2015年度２次数学セレクション（整数と数列）

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ああすすわ
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1 05 次数学セレクション問題 [ 千葉大文 ] k, m, を自然数とする以下の問いに答えよ () k を 7 で割った余りが 4 であるとするこのとき, k を 3 で割った余りはであることを示せ () 4m+ 5が 3 で割り切れるとするこのとき, m を 7 で割った余りは 4 ではないことを示せ --

2 05 次数学セレクション問題 [ 九州大理 ] 以下の問いに答えよ () が正の偶数のとき, - は 3 の倍数であることを示せ () を自然数とする + と -は互いに素であることを示せ (3) p, q を異なる素数とする p- - = pq を満たす p, q の組をすべて求めよ --

3 05 次数学セレクション問題 3 [ 京都大理 ] a, b, c, d, e を正の実数として整式 f ( x) = ax + bx+ c, g( x) = dx+ eを考える f すべての正の整数に対して ( ) は整数であるとするこのとき, f ( x ) は g( x ) で g( ) 割り切れることを示せ -3-

4 05 次数学セレクション問題 4 [ 東北大文 ] 次の性質をもつ数列 { a } を考える a = 3, a+ > a, a - a a + a = 3( a + a ) ( =,, 3, ) () =,, 3, に対し, a + a + を a + を用いて表せ () b = a+ - a ( =,, 3, ) により定まる数列 { b } の一般項を求めよ (3) 数列 { a } の一般項を求めよ -4-

5 05 次数学セレクション問題 5 [ 広島大文 ] を自然数とし, p, q を実数とするただし, p, q は p - 4q = 4を満たすとする次方程式 x - px+ q = 0 は異なる実数解, をもつとするただし, < とする c = - とおくとき, 数列 { c } は c+ = + ( =,, 3, ) c ( + ) を満たすとする次の問いに答えよ () r = log ( + ) とするとき, () c をの式で表せ (3) p = であるとき, q をの式で表せ + ( + ) を r, r + を用いて表せ -5-

6 05 次数学セレクション問題 6 [ 千葉大理 ] b と c をb + 4c> 0を満たす実数として, x に関する次方程式 x -bx- c= 0 の相 - - 異なる解を, とする数列 { a } を, a = + ( =,, 3, ) により定めるこのとき, 次の問いに答えよ () 数列 { a } は漸化式 a+ = ba+ + ca ( =,, 3, ) を満たすことを示せ () 数列 { a } の項 a がすべて整数であるための必要十分条件は, b, c がともに整数であることであるこれを証明せよ -6-

7 05 次数学セレクション問題 7 [ 東京大理 ] () 数列 { p } を次のように定める p + p p+ p + p + p =, p =, p+ = ( =,, 3, ) p + + がによらないことを示せ () すべての =, 3, 4, に対し, p+ + p-を p のみを使って表せ (3) 数列 { q } を次のように定める q =, q =, q+ = q+ + q ( =,, 3, ) すべての =,, 3, に対し, p = q - を示せ -7-

8 05 次数学セレクション解答解説 [ 千葉大文 ] () k を自然数, l, N を 0 以上の整数とするとき, k 3l+ l l (i) k= 3l+ のとき = = 8 = (7+ ) = (7N + ) = 7 N + これより, k を 7 で割った余りはである k 3l+ l l (ii) k= 3l+ のとき = = 4 8 = 4(7+ ) = 4(7N + ) = 7 4N + 4 これより, k を 7 で割った余りは 4 である k 3l+ 3 l l (iii) k= 3l+ 3 のとき = = 8 8 = 8(7+ ) = 8(7N + ) = 7(8N + ) + これより, k を 7 で割った余りはである (i)~(iii) より, k を 7 で割った余りが 4 のとき, k を 3 で割った余りはである () m, を自然数で, 4m+ 5が 3 で割り切れるとき, 4m+ 5= 3( m+ ) + ( m- ) これより, m-は 3 で割り切れる, すなわち m を 3 で割った余りとを 3 で割った余りは等しくなるそこで, m, を 0 以上の整数として, (i) m, を 3 で割った余りがのとき m= 3m +, = 3 + m = (3m + )(3 + ) = 3(3 m + m + ) + これより, m を 3 で割った余りはである (ii) m, を 3 で割った余りがのとき m= 3m +, = 3 + m = (3m + )(3 + ) = 3(3m + m + + ) + これより, m を 3 で割った余りはである (iii) m, を 3 で割った余りが 0 のとき m= 3m + 3, = m = (3m + 3)(3 + 3) = 3(3m + 3m ) これより, m を 3 で割った余りは 0 である (i)~(iii) より, m を 3 で割った余りは 0 またはであり, ではないしたがって, () より, m を 7 で割った余りは 4 ではない [ 解説 ] テーマは整数の余りによる分類です () の最後の行は, () で証明した命題の対偶を利用していますなお, 合同式を用いて記述しても構いません -- 電送数学舎 05

