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1 第 2 年 A 組 数学科学習指導案 研究主題 仲間と共に伸び伸びと主体的に学習に取り組む生徒の育成 ~ 言語活動を充実させる学習形態の工夫を通して~ 努力点 学習形態を工夫して, 基礎 基本の定着を図る. 単元名連立方程式 指導者教諭北野美保子展開場所少人数教室 2. 単元について () 単元観学習指導要領では, 第 2 学年の A. 数と式の目標として, 文字を用いた式について, 目的に応じて計算したり変形したりする能力を養うとともに, 連立二元一次方程式について理解し用いる能力を培う と明記してある 第 学年では, 数の範囲を負の数まで拡張し, 正負の計算法則を理解している また, 文字を用いて, 数量の関係や法則などを式に表現したり, 式の意味を読み取ったりできるようにしている さらに, 等式の性質を基本とした一元一次方程式について, その中の文字や解の意味を理解し, その解き方について学習している 第 2 学年では, これらの学習の上に立って, いくつかの文字を含む整式の四則計算を理解し, 多項式の縦計算や式を変形することを学習している 本単元では, 二元一次方程式とその解の意味や二元一次方程式を連立させることの必要性と意味および連立二元一次方程式の解の意味を理解し, 解を求めることができるようにする さらに, 具体的な場面で連立二元一次方程式を活用する能力を育てることをねらいとしている また本単元は, 一次関数における二元一次方程式とグラフとも密接な関係があり, さらに第 3 学年の二次方程式へと発展していく そのためにも, 本単元内容の基礎 基本の定着を図り, しっかりと身につけさせたいと思う < この章と関連のある内容 > 中学校 2 年 章式の計算 2 つの文字をふくむ式の加減 2 つの文字をふくむ式の値 等式の変形 中学校 年 中学校 3 年 3 章 方程式 2 章 連立方程式 3 章 二次方程式 等式の性質 二元一次方程式と連立方 二次方程式の解の意味 方程式の中の文字や解の程式の解の意味 二次方程式の解き方 意味 連立方程式の解き方 二次方程式の利用 一元一次方程式の解き方 ( 加減法 代入法 ) 方程式の利用 連立方程式の利用 3 章一次関数 2 点を通る直線の式 二元一次方程式のグラフ 2 直線の交点の座標

2 (2) 生徒の実態 ( 男子 名 女子 3 名計 4 名 ) < 数学アンケート >. 数学の授業に意欲的に取り組むことができていますか できている まあまあできている あまりできていない できていない 人 2 人 人 2. 数学の授業が楽しいと感じるのはどんなときですか あてはまるものをすべて選んでください 問題を読んでいるとき 2 問題を解いているとき 3 問題が解けたとき 4 答が合っていたとき 5 発表をするとき 6 友達の発表を聞くとき 7 友達と相談したり 教えあっているとき 8 先生の説明を聞いているとき 9 黒板に書かれたことをノートに書いているとき 0 計算をしているとき ドリル練習 2 発展的な課題に取り組んでいるとき 3 問題を作りかえて 新しい問題を作るとき 4それまでに学習したことをうまく使って問題を解決することができたとき 5 同じような問題を何度も繰り返し それができるようになったとき 6その他 4 人 3 人 人 2 人 3 人 3. 計算の学習は好きですか その理由も簡単に書いてください 好き まあまあ好き やや嫌い 嫌い 人 2 人 人 < アンケート結果から見た生徒の実態 > 質問 の結果から,3 人の生徒が できている, まあまあできている と答えた 初めて少人数クラスに分かれたときも, 先生, 私がんばるからね と言ってくれた生徒がいた 質問 3 から分かるように, 決して数学は好きでないと思われるが, 授業には意欲的, まあまあ意欲的に取り組んでいると答えた生徒が多いことなどから, がんばろうという姿勢はうかがえる 質問 2 では, どんなときに数学の授業が楽しいと感じるかをきいた ~4 については, 