2 Hermite-Gaussian モード 2-1 Hermite-Gaussian モード 自由空間を伝搬するレーザ光は次のような Hermite-gaussian Modes を持つ光波として扱う ことができる ここで U lm (x, y, z) U l (x, z)u m (y, z) e
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- ぜんぺい こけい
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1 Wavefront Sensor 法による三角共振器のミスアラインメント検出 齊藤高大 新潟大学大学院自然科学研究科電気情報工学専攻博士後期課程 2 年 214 年 8 月 6 日 1 はじめに Input Mode Cleaner(IMC) は Fig.1 に示すような三角共振器である 懸架鏡の共振などにより IMC を構成する各ミラーが角度変化を起こすと 入射光軸と共振器軸との間にずれが生じる このずれを Wavefront sensor 法 (WFS) を用いて検出する WFS 信号の検出は QPD-REFL(REFL) と QPD-TRANS(TRANS) の 2 つで行う ミスアラインメントが生じたときに それぞれの QPD で得られる WFS 信号について考えていく Fig.1 Input Mode Cleaner
2 2 Hermite-Gaussian モード 2-1 Hermite-Gaussian モード 自由空間を伝搬するレーザ光は次のような Hermite-gaussian Modes を持つ光波として扱う ことができる ここで U lm (x, y, z) U l (x, z)u m (y, z) exp j{ kz + (l + m + 1)η(z)} (2.1) U l (x, z) ( πw(z) 2) ( l! 2 l) Hl ( 2x ) exp { ( x 2 w(z) w(z) ) k j 2R(z) x2 } (2.2) であり 各記号は w(z) = w 1 + ( z 2 ) : ビーム半径 (2.3) z R(z) = z2 2 + z : 波面の曲率半径 (2.4) z z = kw 2 2 (2.5) η(z) = arctan z z :Gouy Phase (2.6) とする H l :Hermite 多項式 H (x) = 1, H 1 (x) = 2x 例えば ウェスト z= において (2.2) は 次と 1 次について と表すことができる (2.7) U (x, ) ( πw ) 4 x 2 exp { ( ) } (2.8) w U 1 (x, ) ( 2 πw 2 ) 1 4 2x w 2 exp { ( x w ) 2 } (2.9)
3 2-2 Hermite-Gaussian モードの平行移動と回転 次に モードが x 軸方向に δx だけ平行移動したとき どのように展開されるかを示す x 方向に δx だけ平行移動した座標系を (x, y, z ) とする ウェストの位置について考えると モードは のように展開される U (x, y, ) U (x, y, ) + ( δx w ) U 1 (x, y, ) (2.1) 次に モードが y 軸を中心に δθ 回転したとき どのように展開されるかを示す y 軸を 中心に δθ 回転した座標系を (x, y, z ) とする ウェストの位置について考えると モード は のように展開される ここで α はビームの広がり角であり である U (x, y, ) U (x, y, ) + i ( δθ α ) U 1 (x, y, ) (2.11) α = 2 kw (2.12) 3 三角共振器の反射係数 入射光軸と共振器軸が一致している場合の振幅反射率を 次と 1 次のモードについてまとめる [1] モードが三角共振器を 1 周するときの位相変化をφとすると 三角共振器の モードに対する振幅反射率は r c = r F + t F 2 r E e iφ (3.1) 1 r F r E eiφ 1 モードの場合は モードと Gouy phase だけ位相が異なる 三角共振器を 1 周して進む Gouy phase をηとすると r c1 = r F + t F 2 r E e i(φ+η) 1 r F r E e i(φ+η) (3.2)
4 4 ミスアラインメントによるウェスト周りの光軸の変化 Fig4.1 に示すように 共振器を構成するミラーの角度変化は 水平方向 ( 上図 ) と垂直方向 ( 下図 ) に分けることができ さらにそれぞれ 3 種類の角度変化に分けることができる 水平方向については 凹面ミラー M b の角度変化 α b 1 組の平面ミラー M a, M c の同相角度変化 α + 差動角度変化 α であり 垂直方向については 凹面ミラー M b の角度変化 β b 1 組の平面ミラー M a, M c の同相角度変化 β + 差動角度変化 β のように分けられる [2] Fig.4.1 ミスアラインメント時の共振器軸の変化
5 三角共振器の各ミラーにそれぞれの角度変化が生じたときに 入射光軸に対して共振器 軸がウェスト周りで どのように平行移動 回転するかを Table.4.1 にまとめた Table.4.1 ウェスト周りの入射光軸に対する共振器軸の変化 Direction Cause δx δz δθ x δθ z α b R (R L d) α b Horizontal R L α + (R L d) α + α L 2 + d 2 α β b β b R Vertical β + β + 2 β β 2
