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1 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 線形代数 演習 Ⅰ コンピュータ グラフィックス, 次曲面と線形代数指南書第七の巻 直交行列, 実対称行列とその対角化, 次曲線池田勉龍谷大学理工学部数理情報学科 実行列, 正方行列, 実対称行列, 直交行列 a a N A am a MN 実行列 : すべての成分 a が実数である行列 ij ji ij 正方行列 : 行の数と列の数が等しい ( M N) 行列 実対称行列 : 実行列であって, A A を満たす行列 ( a a, 必然的に正方行列 ) 直交行列 : AA I を満たす実正方行列 直交行列の転置行列も直交行列, の逆行列はである : A A A A よりの右逆行列は AA I A A 右逆行列は左逆行列でもあるから A( A) I A ( A) だから A も直交行列 AA I, A A I だから A の逆行列は A である 指南書第七の巻 ( スライド数 :3)

2 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 直交行列 () A : 直交行列とする A a b a c A c d b d a c a b a + c ab+ cd 0 AA b d c d ab cd b d a + c b + d ab + cd 0 a b a c a + b ac + bd 0 AA c d b d ac bd c d a + b c + d ac + bd 0 直交行列の列ベクトルは互いに直交する単位ベクトル ( 長さ のベクトル ) である 直交行列の行ベクトルは互いに直交する単位ベクトル ( 長さ のベクトル ) である 直交行列 () 典型的な直交行列 cosθ sinθ cosθ sinθ,,,, sinθ cosθ sinθ cosθ 行 列の直交行列は右の形のものに限定される cosθ sinθ cosθ sinθ, sinθ cosθ sinθ cosθ cosθ sinθ cosθ sinθ cosθ sinθ 0, sinθ cosθ sinθ cosθ sinθ cosθ 0 回転行列 回転行列 反転を表す行列 指南書第七の巻 ( スライド数 :3)

3 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 直交行列 (3) a b A c d : 直交行列とする a + c a c より cosθ, sin θ となる θ が存在する b d d b + より cosα, sin α となる α が存在する ab + cd 0 より cosθsinα + sinθcosα sin( α θ) 0 α θ + nπ または α θ + (n+ ) π ( n 0, ±, ±, ± 3, ) d cosθ, b sin θ または d cosθ, b sinθ cosθ sinθ cosθ sinθ A A sinθ cosθ または sinθ cosθ 直交行列 () 直交行列 A が表す線形変換は合同変換である: ( A)( A) ( A)( A) ( AA) とすれば長さを変えないことが分かる つのベクトルの内積も変えないから, ベクトルがなす角も変えない の長さ : 同じ と の内積 : 同じ の長さ : ( )( ) A A A ( A )( A ) A と A の内積 : A A ( A)( A) cosθ cosθ AA θ θ 同じ A θ A θ 指南書第七の巻 ( スライド数 :3) 3

4 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 実対称行列の対角化 () a b 実対称行列 A b d の固有多項式 λ λ λ + λ + ( a)( d) b 0 ( a d) ad b 0 判別式 D a+ d ad b a d + b ( ) 0 0 D 0 a d, b 0 A a 0 実対称行列の固有値は実数である実対称行列は対角化可能である 実の固有ベクトルが存在する ( i ) A( + i ) λ( + i ) A λ, A λ R I R I R R I I, のいずれかが実の固有ベクトル R I 実対称行列の対角化 () 実対称行列は直交行列によって対角化される λ 0 λ 0 () λ λ λ A IAI 0 λ 0 λ () λ λ を満たすように固有ベクトルを選ぶ λ ( ) ( λ ) ( λ ) ( A ) ( A) ( A) ( A ) ( λ ) λ ( ) λ λ だから 0. ( ) は直交行列 λ より 0 P PAP 0 λ 指南書第七の巻 ( スライド数 :3)