9 05 次数学セレクション解答解説 [ 九州大理 ] () が正の偶数のとき, l を自然数として, = lとおくと, l - = - = 4 - = (3+ ) - l l l- l- l l l l- l- l- l-3 l l l l- = (3 + C 3 + C C 3+ ) - = 3(3 + C 3 + C C ) よって, - は 3 の倍数である () を自然数とするとき, + と -の最大公約数を g とおくと, + = g a, - = g b (a と b は互いに素 ) l -より, = g( a-b) となり, g = または g = である g = のとき, は + = a となり, 左辺は奇数, 右辺は偶数で成立しないよって, g = から, + と -は互いに素である (3) 異なる素数 p, q に対して, p - - = pq 3 (i) p が偶数のとき p は素数より p =, すると, 3から - = q となり, 素数 q は存在しない (ii) p が奇数のとき p - は偶数となり, () の結果から p- -は 3 の倍数であるすると, 3から pq は 3 の倍数となり, p = 3 または q = 3 である (ii-i) p = 3 のとき 3は - = 3q となり, 素数 q は存在しない (ii-ii) q = 3 のとき p 3は - - = 9p 4となり, k を自然数として, p= k+ とおくと, p - k k k - = - = ( + )( - ) () から k + と k k k -は互いに素で, 4は ( + )( - ) = 9(k + ) となり, k k ( +, - ) = (9, k + ) または (k +, 9) k k ( +, - ) = (9, k + ) のとき, k = 3 すなわち p = 7 となる k k ( +, - ) = (k +, 9) のとき, 満たす k は存在しない (i)(ii) より, 3を満たす p, q の組は, ( p, q ) = (7, 3) のみである [ 解説 ] 誘導つきの整数問題ですなお, 4を満たす p を求めるために, () の結論を利用する方法で記しましたが, グラフをイメージして, 直接的に解いても構いません -- 電送数学舎 05

10 05 次数学セレクション解答解説 3 [ 京都大理 ] a, b, c, d, e を正の実数とするとき, f ( x) = ax + bx+ c, g( x) = dx+ eに対して, f ( x ) を g( x ) で割った商を px + q, 余りを r とおくと, p, q, r は実数となり, f ( x) = g ( x)( px+ q) + r さて, ( x ) h( x) = f とおくと, から h( x) = px+ q+ r = px+ q+ r g( x ) g( x) dx+ e ここで, を以上の整数とすると, 条件より, h( - ), h( ), h( + ) 整数なので, h( - ) + h( + ) - h( ) の値も整数となり, h( - ) + h( + ) - h( ) ( ) = p - p + q + r + p + p + q + r - p + q + r d- d+ e d+ d+ e d+ e = r + r - r d - d + e d + d + e d + e = dr ( d - d + e )( d + d + e )( d + e ) すると, 十分に大きいに対してもが整数となることより, r = 0 であるよって, から, f ( x) = g( x)( px+ q) となり, f ( x ) は g( x ) で割り切れるはすべて [ 解説 ] 結論の r = 0 を示すために, h( ) の等差数列部分である p + q を消すことを考え, h( - ) + h( + ) - h( ) を計算していますそして, 得られた式がというわけです階差を回とったと考えてもよいですがなお, 既視感があったので, 過去問を調べたところ, 99 年の後期に類題が出ていました -3- 電送数学舎 05

11 05 次数学セレクション解答解説 4 [ 東北大文 ] () 条件より, a - a a + a = 3( a + a ) なので, a - a a + a = 3( a + a ) - より, a+ - a - a ( a - a ) = 3( a - a ) ここで, a+ > a+ > aから, a+ - a > 0 となり, a+ + a - a+ = 3, a+ + a = a () 3より, a+ - a+ + a = 3となり, ( a+ -a+ ) -( a+ - a) = 3 4 ここで, b = a+ -aとおくと, 4より, b+ - b = 3 となり, b = b + 3( - ) 5 さて, より, a - a a + a = 3( a + a ) となり, a = 3 から, 9-6a + a = 3(3 + a ), a - 9a = 0 すると, a > a = 3 から a = 9 となり, b = a- a = 6 よって, 5から, b = 6 + 3( - ) = 3( + ) (3) () より, において, - a = 3+ å 3( k+ ) ( = + -) 3 3 ( ) = = 3 ( ) + k= なお, この式は = のときも成立している [ 解説 ] 誘導つきの漸化式の問題です () の結果が () へとつながり, さらに (3) へとスムーズに解いていくことができます -4- 電送数学舎 05