問題解決のどの段階を楽しいと感じているかを答える質問である 3 や 4 と答えた生徒が多く,2 と答えた生徒はいなかった これは, 楽しいかどうかは できた, 解けた, わかった という結果が生徒にとっては大切であり, 間違えてもよいからいろいろと試してみて, 結果にたどりつくその過程を楽しむという感覚がないといえる 5~9 は, 授業のどの段階を楽しいと感じるかをきいたものである 発表をするとき と答えた生徒が 名いたものの, 残念ながら, 生徒にとって数学の時間は楽しいと感じる活動になっていないことがわかる 0 以降の質問を見ても同様で, 生徒にとっては できる, 解ける, 分かる ことがそのまま数学の授業が楽しいということにつながり, さらには次への意欲となる大切な要素といえる 質問 3 は 計算の学習が好きか をきいたものである 他の分野に比べると一番取り組みやすいところだと思うのだが, 結果は 3 名の生徒が やや嫌い, 嫌い と答えた 嫌い の理由は あってないから, 難しいから, 分からないときが多いから というものであり, 好きと答えた生徒の理由は 何か楽しいから であった このアンケート結果から, まずは生徒に できた, 解けた, わかった という経験をさせることで, 少しでも自信が持てるようにしていきたい そして数学では, 結果そのものも大切だが, 結果にたどりつくまでの 過程 が実はとても大切であることに気づかせたい

3 < 実態調査の小テスト >. 次の方程式のうち 3が解であるものをすべていいなさい 正答者数 人 /4 人中 ()x-5=8 (2)5x-9=6 (3)x+6=4x-3 2. 次の方程式を解きなさい 正答者数 誤答例 ()x+2=9 2 人 /4 人中 x=3 (2)4x=-24 2 人 /4 人中 x=6 (3) 8 x=2 人 /4 人中 x=4 (4)3x+2=-7 2 人 /4 人中 x=2 (5)5x+=7x+3 人 /4 人中 x=,x=2x+4 5 (6)5x+3(x-2)=8 人 /4 人中 x=8x+,x= 3 3. 本 80 円のボールペンと 本 60 円の鉛筆を あわせて5 本買い 代金を00 円払いました ボールペンをx 本買ったとして方程式をつくり それぞれの本数を求めなさい 正答者数 /4 人中 < 実態調査の小テスト結果から見た生徒の実態 > の問では, 正しく処理できた生徒は 名だけであった 他の 3 名のうち 2 名は つしか選んでおらず, 名は無記入であった 2 の問は, 一元一次方程式の基礎 基本といえる問題であるが, 誤答として一番目立ったのは, 移項や乗除の際の符号ミスである しばらく方程式の学習から離れていて, 等式の性質やその解き方を忘れてしまった生徒がいるようである 連立方程式は一元一次方程式を導いてから解いていくので, 連立方程式の学習に入る前に, 等式の性質や方程式の解き方をしっかりと確認する必要がある 3 の問は, 解けた生徒が 人もいなかった 3 名は無記入であり, 記入のあった 名も (00) -80x+60=5 という誤答であった ただ, この問題は, 本単元 連立方程式 では 2 つの文字を用いて解くことができるので, つの文字だけで解かなければならなかった 年の方程式よりは解きやすい問題として生徒にとらえさせることができるのではないだろうか 授業では, あくまで一元一次方程式が基本になるので, 問題を丁寧に扱い, わかる, できる という実感を持たせながら, 今回の小テストの結果を有効に活用していきたい (3) 指導観本単元においては, 以下の 3 点を指導の重点としたい 連立二元一次方程式とその解の意味を理解させること二元一次方程式を成り立たせる二つの文字の値が, 二元一次方程式の解であることを理解できるようにようにし, その解の意味は, 第 学年で学習した一元一次方程式と本質的には変わっていないことを確認する ただし, 二元一次方程式の解は一つとは限らず, 変数の変域によって無数にあることを理解させた上で, 一元一次方程式の解が一つであったこととは異なることも確認する そして, 