取ります (L ) なお ここで扱う関数 f(x)
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付録 2 2 次元アフィン変換 直交変換 たたみ込み 1.2 次元のアフィン変換 座標 (x,y ) を (x,y) に移すことを 2 次元での変換. 特に, 変換が と書けるとき, アフィン変換, アフィン変換は, その 1 次の項による変換 と 0 次の項による変換 アフィン変換 0 次の項は平行移動 1 次の項は座標 (x, y ) をベクトルと考えて とすれば このようなもの 2 次元ベクトルの線形写像
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電気回路理論 II 演習課題 H30.0.5. 図 の回路で =0 で SW を on 接続 とする時 >0 での i, 並びに を求め 図示しなさい ただし 0 での i, 並びに を求めなさい ただし 0 とする 3. 図 3の回路で =0 で SW を下向きに瞬時に切り替える時 >0 での i,
数学○ 学習指導案
第 1 学年数学科数学 Ⅰ 学習指導案 1 単元名 二次方等式 二次不等式 2 単元の目標 二次方程式を因数分解や解の公式で導くことができるようにする 二次関数のグラフと 軸との共有点の個数を判別する方法を理解する 一次不等式や二次不等式の解法を 一次関数や二次関数のグラフを利用して理解する 二次不等式を含んだ連立不等式の解法を理解する 判別式をさまざまな事象の考察に応用することができるようにする
2015年度 信州大・医系数学
05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 放物線 y = a + b + c ( a > 0) を C とし, 直線 y = -を l とする () 放物線 C が点 (, ) で直線 l と接し, かつ 軸と共有点をもつための a, b, c が満 たす必要十分条件を求めよ () a = 8 のとき, () の条件のもとで, 放物線 C と直線 l および 軸とで囲まれた部
2018年度 東京大・理系数学
08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ関数 f ( ) = + cos (0 < < ) の増減表をつくり, + 0, 0 のと sin きの極限を調べよ 08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ n+ 数列 a, a, を, Cn a n = ( n =,, ) で定める n! an qn () n とする を既約分数 an p として表したときの分母
2016年度 筑波大・理系数学
06 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ k を実数とする y 平面の曲線 C : y とC : y- + k+ -k が異なる共 有点 P, Q をもつとする ただし点 P, Q の 座標は正であるとする また, 原点を O とする () k のとりうる値の範囲を求めよ () k が () の範囲を動くとき, OPQ の重心 G の軌跡を求めよ () OPQ の面積を S とするとき,
OCW-iダランベールの原理
講義名連続体力学配布資料 OCW- 第 2 回ダランベールの原理 無機材料工学科准教授安田公一 1 はじめに今回の講義では, まず, 前半でダランベールの原理について説明する これを用いると, 動力学の問題を静力学の問題として解くことができ, さらに, 前回の仮想仕事の原理を適用すると動力学問題も簡単に解くことができるようになる また, 後半では, ダランベールの原理の応用として ラグランジュ方程式の導出を示す
DVIOUT
3 第 2 章フーリエ級数 23 フーリエ級数展開 これまで 関数 f(x) のフーリエ級数展開に関して 関数の定義区間やフーリエ級数の積分区間を断りなく [, ] に取ってきました これは フーリエ級数を構成する三角関数が基本周期 2 を持つためです すなわち フーリエ級数の各項 cos nx および sin nx (n =1, 2, 3, 4, ) の周期は それぞれ 2, 2 2, 2 3,
2018年度 筑波大・理系数学
筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ < < とする 放物線 上に 点 (, ), A (ta, ta ), B( - ta, ta ) をとる 三角形 AB の内心の 座標を p とし, 外心の 座標を q とする また, 正の実数 a に対して, 直線 a と放物線 で囲まれた図形の面積を S( a) で表す () p, q を cos を用いて表せ S( p) () S(
第1章 単 位
H. Hamano,. 長柱の座屈 - 長柱の座屈 長い柱は圧縮荷重によって折れてしまう場合がある. この現象を座屈といい, 座屈するときの荷重を座屈荷重という.. 換算長 長さ の柱に荷重が作用する場合, その支持方法によって, 柱の理論上の長さ L が異なる. 長柱の計算は, この L を用いて行うと都合がよい. この L を換算長 ( あるいは有効長さという ) という. 座屈荷重は一般に,
