DVIOUT-複素数平面演

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1 数学なるほどゼミナール 複素数平面の基本演習 1 ( 基本 ) 複素数平面上の 点 A( i), B(+i), C( +i) について 次の点を表す複 素数を求めよ (1) 線分 AB を : に内分する点 () 線分 AB を :5 に外分する点 () ABC の重心 ( 標準 ) 右の図のように 複素数平面上に 点 A(α), B(β) がある 7 ( 基本 ) 点 +4i, 5i, 1+yi が同じ直線 上にあるとき 実数 y の値を求めよ 8 ( 標準 )A(+5i), B(4i), C(i), D(+i) のとき 直線 AC と直線 BD の交点を表す複素数を求 めよ このとき 次の点を図示せ よ (1)z 1 = α+β ()z = α+β 4 ()z = α+β (4)z 4 = α+β 6 O y β α x 9 ( 応用 ) 複素数平面上の点 A(α), B(β), C(γ) に対して 同時には 0 とならない実数 r, s, t が存 在して rα+sβ+tγ=0 かつ r+s+t=0 を満たすとき 点 A, B, C は同一直線上にあるこ とを証明せよ ( 応用 )z=s( i)+t(1+i),(s,t は実数 ) とする (1)s+t=1, s 0, t 0 のとき z の存在範囲 を図示せよ ()s+t 1, s 0, t 0 のとき z の存在範囲 を図示せよ 4 ( 基本 )A( i), B( +i), C(4 i) のとき 四角形 ABCD が平行四辺形となるような点 D を表 す複素数を求めよ 10 ( 基本 ) 複素数平面上の次の 点間の距離を求めよ (1)α=1+i, β=4+5i ()α= +7i, β= 5i 5 ( 標準 ) 複素数平面上で A( i), B(1+i), C( i) を頂点とするすべての平行四辺形につい て それぞれの残りの頂点を求めよ 11 ( 標準 )z 1 =1 i, z = +4i, z =+i を頂点とする三角形の点 z から, 対辺へ引いた中 線の長さを求めよ 6 ( 応用 ) 異なる複素数 z 1, z, z, z 4 が表す点をそれぞれ A,B,C,D とする 次の等式が成り立つ とき 四角形 ABCD は 長方形であることを証明 せよ z 1 = z = z = z 4, z 1 +z +z +z 4 =0 1 ( 応用 ) 複素数平面上の 点 A(α), B(β) に対して α+β, α β が表す点をそれぞれ C,D とす る OA=,OB=6,OC=5 のとき OD の長さ を求めよ 1

2 1 ( 基本 ) 複素数平面上の点 z に対して 次の点は 点 z に対してどのような位置にあるか (1) z () z () z (4) iz (5)(cosθ+isinθ)z 19 ( 基本 ) A(1+i), B( 1 i), C( 4+i), D(x i) とす る AB CD のとき 実数 x の値を求めよ 14 ( 標準 ) 点 A(0), B( i) について 次の各問いに答えよ (1) 複素数平面上の正方形において 1 組の隣り合った 頂点がA, B であるとき 他の 頂点を表す複素数を求めよ ()A, B を頂点とする正三角形の残りの頂点を表す複素数を求めよ 0 ( 標準 ) 下の図のように ABC の 辺 AB, AC を 1 辺とする正方形 ABDE, ACFG をこの三 角形の外側に作る 複素数平面上で A(0), B(β), C(γ) として BG=CE, BG CE であること を証明せよ D E A G F 15 ( 応用 ) 複素数平面上に 原点と異なる 点 A(α), B(β) があり α αβ+β =0 を満たして B C いる (1) α β を求めよ () OAB はどんな三角形か 16 ( 基本 ) 次の点 z を点 α のまわりに角 θ だけ回転した点を表す複素数を求めよ (1)z=1 i, α=1+i, θ=10 ()z= 1+i, α= 5i, θ= 15 1 ( 応用 ) 凸四角形 ABCD の頂点 A, B, C, D を表す複素数を α, β, γ, δ とする 但し 頂点のとり方は反時計回りである この四角形の外側に 各辺を斜辺として 直角二等辺三角形 ABP, BCQ, CDR, DAS を作るとき 次の各問いに答えよ P A S D R B C 17 ( 標準 ) 次の各問いに答えよ (1) 点 A( 4+i), B(6 i) を隣り合う 頂点 とする正方形の残りの頂 めよ 点を表す複素数を求 () 点 