6 5 REFL で得られる WFS 信号 各ミラーの角度変化によって生じる入射光軸に対する共振器軸のウェスト周りでの平行 移動を δx 回転 δθ とすると REFL で得られる WFS 信号は [1] となる P WFS = 8 π P J (β)j 1 (β)u 1 U U U (r c r s1 r c1 r s ) ( δx w sin η δθ α cos η) (5.1) 式 (5.1) から分かるように 入射光軸に対して 共振器軸がウェスト周りで δx 平行移動し たとき WFS 信号強度は となり sin η (z) に比例する P displacement δx w sin η (z) (5.2) また 入射光軸に対して 共振器軸がウェスト周りで δθ 回転したとすると WFS 信号強 度は となり cos η(z) に比例する P tilt δθ α cos η(z) (5.3) Table4.1 (5.1) を用いて REFL で得られる WFS 信号の Gouy 位相依存性を 水平方向に ついては Fig.5.1 に 垂直方向については Fig.5.2 に示した 計算に必要なパラメータは Table5.1 を用いた Table5.1: 計算に使用したパラメータ Cause Value L 26.4(m) D.25(m) R 37.3(m) w 2.4(mm) α
7 Fig.5.1 水平方向の WFS 信号強度の Gouy 位相依存性 Fig.5.2 垂直方向の WFS 信号強度の Gouy 位相依存性
8 6 TRANS で得られる WFS 信号 TRANS で得られる WFS 信号を導出するために Fig.6.1 のような実験系を考える QPD は 入射光軸上のウェストの位置にあるとする 光軸に平行移動 回転が生じたときのウェストの位置にある QPD から出力される信号を考える ウェストの位置での入射光軸の電場は Fig.6.1 光軸のずれを検出する実験系 E(x, y, ) U (x, y, )E (6.1) ウェストの位置にある QPD 上で ビームが x 軸方向に δx だけ平行移動しているとすると QPD 上での強度分布は 式 (2.1) より P(x, y, ) = E 2 U (x δx, y, )U (x δx, y, ) = P (U (x, y, ) + δx U w 1 (x, y, )) (U (x, y, ) + δx U w 1 (x, y, )) = P (U (x, y, )U (x, y, ) + ( δx 2 ) U w 1 (x, y, )U 1 (x, y, ) + δx (U w (x, y, )U 1 (x, y, ) + U (x, y, )U 1 (x, y, ))) (6.2) (6.2) 式の第 3 項は (2.1) を用いてまとめると δx (U w (x, y, )U 1 (x, y, ) + U (x, y, )U 1 (x, y, )) = δx w U (x, )U 1 (x, )U (y, )U (y, ){e jη + e jη }
9 ここで x-z 平面上での信号強度を考えるとすると y= なので である したがって (6.2) の第 3 項は U (y, ) = U (y, ) = 1 2δx w U (x, )U 1 (x, ) cos η となり cos η に比例した値になることが分かる したがって QPD の x> の領域と x< の領域の強度の差は *1 (2.8),(2.9) を用いて P diff = P(x > ) P(x < ) = 2δx P w ( (U (x, )U 1 (x, ) cos η)dx = 4δx P w dx 2 πw 2 2x exp ( 2x2 w 2 ) cos η w (U (x, )U 1 (x, ) cos η)dx) = 8 P δx cos η (6.3) π w 次に ウェストの位置にある QPD 上で ビームが y 軸を中心に δθ だけ回転しているとす ると QPD 上での強度分布は (2.11) 式より P(x, y, ) = E 2 U (x, y, )U (x, y, ) = P (U (x, y, ) + i ( δθ ) U α 1 (x, y, )) (U (x, y, ) i ( δθ ) U α 1 (x, y, )) = P (U (x, y, )U (x, y, ) + ( δθ 2 ) U α 1 (x, y, )U 1 (x, y, ) i δθ (U α (x, y, )U 1 (x, y, ) U (x, y, )U 1 (x, y, ))) (6.4) 1 次の関係を使用した x 2n+1 e ax2 dx = n! 2a n+1
