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1 Ⅱ データ変換と信号処理 1. アナログとデジタル 5. 周波数解析 2. オペアンプ 5.2 離散フーリエ変換 2.1 加算 減算回路 5.3 窓関数 2.2 微分 積分回路 6. ラプラス変換とz 変換 3. 変換器 ( アナログ入出力 ) 6.1 ラプラス変換 6.2 z 変換 3.3 サンプル ホールド回路 7. 信号処理 3.4 アナログ マルチプレクサ 7.1 不規則信号 4. データ変換 7.3 スペクトル推定 4.1 標本化 ( サンプリング ) 7.4 アナログ フィルタ 4.2 量子化 7.5 デジタル フィルタ 4.3 波形復元 1. アナログとデジタル アナログ 連続連続的に可変な物理量 連続的な形式で表現されたデータデジタル 離散数字によって表現されるデータ デジタル計算機とアナログ波形 1. アナログとデジタル 標本化 ( サンプリング ) サンプリング回路ある一定の時間間隔で標本値 ( サンプル値 ) をとる量子化 A-D 変換器信号の振幅を必要な分解能に応じた値に変換する オペアンプ入力電圧出力電圧入力抵抗内部抵抗増幅率 非反転増幅回路 2. オペアンプ 理想オペアンプ デジタル計算機とアナログ波形 ボルテージフォロワ非反転増幅回路で反転増幅回路 仮想短絡バッファとして利用 加算回路 2.1 加算 減算回路 微分回路 2.2 微分 積分回路 減算回路 高周波数のゲインを制限 HPF 1

2 積分回路 2.2 微分 積分回路 低周波数のゲインを制限 LPF A-D 変換器の種類 二重積分型 逐次変換型 (SAR) ΔΣ 型 ( 電荷平衡型 ) 並列比較型 ( フラッシュ型 ) パイプライン型 二重積分型 積分操作により 入力電圧に比例した幅のパルスを発生し その幅をクロックとカウンタで計測精度の割に安価雑音成分の積分により 高周波雑音が除かれる変換に要する時間が長く 入力電圧によって変化する 逐次変換型 (SAR) 化学天秤と分銅で重さを量るのと同じ原理分銅 コンパレータ 分銅 レジスタと D-A 変換部 n 回の操作で n ビット (2 n 個の離散数 ) の情報が得られる精度は 内部の D-A 変換部の精度に左右される ΔΣ 型 ( 電荷平衡型 ) 積分器とコンパレータからなる電圧 - 周波数変換器 (V-F 変換器 ) カウンタ タイマより構成されている V-F 変換器からのパルス列を処理して出力データを得るディジタル フィルタ演算処理により高分解能のデータが得られる 並列比較型 ( フラッシュ型 ) 入力信号は全コンパレータに同時に加えられ 参照入力と比較される各コンパレータの次段エンコーダによってディジタルコードに変換される非常に高速な変換速度 分解能高くできにくいパイプライン型サンプルホールド 低分解能 A-D 変換器 D-A 変換器の組み合わせがつなげられている 1クロック毎に1 段進む. 高速動作 2

3 A-D 変換器の誤差 オフセット誤差 ゼロ点のずれ ゲイン誤差 入出力の比例係数のずれ 非直線性誤差 直線関係からのずれ 微分非直線性誤差 理想量子化サイズからのずれ 重み付き電流型 2 k 型重み抵抗と標準電源からなる電流源とビット信号で動作する電流スイッチ構造が簡単 ビット数が多いと広範囲の抵抗が必要で精度確保困難 R-2R ラダー型 R と 2R の 2 種類の抵抗のみ簡単で精度よく 2 進数型の電流分割回路を構成できる D-A 変換器のパラメータ セトリング時間ロジック入力後 フルスケール出力電圧 (FSB) が ±LSB/2 内におさまるまでの時間 グリッジレジスタなどの内部ロジック回路やアナログ スイッチのターン オン オフ時間のわずかな差によって生じる出力電圧のスパイク雑音 オフセット誤差 ゲイン誤差 非直線性誤差など A-D 変換器と同様 3.3 サンプル ホールド回路 サンプル ホールド回路 信号をサンプリングし その値を一定時間保持する回路時々刻々変化する信号を A-D 変換する場合 変換中の入力信号の変動を 1LSB( 量子化サイズ 分解能 ) 以下にしなければならない 3.4 アナログ マルチプレクサ アナログ マルチプレクサ 多数のアナログ スイッチを一本の出力ラインに並列接続したスイッチ素子で多数のアナログ信号源に対して任意の信号を時分割で選択できるアナログ チャネルの拡張に用いられる 3