A(0),B(4 i) を隣り合う 頂点とす る正六角形 ABCDEF が ある 点 D が第 1 象限 にあるとき 点 C を表す複素数を求めよ Q (1) 点 P を表す複素数をα, β を用いて表せ ()PR=QS かつPR QS となることを証明せよ () 四角形 PQRS が正方形になるための条件を求めよ 18 ( 応用 ) 点 A(α), B(β), C(γ) について ABC が正三角形となるための条件は 次の等式 が成り立つことであることを証明せよ ( 基本 )z 0 のとき z が純虚数であるための必要十分条件は z+ z=0 であることを証明 せよ α +β +γ αβ βγ γα=0

3 ( 標準 ) 複素数平面上の原点でない定点を A(α) とするとき 次の (1) () が成り立つこ とを証明せよ (1) 点 P(z) が 原点 O を通り OA に垂直な直線 上にある条件は α z+ᾱz=0 () 点 P(z) が 点 A を通り OA に垂直な直線上 にある条件は α z+ᾱz=αᾱ 4 ( 応用 )a, b は実数 z, z 1, z, z は複素数とする (z 1, z )=z 1 z + z 1 z として 複素数 z 1, z に対して内積 (z 1, z ) を定義 する このとき次の (1) から (4) が成り立つことを 証明し (5) に答えよ (1)(z 1, z ) は実数である () (z 1, z )=(z, z 1 ) ()(az 1 +bz, z )=a(z 1, z )+b(z, z ) (4)(z, z) 0 但し 等号は z=0 のときに限 り成り立つ (5)(z 1, z )=0 となるとき 複素数平面上で z 1, z が表す点 P 1, P と 係にあるか 原点 O はどんな位置関 7 ( 応用 ) 組の 点 P 1 (w 1 ), P (w ), P (w ) 及びQ 1 (z 1 ),Q (z ), Q (z ) について w w 1 = z z 1 であり こ w w 1 z z 1 の値が実数でないとき P 1 P P と Q 1 Q Q は 相似であることを証明せよ 8 ( 基本 ) 異なる つの複素数 α,β, γ の間に 次の等式が成り立つとき α, β, γ を頂点とする三角 形はどんな形の三角形か (1)γ α=i(β α) ()γ α=(1+i)(β α) 9 ( 標準 )w=+i とする 点 O(0), A(w z), B(w+z) を頂点とする三角形が O を直角の頂点とする直角二等辺三角形となるよう な複素数 z を求めよ 0 ( 応用 )z 1, z は 0 と異なる複素数とし 複素数平面上で z 1, z を表す点をそれぞれ P, Q 原点 を O とする z 1, z の間に 4z 1 z 1 z +z =0 の 関係がある場合 OPQ はどんな形の三角形か 5 ( 基本 ) 次の 点 P(α), Q(β), R(γ) について PQR の大きさを求めよ 但し 角の大きさ は 0 以上 180 以下となるように答えよ (1)α=+4i, β=1+i, γ=+i ()α= + i, β=1+ i, γ=+ i 1 ( 基本 ) 複素数 z が 次の等式を満たしながら動くとき 点 z が描く図形をいえ (1) z =5 () z (1 i) = () z+i = z i 6 ( 標準 ) 複素数 +i z 1 =, z = 1+ (1+i), z = 1+ i によって表される点をそれぞれ P 1, P, P とする また α= + i として 複素数 αz 1, αz, αz によって表される点をそれぞれ Q 1, Q, Q とする 角の大きさは 0 以上 180 以 下となるようにして 次の問いに答えよ (1) P 1 P P の大きさを求めよ () P 1 P P と Q 1 Q Q の面積をそれぞれ求 めよ () 原点を O とすると 有向線分 OQ と実軸の 正の向きとの間の角の大 きさを求めよ ( 標準 ) 複素数 z が z +i = を満たしな がら動くとき z 6 の最大値と最小値を求めよ ( 応用 ) つの複素数 z 1, z が z 1 4 =1, z =1 という関係を満たすとき z 1 z のとりうる値の範囲を求めよ また z 1 z の偏角を θ( 180 <θ 180 ) とするとき θ の最大値と最小値を求めよ 4 ( 基本 ) 複素数 z が 次の等式を満たしながら動くとき 点 z はどんな図形を描くか (1) z z=9 ()(z+i)( z i)=4

