i x- p

Transcription

1 3 3

2 i x- p Hermite Fock p- x Shrödinger Heisenberg Shrödinger Heisenberg Heisenberg Klein-Gordon Klein-Gordon Klein-Gordon Dirac Dirac Dirac Dirac Klein-Gordon Green

3 ii Schrödinger Schrödinger Klein-Gordon Schrödinger Bose Schrödinger Fermi Klein-Gordon Klein-Gordon a, a T Green Dirac Heisenberg Schrödinger ϕ T Wick Feynman Rule Feynman : Feynman Rule Maxwell

4 Feynman Rule Coulomb Feynman ϕ Counter-term Schwinger Model iii

5 ... E = hν, p = h.) λ ν λ ψ = Ae πi x νt) λ.) E = hν i h t, p = h λ i h x.3) Hx, p) i h t ψ = H x, i h ) ψ.4) x ψ ψ ψdx d dt ) ψ ψdx = = ψ ) ψ ψ + ψ t t ) i h Hψ Hψ) ψ + ψ Hψ)) = i h )) ψ + ψ Hψ i h i h ψ t = Hψ Hψ) ψdx = ψ Hψ)dx.5)

6 .. [ )] x exp πi λ νt [ ] ī exp h px Et) [ ] [ ī ī ψx + x, t + t) = exp h p x E t) ψx, t) = exp p x ) ] h t E t ψx, t).6) p x ) t E p dx dt H 位相 ゆるやかな変化 ) 経路の変化 出発点 古典的経路 到着点 古典的に許されない経路 位相 はげしい変化 ) x, t ) x, t ) x, t ) p dx ) dt H dt on-shell off-shell

7 x x + ) cos x x = x x = x = このあたりと この部分の積分が答えの大部分 のグラフ このあたりの積分はどうせゼロになる... ψ x, t) ψ x, t) ψ ψ x, t) ψ x, t) ψ x 3, t). ψ x N, t) N x, x,, x N N = 4 ψ 3 4.7)

8 4 C ψ Cψ ψ 5 Hermite ψ x, t), ψ x, t), ψ x 3, t),, ψ x N, t)).8) V N V N ψ x n, t)ψ x n, t) n= ψ x, t)ψ x, t)d 3 x.9) V ψ x, t) V, ψ x, t) V, ψ x 3, t) V,, ψ x N, t) V ), ψ x, t) V ψ x, t) V ψ x 3, t) V. ψ x N, t) V.) V V a ψ ) ψ ) ψ ψ ψ ψ ψ ψx) A A = A x, A y, A z )) A = A r, A θ, A ϕ )) 5 ray)

9 .. 5 A A A = A x e x + A y e y + A z e z A x, A y, A z ) e x, e y, e z e i e j ) = δ ij i, j = x, y, z) i, j ) ) e r, e θ, e ϕ ) A A x e x +A y e y +A z e z A r e r +A θ e θ +A ϕ e ϕ A x A e x A x = e x A) A = e x e x A) + e y e y A) + e z e z A).) A A x = A r e x e r + A θ e x e θ + A ϕ e x e ϕ.) A, e x, e y, e z, e r, e θ, e ϕ A x = e x A e x A.).) A = e x e x A + e y e y A + e z e z A.3) e x A = e x e r e r A + e x e θ e θ A + e x e ϕ e ϕ A.4) e x e x + e y e y + e z e z =.5) e r e r + e θ e θ + e ϕ e ϕ =.6) a a a =.7) ϕ m ϕ n = δ mn.8)

10 6 { ϕ, ϕ,, ϕ N } x.., x..,, x i..,, x N.. x x ψx) V ˆx ) ˆx x = x x.9) ˆx x- ˆx ˆx = x x x 3.. x N.) x ˆx x ˆx x x x = x x x = δx x ).) x = x x x x = x 6 x x x =.) 6

11 .. 7 x x x x = x.3) x x = δx x ) x x x x x = p = x p.) e x, e y, e z A = A x e x + A y e y + A z e z.4) ψ x ψ = x ψx)d 3 x.5) x x ψ = ψx).6) ψ = x x ψ d 3 x.7) x d 3 x x x =.8) x 7 ψx) ψ x ψ A x, A y, A z ) ψx) [x, p] = i 8 tr xp px) trxp) trpx) trxp) trxp) = tri) = tri) = tri).9) trab = trba [x, p] = i 7 8 h =, c = [x, p] = i h h