10 ここで (6.4) 式の第 3 項は (2.1),(2.2) 式を用いてまとめると i δθ (U α (x, y, )U 1 (x, y, ) U (x, y, )U 1 (x, y, )) = i δθ α U (x, )U 1 (x, )U (y, )U (y, ){e jη e jη } ここで x-z 平面上での信号強度を考えるとすると y= なので である したがって (6.2) の第 3 項は U (y, ) = U (y, ) = 1 2U (x, )U 1 (x, ) sin η となり sin η (z) に比例した値になることが分かる したがって QPD の x> の領域と x< の領域の強度の差は (2.8),(2.9) を用いて P diff = P(x > ) P(x < ) = 2δθ α P ( (U (x, )U 1 (x, ) sin η)dx = 4δθ P α dx 2 πw 2 2x exp ( 2x2 w 2 ) sin η w (U (x, )U 1 (x, ) sin η)dx) = 8 P δθ sin η (6.5) π α まとめると TRANS で得られる信号は (6.3),(6.5) を用いて となる P diff = 8 π P ( δx w cos η δθ α sin η) (6.6)
11 7 ミスアラインメントによる Ma-Mb 光軸の変化 IMC では TRANS を Ma と Mb のビームスポットを結んだ光軸の延長線上に設置し 6 章で述べたような原理によって ミスアラインメントによる光軸のずれを検出する 次に 各ミラーの角度変化によって TRANS では どのような信号強度が得られるかを求めていく 式 (6.3) 式(6.5) は ウェストの位置をη = とした時の WFS 信号強度であるので IMC の各ミラーの角度変化によって Ma-Mb 光軸上にあるウェストの位置が どれだけ平行移動 回転するかを求める必要がある しかし ウェストは Ma-Mc 光軸上にあるので Fig7.1 のようにして ウェストの位置を Ma-Mb 光軸上に折り返して 平行移動 回転の量を求めなければならない Fig.7.1 Ma-Mb 光軸上のウェスト位置の平行移動 回転
12 7-1 ミスアラインメント後の Ma Mb のビームスポットの座標 ミスアラインメントによる光軸の変化は Ma と Mb のビームスポットの座標を用いて求めることができる 初めに Table.7.1 に 各ミラーに角度変化が生じたときの座標をまとめた [2] Table.7.1: ミスアラインメント後のビームスポットの座標 Direction Cause x a y a x b y b α b L + d Rα b (R L d) d d Rα b (R L d) L + d (R L d) Rα b Horizontal d(r L) α + L (R L d) α d(r L) + d + (R L d) α + dr (R L d) α + α L L 2 + d 2 α d + L 2 + d 2 α Direction Cause x a z a x b z b β b L β b R β b R Vertical β + L β + (R L) 2 β + R 2 β L d β 2 ウェスト周りの光軸の回転は ミスアラインメント後の Ma と Mb のビームスポットの座 標を結ぶ方程式の傾きから求められる そこで まず Ma と Mb のビームスポットを結ぶ 光軸の方程式を求める ミスアラインメント前の Ma と Mb のビームスポットを結ぶ光軸の方程式は 水平方向 :y = d L x (7.3) である 垂直方向 :z = (7.3)
13 ミスアラインメント後は Table7.2 のようになる Table.7.2 ミスアラインメント後の Ma-Mb 光軸の方程式 Direction Cause Equation α b y = d + Lθ b L + dθ b x (L + b)θ b Horizontal α + y = d dφ + L dθ + x + dr L φ + α y = d + Sα L Sα x Direction Cause Equation β b z = β b R Vertical β + z = β + 2 x + Rβ + 2 ただし β S = L 2 + d 2 θ b = θ + = R R L d α b R L R L d α + z = dβ L 2 x である φ + = L R L d α + ミスアラインメント前の Ma と Mb のビームスポットの座標を結ぶ方程式の傾きを m 1 ミ スアラインメント後の傾きを m 2 とすると ミスアラインメントによる光軸の回転 δθ は で求められる δθ = tan 1 ( m 2 m m 1 m 2 ) (7.3)
14 ミスアラインメントによる光軸の回転 δθ を Table.7.3 にまとめる Table.7.3 ミスアラインメントによる光軸の回転 δθ Direction Cause Tilt error δθ α b tan 1 ( (L2 d 2 )θ b S 2 + 2Ldθ b ) Horizontal α + tan 1 ( d(dθ + Lφ + ) S 2 Ldθ + d 2 φ + ) α tan 1 ( (d + L)α S + (d L) ) Direction Cause Tilt error δθ β b Vertical β + tan 1 ( β + 2 ) β tan 1 ( dβ L 2 ) ミスアラインメントにより Ma と Mb のビームスポットを結ぶ光軸は 水平方向では Fig.7-3 のように変化し 垂直方向では Fig.7-4 のように変化する Fig.7.3 水平方向の光軸の変化