4 5 ( 標準 ) 複素数 z が 次の等式を満たしながら動くとき 点 z はどんな図形を描くか (1)z z+iz i z=0 () z+1 = z 6 ( 応用 )k を正の実数の定数とする 複素数 z の方程式 z z+ᾱz+α z+k=0 が つねに円を表すような複素数 α が満たすべき条 件を求め その α の存在範囲を複素数平面上に図 示せよ 7 ( 基本 ) 異なる 4 点 z 1, z, z, z 4 が同一円周 上にあるとき z 1 z 4 は実数であること z z z z z 1 4 を示せ 8 ( 標準 )4 点 1+i, i, i, 1 i は 同一円周上あることを示せ 9 ( 応用 ) 点 +5i, 1 i, 6+i を頂点とする三角形の外接円の中心を表す複素数を求めよ 40 ( 基本 ) 点 z が z =1 を満たしながら動 くとき 次の点 w はどんな図形を描くか (1)w=z+i ()w= iz ()w= iz+i (4)w= z+ z 41 ( 標準 ) 複素数平面上に 点 A(6),B(9i) がある 点 P(z) が円 z = 上を動くとき PAB の 重心はどんな図形を描くか 4 ( 応用 ) 複素数平面上の任意の点 z を w=αz+β で定まる点 w に移す移動を T とする 移動 T で動かない点があるとき その点を 移動 T に関する不動点という これについて次の問いに答 えよ 但し α,β は与えられた複素数とし α =1 とする (1) 移動 T は平行移動であるか または移動 T に関する不動点のまわり ずれかであることを証明せよ の回転移動であるかのい () z 1 z z の頂点が z 1 =1, z =α, z =α で与えられるとする 移動 T で z 1,z,z の移る 点をそれぞれ w 1, w, w とするとき w 1 w w の 重心 w 0 が移動 T に関する不動点であれば w 0 はまた z 1 z z の重心でもあ ることを証明せよ 4 ( 基本 ) 次の各問いに答えよ (1) 複素数 z が z = を満たしながら変化するとき w= 1 z+1 で与えられる複素数 w はどんな図形を描くか () 複素数 z が z i =1 を満たしながら変化す るとき w= 1 z で与えら 図形を描くか れる複素数 w はどんな 44 ( 標準 ) 複素数 z に対して複素数 w を w= iz z α で定める 但し α は 0 でない複素数の定数とする (1) 点 z がある円周 C 上を動くとき 点 w は原 点 O を中心とする半径 1 の円周を描くものとす る このとき 円周 C の中心と半径を α を用いて 表せ また 円周 C の中心が i のとき α の値を 求めよ ()α は (1) で求めた値とする 点 z が実軸上 を動くとき 点 w の描く 図形を求めよ 45 ( 応用 )α は複素数の定数で α 1 とする w= z α ᾱz 1 であるとき 次の問いに答えよ (1) z =1 のとき w の値を求めよ ()z が複素数平面上で単位円 ( 原点を中心とす る半径 1 の円 ) の内部に あるとき w が単位円 の外部にあるための α の条件を求めよ 46 ( 基本 ) 複素数 z, α, β について 次の各問いに答えよ (1) z+1 z 1 を満たす点 z の存在範囲を 図示せよ () 点 α は 点 1+i, 1 i を結ぶ線分上を動き 点 β は原点を中心とする 半径 1 の円周上を動くと き α+β が動く範囲の面積を求めよ 47 ( 標準 ) 複素数 z, α, β について 次の各問いに答えよ (1) 不等式 z 1 z 1 を満たす点 z の存在 範囲を図示し その面積 を求めよ ()z 1 =x+yi (x,y は実数で +i x 1, y 1),z = とする 点 z 1 の存在範囲と 点 z 1 z の存在範囲の共通部 分を図示せよ 4

5 48 ( 応用 ) 点 α は 点 1+i, 1 i を結ぶ線分上を動き 点 β は原点を中心とする半径 1 の円周上を 動くとき 次の各問いに答えよ (1)αβ が動く範囲の面積を求めよ ()α が描く曲線と虚軸とで囲まれた部分の面 積を求めよ 49 ( 基本 ) 実軸上を動く点 P(z) がある 点 A(1+i), B(5+i) に対して AP+PB の最小値 を求めよ 50 ( 応用 ) 複素数平面の単位円上に 点 A(α), B(β), P(z) が次の図のように与えられて いる y O S A 直線 OA に関する点 P の対称点を Q(z 1 ) 直線 OB に関する点 P の対称点を R(z ) とする (1)z 1, z を それぞれ α, β, z を用いて表せ () 線分 OA, OB 