1/12 平成 29 年 3 月 24 日午後 1 時 1 分第 3 章測地線 第 3 章測地線 Ⅰ. 変分法と運動方程式最小作用の原理に基づくラグランジュの方法により 重力場中の粒子の運動方程式が求められる これは 力が未知の時に有効な方法であり 今のような 一般相対性理論における力を求めるのに使
/ 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 分第 3 章測地線 第 3 章測地線 Ⅰ. 変分法と運動方程式最小作用の原理に基づくラグランジュの方法により 重力場中の粒子の運動方程式が求められる これは 力が未知の時に有効な方法であり 今のような 一般相対性理論における力を求めるのに使う事ができる 最小作用の原理 : 粒子が時刻 から の間に移動したとき 位置 と速度 v = するのが ラグランジュ関数
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- 第 章たわみ角法の基本式 ポイント : たわみ角法の基本式を理解する たわみ角法の基本式を梁の微分方程式より求める 本章では たわみ角法の基本式を導くことにする 基本式の誘導法は各種あるが ここでは 梁の微分方程式を解いて基本式を求める方法を採用する この本で使用する座標系は 右手 右ネジの法則に従った座標を用いる また ひとつの部材では 図 - に示すように部材の左端の 点を原点とし 軸線を
Microsoft PowerPoint - 応用数学8回目.pptx
8- 次の 標 : 複素関数 ( 正則関数 ) の積分 8- 実関数 : 定積分 講義内容 名城 学理 学部材料機能 学科岩 素顕 複素関数の積分について学ぶ 複素関数の積分 複素積分の性質 周回積分の解法 コーシーの積分定理 コーシーの積分公式 グルサーの公式 - 定義 複素関数の積分 : 線積分 今後の内容 区分的に滑らかな曲線に沿って複素関数の積分を計算する 複素関数の積分の性質に関して議論する
2010年度 筑波大・理系数学
00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ f( x) x ax とおく ただしa>0 とする () f( ) f() となるa の範囲を求めよ () f(x) の極小値が f ( ) 以下になる a の範囲を求めよ () x における f(x) の最小値をa を用いて表せ -- 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ つの曲線 C : y six ( 0
2014年度 筑波大・理系数学
筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ f ( x) = x x とする y = f ( x ) のグラフに点 P(, ) から引いた接線は 本あるとする つの接点 A (, f ( )), B(, f ( )), C(, f ( )) を頂点とする三角形の 重心を G とする () + +, + + および を, を用いて表せ () 点 G の座標を, を用いて表せ () 点 G
航空機の運動方程式
オブザーバ 状態フィードバックにはすべての状態変数の値が必要であった. しかしながら, システムの外部から観測できるのは出力だけであり, すべての状態変数が観測できるとは限らない. そこで, 制御対象システムの状態変数を, システムのモデルに基づいてその入出力信号から推定する方法を考える.. オブザーバとは 次元 m 入力 r 出力線形時不変システム x Ax Bu y Cx () の状態変数ベクトル
【FdData中間期末過去問題】中学数学2年(連立方程式計算/加減法/代入法/係数決定)
FdData 中間期末 : 中学数学 年 : 連立方程式計算 [ 元 1 次方程式 / 加減法 / 代入法 / 加減法と代入法 / 分数などのある連立方程式 / A=B=C, 元連立方程式 / 係数の決定 ] [ 数学 年 pdf ファイル一覧 ] 元 1 次方程式 次の方程式ア~カの中から, 元 1 次方程式をすべて選べ ア y = 6 イ x y = 5 ウ xy = 1 エ x + 5 = 9
代数 幾何 < ベクトル > 1 ベクトルの演算 和 差 実数倍については 文字の計算と同様 2 ベクトルの成分表示 平面ベクトル : a x e y e x, ) ( 1 y1 空間ベクトル : a x e y e z e x, y, ) ( 1 1 z1
代数 幾何 < ベクトル > ベクトルの演算 和 差 実数倍については 文字の計算と同様 ベクトルの成分表示 平面ベクトル :, 空間ベクトル : z,, z 成分での計算ができるようにすること ベクトルの内積 : os 平面ベクトル :,, 空間ベクトル :,,,, z z zz 4 ベクトルの大きさ 平面上 : 空間上 : z は 良く用いられる 5 m: に分ける点 : m m 図形への応用