12 8 AB = I BA = I A =, B =.....3) A, B a, a.. x- p- ˆp p ˆp p = p p.3) p p [ˆx, ˆp] = i.3) x ˆp x x [ˆx, ˆp] x = i x x x ˆxˆp ˆpˆx x = iδx x ) x x ) x ˆp x = iδx x ).33) δ- 9 x dδx) dx = δx).34) x ˆp x = i x δx x ).35) x ˆp = i x.36) x ˆp x = i x x.37) ˆp x = i x x δx x ) x = x 9 fx)

13 .. 9 x ˆp p = p x p = i x p.38) x x p = π e ipx.39) p- x- p ψ = dx p x x ψ = dx π e ipx x ψ.4) x ψ = dp x p p ψ = dp π e ipx p ψ.4) Fourier x Ψ = δx) p Ψ..3 A Φ, Ψ Φ A Ψ = Ψ A Φ ).4) A A A Ψ A Φ ) = Φ A Ψ.43) A A = A Φ A Ψ A Φ, Ψ) A A Ψ = a Ψ Ψ A Φ = b Φ Ψ a b Ψ Φ =..4 Hermite x- p- Hermite dxh m x)h n x)e x dx = π n n!δ mn.44) p p = δp p ) π dx x x =

14 x H n = πn n! H nx)e x.45) H n H m H n = dx H m x x H n = δ mn.46) H n Hermite H n H n =.47) n= Hermite H n m =, ω = H = ˆp + ˆx.48) H H n = n + ) H n.49) x H H n = x ˆp + ) ˆx H n = ) d + dx x x H n.5) x- p- ˆx, ˆp H n Laguerre

15 ) [a, H] = ca.5) [ a, H ] = ca.5) c E E a Ha E = Ha a H + a H ) E = ca + a E ) E.53) = c + E)a E c E E a Ha E = Ha ah + ah) E = ca + ae) E = c + E)a E.54) c a = a = N ˆx + Aˆp).55) N, A [ˆp, Ĥ ] = iˆx, [ˆx, Ĥ ] = iˆp.56) [ a, Ĥ ] = in Aˆx + ˆp).57) c N ˆx + Aˆp)) c = ia, ca = i.58) [A, B]) = [ B, A ]

16 A = A = ±i c = ± c A = i, c = N a = N ˆx + iˆp).59) a = N ˆx iˆp).6) [ a, a ] =.6) a, a [ a, a ] = NN.6) N = N a = ˆx + iˆp).63) a, a H = a a +.64) a ) n n =,,, 3, ).65) n a m a ) n = n!δ mn.66) n = n! a ) n.67) n n Fock Fock Fock ) x- p-

17 Fock p- x- Fock x- x- a = i x + ).68) x x- x ) x + x x =.69) ) 4 x = e x.7) π = dx x x = convention Fock coherent a a z = z z.7) z z = Nz)e za.7) Nz) z c- a z z = N z) e z a z = N z) e z z z = N z)e z z Nz )e z a = N z)nz )e z z d z z z = d z z z = a ) n d z z z a ) n = a ) n d z z N z) e z a z ) n = a ) n d znz)e za N z)z ) n = a ) n.73).74) z = re iθ z π π drr dθ dθz n z ) m = πr n δ mn Nz) θ

18 4 Nr) z z e za n! zn a ) n π drnr)nr) n! rn+ a ) n = a ) n.75) dr Nr)) r n+ = n! π n Nr).76) dxx n+ e x = n!.77) 3 Nr) = π e r.78) z = π e z +za.79) x- x Fock.63) ˆx = a + a ).8) e a ) + a x.8) ae a ) + a x = a + x ) e a ) + a x.8) ˆx x = x- ˆp p = π ) 4 e a ) + a x x.83) π ) 4 e a ) +i a p p.84) p.84).83) Fourier.84) Nz)N z) θ 3 α > dxxe αx = α α

19 .4. Shrödinger Heisenberg 5.4 Shrödinger Heisenberg.4. Shrödinger Schrödinger i ψt) = Ĥ ψt).85) t ψt) t ˆx ˆp.85) ψt) = e iĥt t ) ψt ).86) e ihδt δt H exp exp exp A = n= n! An = + A + A + 3! A3 +.87) H a H 3 a e i 3 t a λ e i t + λ e i 3 t a + λ e i 5 t a ) +.88) λ n.4. Heisenberg ψ e iĥt ψt).89) ψ ψt = ) ) ψt) Â ψt) ψ t ) ψt) Â ψt) = ψ eiĥt Âe iĥt ψ.9) ψt) ψ Â Ât) = e iĥt Âe iĥt ψt) Â ˆB ψt) = ψ } e iĥt Âe {{ iĥt }} e iĥt ˆBe {{ iĥt } ψ.9) Ât) ˆBt)