上にそれぞれ点 S, T をとり PST をつくる S と T P B x T がそれぞれ線分 OA, OB 上を動くときの PST の周の長さの最小 値を l とする この l を α, β を用いて表せ 問題の解答 1 (1) 10+i () 6 11i 5 (1) 線分 AB の中点 () 線分 AB を:1に内分する点 () +5i () 線分 AB を:1に外分する点 (4)z 4 = 1 α+β より 線分 AB を1: に内分す る点をC とすると 点 z 4 は線分 OC の中点 (1)A( i), B(1+i) とすると 線分 AB () OAB の周および内部 ( 以上は 平面のベクトルで学んだこととまったく同 じである ) 4 AD= BC より z ( i)=4 i ( +i) だから z=9 5i 5 この場合は 上と違って 通りの平行四辺形が できる 四角形 ACDB が平行四辺形になるとき 4+i 四角形 ADCB が平行四辺形になるとき 5i 四角形 ACBD が平行四辺形になるとき +i 6 z 1 = z = z = z 4 より この四角形は円に 内接する また z 1+z = z +z 4 となるから 原点をO 線分 AB, CD の中点をそれぞれM, N とおくと OM= ON である つまり O, M, N は一直線上にあり AB MN, CD MN より AB//CD で OM=ON より AB=CD よって この四角形は平行四辺形である 円に内接 する平行四辺形は長方形となるから 四角形 ABCD は長方形である 7 点 z 1, z, z が同一直線上あるための条件は z =(1 t)z 1 +tz (t; 実数 ) である 1+yi =(1 t)(+4i) +t( 5i) より 1+yi = (+t)+(4 9t)i y, +t, 4 9t は実数だから 1=+t かつ y=4 9t これを解いて y=1 8 交点を z とすると s, t を実数として z=(1 s)i+s(+5i)=(1 t)(4i)+t(+i) と表 される これより s+(1+4s)i=t+(4 t)i したがって s = t かつ 1+4s = 4 t より s= 1, t= 1 よって, 求める点は z=1+i 9 rα+sβ+tγ=0, r+s+t=0 より ( s t)α+sβ+tγ=0 s(β α)+t(γ α)=0 s(β α)= t(γ α) よって s AB= t AC ここで s=t=0 とすると r+s+t=0 から r=0 5

6 となって 条件に反するから s 0 または t 0 である s 0 のとき AB = t AC, t 0 のとき s AC= s AB t いずれにしても 点 A, B, C は 同一直線上にあ る 10 β α = +4i = +4 =5 β α = 5 1i = 5 +( 1) =1 11 点 z 1 と点 z を結ぶ線分の中点を表す複素数を z 4 とすると z 4 = 1 (z 1+z )= i したがって z z 4 = 9 +9 i =9 1 ポイント : z =z z を用いる α+β =5 より α+β =5 つまり (α+β)(α+β)=5 これより (α+β)(ᾱ+ β)=5 αᾱ+α β+ᾱβ+β β=5 ここで αᾱ= α =4,β β= β =6 だから 40+α β+ᾱβ=5 で α β+ᾱβ= 15 したがって α β =(α β)(α β)=(α β)(ᾱ β) =αᾱ (α β+ᾱβ)+β β=4 ( 15)+6=55 α β 0 だから α β = 55 よって 1+ (1 )i または 1 (1+ )i 15 (1)β=0 のとき α=0 となり 条件に反する からβ 0 である このとき ( α) α β β +1=0 α β =z とおくと z z+1=0 で z= 1± i すなわち α β = 1± i ()α= 1± i β={cos(±60 )+isin(±60 )}β よって OAB は正三角形である 16 点 z を点 α の回りに角 θ 回転した点を w と すると w α=(cosθ+isinθ)(z α) である この公式をいつでも導き出せるようにし ておくこと (1) +1+5i () (5 +5)i 1 (1) 原点に関して対称 () 実軸に関して対称 () 虚軸に関して対称 (4) 原点の回りに 90 回 転 (5) 原点の回りに角 θ 回転 14 (1) 反時計回りに頂点を取って四角形 ABCD が正方形になるとき 点 D は点 B を原点 A の回 りに 90 回転した点だから 点 D を表す複素数は i( i)=+i このとき