15 Fig.7.4 垂直方向の光軸の変化 ただし S は原点からミスアラインメント前のウェストまでの距離 S = L 2 + d 2 である S OP は ミスアラインメント前とミスアラインメント後の Ma-Mb 光軸の方程式の交点 P と原点 O の距離である Table7.4 に交点 P を求める Table.7.4 ミスアラインメント前とミスアラインメント後の Ma-Mb 光軸の方程式の交点 P Direction Cause Coordinate P(x,y) α b ( L(L + dθ b) L d, d(l + dθ b) ) L d Horizontal α + ( R(L dθ +)φ + Lφ + dθ +, dr(l dθ +)φ + L(Lφ + dθ + ) ) α (, ) Direction Cause Coordinate P(x, z) β b Do not intersect Vertical β + (R, ) β (, )
16 Table7.5 に 交点 P と原点 O の距離 S OP を示す Table7.5 交点 P と原点 O の距離 S OP Direction Cause Distance S OP α b L + dθ b L d S Horizontal α + R(L dθ + )φ + L(Lφ + dθ + ) S α Direction Cause Distance S OP β b (Do not intersect) Vertical β + R β Fig.7-3,Fig.7-4 から Ma-Mb 光軸上のウェストの位置での平行移動 δy, δzは δy = δz = (S S OP )δθ (7.4) となる ただし 同相角度変化 β b についてのみ δz = z b (7.5) である
17 式 (7.4) から 各ミラーの角度変化による Ma-Mb 光軸上のウェストの位置での平行移動 δy を 求め Table7.6 にまとめた Table7.6 ミスアラインメントによる Ma-Mb 光軸の平行移動 Direction Cause Displacement error δy α b S (1 L + dθ b L d ) δθ Horizontal α + S (1 R(L dθ +)φ + (Lφ + dθ + )L ) δθ α Sδθ Direction Cause Displacement error δz β b β b R (= z b ) Vertical β + (S R)δθ β Sδθ
18 Table7.7 に ミスアラインメントによる Ma-Mb 光軸上のウェスト位置の平行移動 回転を まとめた Table7.7: ミスアラインメントによる Ma-Mb 光軸上のウェスト位置の平行移動 回転 Direction Cause δy δθ Horizontal α b S (1 L + dθ b L d ) δθ tan 1 ( (L2 d 2 )θ b S 2 + 2Ldθ b ) α + S (1 R(L dθ +)φ + (Lφ + dθ + )L ) δθ tan 1 ( d(dθ + Lφ + ) S 2 Ldθ + d 2 φ + ) α Sδθ tan 1 ( (d + L)α S + (d L) ) Direction Cause δz δθ β b β b R Vertical ただし β + (S R)δθ tan 1 ( β + 2 ) β Sδθ tan 1 ( dβ L 2 ) S = L 2 + d 2 θ b = θ + = Rα b R L d R L R L d α + である φ + = L R L d α +
19 7-4 TRANS で得られる WFS 信号強度の Gouy 位相依存性 Table.7.7 式 (6.6) を用いて TRANS で得られる信号の Gouy 位相依存性を水平方向については Fig.7.5 に 垂直方向については Fig.7.6 に示した 計算に使用したパラメータは Table.5.1 の値を用いた Fig.7.7 水平方向の信号強度の Gouy 位相依存性 Fig.7.8 垂直方向の信号強度の Gouy 位相依存性
20 8 Sensing Matrix QPD には それぞれのミスアラインメントによる信号が混ざって現れる これでは どの角度変化に対して フィードバックを行えばよいのか分からない そこで それぞれのミスアラインメントによる信号を分離する必要がある 信号の分離は QPD を信号の分離しやすい Gouy 位相を選んで配置することによって行う Table.8.1 に信号を分離しやすい Gouy 位相を選んで その位置での信号強度を示した Sensing Matrix を示す Table.8.1 Sensing Matrix QPD Name( η) α b α + α β b β + β unit REFL(deg) W/rad/P J (β)j 1 (β) REFL(9deg) W/rad/P J (β)j 1 (β) TRANS (57deg) W/rad/P TRANS (9deg) W/rad/P 参考文献 [1] 道村唯太 : Wavefront Sensor の原理 (211) [2] F. kawazoe et al: Eigenmode changes in a misaligned triangular optical cavity,j.opt.13(211)
70 : 20 : A B (20 ) (30 ) 50 1
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