1/30 平成 29 年 3 月 24 日 ( 金 ) 午前 11 時 25 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ) 第三章フェルミ量子場 : スピノール場 フェルミ型 ボーズ量子場のエネルギーは 第二章ボーズ量子場 : スカラー場 の (2.18) より ˆ dp 1 1 =
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり 第三章フェルミ量子場 : スピノール場 フェルミ型 ボーズ量子場のエネルギーは 第二章ボーズ量子場 : スカラー場 の (.8 より ˆ ( ( ( q -, ( ( c ( H c c ë é ù û - Ü + c ( ( - に限る (. である 一方 フェルミ型は 成分をもち その成分を,,,,
20～22.prt
[ 三クリア W] 辺が等しいことの証明 ( 円周角と弦の関係利用 ) の の二等分線がこの三角形の外接円と交わる点をそれぞれ とするとき 60 ならば であることを証明せよ 60 + + 0 + 0 80-60 60 から ゆえに 等しい長さの弧に対する弦の長さは等しいから [ 三クリア ] 方べきの定理 接線と弦のなす角と円周角を利用 線分 を直径とする円 があり 右の図のように の延長上の点
曲線 = f () は を媒介変数とする自然な媒介変数表示 =,= f () をもつので, これを利用して説明する 以下,f () は定義域で連続であると仮定する 例えば, 直線 =c が曲線 = f () の漸近線になるとする 曲線 = f () 上の点 P(,f ()) が直線 =c に近づくこ
伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 漸近線の求め方に関する考察 たまい玉井 かつき克樹 伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊. 漸近線についての生徒からの質問 数学において図を使って直感的な説明を与えることは, 理解を深めるのに大いに役立つ
0 21 カラー反射率 slope aspect 図 2.9: 復元結果例 2.4 画像生成技術としての計算フォトグラフィ 3 次元情報を復元することにより, 画像生成 ( レンダリング ) に応用することが可能である. 近年, コンピュータにより, カメラで直接得られない画像を生成する技術分野が生
0 21 カラー反射率 slope aspect 図 2.9: 復元結果例 2.4 画像生成技術としての計算フォトグラフィ 3 次元情報を復元することにより, 画像生成 ( レンダリング ) に応用することが可能である. 近年, コンピュータにより, カメラで直接得られない画像を生成する技術分野が生まれ, コンピューテーショナルフォトグラフィ ( 計算フォトグラフィ ) と呼ばれている.3 次元画像認識技術の計算フォトグラフィへの応用として,
工業数学F2-04（ウェブ用）.pptx
工業数学 F2 #4 フーリエ級数を極める 京都大学加納学 京都大学大学院情報学研究科システム科学専攻 Human Systems Lab., Dept. of Systems Science Graduate School of Informatics, Kyoto University 復習 1: 複素フーリエ級数 2 周期 2π の周期関数 f(x) の複素フーリエ級数展開 複素フーリエ係数
Microsoft Word - mathtext8.doc
8 章偏微分と重積分 8. 偏微分とは これまで微分を考える際 関数は f という形で 関数値がつの変数 に依存している場合のみを扱ってきました しかし一般に変数はつとは決まっておらず f のように 複数の変数を持つ関数も考えなければなりません そ こでこの節では今まで学んできた微分を一般化させ 複数の変数に対応した偏微分と呼ばれるものについて説明します これまでの微分を偏微分と区別したいとき 常微分という呼び方を用います
2017年度 千葉大・理系数学
017 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程問題 1 解答解説のページへ n を 4 以上の整数とする 座標平面上で正 n 角形 A1A A n は点 O を中心とする半径 1 の円に内接している a = OA 1, b = OA, c = OA 3, d = OA4 とし, k = cos とおく そして, 線分 A1A3 と線分 AA4 との交点 P は線分 A1A3 を n :1に内分するとする
2014年度 信州大・医系数学
4 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 3 個の玉が横に 列に並んでいる コインを 回投げて, それが表であれば, そのときに中央にある玉とその左にある玉とを入れ替える また, それが裏であれば, そのときに中央にある玉とその右にある玉とを入れ替える この操作を繰り返す () 最初に中央にあったものが 回後に中央にある確率を求めよ () 最初に右端にあったものが 回後に右端にある確率を求めよ