AC= AB+ AD だから C を表す複素 数は i++i=4 すなわち 残りの頂点は +i と 4 時計回りに頂点をとって四角形 ABCD が正方形に なるときは 点 D は点 B を原点 A の回りに 90 回 転した点だから 点 D を表す複素数は i( i)= i このとき 点 C を表す複素数は i+( i)= 4i すなわち 残りの頂点は i と 4i ()(1) と同様に 反時計回りと時計回りの 通りの 正三角形があることに注意して ( i){cos(±60 )+isin(±60 )}=( i) 1± i =1± (1 )i ( 複号同順 ) 17 (1) 反時計回りに正方形 ABCD の頂点をとる 場合 D(w) とすると w ( 4+i)=i{6 i ( 4+i)} より w=+10i+( 4+i)= 1+11i また C(u) とすると AC= AB+ AD より u ( 4+i) ={6 i ( 4+i)}+{ 1+11i ( 4+i)} だから u=1+7i 4+i=9+8i 時計回りに正方形 ABCD の頂点をとる場合も同様 にして求めると 残りの頂点を表す複素数は 1i と 7 9i となる 以上より 9+8i と 1+11i または 1i と 7 9i () 条件より 頂点のとり方は反時計回りだから 点 A を点 B を中心として 10 回転した点が C(z) と なるから z (4 i) = {cos( 10 )+isin( 10 )}( 4+ i)=( 1 i)( 4+i)=+ +( 1)i よって z =+ +( 1)i+4 i=6+ +( )i 6

7 18 γ α=(cos60 ±isin60 )(β α) より γ α i β α =1± ここで 1± i は z z+1=0 の 解だから ( γ α ) ( γ α ) +1=0 β α β α 分母を払って (γ α) (γ α)(β α)+(β α) =0 これを展開して整理すると α +β +γ αβ βγ γα=0 19 A(α), B(β), C(γ), D(δ) について直線 AB と直線 CD が直交するための条件は δ γ β α が純虚数 x i ( 4+i) 1 i (1+i) =yi(y; 実数 ) より (x+4) 4i=yi( 4i) となるから (x+4) 4i= 4y yi したがって x+4=4y かつ 4= y x=4 ゆえに 0 点 G は 点 C が原点 A のまわりに 90 回転し た点だから G(iγ) また 点 E は 点 B が原点 A のまわりに 90 回転した点だから E( iβ) したがって BG = iγ β, CE = iβ γ ここで iβ γ=i(iγ β) 1 だから BG = CE また 1 より iβ γ iγ β = i ( 純虚数 ) だから BG CE である 1 点 P(z 1 ), Q(z ), R(z ), S(z 4 ) とおく (1) 線分 AB の中点 M のまわりに点 A を 90 回転 した点がP だから z 1 α+β となるから =i(α α+β ) より z 1 = α+β+(α β)i () (1) と同様にして z = β+γ+(β γ)i z = γ+δ+(γ δ)i z 4 = δ+α+(δ α)i z z 1 = ( α β+γ+δ)+( α+β+γ δ)i, z 4 z = (α β γ+δ)+( α β+γ+δ)i = i{ i(α β γ+δ)+( α β+γ+δ)} = i{( α β+γ+δ)+( α+β+γ δ)i} =i(z z 1 ) すなわち z 4 z = i(z z 1 ) = i z z 1 = z z 1, z 4 z z z 1 =i( 純虚数 ) であるから PR=QS, PR QS () z 4 z 1 =i(z z 1 ) となればよいから ( β+δ)+( α+β+δ)i =i ( α+γ)+( α+β γ)i 分母を払って 展開して整理すると (α β+γ δ)+(α β+γ δ)i=0 すなわち (α β + γ δ)(1 + i) = 0 で α β+γ δ=0 よって α β=δ γ より BA= CD ゆえに 求める条件は 四角形 ABCD が平行四辺 形であることである z=a+bi(a,b は実数 ) おくと z+ z=a だから z+ z=0 ならば a=0 また z 0 だから a=0 のとき b 0 すなわち z=bi(b 0) 逆に z=bi のとき z+ z=bi+( bi)=0 ゆえに z+ z=0 z は純虚数 (1) OP OA だから z α は純虚数である よって z ( z ) α + =0 すなわち z α