( 慣性抵抗 ) 速度の 2 乗に比例流体中を進む物体は前面にある流体を押しのけて進む. 物 aaa 体の後面には流体が付き従う ( 渦を巻いて ). 前面にある速度 0 の流体が後面に移動して速度 vとなったと考えてよい. この流体の質量は単位時間内に物体が押しのける体積に比例するので,v に比例

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1 空気抵抗があるときの自由落下 抵抗が速度に比例する場合 1. 絵を描く, 座標と情報, 記号を記入する x F<0 2. 運動方程式を書く = 3. 極端な場合 ( で直観的に分かりやすい状況 ) を推察する vv = 単調増加 0 vv < mg K 4. 解を求める微分方程式 の一般解は であり, 初期条件 を満たす特解は FF = vv(0) = 0, vv() =? v>0 v<0 mg mg F>0 = gg vv = gggg 等加速度 終速度 ( に比例 ) = (1) + CC ee (2) vv(0) = 0 1 ee (3) である. この解は項目 3 の極端な場合の推察と合致する. 実際, 1 のときvv() gggg ( / は と同等になる ) (4) また のときvv() (5) ( 参考 ) 上向きに投げあげたときの解法 vv() > 0 の場合 vv(0) = vv 0 を満たす特解は 最高点に到達する時刻を 0 とする + vv 0 ee (6), = + vv 0 ee 0 となり, そこから測った時刻を ττ とすると ( = 0 + ττ) vv(ττ) = + vv 0 ee (ττ+ 0 ) = ee ττ となりvv(0) = 0の解が再現する. ========== 粘性抵抗と慣性抵抗 ============== ( 粘性抵抗 ) 速度に比例 静止した流体の中を速度 vで移動する物体 aaa 流体の粘性により物体表面の流体は物体とともに移動する 物体表面にまとわりついた流体( 速度 v) はもともと静止していた この流体は物体から力を受けたので速度( 従って運動量 ) をもつようになった 流体が受けた力はvに比例する( 運動量が変化するまでの時間が一定 ) 物体には反作用としてvに比例する力( 粘性抵抗 ) が作用する 注 : 速度 v をもった流体は, いずれまたもとの静止状態にもどるが, このとき減速は流体内部の摩擦による.

2 ( 慣性抵抗 ) 速度の 2 乗に比例流体中を進む物体は前面にある流体を押しのけて進む. 物 aaa 体の後面には流体が付き従う ( 渦を巻いて ). 前面にある速度 0 の流体が後面に移動して速度 vとなったと考えてよい. この流体の質量は単位時間内に物体が押しのける体積に比例するので,v に比例する. 物体が流体に与える運動量は v 2 に比例するので, 物体は流体から v 2 に比例する抵抗 ( 慣性抵抗 ) を受ける. 物体には粘性抵抗と慣性抵抗の両方が作用している. 物体が大きく, 速度が大きくなると慣性抵抗が主要な部分になる. 人間が歩くとき, すでに慣性抵抗が主要な抵抗となる. 粘性抵抗が主要な抵抗となるのは, 霧の水滴のような小さい粒子が非常にゆっくりと沈降するような場合である. 人間ほどの大きさの物体で粘性抵抗が主要になる状況は, 宇宙から大気圏に突入するような極めて希薄な空気でしか起きない. =============================================== 抵抗が速度の 2 乗に比例する場合 例題 5.5 詳解 1. 絵を描く, 座標と情報, 記号を記入する FF = vv 2 vv,vv(0) = 0, vv() =? vv F<0 vv(0) > 0 ( 落下のとき : vv(0) = 0だから, こちらの場合になる ) 2. 運動方程式を書く 3. 極端な場合を観察する 4. 解を求める微分方程式 の一般解は = vv2 (7) vv(0) = 0 2 vv = gggg vv 2 vv = vv(): 0 単調増加 = gg vv2 = vv2 vv vv + = CC ee 2gggg (8) であり, 初期条件 vv(0) = 0を満たす特解は vv() = 1 ee 2 gggg (9) 1 + ee 2gggg である. 極端な場合は x v>0 v<0 mg mg F>0 vv() = 1 ee 2 gggg gggg gggg 1 (ii. ee. vv 1 + ee 2gggg となり項目 3の観察と一致する. gggg )

3 ( 参考 )vv() > 0 の場合 2. 運動方程式 3. 概要 初期加速度 :gg + vv 0 2 vv(): vv 0 0 単調減少 一番上で vv() = 0 4. 運動方程式を解く 微分方程式 の解は = + vv2, vv(0) = vv 0 = vv2 + gggg vv() = gggg an gggg + cc, cc = arcan vv 0 であり, 最上点に到達する時刻は である. 0 = 1 gggg arcan vv 0 gggg gggg ======== 数学 ======== 数学 ======== 微分方程式(1) を解くために 最高階の係数を1にして式を見やすくする = = gg vv = vv 独立変数 と従属変数 vvを分離する ( 変数分離 ) vv = 積分した形にする vv = 積分を計算する log vv = + cc ここで積分定数を c とした.1 ページでは e c を C と書いている. 対数の引数は正となるべきだが,vv < なので絶対値をつけた. 絶対値を外す ( 式 (2) と同等の式になる ) vv = eecc ee 初期条件を満たすように cc あるいは e c を決める 特解が得られる ( 式 (3)) 0 = eecc ee 0 = ee cc ee cc = ee = 1 ee (4) のチェックでは, xx 1 ee xx 1 + xx を用いた. (5) のチェックでは xx のとき ee xx また 1 ee xx = ee xx 0 を用いた.

