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えのつつの
5 years ago
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1 ためになる算数数学クイズ集松田修 [ 著 ]

3 レベル 0 1

4 2

5 Q1. に 1 から 9 までの数字を入れて次の式が成り立つようにしなさい + = 3

6 ( こたえ ) こたえは, =2 ですどうして2+2が2 2と同じになるのか? この問題に真剣に取り組んだ哲学者は, 古代ギリシア哲学の第 1 人者であるソクラテスでしたそして, 彼の出した結論は, 私にはわからないでした 4

7 Q2. ほうそくを見つけて, とに 0 から 9 までの異なった数字を入れなさい (1,1) (2,3) (, ) (13,21) (34,55) (89,144) 5

8 ( こたえ ) こたえは, =5, =8 ですこれはフィボナッチ数列と呼ばれるものを利用した問題ですフィボナッチ数列とは, 1,1,2,3,5,8,13,21,34, という数列で, 最初が1,1から始まり, その後は, 隣り合う2つの数の和が次の数となっている数列ですまつぼっくりや, ひまわりの種, 植物の葉っぱの生え方などフィボナッチ数列は自然界の中にたくさん見られる不思議な数列です 6

9 Q3. ほうそくを見つけて, とに 0 から 9 @(1,2,8,9)=10 7

10 ( こたえ ) こたえは, =3, =7 ですです小学校のときに算数で習う記号は,+ や-, やなどがありますが, 中学生や高校生になると, 変な記号がたくさん使われ始めますでも, 記号の意味さえ分かれば, 数のパズルは簡単に解けるのです 8

11 Q4. ほうそくを見つけて, とに 0 から 9 までの異なった数字を入れなさい 9 2, , ,

12 ( こたえ ) こたえは, =6, =3 ですこれは 7 で割った余りを求めよという問題ですやはり, 記号の意味を, あーでもないこーでもない, よーく想像してみるのですそうすればひらめきます 10

13 Q5. ほうそくを見つけて, とに 0から9までの異なった数字を入れなさい L(2,4) 2 L(3,9) 2 L(2,16) 4 L(3,81) 4 L(5,25) L(6,216) 11

14 ( こたえ ) こたえは, =2, =3 です 4は2で2 回割れる 9は3で2 回割れる 16は2で4 回割れる 81は3で4 回割れるこれはログといわれる数学です L(a,x) と書いたら,x は a で何回割れるかという意味です実際の数学で log a x と書きます 12

15 レベル 1 13

16 14

17 Q1. ととに 0 から 9 までの異なった数字を入れて次の式が成り立つようにしなさい = 15

18 ( こたえ ) こたえは, =2, =1, =5 ですとなるような数字を回文といいます二ケタの数で, 各桁の数字を入れ替えて, それらの積 ( かけ算 ) が, 回文となるものは,11と22と12と21しかないのです 16

19 Q2. ととに 0 から 9 までの異なった数字を入れて次の 2 つの式が同時に成り立つようにしなさい = + - = 17

20 ( こたえ ) こたえは, =4, =6, =2 ですまず,1のかけ算で考えると =0となってダメです 2 以上のかけ算で = となるような数字を探すと, 2 6,4 6,5 3,5 7,5 9,8 6しかありませんこれをヒントに考えればよいのです 18

21 Q3. ととに 0 から 9 までの異なった数字を入れて次の 2 つの式が同時に成り立つようにしなさい + + = 19

22 ( こたえ ) こたえは, =1, =2, =3 ですこのような性質をもつ数は6 意外にありません 6と同じような性質をもつ数に完全数という数がありますその数は自分以外の約数を全部足すとその数になる数のことです完全数は小さい方から, 1,28,496,8128, と続きます完全数がどのくらいあるのか, 有限個なのかそれとも無限にあるのかどうか全く分かっていませんまた, 奇数の完全数があるのかも分かっていません 2010 年現在 43 個の完全数が, コンピュータを使って見つかっています 20

23 Q4. ととに 0 から 9 までの異なった数字を入れて次の式が成り立つようにしなさい = 21

24 ( こたえ ) こたえは, =0, =1 で, は 0 と 1 以外のどんな数でも OK です実は, 自分の好きな3つの数字を考え3ケタの数を作りますそして, それを2 回横に並べて6ケタの数字を作ると, それは必ず1001で割れて, しかも最初に考えた3ケタの数字に戻るという法則 (3ケタの法則 ) がありますたとえば,385を考えます次にそれを使って, という6ケタの数をつくり, それを1001で割ると,385に戻るのです試しに, 電卓でやってみてください実は,1001という数は意外な数で,4 番目,5 番目, 6 番目の素数という連続した3つの素数をかけたものとなっていますつまり,1001= なのです 22