二つの連立させた方程式を解くことは, 二つの方程式を同時に満たす値の組を求めることであることに気づかせていきたい 2 連立二元一次方程式の解法を理解させること連立二元一次方程式を解くには, 二つの文字のうち一方の文字を消去し, 一元一次方程式を導けばよいことに気づかせ, 既に学習している方法に帰着させて考えることのよさを味わわせていきたい ( 学び直しの機会としたい ) また, 加減法と代入法のどちらの方法でも解けるようにし, 連立方程式の形に応じて使い分け, 形式的かつ能率的に解けるよさを実感させていきたい 3 連立二元一次方程式は, 問題解決のための有用な手段の一つであることを実感させること第 学年で一元一次方程式について学習している しかし, 変数が 2 つあるような場合には一方を他方の変数の文字で表さなければならない不便さがあった 現実の場面では,2 つの変

4 数がなければ解決できなかったり,2 つの変数を使った方が解決しやすかったりすることが多い 二元一次方程式の解は,2 つの式を連立させることで つに定まることに関心を持ち, 日常的なさまざまな問題の解決に活用できるようにしたい 本校の今年度の研究主題は, 仲間と共に伸び伸びと主体的に学習に取り組む生徒の育成 ~ 言語活動を充実させる学習形態の工夫を通して ~ である また, 数学科では, 実態に合わせて習熟度による少人数指導に取り組んでいる 本単元では, 計算処理能力だけにとらわれず, 何を根拠にそのような計算をすることができるのか, どんな性質を使ったのかを生徒に意識させ, 説明することができるようにし, 論理的に話す訓練をすることもできる単元といえる 本校の 授業の五原則 のもと, 一人ひとりの考えを発表し合い, お互いの考えを関連づけたり, 比較したり, 検討したりして, 友達の考えのよさを認めたりすることで学習が深まることを強調していきたい そして, 数学を学ぶ楽しさに気づかせ, さらに意欲的に学習に取り組めるようにしていきたい 3. 単元の目標 連立方程式を解くことに関心を持ち, 具体的な事柄に活用しようとする 関心 意欲 態度 一元一次方程式に帰着させて, 連立方程式の解き方を考えることができる 見方 考え方 加減法や代入法を用いて能率的に連立方程式を解いたり, 文章題における数量の間の関係を連立方程式に表して文章題を説くことができる 技能 二元一次方程式や連立方程式に関する用語や記号, 連立方程式を解く手順を理解している 知識 理解 4. 指導計画 4 時間扱い ( 本時 6/4) 項 時 目 標 学習活動 観点別評価規準 配 数学への関 数学的な見 数学的な技 数量や図形 心 意欲態 方や考え方 能 などについ 度 ての知識 理解 連 2 2つの文字を含む 二元一次方程 身のまわり 身のまわり 値の組を連 二元一次方 立 等式から文字の値 式とその解の にある数量 にあること 立方程式に 程式とその 方 が求められること 意味を知る 関係を等式 がらの中か 代入して, 解, 連立方 程 を知り, 二元一次 連立方程式と を使って表 ら連立方程 連立方程式 程式とその 式 方程式とその解の その解の意味 し, 解を求 式を考え, の解である 解の意味を と 意味, 連立方程式 を知る めようとす その解の意 かどうかを 理解してい そ とその解の意味を 連立方程式の る 味を考える 確かめるこ る の 理解することがで 解のたしかめ ことができ とができ 解 きる をする る る 連 2つの式をそのま 文字の消去の 加減法によ どちらかの 加減法によ 文字の消去 立 またすかひくかす 意味を知る って, 連立 文字を消去 って, 連立 の意味, 加 方 る加減法によっ 加減法によっ 方程式を解 するため 方程式を解 減法の解き 程 て, 連立方程式を て, 連立方程 こうとす に,2つの くことがで 方を理解し 式 解くことができ 式を解く る 式をたすか きる ている の る ひくかする 解 ればよいこ き とに気づ 方 く 式を何倍かしてど 加減法によっ 加減法によ どちらかの 加減法によ 加減法の解 ちらかの文字の係 て連立方程式 って, 連立 文字を消去 って, 連立 き方を理解 数をそろえてか を解く 方程式を解 するため 方程式を解 している ら, 加減法によっ こうとす に, 式を何 くことがで