5 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 次実対称行列の回転行列による対角化 9 3 例 : A de( A λi) ( λ)( λ) λ λ + λ 5λ ( 3)( ) λ λ λ λ 固有値 λ 3 ( ) に対応する 固有ベクトル : ( A λ I) 0 固有値 λ 3, λ 係数行列に行基本変形を適用 A λi は とするため 次実対称行列の回転行列による対角化 ( つづき ) 8 固有値 λ ( ) に対応する 固有ベクトル : ( A λ I) A 3 係数行列に行基本変形を適用 A λi このも とするため π π cos sin PAP P 0, 3 π π sin cos 3 3 指南書第七の巻 ( スライド数 :3) 5

6 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 次曲線の一般形 平面上で が表す図形を 次曲線という. a b c d e f ただし, a fはすべて定数, abc,, のうちの少なくともつは零でない. ( ) ( + ) + ( だ円 ) 3 ( ) ( + ) ( 双曲線 ) ( ) ( + ) 0 ( 交差する 直線 ) 5 ( ) ( 放物線 ) 次曲線の行列による表現 a b a+ b a b c b c + + b+ c d e d + e ( ) a b c d e f a b d e f 0 b c + + ( 実対称行列 ) 指南書第七の巻 ( スライド数 :3) 6

7 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 次曲線の標準形による分類 ( α, β は正の定数 ) () + ( だ円 ) α β () + 0 ( 原点のみ) α β (3) + ( 空集合 ) α β () ( 双曲線 ) α β (5) 0 ( 交差する 直線 ) α β (6) ( 平行な 直線 ) α (7) 0 ( 直線 ) α (8) ( 空集合 ) α (9) ( 放物線 ) α 次曲線を標準形へ () 9 3 例 : + + (3 + 3) + ( 3 3) u A PAP P 3, 0, とおく 0 A ( u u u ) PAP ( ) P + ( u 3 0 u u ) ( 6 ) 0 + ( u 3u ) 6u+ 3u + 6u+ 3 P 3 指南書第七の巻 ( スライド数 :3) 7

8 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 次曲線を標準形へ ( のつづき ) 3 P 例 : + + (3 + 3) + ( 3 3) 0 3u + 6u+ 0 3( u ) + ( + ) 6 ( u ) ( + ) + ( だ円 ) 3 π π cos sin 3 3 P π π sin cos 3 3 回転する u 平面 平面 次曲線を標準形へ () 9 3 例 の変形 : + + (3 + 3) + ( 3 3) u A PAP P 3, 0, とおく 0 A u u ( u ) PAP + ( ) P 5 + 3u + 6u ( u ) + ( + ) 3 P 3 3( u ) + ( + ) 0 (, ) ( 点のみ ) 指南書第七の巻 ( スライド数 :3) 8

9 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 次曲線を標準形へ (3) 9 3 例 の変形 : + + (3 + 3) + ( 3 3) u A PAP P 3, 0, とおく 0 A u u ( u ) PAP + ( ) P 6 + 3u + 6u ( u ) + ( + ) + 3 P 3 3( u ) ( ) + + ( 空集合 ) 次曲線を標準形へ () 5 3 例 : (+ 3) + ( 3 ) A de( A λi ) ( λ)( λ) λ λ λ 3λ λ 3λ ( λ )( λ + ) 6 6 固有値 λ ( ) に対応する 固有ベクトル : ( A λ I) 0 係数行列に行基本変形を適用 固有値 λ, λ は とするため A λi 指南書第七の巻 ( スライド数 :3) 9

10 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 次曲線を標準形へ ( のつづき ) 固有値 λ ( ) に対応する 固有ベクトル : ( A λ I) A 5 3 係数行列に行基本変形を適用 A λi このも とするため π π cos sin PAP P 0, 3 π π sin cos 3 3 次曲線を標準形へ ( のつづき ) 5 3 例 : (+ 3) + ( 3 ) u A, PAP P 5 3 0, とおく 0 A ( u u u ) PAP ( 3 3 ) P + + ( u 0 u u ) ( 8 ) 0 + ( u u ) + 8u u + ( ) + 8u ( ) 3 P 3 指南書第七の巻 ( スライド数 :3) 0