25 Q5. ととに0から9までの異なった数字を入れて次の式が成り立つようにしなさい答えは3パターンあります + = 23

26 ( こたえ ) こたえは, =1, =3, =2 か =4, =5, =3 か =7, =9, =4 の 3 パターンですこの問題には以下の法則がかくれていますまず,2 ケタの数とその数字を反対にしたものを足しますすると, それはかならず11で割れて, しかも計算すると元の2 桁の2つの数字を足してできた数になるという法則ですたとえば, 17+71=88で,88 11=8となり,8 は17に出てくる2つの数字をたしたもの, つまり1+7ですこの問題は, 右のがヒントになります平方数 11を考えればよいのですちなみに平方数とは1,4,9, 16,25,36,49,64,91のような同じ数字を2 回かけてできる数のことです 24

27 Q6. 次の数の列の規則を見つけて, の中に適当な数字を入れなさい 1,3,4,7,11,18,,47,76, 25

28 ( こたえ ) こたえは, =29 ですこれはフィボナッチ数列の応用ですフィボナッチ数列は, 1,1,2,3,5,8,13,21,34, という数列で, 最初が1,1から始まり, その後は, 隣り合う2つの数の輪が次の数となっている数列でしたこの問題の数列は最初が1,3 から始まり, あとはフィボナッチ数列と同じ規則でできています 26

29 Q7. とととに 0 から 9 までの異なった数字を入れて次の 2 つの式が同時に成り立つようにしなさい = + = 27

30 ( こたえ ) こたえは, =4, =5, =2, =0 ですこの問題は2 桁のカプレカー数を探す問題です 1 桁のカプレカー数は9ですなぜなら,9 9=81で,81 を半分にして足すと8+1=9と元になるからですこのように, 同じ数を2 回かけて, その後, その答えにならんだ数字を半分に分割して, 得られた2つの数を足すと最初の数になるものがカプレカー数です 45 45=2025で,20+2 5=45なので45はカプレカー数です 2 桁のカプレカー数はこれ以外には55と99があります 28

31 Q8. つぎの数の並びの規則を考えて, ととに適当な数字を入れなさい

32 ( こたえ ) こたえは, =2, =6, =10 ですこの数の三角形はパスカル三角形と呼ばれていますパスカル三角形は, となりどうしの2つの数を足した数を, その間のすぐ下の段に書いて作っていく三角形のことです算数や数学を勉強していくと, パスカル三角形に関係することが結構あります科学でもよく使われます 30

33 Q9. つぎの数の並びの規則を考えて, ととに適当な数字を入れなさい

34 ( こたえ ) こたえは, =13, =7, =25 ですこの数の三角形はパスカル三角形に規則が似ている三角形ですパスカル三角形と違う点は, となりどうしの2つの数だけでなくその間の一つ上の段も足した数を, その間のすぐ下の段に書いて作っていく三角形のことですこのように考えてみると, みなさんもパスカル三角形に似た三角形を作って, 数字クイズをつくることができると思いませんか 32

35 Q10. とに 0 から 9 までの異なった数字を入れて次の式が成り立つようにしなさい = 33

36 ( こたえ ) こたえは, =5, =2 です例えば,5 2 という記号は,5 5 のことです 5 2 は 5 の 2 じょうとよみます 5 3 という記号は,5 5 5 のことです 5 3 は 5 の 3 じょうとよみますこのように同じ数を何回かかけるときに, 簡単に, このような記号で書きます 5 1,5 2,5 3,5 4,5 5, と縦に書いてみると不思議な現象が現れます一桁目は 5 だけ, 二桁目は 2 だけが現れますそして三桁目は 1 と 6 が交互に現れますさらに,4 桁目を調べてみると,3,5,8,0 が繰り返しますその繰り返す数字の個数は,3 桁目以降は 2 1,2 2,2 3, 2 4, となっているのです 5 1 = = = = = = = =

