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1 The University of Tokyo, Komaba Graduate School of Arts and Sciences I

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4 凝縮系 固体 をデザインする 銅()面上の鉄原子の 量子珊瑚礁 IBM Almaden 許可を得て掲載 メゾスコピック領域 物性は 形 から 原子 分子 量子構造 ナノ構造 バルク固体 d!. nm nmµm Microscopic -µm Macroscopic Mesoscopic メゾスコピック領域では波動性が顕在化 ナノテクノロジー 電子の 大きさ の指標 λ = π mv d! de Broglie 波長 量子 サイズ効果 d!

5 An;Alchemist's;Dream:;; Superatoms;Mimic;Elements phys.org/news html

6 ー周期構造中を伝わる振動 波動ー 物質の理論における重要な決断 電子が 粒子 であることを忘れる 古典論 半量子論 量子論 粒子 である電子の電磁力学 量子統計(フェルミディラック分布) にしたがう 粒子 としての電子 波動 としての電子の量子力学 イオンは不動の散乱体 伝導を促進しない 粒子 電子の波長と結晶のピッチが合致すると散乱の抑制 波動

7 V( r + a) = V( r) V( r) = m + V( r) ψ k( r) = E k ψ k ( r) ψ k ( r) = e i k r u k ( r) m ψ k ( x,y,z ) = E k ψ ( x,y,z ) ψ k ( r) = e i k r

8 m u = ee m u τ : τ u = eτ m E µ = eτ m τ = = + τ L x τ x ρ = σ ρ = m ne τ τ i J = neu = σ E σ = ne τ m u = u e iωt iωmu(ω ) = ee(ω ) m u(ω ) τ J(ω ) = ne m τ iω E(ω ) σ ω σ (ω ) = σ = ne τ τ iω m E(ω ) = µ J + ε µ E(ω ) E(ω ) ω E(ω ) = µ σ (ω )iω + ε µ ω ε(ω ) = + i σ (ω ) ε ω ε(ω ) ε(ω )E(ω ) c

9 ux = eτ m Ex eb m uy = eτ m Ey + eb m uz = eτ m Ez = µez m du dt = e( E + u B) m u τ τuy = µex ω cτuy τux = µey + ω cτux µ u x = + (ω c τ ) (E x ω c τe y ) µ u y = + (ω c τ ) (E y + ω c τe x ), u z = µe z z B t x y l -eu x B E H I x (J x ) u x E x w

10 J = enu = σ E Ohmの法則 Neµ σ= ω cτ + (ω c τ ) 伝導率テンソル Hall 電場 Hall 係数 Ey = RH = σ xy σ xx +σ xy ω c τ + (ω c τ ) J x = RH J x Bz 電子 VH -; J x Bz = + Ey Ne Pe I B wt Bz = RH x z Hall 電圧 VH = E y w = RH J x t t Ne τ eτ µ = R σ = R =µ Hall 移動度 H H H * * m m Ey Hall 角 tanθ H = = ω c τ = µbz Ex Ex 正孔 VH t +; Ex p型半導体 J x = nux ε {T ( x uxτ )} ε {T ( x + uxτ )} 左からの エネルギー流 右からの エネルギー流 dε dt J x = nu τ dt dx dε n = cv dt = u τ cv ( T ) x 熱伝導率 Jx n型半導体 熱伝導の1次元モデル 正味の 熱流速 t κ = uτ cv = cv ul Jx

11 σ = ne τ m κ = u τc V c V = nk B κ σt = k B e =. 8 WΩ / K =. 8 WΩ / K =. 8 WΩ / K E = Q T Q : uq = u x u xτ ( ) u( x + uxτ ) = uxτ du x dx = τ d dx u x == τ d dt u 6 dt dx Q = e Q = k B e d dt mu = c V ne =.4 4 V/K u E = eτ m E uq + ue = c V = nk B

12 . f ( E,T, µ ) = exp E µ + ( ) k B T k B T µ > 4 k B T µ = 6 8 f ( E, T ) = exp[ E k B T ] µ ( ) N = f E, T, µ D( E)dE

13 パティショニング 分割 による粒子の統計性 FD統計にしたがう粒子 BE統計にしたがう粒子 A B = aa ab A B r=t= A B = aa ab NPBS (5:5) A r=t= B NPBS (5:5) 時間 バンチング bunching A B + A A B boson は群れたがる 状態密度 (DOS) Density-of-states B fermion は孤独を好む I. 電子状態(モード の指定法 ψ k ( x, y, z ) = Ekψ k ( x, y, z ) m () 箱の中の自由粒子 ψ k (, y, z ) = ψ k ( L, y, z ) Particle-in-a-box ψ k ( x,, z ) = ψ k ( x, L, z ) ψ k ( x, y, ) = ψ k ( x, y, L ) 固定端境界条件 エネルギー固有値 sink x L = kx = π nx L π E= n x + ny + nz m L ( ) ()周期(的)境界条件(P.B.C.)を満たす平面波 ψ k ( x, y, z ) = ψ k ( x + L, y, z ) = ψ k ( x, y + L, z ) = ψ k ( x, y, z + L )

14 e ik x L kx = = ( nx =, ±, ±,...) π E= n x + ny + nz m L エネルギー固有値 N= 絶対零度近似 π nx L ( f (E,, µ = E F )D( E ) de = 体積 D(E )de E(k) 単位エネルギー幅 あたりのモード数 L π dn de 状態密度 D( E ) = 変換因子 ) E + de d k d k あたりに1モード () 箱の中の自由粒子 L N = = 8π スピン n,n,n x y z L = 8π k ( EF ),k(e ) dkx dky dkz F 4π k dk () 周期(的 境界条件を満たす平面波 L N = k ( E ) dk x dk y dk z スピン π L L m N= k E = E ( ) F F π π F dn L m D( E ) = = E de π 課題1 次元,,次元の状態密度のエネルギー依存性を図示せよ