5 て連立方程式を解 る 倍かして係 きる くことができる 数をそろえればよいことに気づく 加減法とは違う代 代入法によっ 代入法によ 加減法と代 代入法によ 代入法の解 入法という解き方 て, 連立方程 って, 連立 入法の共通 って, 連立 き方を理解 があることを知 式を解く 方程式を解 点や相違点 方程式を解 している り, 代入法によっ こうとす を考えるこ くことがで て連立方程式を解 る とができ きる くことができる る かっこのついた連 かっこのつい 連立方程式 式の形を見 その式にあ xかyを消 立方程式を解くこ た連立方程式 の形を見 て, 加減法 った解法 去するため 本 とができる を解く て, 解決の と代入法の で, 式を整 に式を整理 時 見通しをも どちらが適 理してから することが って解こう 切な解法か 解くことが 理解でき とする を判断する できる る ことができ る ( ) 係数に分数をふく 係数に分数を 連立方程式 式の形を見 その式にあ xかyを消 む連立方程式を解 ふくむ連立方 の形を見 て, 加減法 った解法 去するため くことができる 程式を解く て, 解決の と代入法の で, 式を整 に式を整理 見通しをも どちらが適 理してから することが って解こう 切な解法か 解くことが 理解でき とする を判断する できる る ことができる 連 4 連立方程式を利用 連立方程式を 連立方程式 連立方程式 問題の中の 連立方程式 立 して, 問題を解決 利用して, 身 を利用し を利用して 数量の関係 を利用して 方 することができ のまわりの問 て, 問題を 問題を解決 を連立方程 問題を解く 程 る 題が解決でき 解決しよう し, その過 式に表し, 手順を理解 式 る事を知る とする 程を振り返 それを利用 している の 問題を解決す って考える して問題を 利 るために, 数 ことができ 解決するこ 用 量の関係をと る とができ らえ, 見通し る をもって連立方程式に表す 連立方程式を使って, 問題を解決する 問 2 今までに学習した 基礎的 基本 自ら進んで 式の形を見 加減法や代 加減法 代 題 連立方程式に関わ 的な問題に取 連立方程式 て, どちら 入法で, 能 入法の解き 演 る用語や解き方を り組み, 既習 を解こうと の方法が解 率的に連立 方を理解し 習 確認し, 問題を解 事項のまとめ する きやすいか 方程式を解 ている くことができる をする を考えるこ くことがで とができる きる 単元末テスト

6 5. 本時の指導 () 目標連立方程式の形や係数に応じ, 解決の見通しをもって解こうとする 関心 意欲 態度 連立方程式の形や係数に応じ, 解決の見通しをもって適切な解法を選び, 解くことができる 数学的な見方 考え方 (2) 展開 時配学習内容と学習活動指導 支援 評価 ( 方法 ) 資料 0 問題把握 分. 連立方程式の2 通りの解き方を確認す 連立方程式を解くためには どち プリント る らかつの文字を消去すればよい 加減法 ことを振り返らせる どちらかの文字の係数をそろえ,2 式 つの文字を消去するには 代入 をたすかひくかして文字を消去する 法と加減法があることを振り返ら 代入法 せる 片方の式をどちらかの文字について解き, それをもう一方の式に代入することで文字を消去する 20 自力解決 分めあて : いろいろな連立方程式を工夫して解くことができる プリント 2. かっこのついた連立方程式を解く 問題 牛玖さんは, 次の方程式を解 どちらの方法で解くにしても, ま こうとしています あなたが ずは式を簡単にする必要があるこ 牛玖さんなら どういう手順 とに気づかせる でこの連立方程式を解きますか? 