α + z ᾱ =0 分母を払って ᾱz+α z=0 () AP OA だから z α α は純虚数である よって z α ( z α ) + = 0 すなわち z α + α α α z ᾱ ᾱ =0 分母を払って整理すると α z+ᾱz=αᾱ 4 (1) (z 1, z ) = z 1 z + z 1 z = z 1 z +z 1 z = (z 1, z ) だから (z 1, z ) は実数である ()(z 1, z )=z 1 z + z 1 z =z z 1 + z z 1 =(z, z 1 ) ()( 左辺 )=(az 1 +bz ) z +(az 1 +bz )z =az 1 z + bz z +a z 1 z +b z z =a(z 1 z + z 1 z )+b(z z + z z )=a(z 1, z )+b(z, z ) (4)(z, z)=z z+ zz=z z= z 0 等号は z =0 すなわち z=0 り立つ のときに限り成 (5)z 1 =0 または z =0 の場合 点 P 1 または 点 P が原点 O に重なる z 1 z 0 の場合 z 1 + z z 1 z + z 1 z =0 z z ( z1 z ) = z 1 z + z 1 z = すなわち z 1 z は純虚数である よって OP 1 OP である 7

8 5 QR から QP へ回転する向きをこめて測った角 RQP は arg α β γ β に等しい. これを利用する +4i (1+i) (1) = 5+5i = 1 + i = +i (1+i) 5 (cos45 +isin45 ) となるから RQP =45 + i (1+ i) () + i (1+ = 1+ i = i) cos10 +isin10 となるから RQP =10 6 (1)z 1 z = 1 i z z = i =cos40 +isin40 =cos10 +isin10 よって arg z 1 z =40 10 =0 z z () z 1 z = z z =1 だから P 1 P P = sin0 = 1 4 また Q 1 Q Q と P 1 P P は相似で 相似比は α z z 1 = α = 4 z z 1 だから Q 1Q Q = P 1 P P ( 4) = 4 9 () α = 4 (1+ i ) より argα = 60,z = (1+ ) (1+i) より argz = 45 だから argαz = =105 7 まず w w 1 w w 1 は実数でないから 点 Q 1, Q, Q は同一直線上になく Q 1 Q Q が形 成される 同様に P 1 P P も形成される 次に 条件から arg w w 1 w w 1 =arg z z 1 z z 1 w w 1 : z z 1 = w w 1 : z z 1 すなわち Q Q 1 Q = P P 1 P Q Q 1 :P P 1 =Q Q 1 :P P 1 よって 辺の比とその間の角が等しいから P 1 P P と Q 1 Q Q は相似である 8 (1)P(α), Q(β), R(γ) とする γ α =i より β α QPR=90, RP =PQ よって QPR=90 の直角二等辺三角形 () γ α β α = (cos45 +isin45 ) より QPR=45, RP = PQ よって PQR=90 の直角二等辺三角形 9 w z=±i(w+z) である これを解いて z=± i( 複号同順 ) 0 z 1 0 より 4z1 z 1 z +z = の両辺をz1 で割ると ( z ) ( z ) +4=0 となるから z =1± i= z 1 z 1 z 1 {cos(±60 +isin(±60 )} よって P 1 OP =±60, OP =OP 1 ゆえに OP 1 :OP :P 1 P =1:: の直角三角 形 1 (1) 原点を中心とする半径 5 の円 () 点 1 i を中心とする半径 の円 () 点 i, i を結ぶ 線分の垂直二等分線 点 P(z) は 中心が点 C( i), 半径 r= の 円周上を動くから 点 A(6) と点 P, C が同一直線上 に並ぶとき AP = z 6 は最大または最小になる AC = 4 i = 5 であるから 最大値は AC+r= 5+ 最小値は AC r= 5 点 z 1, z 間の距 離 z 1 z が最大となるのは z 1 =5, z = 1 のときで 6, 最小となるのは z 1 =, z =1 のときで よって z 1 z 6 1 z 0 また z 1 z の偏角が最大 または最小になるのは 図からわかるように z 1, z を結ぶ線分が 円の共 通内接線となるときである よって 0 arg(z 1 z ) 0 4 (1) z =9 より z = だから 原点を中心 とする半径 の円である ()(z+i)(z+i)=4 すなわち z+i =4 つま り z+i = だから 点 i を中心とする半径 の 円である 5 (1)(z i)( z+i)= i i と変形される すなわち (z i)(z i)=4 で z i =4 つまり z i = よって 点 i を中心とする半径 の円である () 条件より z+1 =4 z (z+1)( z+1)=4(z )( z ) z 1 8