ニュートン重力理論.pptx
3 ニュートン重力理論 1. ニュートン重力理論の基本 : 慣性系とガリレイ変換不変性 2. ニュートン重力理論の定式化 3. 等価原理 4. 流体力学方程式とその基礎 3.1 ニュートン重力理論の基本 u ニュートンの第一法則 = 力がかからなければ 等速直線運動を続ける u 等速直線運動に見える系を 慣性系 と呼ぶ ² 直線とはどんな空間の直線か? ニュートン理論では 3 次元ユークリッド空間
高ゼミサポSelectⅢ数学Ⅰ_解答.indd
数と式 ⑴ 氏点00 次の式を展開せよ ( 各 6 点 ) ⑴ (a-)(a -a+) ⑵ (x+y+)(x+y-5) 次の式を因数分解せよ (⑴⑵ 各 6 点, ⑶⑷ 各 8 点 ) ⑴ x y+x -x-6y ⑵ x -x - ⑶ a +5b ⑷ (x+y+z+)(x+)+yz 数と式 ⑵ 氏点00 次の問いに答えよ ( 各 6 点 ) ⑴ 次の循環小数を分数で表せ. a-5 = ⑵ 次の等式を満たす実数
2013年度 信州大・医系数学
03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ () 式 + + a a a3 を満たす自然数の組 ( a, a, a3) で, a a a3とな るものをすべて求めよ () r を正の有理数とする 式 r + + a a a を満たす自然数の組 ( a, a, a3) で, 3 a a a3となるものは有限個しかないことを証明せよ ただし, そのよう な組が存在しない場合は 0 個とし,
公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? 8 和積の公式 A + B A B si A + si B si os A + B A B si A si B os si A + B A B os A + os B os os A + B A B os A os B si si 9 三角関数の合成 si
公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? < 図形と方程式 > 点間の距離 A x, B x, のとき x x + : に分ける点 A x, B x, のとき 線分 AB を:に分ける点 æ x + x + ö は ç, è + + ø 注 < のとき外分点 直線の方程式 傾き で 点 x, を通る : x 点 x, x, を通る : x 注 分母が のとき は座標軸と平行な直線 x x 4 直線の位置関係
平成 30 年度入学試験問題 数学 注意事項試験開始後, 問題冊子及び解答用紙のページを確かめ, 落丁, 乱丁あるいは印刷が不鮮明なものがあれば新しいものと交換するので挙手すること 1. 試験開始の合図があるまで問題冊子を聞かないこと 試験開始後は, すべての解答用紙に受験番号 氏名を記入すること
平成 30 年度入学試験問題 数学 注意事項試験開始後, 問題冊子及び解答用紙のページを確かめ, 落丁, 乱丁あるいは印刷が不鮮明なものがあれば新しいものと交換するので挙手すること 1. 試験開始の合図があるまで問題冊子を聞かないこと 試験開始後は, すべての解答用紙に受験番号 氏名を記入すること 各志願者は, 下の表 に指示した問題を解答すること ただし, 教育学部に ついては志望するコース (
<4D F736F F D A788EA8E9F95FB92F68EAE>
行列を用いた連立一次方程式の解法 概要私たちは数学 C で一次連立方程式の正方行列を用いた解法を学んだ 今回はこれをベースとし 元一次連立方程式の解法への拡張を目標とした まず 行列の性質から解をもつ条件 不定解の処理を考えた また 逆行列を求める手法は一般的に煩雑である そこでそれ以外に Crmer の定理 掃き出し法などの解法も検証した 今回の研究は発展的で難しかったが 研究を通してより多角的で数学的な思考の一端を学べた.
Microsoft Word - 付録A,Bとその図
付録 A 1 自由度系 ( 自由振動 ) の解法 はじめに振動現象を解明するのに基本となる 1 自由度不減衰系 ( 自由振動 ) の運動方程式の作成方法とその微分 ( あるいは偏微分 ) 方程式の解法を説明する. 1 自由度系モデルには, 単振動のばね 質量モデルと数学振子を用いる. A.1 運動方程式 ( 微分方程式 ) を立てる A.1.1 ばね 質量の場合 ( 1) 単振動の運動から運動方程式を求める
数学の世界
東京女子大学文理学部数学の世界 (2002 年度 ) 永島孝 17 6 行列式の基本法則と効率的な計算法 基本法則 三次以上の行列式についても, 二次の場合と同様な法則がなりたつ ここには三次の場合を例示するが, 四次以上でも同様である 1 単位行列の行列式の値は 1 である すなわち 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 二つの列を入れ替えると行列式の値は 1 倍になる 例えば a 13 a