37 Q11. ととに 0 から 9 までの異なった数字を入れて次の式が成り立つようにしなさい + = 35

38 ( こたえ ) こたえは, =1, =2 =3 ですこのような面白い数の組の中で, 有名なものは, などがあります =5 2 や =6 3 36

39 Q12. 次の数の列の規則を見つけて, の中に適当な数字を入れなさい 1,3,6,10,15,,28,36, 37

40 ( こたえ ) こたえは, =21 ですこの数の列は三角数の列といいます三角数とは石を三角形に並べたときの数のことです最初は1 個, 次に2 個たして三角形を作り, その次は3 個足してもう少し大きな三角形を作り, その次は4 個足して, その次は5 個足してというようにして三角数を作っていきます下の図を見てください

41 レベル 2 39

42 40

43 Q1. ととに 1 から 9 までの異なった数字を入れて次の二つの式が同時に成り立つようにしなさい =

44 ( こたえ ) こたえは, =1, =3, =2 です 132 という数は, 自分を構成する異なる 2 つ数字から 2 桁の数を作って, その全ての和で表される最小の数です 42

45 Q1. ととに 1 から 10 までの異なった数字を入れて次の二つの式が同時に成り立つようにしなさい = =( ) 2 43

46 ( こたえ ) こたえは, =6, =8, =10 ですこの問題はピタゴラス三角形の中で, 面積と周の長さが同じものを探す問題ですピタゴラス三角形とは, 直角三角形で各辺の長さが自然数であるものをいいます s, t を0 以外の好きな数字を選んで, a = s 2 t 2, b = 2st, c = s 2 + t 2 を計算すると,a 2 + b 2 = c 2 をみたしますつまり, こうやって出したa, b, cが直角三角形の3 辺となっているのですたとえば,s = 4, t = 2とすると, a = = 12, b = = 16, c = = 20 となります面積と周の長さが一致するピタゴラス三角形は, こたえの他にもあと1つだけあって, それはa = 5, b = 12, c = 13 です 44

47 Q3. ととに 0 から 9 までの異なった数字を入れて次の式が同時に成り立つようにしなさい -1= +1 45

48 ( こたえ ) こたえは, =2, =3 ですに入る数を素数だけで考えますそして, もし, 1が素数なら, そのとき 1のことをメルセンヌ素数と呼んでいますメルセンヌ素数は完全数の研究にとても重要で, 1がメルセンヌ素数なら, -1 ( 1) が完全数になるのですメルセンヌ素数が有限なのか無限にあるのかは, まだわかっていませんメルセンヌ素数は下から, 3,7,31,127,8191,131071, 前の問題の数 31 と 8191 はどちらもメルセンヌ素数であって, さらに,p をメルセンヌ素数としたとき,M=2 2p-1-1 を考えると,p=3のときM=31, p=7のときm=8191となるのです 46

49 Q4. とに 1 から 9 までの異なった数字を入れて次の式が成り立つようにしなさい =

50 ( こたえ ) こたえは, =5, =2 です問題の意図は,1 から連続した数の累乗の和として,2 通りに表される数を見つけることで, この問題の数は 31 ですこのような数は, あとは 8191 しか知られていないようです 48

51 Q5.,,, に 1 から 9 までの異なった数字を入れて次の式が成り立つようにしなさい 1 = = = = = 2 49

52 ( こたえ ) こたえは, =2, =3, =4, =5 です問題の意図は, 平方数の面白い性質を見つけることですこれは正方形に並べた石を斜めに数える問題なのです 50

53 Q6.,, に 1 から 9 までの異なった数字を入れて次の式が成り立つようにしなさい = 3 51

54 ( こたえ ) こたえは, =4, =5, =6 です 6 3 =216は,3 乗数の和で表せる最小の三乗数です次に小さいものが 9 3 = です 52

55 Q7. とに 1 から 9 までの異なった数字を入れて次の式が成り立つようにしなさい =

56 ( こたえ ) こたえは, =5, =7 です 50は二つの平方数の和として 2 通りに表わせる最小の数ですこのような数は, その後 65,85,145, と続きます 54

57 Q8. 次の数の列の規則を見つけて, の中に適当な数を入れなさい 1,4,10,,35,56, 55

58 ( こたえ ) こたえは, =20 ですこの数列は三角錐数 ( 四面体数 ) という数列で, 石を三角錐に積み重ねて作っていきます三角錐数はパスカル三角形の4 列目にもなっていて, このことを知っていれば簡単に三角錐数を求めることができます