12 05 次数学セレクション解答解説 5 [ 広島大文 ] () r = log ( + ) = log ( + ) より, r + = log + ( + ) となり, r+ -r = log + ( + ) = log + ( + ) ( + ) よって, + r+ -r = ( + ) c () より, + - r = となり, + - c+ = r c c r + - r ここで, f ( ) = とおくと, c+ = f ( ) cとなり, において, さて, r - r r - r r - r r - r log ( + )- log log ( + )- c 3 c = c f () f () f ( -) c - = = c = c = x - px+ q = 0 の実数解を, ( < ) とすると, - -4 p p q =, すると, c = p p q = = p -4q となり, log ( + ) - log ( + ) c = p - 4q = 4 = よって, より, c = = = ( + ) 3 なお, 3は = のときも成立している (3) 3より, p - 4 q = ( + ) となり, 3 そこで, p = のとき, p = となり, 4より, 3 q { ( ) } = - + =- (+ ) ( ) p - q = + 4 [ 解説 ] 次方程式の解を題材とした, 誘導つきの漸化式の問題です () の漸化式 c+ = f ( ) c を解くことがポイントとなっています詳しくはピンポイントレクチャーを参照してください -5- 電送数学舎 05

13 05 次数学セレクション解答解説 6 [ 千葉大理 ] () b + 4c> 0のとき, x -bx- c= 0 の実数解, について, + = b, =- c 条件より, - - a = + から, と合わせて, - - ba+ + ca = ( + )( + )- ( + ) + + = ( + ) = + よって, a+ = ba+ + ca 3が成立する 0 0 () a がすべて整数のとき, から, a = + =, a + + = + = b これより b は整数となり, 3から, a3 = ba + ca, a4 = ba3 + caとなり, c= a3- ba 4, bc = a4 - ba3 5 また, から a3 = + = ( + ) - = b + cとなり, 3から, a5 = ba4 + ca3, ( b + c) c= a - ba より, c, bc, ( b + c) cはすべて整数であるさて, c が整数より, k を整数として c = k とおくことができるここで, k が奇数と仮定すると, bc = bk が整数より b は偶数となる ( b + k) k ところが, ( b + c) c= は, 分子 ( b + k) kが奇数より, 整数ではないしたがって, k は奇数ではなく偶数となり, c も整数である逆に, b, c がともに整数であるとき, a =, a = bはともに整数であり, 3から, 帰納的に a ( = 3, 4, 5, ) はすべて整数となる以上より, a がすべて整数であるための必要十分条件は, b, c がともに整数であることである [ 解説 ] 隣接 3 項間型の漸化式が題材となっている証明問題です () の設問は, 見かけよりは難しめで, 詰めに時間がかかりました -6- 電送数学舎 05

14 05 次数学セレクション解答解説 7 [ 東京大理 ] () p+ + p+ + p + p =, p =, p+ = に対して, a = とおくと, p p+ p p+ + p+ + p+ p+ a+ = = + + p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ + p+ p p = + + p + p p+ + p+ ( p+ + ) ( p+ + ) + p+ p + p ( p+ + ) + p = = p+ p( p+ + ) p+ p = a これより, a a + + p+ + p + = = = 3 となり, = 3 p+ p () すべての自然数に対し, 0 < p < p + であることを数学的帰納法で証明する (i) = のとき p =, p = より成立する (ii) = kのとき pk 0 < pk < p k + すなわち > と仮定すると, pk pk+ + pk+ pk+ pk+ 条件式より, pk+ = > から, > > となる pk pk pk+ pk (i)(ii) より, 0 < p < p + ( =,, 3, ) であるさて, より, + p+ + p + = 3p p - 3 p + p + = p p - ( ) 3-3 より, = 3 ( + - -) p p p p p すると, p- < p < p+ より, p+ - p- > 0 なので, p+ + p- = 3p ( =, 3, 4, ) (3) () より, p =, p =, p+ = 3p+ - p ( =,, 3, ) ここで, q =, q =, q+ = q+ + q ( =,, 3, ) で定められる q に対して, p = q - であることを数学的帰納法で証明する (i) =, のとき p = q, q3 = q + q = から p = q 3 となり成立する (ii) = k, k+ のとき pk = qk -, pk+ = qk+ と仮定するこのとき, pk+ = 3pk+ - pk = 3qk+ -qk-となり, qk+ 3 = qk+ + qk+ = qk+ + qk + qk+ = q + + q = qk+ + ( qk+ -qk-) = 3q k + - q k - (i)(ii) より, =,, 3, に対し, p = q - が成り立つ k k [ 解説 ] 複雑な漸化式ですが, 誘導に従うと道筋が見えてくるタイプです -7- 電送数学舎 05

2015－2018年度２次数学セレクション（整数と数列）解答解説

2015－2018年度２次数学セレクション（整数と数列）解答解説 015 次数学セレクション問題 1 [ 千葉大文 ] k, m, n を自然数とする以下の問いに答えよ (1) k を 7 で割った余りが 4 であるとするこのとき, k を 3 で割った余りはであることを示せ () 4m+ 5nが 3 で割り切れるとするこのとき, mn を 7 で割った余りは 4 ではないことを示せ -1- 015 次数学セレクション問題 [ 九州大理 ] 以下の問いに答えよ

2015年度 ２次数学セレクション（整数と数列）

2015年度２次数学セレクション（整数と数列）