11 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 次曲線を標準形へ ( のつづき ) 3 P 例 : ( + 3) + ( 3 ) 0 u + 8u 0 ( u+ ) ( + ) ( + ) ( u + ) ( 双曲線 ) π π cos sin 3 3 P π π sin cos 3 3 回転する u 平面 平面 次曲線を標準形へ (5) 5 3 例 の変形 : ( + 3) + ( 3 ) u A, PAP P 5 3 0, とおく 0 A u u ( u ) PAP + ( ) P u + 8u ( u+ ) ( + ) 3 P 3 指南書第七の巻 ( スライド数 :3)

12 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 次曲線を標準形へ (5 のつづき ) 5 3 例 の変形 : ( + 3) + ( 3 ) 0 3 P 3 ( u+ ) ( + ) 0 ( u+ + + )( u+ + ) 0 (u+ + )( u ) 0 ( 交差する 直線 ) π π cos sin 3 3 P π π sin cos 3 3 回転する u 平面 平面 次曲線を標準形へ (6) 5 3 例 の変形 : (+ 3) + ( 3 ) u A, PAP P 5 3 0, とおく 0 A u u ( u ) PAP + ( ) P + u + 8u + ( u+ ) ( + ) + 3 P 3 指南書第七の巻 ( スライド数 :3)

13 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 次曲線を標準形へ (6 のつづき ) 3 P 例 の変形 : ( + 3) + ( 3 ) + 0 ( u ) ( ) ( + ) ( u + ) ( 双曲線 ) π π cos sin 3 3 P π π sin cos 3 3 回転する u 平面 平面 次曲線を標準形へ (7) 例 3: A de( A λi) ( λ)( λ) 5 5 λ λ + ( λ ) λ 5 固有値 λ に対応する 固有ベクトル : ( A λ I) 0 5 固有値 λ, λ 0 係数行列に行基本変形を適用 A λi このは とするため 5 指南書第七の巻 ( スライド数 :3) 3

14 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 次曲線を標準形へ (7 のつづき ) 固有値 λ 0 に対応する 固有ベクトル : ( A λ I) 0 A 係数行列に行基本変形を適用 A λi このも とするため 5 5/ 0 cosα sinα PAP P 0 0, 5 sinα cosα α は cosα, sinα 5 5 となるもの 次曲線を標準形へ (7 のつづき ) 例 3: u A PAP P,, とおく A P ( u u u ) PAP ( 5 5) P + + ( u 5 0 u u u ) + ( 5 0) + ( u ) 5u u 5u+ ( u ) ( u ) ( 平行な 直線 ) 5 指南書第七の巻 ( スライド数 :3)

15 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 次曲線を標準形へ (8) 例 3 の変形 : u A PAP P,, とおく A u u 5 ( u ) PAP ( 5 5) P u 5 u+ ( u ) P 5 ( u ) 0 ( 直線 ) 次曲線を標準形へ (9) 例 3 の変形 : u A PAP P,, とおく A u u 9 ( u ) PAP ( 5 5) P u 5 u+ ( u ) + P 5 5 ( ) u ( 空集合 ) 指南書第七の巻 ( スライド数 :3) 5

16 線形代数 演習 (008 年度版 ) 008/5/6 次曲線を標準形へ (0) 例 3 の変形 : u A PAP P,, とおく ( ) A u u ( u ) PAP P u u 5 ( u ) + ( 5 ) + u 5u u 5u+ ( u ) P 5 次曲線を標準形へ (0 のつづき ) P 5 例 3 の変形 : ( ) 0 u 5 ( ) u ( 放物線 ) cosα sinα P sinα cosα cosα, sinα 5 5 u 平面 回転する 平面 指南書第七の巻 ( スライド数 :3) 6

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