9 展開して整理すると z z z z= 5 (z )( z )= 5+9 より z =4 よって z = より 点 を中心とする半径 の円である 6 条件より (z+α)( z+ᾱ)= k+αᾱ すなわち (z+α)(z+α)= α k で z+α = α k よって 求める条件は α k>0 より α > k また 点 α の存在範囲は 原点を中心とする半径 k の円の外部である 7 P P P 1 =α, P 1 P 4 P =β とおくと z 1 z = r(cosα+isinα), z z 4 = s(cosβ+ z z z 1 z 4 isinβ) 四角形 P 1 P P P 4 は円に内接するから α+β=180 よって z 1 z z z 4 = rs{cos(α+β) + z z z 1 z 4 isin(α+β)} = rs(cos180 +isin180 ) = rs(= 実数 ) 8 1+i i i i = 1+( )i 1 i i (1 i) )i 1+i (1 i) = 1+( 4i 1 の値を求めると ( )i 1 8 = ( ) +1 8 この値は実数だから 4 点は同一円周上にある 9 普通に解けば 次のようになる 求める複素数を z = x+yi(,x y は実数 ) とおく と z (+5i) = z ( 1 i) より (x )+(y 5)i = (x+1)+(y+)i すなわち (x ) +(y 5) =(x+1) +(y+) 展開して整理すると x+y= 1 同様にして z ( 1 i) = z ( 6+i) より x y= 1, を解いて x = 1, y = よって z = 1+i もう少し 複素数らしく解くと次のようになる z α = z β のとき (z α)( z ᾱ)=(z β)( z β) 展開して整理すると (β α)z+(β α) z= β α α=+5i, β= 1 i のとき ( 1+i)z+( 1 i) z= 6 1 α= 6+i, β= 1 i のとき (1+i)z+(1 i) z= 6 1, より z を消去して 6iz= 1 6i よって z= 1+i 40 (1) z = w i を z = 1 に代入して w (+i) =1 よって 点 +i を中心とする半径 1の円 ()z= w i を z =1 に代入して w i =1 両辺に i を掛けて w+6i = i = よって 点 6i を中心とする半径 の円である () w i より w i =1 i i 両辺に i を掛けて w i+6i = i すな わち w+4i = よって 点 4i を中心とする半径 の円である (4)z=x+yi(x,y; 実数 ) とおくと w=x すなわ ち w は z の実数部分だから 点 A(1), B() を 結ぶ線分である 41 PAB の重心を G(w) とおくと w= z+6+9i これより z = w (6+9i) で z = だから w (6+9i) = すなわち w (+i) = より 点 +i を中心 とする半径 の円である 4 (1) α=1 のとき w=z+β だから T は β だけ移す平行移動である α 1 のとき T の不動点を γ とおくと γ=αγ+β 1 1 より w γ=α(z γ) また w=αz+β α =1 だから 移動 T は不動点 γ のまわりの argα の回転移動を表す () 条件より w 1 =α+β, w =α +β, w =α + β だから w 0 = w 1+w +w = α+α +α + β 1 一方 w 0 は T の不動点だから w 0 =αw 0 +β 1 より w 0 = 1+α+α よって z 1+z +z = 1+α+α =w 0 4 (1) z をw で表すと z= 1 w で z = w だから 1 w = w すなわち w 1 =4 w で (w 1)( w 1)=4w w 展開して w w+ 1 w+1 w= 1 ( より w+ 1 )( w+ 1 ) = 4 9 つまり w+1 = 4 9 より w+ 1 = 9