20 6 ψt) Schödinger ψ Heisenberg Heisenberg ˆxt) = e iĥtˆxe iĥt.9) t d ˆxt) = iĥ ˆxt) Ĥ ˆxt)) = i[ĥ, ˆxt)].93) dt Aˆp, ˆx) d Aˆp, ˆx) = i[ĥ, Aˆp, ˆx)].94) dt Heisenberg A ˆp, ˆx d ˆp) ˆp = i[ĥ, ˆp] = Hˆx,.95) dt x d Hˆx, ˆp) ˆx = i[ĥ, ˆx] =.96) dt p 4 e A Be A = B + [A, B] + [A, [A, B]] + [A, [A, [A, B]]] +.97) 3! e iht Be iht = B + [ih, B] t + [ih, [ih, B]] t + 3! [ih, [ih, [ih, B]]] t3 +.98) e iht Be iht t [ih, ] d dt.4.3 Heisenberg Schrödinger Schrödinger i ˆp ψt) = ψt).99) t m p- p m p i p ψt) = Ce m t.) p p i p, t S = p e m t.) 4 Hˆx, ˆp) H x p p x, p ˆx, ˆp

21 .4. Shrödinger Heisenberg 7 S p, t p, t S = δp p ) ) p i Ψ, t = dpfp) p e m t.) Ψ, t Ψ, t = dpdp p, t p, t f p)fp ) = dp fp) =.3) 5 t = x = x α; x =, t = = e πα) α x.4) 4 p p α; x =, t = = πα) 4 = = π π πα) 4 ) α 4 e α p π dxe ipx e α x dxe α p e α x+iαp).5) Schrödinger Heisenberg Heisenberg Heisenberg Schrödinger t p- H p- p m x- p e ih t α; x =, t = = ) α 4 e α p p i e m t.6) π x e ih t α; x =, t = = ) α 4 dpe ipx e α p p i e m t π π = ) α 4 dpe α+i t m p x) i α+i t m e α+i t x m π π = α π ) 4 α + i t m e α+i t x m.7) ) π p e ax = a a 5.) fp ) = δp p).3)

22 8 ) α x α x α e + t π α + t m m Heisenberg t.4) xt) xt) = α; x =, t = e i ˆp tˆx m ˆp i e m t α; x =, t = = dp α; x =, t = p e i p m t p ˆx ˆp i e m t α; x =, t = = = = dp α; x =, t = p e i p m t i ) p i e m t p α; x =, t = p ) α dpe α t i m)p i ) e α t +i m)p π p ) α dpe α t i m)p α + i t π m = α + i t m = α + t mα ) α + α + i t ) ) m ) p + α + i t m ) ) e α t +i m)p.8) Schrödinger Heisenberg Schrödinger minimal packet Green ψt ) t ψt) x- x ψt) = dx x e iht t) x x ψt ).9) Gx, t; x, t ) = x e iht t ) x.) Green t x t x Green i t + H ) e iht t ) =.) i t + H ) Gx, t; x, t ) =.)

23 .4. Shrödinger Heisenberg 9 t > t t t explicit θt t ) i t + H ) [θt t )e iht t ) ] = i dθt t ) e iht t) + θt t ) i t ) dt + H e iht t ) = iδt t ) θx) dθx) δx) dx x x = δx x ) i t ) + H Gx, t; x, t ) = iδt t )δx x ) ) t + ih Gx, t; x, t ) = δt t )δx x ) Green.3).4) D DG x, x ) = δ x x ).5) D Green Gx, t; x, t ) + ih Green t Green DΦ x) = Φ x) = ρ x) d x G x, x )ρ x ).6) D G D D Green Green ) = δ x x ).7) 4π x x V x) = ρ ε 4π x x V x) = d x ρ x ).8) 4πε x x q q 4πε r = 4πr

24 Green = 4πr.4.4 Heisenberg Heisenberg a, a at) = e iht ae iht, a t) = e iht a e iht.9) H = a a + [ih, ] i [ih, a] = [ ia a, a ] = ia.) e iht ae iht = a + [ih, a] t + [ih, [ih, a]] t + 3! [ih, [ih, [ih, a]]]3 + = a + a it) + a it) + 3! a it)3 + = ae it.) at) a t) = a e it xt) = at) + a t)) = ae it + a e it) = x + ip)e it + x ip)e it) = x cos t + p sin t.) t = Heisenberg xt) Schrödinger x Heisenberg 6 pt) = p cos t x sin t d dt xt) = pt), d pt) = xt) Heisenberg dt 6 Heisenberg Schrödinger x p xt) = x cos t + p sin t