平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム A 札幌医科大学 年 P ab, を正の定数とする 平面上において ( a, を中心とする円 Q 4 C と (, b を中心とする円 C が 原点 O で外接している また P を円 C 上の点と
平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム 微分積分の拡張 変数関数問題へのアプローチ 予選決勝優勝法からラグランジュ未定乗数法 松本睦郎 ( 札幌北高等学校 変数関数の最大値 最小値に関する問題には多様なアプローチ法がある 文字を固定した 予選決勝優勝法, 計算のみで解法する 文字消去法, 微分積分を利用した ラグランジュ未定乗数法 がある
<4D F736F F D208CF68BA48C6F8DCF8A C30342C CFA90B68C6F8DCF8A7782CC8AEE967B92E8979D32288F4390B394C529332E646F63>
2. 厚生経済学の ( 第 ) 基本定理 2 203 年 4 月 7 日 ( 水曜 3 限 )/8 本章では 純粋交換経済において厚生経済学の ( 第 ) 基本定理 が成立することを示す なお より一般的な生産技術のケースについては 4.5 補論 2 で議論する 2. 予算集合と最適消費点 ( 完全 ) 競争市場で達成される資源配分がパレート効率的であることを示すための準備として 個人の最適化行動を検討する
5-仮想仕事式と種々の応力.ppt
1 以上, 運動の変数についての話を終える. 次は再び力の変数に戻る. その前に, まず次の話が唐突と思われないように 以下は前置き. 先に, 力の変数と運動の変数には対応関係があって, 適当な内積演算によって仕事量を表す ことを述べた. 実は,Cauchy 応力と速度勾配テンソル ( あるいは変位勾配テンソル ) を用いると, それらの内積は内部仮想仕事を表していて, そして, それは外力がなす仮想仕事に等しいという
学習指導要領
() いろいろな式 学習指導要領ア式と証明 ( ア ) 整式の乗法 除法 分数式の計算三次の乗法公式及び因数分解の公式を理解し それらを用いて式の展開や因数分解をすること また 整式の除法や分数式の四則計算について理解し 簡単な場合について計算をすること 都立清瀬高校学力スタンダード 変数の 次式の展開や因数分解ができる ( 例 ) 次の式を展開せよ y ( 例 ) 次の式を因数分解せよ 8 7y
<4D F736F F D2089F082AF82E997CD8A7796E291E A282EB82A282EB82C8895E93AE2E646F63>
いろいろな運動. 自由落下. 投げ上げ 3. 放物運動 4. 標的にボールを当てる 5. 斜面に向かって投げ上げる 6. ブレーキをかけた自動車 7. 摩擦のある斜面上を滑り落ちる物体 8. ばね振り子 ( 単振動 ) 9. 摩擦を受けるばね振り子. 補足 : 微分方程式の解き方 自由落下質量 の質点を高さ h の地点から初速 で落とした. 鉛直上向きを 軸正 の向き, 地表を原点とし, 重力加速度の大きさを
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工業数学 Ⅰ 第 7 章多変数関数の微分 2. 実多変数の実数値関数 千葉大学工学部機械工学科担当者武居昌宏 教科書 工科系の数学 (4) [ 単行本 ] マイベルク ファヘンアウア著 及川正行訳 出版社 : サイエンス社 (1996/12) ISBN-10: 4781907814 第 7 章多変数関数の微分 2. 実多変数の実数値関数 2.1 基礎 多変数の実数値関数変数が2つ以上の n 変数関数定義域がn
教育課程 ( 数学 Ⅲ 数学 C) < ベクトル >( 数 B 数 C) 1 ベクトルの演算 和 差 実数倍については 文字の計算と同様 2 ベクトルの成分表示 平面ベクトル : a x e y e x, ) ( 1 y1 空間ベクトル : a x e y e z e x, y, )
教育課程 数学 Ⅲ 数学 C < ベクトル > 数 B 数 C ベクトルの演算 和 差 実数倍については 文字の計算と同様 ベクトルの成分表示 平面ベクトル : e e, 空間ベクトル : e e e,, 成分での計算ができるようにすること ベクトルの内積 : cos 平面ベクトル :,, のとき 空間ベクトル :,,,, 4 ベクトルの大きさ 平面上 : 空間上 : は 良く用いられる 5 m:
座標軸以外の直線のまわりの回転体の体積 ( バウムクーヘン分割公式 ) の問題の解答 立体の体積の求め方 図 1 の立体の体積 V を求める方法を考えてみる 図 1 図 1 のように 軸の から までの長さを 等分する そして とおく とすると となる 図 1 のように のときの 軸に垂直な平面 に
立体の体積の求め方 図 1 の立体の体積 V を求める方法を考えてみる 図 1 図 1 のように 軸の から までの長さを 等分する そして とおく とすると となる 図 1 のように のときの 軸に垂直な平面 による立体の断面積を とする 図 1の から までの斜線部分の立体 の体積を とすると, 図 2のように は 底面積 高さ の角柱の体積とみなせる よって 図 2 と表せる ただし とすると,