59 Q9., に 1 から 9 までの異なった数字を入れて次の式が成り立つようにしなさい =

60 ( こたえ ) こたえは, =1, =9 ですこの計算の答えは1729です 1729は数学者としてみんなが憧れるインドの天才数学者ラマヌジャンの逸話にでてくる数字ですそれは,G.H. ハーディーという数学者がラマヌジャンの病床を見舞ったとき, ここに来るとき拾ったタクシーのナンバーは1729で, その数は私にとってどうという数ではなかったし, それがよくない前兆ではないように願っていたと言いましたその直後に違うとラマヌジャンが答えましたそれはたいへんおもしろい数だよだって,2 組の3 乗数の和で2 通りに表される最小の数なんだよといったということです 58

61 Q10.,, に 0 から 9 までの異なった数字を入れて次の式が成り立つようにしなさい 1-1=1 59

62 ( こたえ ) こたえは, =9, =8, =0 ですある数の逆順に並べ換えたものを, もとの数から引くと, その差が, もとの数の数字を入れ換えたものになっている4 桁の数ですこのような4 桁の数は, = = = =1089 しかありません 60

63 Q11. 以下, 数表から数字 6 の不思議な性質を発見せよ 6 2 = = = =

64 ( こたえ ) こたえは, 3+6= = = =9999 というように, 半分に区切って前半部と後半部を足すと,9 が並ぶのです 62

65 Q12. 以下の式が成り立つように図形の中に適当な数を入れよ =( + ) =( + + ) =( ) 2 63

66 ( こたえ ) こたえは, です = (1 + 2) = ( ) = ( ) 2 日本では高校生になると 1 乗和の公式と 2 乗和の公式を習いますそれが, n(n + 1) n = n 2 n(n + 1)(2n + 1) = 6 ですそして, n 3 n(n + 1) = { } 2 2 = ( n) 2 となっているのですさて, 次にこのような面白い法則となるのは何乗のときなのでしょかねえ 64

67 Q13. 以下の式が成り立つように図形の中に適当な数を入れよ = 65

68 ( こたえ ) こたえは,4つあって, (,, )=(1,5,3),(3,7,0),(3,7, 1),(4,0,7) これらは,3 桁の数で, 各桁の3 乗の和が, 元の自然数に等しくなる数で,3 桁のナルシスト数と呼ばれています 1 桁のナルシスト数は,1 から9の全ての数であり,4 桁のナルシスト数は, 例えば,1634があり, = 1634 で,8208,9474 が 4 桁のナルシスト数ですところが,2 桁のナルシスト数は存在しませんナルシスト数は全部で87 個存在します最大のナルシスト数は39 桁で, です 66

69 Q14. 以下の式が成り立つように図形の中に適当な数を入れよ = = = 67

70 ( こたえ ) こたえは, =5, =2, =0, =3 これは,55に関する問題であるすなわち,55は,55 を各桁に分けて3 乗し, 和をとる得られた数に同じ処理をすると,3 回目に55が再び現れるのである = = =55 55については,5 番目の四角錐数であり,3 角数でかつ平方数である1 以外の最初の数であり,4 番目のカプレカー数でもあるすなわち,55 2 = =55 である 68

71 Q15. 以下は,1から16までを使った4 次の魔方陣である空欄に数字をいれて魔方陣を完成させよ * ここでいう 4 次の魔方陣とは, 横の合計も縦の合計も斜めの合計も, どれも 34 となっている方陣のこと 69

72 ( こたえ ) こたえは, 次の魔方陣は 880 種類あります 5 次の魔方陣は 275,305,224 種類あります 6 次の魔方陣は何種類あるかまだわかっていません 3 次の魔方陣は, 実質的には下の1 種類だけです津山洋学資料館には,3 次の魔方陣が飾られていますが, 間違ったものになっています今度行かれたらチェックすると楽しいです 70

75 津山高専のゆるきゃらーてくにゃんたちです

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æœ•å¤§å–¬ç´—æŁ°,æœ•å°‘å–¬å•“æŁ°,ã…¦ã…¼ã‡¯ã…ªã……ã…›ã†®äº™éŽ¤æ³Ł 最大公約数, 最小公倍数, ユークリッドの互除法最大公約数, 最小公倍数とはつ以上の正の整数に共通な約数 ( 公約数 ) のうち最大のものを最大公約数といいます. と 8 の公約数は,,,,6 で, 6 が最大公約数つ以上の正の整数の共通な倍数 ( 公倍数 ) のうち最小のものを最小公倍数といいます. との公倍数は, 6,,8,,... で, 6 が最小公倍数最大公約数, 最小公倍数の求め方