25 Green Green q i, t i ) q f, t f ) q f, t f e iht f t i ) q i, t i.3) Schrödiger q i, t i t i ˆq q i ˆq q i, t i = q i q i, t i.4) 7 q i, t i t i q i H t f e iht f t i ) q i, t i q f, t f t f q f q f, t f path integral) δt N e iĥt f t i ) = e iĥδt I= δt = t f t i N ).5) t i, t i + δt, t i + δt,, t f δt, t f N + dq I q I q I =.6) 7 Heisenberg q f tf q i ti qi ti t i ˆqt i ) ˆqt) ˆqt) Heisenberg ti

26 q I ˆq q I = q I q I.7) q I I q I e iĥδt dq N dq I dq dq q f e iĥδt q N q N e iĥδt q N q I+ e iĥδt q I+ q I+ e iĥδt q I q I e iĥδt q I q 3 e iĥδt q q e iĥδt q q e iĥδt q i.8) q = q i q N = q f q I+ e iĥδt q I.9) 8 Ĥ ˆp, ˆq ˆq q I q I+ q I q I+ ˆq ˆp Ĥ ˆq q I 9 ˆp ˆpt i + Iδt) p I dp I p I p I.3) e iĥδt Ĥ ˆp p I Ĥ Hp I, q I ).9).39) q p = π e ipq π dp I q I+ p I e ihp I,q I )δt p I q I.3) ) dp I e i q p I+ q I I ihp δt I,q I+ ) δt δt q I q I+ δt q f, t f e iĥt f t i ) q i, t i = DpDq = N I=.3) = dq dt DpDqe i p dq dt H)t f t i ) dp I dq I π.33).34) N N qt i ) = q i, qt f ) = q f 8 Heisenberg e iĥδt q I+ qi 9 ˆp ˆq ˆq q I + q I+

27 .5. 3 H = p + V q) m ) DpDqe i p q p m V q) = DpDqe i p m q) m ) + m q V q).35) p N N Dqe i m q V q)).36) exp i ) I e ii I I.5. p- ˆp i p f e m t f t i ) p i = e i p f ) m t f t i ) δp f p i ).37) x- ˆp i x f e m t f t i ) x i = π = π = dpe ipx f x i ) p i e m t f t i ) dpe i tf ti m ) p m x t f t f x i ) i e i m t f t i ) x f x i ).38) m m πit f t i ) e i t f t i ) x f x i ) xt) x i, x, x,, x N, x N, x f N + x i, x f N ẋ = x j+ x j δt = δt t f t i N + ) e i N xj+ ) x j mẋdt δt δt.39) e im j= p

28 4 x = x i, x N+ = x f dx dx dx N x dxe iax x ) +ibx x ) iπ ab = a + b ei a+b x x ).4) dx e i m δtx i x ) x x ) ) = iπδt m m e i 4δt x i x ).4) x m 3m ei dx e i m δt x i x ) +x x 3 )) = 4πδt 6δt x i x 3 ).4) x 3 x n m 4m ei dx 3 e i m δt 3 x i x 3 ) +x 3 x 4 )) = 6πδt 8δt x i x 4 ).43) inπδt N n + )m N iπδt i πδt i 3πδt inπδt m 3m 4m N + )m = iπδt m N +.44) x n e i m n+)δt x i x 4 ) ˆp i x f e m t f t i ) x i = N N iπδt m m N + ei N+)δtx i x f).45) N p p ) m m N+ πi N + N = N +)δt = πi t f t i ˆp i x f e m t f t i ) m m x i = πit f t i ) ei t f t i )x i x f).46)

29 5. Klein-Gordon.. Klein-Gordon E = p m + V E p c = m c 4 c =, h = E p = m E = i, p = i t x ) + }{{ t }} x {{ } e p ϕ = m ϕ.) Klein-Gordon ϕ = Ae i p x Et) E p = m ).) E ± p + m t = x η µν µ ν ϕ = m ϕ.3) η µν η =, η = η = η 33 = Minkowski E = p E p = m η µν p µ p ν = m.4) p µ i µ E = i t, p = i ϕ = Ae ipµxµ.5) D irac