2(x+y)=y+4-2x+5y=8 2 どういう手順で解けばよいかを考える 考えた手順を発表する かっこをはずす かっこをはずして式を簡単にした後, どちらかの方法で連立方程式を解く 生徒に黒板に書かせ, 説明させる 加減法を用いた解き方と代入法を用いた解き方の両方を確認する 発表でなく, 発言でも構わないので, 生徒の口から言わせるようにする かっこをうまくはずせない生徒には, 一緒に分配法則のやり方を確認させる かっこをはずして, 式を簡単にすればよいことに気づいたか 見方 考え方 式を簡単にした後, どちらの方法が解きやすいかを考させ, 選ばせる つの方法で解くことができた生徒には, もう一方の方法でも解かせる どんなに短い説明でも構わないので, 生徒に説明させる

7 < 予想される解き方例 > [ 加減法 ] どちらも, まずはかっこをはずし 2(x+y)=y+4 て式を簡単にし, その後それぞれ -2x+5y=8 2 の方法でつの文字を消去して解 より, 2x+2y=y+4 いていることを確認する 2x+y=4 ' 式を簡単にしてから, どちらかの '+2 方法で連立方程式を解くことがで 2x+ y=4 きたか 技能 +)-2x+5y=8 6y=2 y=2 y=2を' に代入して, 2x+2=4 2x=2 x= (x,y)=(,2) [ 代入法 ] 2(x+y)=y+4-2x+5y=8 2 より,2x+2y=y+4 2x+y=4 y=4-2x ' ' を 2 に代入して, 3x+2(4-2x)=7 3x+8-4x=7 -x=- x= x= を ' に代入して, y=4-2 y=2 (x,y)=(,2) 5 比較検討 分 3. 係数が分数の連立方程式の解き方を考 プリント える 問題 2 牛玖さんは 今度は次の連立 係数に注目させ, 分母をはらうと 方程式を解くことにしました 式が簡単になり, 能率的に解くこ でも どう解けばよいかわか とができることに気づかせる らず 困っています あなたなら どういう手順でこの連立方程式を解きますか? 2x+y= 2 x+ 3 y=2 2 考えた解き方を発表する 分母を通分する 分母をはらう 発表でなく, 発言でも構わないので, 生徒の口から言わせるようにする

8 式を簡単にした後, どちらかの方法で連立方程式を解く 生徒に黒板に書かせ 発表させる 加減法を用いた解き方と代入法を用いた解き方の両方を確認する つの方法で解くことができた生徒には, もう一方の方法でも解かせる どんなに短い説明でも構わないので, 生徒に説明させる < 予想される解き方例 > [ 加減法 ] 式を簡単にしてから, どちらかの 2x+y= 方法で連立方程式を解くことがで きたか 技能 2 2 x+ 3 y=2 2 6より, 3x+2y=2 2' 2-2' より, 4x+2y=2 -)3x+2y=2 x =-0 x=-0をに代入して, -20+y= y=2 (x,y)=(-0,2) [ 代入法 ] 2x+y= 2 2 x+ 3 y=2 2 6より, 3x+2y=2 2' より, y=-2x ' ' を2' に代入して 3x+2(-2x)=2 3x+2-4x=2 -x=0 x=-0 x=-0を' に代入して y=+20 y=2 (x,y)=(-0,2) 5 まとめ 分 4. 本時のまとめをする 複雑な連立方程式でも, かっこをはずしたり分母をはらうなど, まずは式を簡単にしてから計算をすればよい

9 いろいろな連立方程式の解き方 2 年組番氏名 連立方程式には ( ) 法と ( ) 法の2 通りの解き方があり, どちらかの方法で つの文字を ( ) すればよい 本時のめあて : いろいろな連立方程式を工夫して解くことができる 問題 牛玖さんは, 次の連立方程式を解こうとしています あなたが牛玖さんなら, どういう手順でこの連立方程式を解きますか? 2(x+y)=y+4-2x+5y=8 2 まず,( ( ) 法 ( ) 法 ) よい 問題 2 牛玖さんは, 今度は次の連立方程式を解くことにしました でも, どう解けばよいか分からず 困っています あなたなら, 牛玖さんにどういうアドバイスをしますか? 2x+y= 2 x+ 3 y=2 2 まず ( ( ) 法 ( ) 法 ) よい