10 よって 点 1 を中心とする半径 の円である () z= 1 w, z i =1 だから 1 w i =1 つまり 1 iw = w 両辺に i を掛けて w+i = w よって 原点と点 i を結ぶ線分の垂直二等分線で ある 44 (1) w =1 より iz =1 z α すなわち z = z α で 4z z=(z α)( z ᾱ) これより z z+ 1 α z+1 1 ᾱz= α したがって z+ α = α つまり 円 C は 点 α を中心とする半径 円である α の α =i のとき α= i ()w= iz より w(z+i)=iz z+i これをz について解いて z= iw w i z は実数だから z= z より iw ( ) iw w i = w i すなわち iw w i = i w より iw( w+i)= w+i i w(w i) 展開して整理すると iw w w+ w=0 両辺を i 倍して w w+iw i w=0 つまり (w i)( w+i)=1 より w i =1 よって 点 w は 点 i を中心とする半径 1 の円を描 く 45 (1) w = z α ᾱz 1 = z z (ᾱz+α z)+αᾱ αᾱz z (ᾱz+α z)+1 = ᾱz 1 z α z ᾱ α z 1 ところが 条件より z z= z =1 だから w = 1 (ᾱz+α z)+αᾱ =1 よって w =1 αᾱ (ᾱz+α z)+1 () z が単位円内にあるから z <1 また (1) の計算から w 1= z z (ᾱz+α z)+αᾱ αᾱz z (ᾱz+α z)+1 1 = (αᾱ)(z z)+z z+αᾱ 1 (αᾱ)(z z) (ᾱz+α z)+1 = α z + z + α 1 ᾱz 1 = ( α 1)( z 1) ᾱz 1 ところが z <1 であるから w >1 であるため には α >1 すなわち α >1 が成り立つこと である 46 (1) 点 A( 1), B(1) を結ぶ線分の垂直二等分 線 すなわち 虚軸の右側の領域である ただし 境 界線である虚軸上の点もすべて含む ()α を一定にすると 各点 β は α だけ平行移動され α+β の軌跡は α を中心 とする半径 1 の円である α が 1+i と 1 i を結ぶ線分 上を動くのに伴い α+β の 存在範囲は右の図の斜線部分で ある したがって 求める面積は 4+π 47 (1) z 1 z は 点 直線の右側の領域 を表し z 1 は 単位 円の内側を表す よって 点 z の存在範囲は 右図の斜線 部分で 境界を含む また その面積は 右図において 扇形 OBC OBC = π 1 sin10 = π 4 () 点 z 1 の存在 範囲は 右図の正 方形 ABCD の周 および内部である z =cos0 +isin0 だから 点 z 1 z は点 z 1 を原点のまわりに 0 O y 1+i 1 i 1 を通る実軸に垂直な A B O O 0 回転した点であり したがって 点 z 1 z の存在範 囲は 正方形 OABC を原点のまわりに 0 回転し た正方形の周およ び内部である よって 求める範囲は 右の図の斜 線部分である ただし 境界を含む 48 (1)β を一定とするとき αβ は 1+i と 1 i を 結ぶ線分を argβ だけ回 転した線分となるから 範囲は右図の同心円で囲 まれた部分である よっ て その面積は π O y 1 D C B C 1+i 1 i A x x 10

11 ()α=1+ti ただし 1 t 1 とおくと z=α から x=1 t, y=t よって x=1 y 4 ゆえに 求める面積は ( y ) 0 (1 y 4 )dy= 8 49 点 A と実軸に関して対称な点をC とすると AP+PB=CP+PB CB つまり CB の長さが求める最小値を与える C(1 i) より CB= 5+i (1 i) = 4+i =5 50 (1)α の偏角とz の偏角の差をθ とすると α= (cosθ+isinθ)z, z 1 =(cosθ+isinθ)α これら 式からθ を消去して z 1 α = α z よって z 1 = α z, 同様にして z = β z () 三角形 PST の周は折れ線 QSTR の長さに等し いので これを最小にするには 4 点 Q, S, T, R が一直線上にあるようにとればよい このときの周 の長さは l= z 1 z = α β z = α β 以上で 複素数平面の基本演習を終わる 11

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