4 フーリエ変換対4.1 サンプリング 標本化 ( サンプリング ) ある一定の時間間隔で標本値 ( サンプル値 ) をとる サンプリング定理信号の最大周波数が f Hzならば もとの信号に復元するためには サンプリング周波数は f の2 倍以上としなければならないサンプリング時間間隔は とする 折返しひずみ ( エリアシング ) サンプリング定理を満たさない場合 もとの信号の高周波数成分が低周波数側に出てきてしまう 4.2 量子化 量子化信号の振幅を必要な分解能に応じた値に変換する 量子化誤差 最小量子化幅 A-D 変換器への入力 A-D 変換器からの出力量子化誤差 理想フィルタ 4.3 波形復元 サンプリング定理にしたがってサンプリングされたデータは sinc 関数による理想フィルタによって復元できる フーリエ級数 ( フーリエ級数展開 ) 周期の周期関数 基本角周波数 もとの信号サンプリング時間サンプルされた値 フーリエ係数 ホールド操作 フーリエ積分 非周期関数周期と考える任意の角周波数成分を含む 単一方形パルス関数 調和関数 フーリエ変換 フーリエ変換 フーリエ逆変換 インパルス関数 インパルス列 パワースペクトル 4

5 5.2 離散フーリエ変換 離散時間信号連続信号を一定時間間隔でサンプリングした信号 サンプルされた値 5.2 離散フーリエ変換 離散フーリエ変換 (DFT) 一定時間間隔でサンプリングした個のサンプル値を基本周期と考え その周期関数をとする サンプリング定理 アンチエリアシング フィルタ 基本周期部分の対応をとり とすると DFT IDFT 5.2 離散フーリエ変換 高速フーリエ変換 (FFT) DFT そのままでは乗算回数が多い ( 例 ) 窓関数 FFT をかけるとき 区間の境界で不連続が生じ スペクトルの誤差となる境界での不連続を少なくする ハニング窓 5.3 窓関数 ハミング窓 位相回転因子の周期性 指数性を利用して演算量を減らすが2のべき乗のとき 効率がよい ラプラス変換で定義される関数 ラプラス変換 6.1 ラプラス変換 z 変換 6.2 z 変換 信号を一定時間間隔でサンプリングしたサンプル値列 z 変換 ( 片側 z 変換 ) 逆ラプラス変換 逆 z 変換 フーリエ変換で純虚数 を複素数 に拡張した ものと見なせる ラプラス変換で とすると フーリエ変換と 同様な形式となり 周波数特性を表す は微分 は積分 伝達関数 離散時間信号のラプラス変換に対応する離散フーリエ変換 (DFT) の拡張と見なせるは1ステップの進み は1ステップの遅れ 双一次変換 s 平面から z 平面への写像 ( の近似変換と見なせる ) 5

6 7.1 不規則信号 不規則な雑音 ( 信号 ) は確率過程であり 統計的な処理が必要回目の測定信号 標本平均 ( 集合平均 ) と分散 時間平均と分散 エルゴード的信号標本平均と時間平均が等しい 自己相関関数 7.1 不規則信号 だけ離れた時刻の信号との間の相関を表す何らかの関係があれば大きな値 何の関係もなければ小さな値周期性があると その周期の整数倍で大きな値 パワースペクトル は の部分波形のフーリエ変換 Wiener-Khintchinの定理パワースペクトルと自己相関関数は互いにフーリエ変換の関係にある 雑音除去雑音成分を含んだ測定波形から 目的とする信号成分のみを厳密に取り出すことは不可能信号と雑音の強度比 (S/N 比 ) を改善する信号成分自身もある程度歪んでしまう 移動平均法入力信号重み関数出力信号 雑音除去 単純移動平均 電気的アナログフィルタ回路 ディジタル演算 平滑化 積算平均化 移動平均法 周波数領域法 周波数領域法 フーリエ変換 フーリエ逆変換 信号成分と雑音成分の周波数特性の違いを利用して分離 積算平均化同一条件の下で何度も繰り返し測定を行い 各信号波形の同一位置に対する標本平均をとる 観測信号 信号成分 測定を繰り返しても同じ雑音成分 平均値 分散の正規分布回の積算平均 雑音の強度 ( 分散の平方根 ) 倍 信号と雑音の周波数特性の差を必要としないが 繰り返し測定可能で 信号成分が変わらないこと 雑音成分が不規則信号で 統計的な性質が変化しないことが必要 6

7 7.3 スペクトル推定 7.4 アナログ フィルタ 信号のスペクトル推定上限周波数周波数分解能正規化誤差の標準偏差 (1) サンプリング時間間隔サンプリング定理より オーバーサンプリングするアンチエリアシング フィルタをかける (2) FFTにかけるデータ数より 窓関数を乗じて FFTにかける (3) FFTの積算平均回数とみなせるので RC による LPF 伝達関数 オペアンプを用いた 2 次 LPF より 7.4 アナログ フィルタ 7.5 デジタル フィルタ バタワースフィルタ通過域での振幅特性が平坦遮断角周波数 FIR フィルタ (finite impulse response) 直接型 FIR チェビシェフフィルタ通過域の若干のリップル ( ゆらぎ ) 遮断域での減衰特性が比較的急峻リップルの大きさ 単純移動平均 IIR フィルタ (infinite impulse response) フィードバックあり 安定性の確認 単純移動平均の振幅特性 直接型 Ⅱ 転置型 IIR 7