4 特解 (6) を求めるには 一般解 vv = ecc ee に = 0,vv(0) = vv 0 < 0 を代入し, 符号を反転して よって + vv 0 = ee cc + vv 0 ee となる. 最上点では速度が 0 だから vv( 0 ) = 0. 上の特解に代入して あるいは となる. = 0 + ττ とおいて = + vv 0 ee vv 0 / = e 0 0 = log 1 + vv 0 / vv(ττ) = + vv 0 ee (ττ+ 0 ) = = ee ττ + vv 0 ee 0 ee ττ (7) の一般解 vv() > 0 (vv(0) = 0から落下を始める場合 ) = gg vv2 = vv2 最高階数の係数を1にする vv 2 = : 変数分離 1 vv 2 vv 1 = vv + vv + vv vv + 1 vv : 部分分数展開 = 2 = 2 gggg : 整理 = 2 gggg : 積分の形 log vv log vv + = 2 gggg + c: 積分の実行 vv log vv + = 2 gggg vv + c vv + = CC ee 2gggg : 整理 0 vv(0) = 0: 0 + = 1 = C 1: 初期条件から積分定数を決める C = 1 vv vv + = ee 2gggg : 特解 vv = vv + = vv + gggg 2 ee : 絶対値記号を外す

5 極端な条件のチェック gggg 2 1 ee = vv() ee 2gggg + 1 : 整理 vv() = 1 ee 2 gggg : 特解 1 + ee 2gggg gggg 2 = gggg gggg 2 1 (ii. ee. vv gggg ) vv( 0 ) = 0 gggg 0 + cc = 0 0 = 1 gggg arcan vv 0 gggg ( 参考 ) 投げあげたとき vv(0) = vv 0 運動方程式 概要 初期加速度 :gg + vv 0 2 vv(): vv 0 0 単調減少 一番上で vv() = 0 4. 運動方程式を解く = + vv2, vv(0) = vv 0 = vv2 + gggg vv 2 + gggg 2 = 1 gggg arcan vv gggg = + cc arcan vv gggg = gggg + cc vv() = gggg an gggg + cc, cc = arcan vv 0 gggg

6 微分方程式の常識 用語 斉次定係数 1 階線形常微分方程式 : + aa ff() = 0 非斉次 線形 :ff 1, ff 2 が解のとき ααff 1 + ββff 2 も解 : + aa ff() = h() 斉次解とは, = aaaa() を満たす ff() のこと ff() = ee aaaa が解であることは代入すれば分かる,ff(0) = 1 特解 ff() = AAee aaaa も解である. 一般解. 初期条件により特解を得る :ff(0) = AA 斉次解から非斉次解を求める手法 << 定数変化法 >> ff() = AA()ee aaaa とおき非斉次方程式の解となるための AA() の条件を探る. + aaaa = ee aaaa + ( aa)aaee aaaa + aaaaee aaaa = ee aaaa = h() = h()eeaaaa AA() = ( ) 0 = h( )ee +aaaa ( 初期条件により A(0) が定まる ) 0 一般解はAA() = h()ee +aaaa ff() = h( )ee +aa dd ee aaaa 2 階定係数線形定微分方程式 dd 2 ff + aa + bb ff = h() dd2 微分方程式の一般解の自由度 ( 特解を決める初期条件の数 ) 1 階微分方程式ではff(0) を与えると特解が決まり,2 階微分方程式は,ff(0) とff (0) を与えると特解が定まることを知りたい. 解をff() = cc 0 + cc 1 + cc と表す. 斉次 2 階線形定係数の場合 ff = cc cc cc cc ff = 2cc cc cc 各次数の係数が 0( でないと = 0 が成り立たない ) 0 : 2cc 2 + aa cc 1 + bb cc 0 = 0 1 : 3 2 cc 3 + 2aa cc 2 + bb cc 1 = 0 2 : 4 3 c 4 + 3aa cc 3 + bb c 2 = 0 c 0 とcc 1 を決めると, これら漸化式により全ての係数が決まり,ffが決まる c 0 = ff(0), cc 1 = ff (0) 2 階微分方程式は,ff(0) とff (0) を与えると特解が定まる. 例速度に比例する抵抗のもとでの自由落下 ( 上で解いた ) ff() vv(), aa =, h() = gg, AA() = gg ee dd = e AA(0) 例 : dd2 xx dd2 = FF xx,, の特解は xx(0) とvv(0) = (0) により決まる. 力が位 置, 速度, 時間の関数として決まっているとき, 初期位置と初速度さえ決まれば, その後の運動が完全に決まる. vv() = e AA(0) ee = AA(0)ee, AA(0) =. (vv(0) = 0)