15 N = L π k F = π N L (n) 4 πk F u F = k F m = π m k F = ( π n) ( n) 6 ms m E F = m k F = ( m πn) 5 ev T F = E F k B = mk B ( πn) 4 K N = L π m E F ln N = ln L π m + ln E F dn de = N E F Fermi /cm m - m/s ev 4 K Li Na K Rb Cs Au Ag Cu

16 D( E F ) = L π m E F = N E F D( E) = L π m E = N E F E E F U = E F de E D( E) = N E / F U N = 5 E F E F de E = N 5 E F du = µdn µ = E = p = U V = U V U E F k F n / V / f ( E,T, µ ) =. exp E µ + ( ) k B T.5 df de = k B T e ( E µ ) k BT ( ) k BT +) (e E µ k B T k B T E µ E µ

17 ( ) : = g E G E I = I = E df de ( )d E f (E)g( E)dE [ ] + df = f (E)G(E) df de de G( E)dE G ( µ ) de = G( E)dE G( E) = G ( µ ) + ( E µ ) dg + ( de µ E µ ) d G + de µ I = df de G( E)dE df de = G(µ) + π G µ ( ) d G 6 k BT ( ) + ( E µ ) d G de µ de µ de I = µ g( E)dE + π 6 k BT ( ) dg de µ

18 n = n = de f (E, T )D( E) de D( E) + π 6 k BT ( ) de D = E F = de D( E) ) π µ 6 k B T ( ) dd(e) de µ ( ) dd(e) de = ( E F µ )D( E F ) π ( 6 k B T ) dd(e) de EF EF µ = E F π ( ) ( ) 6 k BT D E F dd(e) de EF..8 C V = nk B ( ) U(T ) = de E f (E)D E C(T ) = d dt π = de E D( E) + π 6 k BT = U() + π 6 k BT ( ) D(E F ) 6 k B T ( ) d ( ) D(E F ) [*] [ ] de ED(E) N,V = π k B D(E F ) T µ

19 Q = e Q = k B e d dt mu = c V ne =.4 4 V/K [ ] k B T E F Q = π k B k B T 6 e E F =.4 k B T E F 4 [ V/K] ne

20 B Al

C el = 3 2 Nk B (2.14) c el = 3k B C el = 3 2 Nk B

C el = 3 2 Nk B (2.14) c el = 3k B C el = 3 2 Nk B I ino@hiroshima-u.ac.jp 217 11 14 4 4.1 2 2.4 C el = 3 2 Nk B (2.14) c el = 3k B 2 3 3.15 C el = 3 2 Nk B 3.15 39 2 1925 (Wolfgang Pauli) (Pauli exclusion principle) T E = p2 2m p T N 4 Pauli Sommerfeld

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V(x) m e V 0 cos x π x π V(x) = x < π, x > π V 0 (i) x = 0 (V(x) V 0 (1 x 2 /2)) n n d 2 f dξ 2ξ d f 2 dξ + 2n f = 0 H n (ξ) (ii) H

V(x) m e V 0 cos x π x π V(x) = x < π, x > π V 0 (i) x = 0 (V(x) V 0 (1 x 2 /2)) n n d 2 f dξ 2ξ d f 2 dξ + 2n f = 0 H n (ξ) (ii) H 199 1 1 199 1 1. Vx) m e V cos x π x π Vx) = x < π, x > π V i) x = Vx) V 1 x /)) n n d f dξ ξ d f dξ + n f = H n ξ) ii) H n ξ) = 1) n expξ ) dn dξ n exp ξ )) H n ξ)h m ξ) exp ξ )dξ = π n n!δ n,m x = Vx)

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x E E E e i ω = t + ikx 0 k λ λ 2π k 2π/λ k ω/v v n v c/n k = nω c c ω/2π λ k 2πn/λ 2π/(λ/n) κ n n κ N n iκ k = Nω c iωt + inωx c iωt + i( n+ iκ ) ωx

x E E E e i ω = t + ikx 0 k λ λ 2π k 2π/λ k ω/v v n v c/n k = nω c c ω/2π λ k 2πn/λ 2π/(λ/n) κ n n κ N n iκ k = Nω c iωt + inωx c iωt + i( n+ iκ ) ωx x E E E e i ω t + ikx k λ λ π k π/λ k ω/v v n v c/n k nω c c ω/π λ k πn/λ π/(λ/n) κ n n κ N n iκ k Nω c iωt + inωx c iωt + i( n+ iκ ) ωx c κω x c iω ( t nx c) E E e E e E e e κ e ωκx/c e iω(t nx/c) I I

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E 1/2 3/ () +3/2 +3/ () +1/2 +1/ / E [1] B (3.2) F E 4.1 y x E = (E x,, ) j y 4.1 E int = (, E y, ) j y = (Hall ef 4 213 5 8 4.1.1 () f A exp( E/k B ) f E = A [ k B exp E ] = f k B k B = f (2 E /3n). 1 k B /2 σ = e 2 τ(e)d(e) 2E 3nf 3m 2 E de = ne2 τ E m (4.1) E E τ E = τe E = / τ(e)e 3/2 f de E 3/2 f de (4.2) f (3.2)

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