補足 中学で学習したフレミング左手の法則 ( 電 磁 力 ) と関連付けると覚えやすい 電磁力は電流と磁界の外積で表される 力 F 磁 電磁力 F li 右ねじの回転の向き電 li ( l は導線の長さ ) 補足 有向線分とベクトル有向線分 : 矢印の位
http://totemt.sur.ne.p 外積 ( ベクトル積 ) の活用 ( 面積, 法線ベクトル, 平面の方程式 ) 3 次元空間の つのベクトルの積が つのベクトルを与えるようなベクトルの掛け算 ベクトルの積がベクトルを与えることからベクトル積とも呼ばれる これに対し内積は符号と大きさをもつ量 ( スカラー量 ) を与えるので, スカラー積とも呼ばれる 外積を使うと, 平行四辺形や三角形の面積,
( 最初の等号は,N =0, 番目は,j= のとき j =0 による ) j>r のときは p =0 から和の上限は r で十分 定義 命題 3 ⑵ 実数 ( 0) に対して, ⑴ =[] []=( 0 または ) =[6]+[] [4] [3] [] =( 0 または ) 実数 に対して, π()
![( 最初の等号は,N =0, 番目は,j= のとき j =0 による ) j>r のときは p =0 から和の上限は r で十分 定義 命題 3 ⑵ 実数 ( 0) に対して, ⑴ =[] []=( 0 または ) =[6]+[] [4] [3] [] =( 0 または ) 実数 に対して, π()](/thumbs/85/92025583.jpg "( 最初の等号は,N =0, 番目は,j= のとき j =0 による ) j>r のときは p =0 から和の上限は r で十分 定義 命題 3 ⑵ 実数 ( 0) に対して, ⑴ =[] []=( 0 または ) =[6]+[] [4] [3] [] =( 0 または ) 実数 に対して, π()")
伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 数研通信 70 号を読んで チェビシェフの定理の精密化 と.5 の間に素数がある 伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 さい才 の 野 せ瀬 いちろう 一郎 伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 0. はじめに このたび,
Taro-解答例NO3放物運動H16
放物運動 解答のポイント 初速度, 水平との角度 θ で 高さ の所から投げあげるとき 秒後の速度 =θ =θ - 秒後の位置 =θ 3 ( 水平飛行距離 ) =θ - + 4 ( 高さ ) ~4 の導出は 基本問題 参照 ( 地上から投げた場合の図 : 教科書参照 ) 最高点の 高さ 最高点では において = 水平到達距離 より 最高点に到達する時刻 を求め 4に代入すると最高点の高さH 地上では
< BD96CA E B816989A B A>
数 Ⅱ 平面ベクトル ( 黄色チャート ) () () ~ () " 図 # () () () - - () - () - - () % から %- から - -,- 略 () 求めるベクトルを とする S であるから,k となる実数 k がある このとき k k, であるから k すなわち k$, 求めるベクトルは --,- - -7- - -, から また ',' 7 (),,-,, -, -,
Microsoft Word - 1B2011.doc
第 14 回モールの定理 ( 単純梁の場合 ) ( モールの定理とは何か?p.11) 例題 下記に示す単純梁の C 点のたわみ角 θ C と, たわみ δ C を求めよ ただし, 部材の曲げ 剛性は材軸に沿って一様で とする C D kn B 1.5m 0.5m 1.0m 解答 1 曲げモーメント図を描く,B 点の反力を求める kn kn 4 kn 曲げモーメント図を描く knm 先に得られた曲げモーメントの値を
2015－2018年度 ２次数学セレクション（整数と数列）解答解説
015 次数学セレクション問題 1 [ 千葉大 文 ] k, m, n を自然数とする 以下の問いに答えよ (1) k を 7 で割った余りが 4 であるとする このとき, k を 3 で割った余りは であることを示せ () 4m+ 5nが 3 で割り切れるとする このとき, mn を 7 で割った余りは 4 ではないことを示せ -1- 015 次数学セレクション問題 [ 九州大 理 ] 以下の問いに答えよ
2017年度 長崎大・医系数学
07 長崎大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 以下の問いに答えよ () 0 のとき, si + cos の最大値と最小値, およびそのときの の値 をそれぞれ求めよ () e を自然対数の底とする > eの範囲において, 関数 y を考える この両 辺の対数を について微分することにより, y は減少関数であることを示せ また, e< < bのとき, () 数列 { } b の一般項が,