30 6 ϕ t ϕ ψ.. Klein-Gordon ψ ψ ψdx Klein-Gordon i t ϕ ϕ ϕ t ϕ) d i dt ) t ϕ ϕ ϕ t ϕ) dx = i t t ϕ ϕ) t ϕ t ϕ)) dx = i t ) ϕ ϕ + t ϕ t ϕ t ϕ t ϕ ϕ t ) ϕ ) dx = i t ) ϕ ) ϕ ϕ t ) ϕ )) dx = i x ) m ) ϕ ) ϕ ϕ x ) m ) ϕ )) dx = i x ) ϕ ) ϕ ϕ x ) ϕ )) dx.6) Klein-Gordon Klein-Gordon ψ ψdx ϕ ϕdx ψ ψdx ) i t ϕ ϕ ϕ t ϕ) dx ψ ψdx x i ) ϕ ) ϕ ϕ x ) ϕ )) dx = i x x ϕ ) ϕ) x ϕ x ϕ x ϕ x ϕ)) + x ϕ x ϕ) dx.7) = i x x ϕ ) ϕ ϕ x ϕ))) dx i t t ϕ ϕ ϕ t ϕ) = i x x ϕ ) ϕ ϕ x ϕ))) dx.8) i t t ϕ ϕ ϕ t ϕ) = i x x ϕ ) ϕ ϕ x ϕ)).9) Noether

31 .. Dirac 7 ρ j ρ t = div j.) ρ = i t ϕ ϕ ϕ t ϕ).) j x = i ϕ x ϕ) x ϕ ) ϕ).) J µ = i µ ϕ ϕ ϕ µ ϕ).3) J = ρ, J = j x, J = j y, J 3 = j z ρ j x ) J = ρ, J = j x, J = j y, J 3 = j z µ J µ =.4) J J i. Dirac.. Dirac ψ ψdx Dirac ψ Dirac i µ γ µ ) ab mδ ab ) ψ b =.5) a, b ) ψ 4 γ µ 4 4 γ µ ) ab γ ν ) bc + γ ν ) ab γ µ ) bc = η µν δ ac.6) γ µ γ ν + γ ν γ µ = {γ µ, γ ν } = η µν.7) {A, B} = AB + BA γ γ γ = γ γ = µ, ν γ µ γ ν = γ ν γ µ Dirac Klein-Gordon i ν γ ν ) ca + mδ ca ) i ν γ ν ) ca + mδ ca ) i µ γ µ ) ab mδ ab ) ψ b = ν µ γ ν ) ca γ µ ) ab + im µ γ µ ) cb im ν γ ν ) cb m δ cb ) ψb = η µν µ ν m ) δ cb ψ b =.8)

32 8 ν µ γ ν γ µ = ν µ {γ ν, γ µ }.9) Dirac Klein-Gordon Dirac η µν µ ν m i µ γ µ ) ab mδ ab ) ψ γ- 4 4 a µ γ µ b ν γ ν = η µν a µ b ν + a µb ν [γ µ, γ ν ].) 4 /a = a µ γ µ Dirac i/ m) ψ =.) γ Hermite γ i Hermite γ γ i = γ i γ γ γ i = γ i ) γ γ i γ ) γ = ), γ i = ) σi σ i.) σ Pauli ) ) γ µ k k i σ i k µ =.3) k i σ i k k i = ) Dirac ) γ µ k m k µ m = k m.4) k = m ) k = m ).. Dirac Dirac ψx) = uk i, s)e iωt+i k x, ψx) = vk i, s)e iωt i k x.5) ω = ki + m u v u α k i, s), v β k i, s) s =, s Dirac γ µ k µ m)uk i, s) =, γ µ k µ + m)vk i, s) =.6)

33 .. Dirac 9 k = ω k a s uk i, s) = γ µ b k µ + m) s, vk i, s) = γ µ k µ m).7) a s b s ) as a b sa s + b sb s s s ) ) s.6) γ µ k µ + m)γ µ k µ m) = γ µ k µ m)γ µ k µ + m) = k m =.8) k i =, k = m) a s b u, s) = m s, v, s) = m a s b s.9).6) Dirac Klein-Gordon p Dirac p ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ, ψ, ψ3, ψ4) ψ ψ.3) ψ 3 ρ = ψ ψ j Dirac γ t ρ = ψ 4 γ iγ µ µ m)ψ = i t ψ + iγ γ k k mγ )ψ.3) t ψ = γ γ k k + imγ )ψ.3) t ψ ) ψ + ψ t ψ = γ γ k k + imγ ) ψ ) ψ ψ γ γ k k + imγ ) ψ = k ψ γ k) γ ) ψ ψ γ γ k k ψ = k ψ γ γ k ψ ψ γ γ k k ψ = k ψ γ γ k ψ ).33)

34 3 J k = ψ γ γ k ψ J = ψ γ γ ψ = ψ ψ.34) J µ = ψ γ γ µ ψ.35) ψ = ψ γ J µ = ψγ µ ψ.36) ρ J µ β = v c, γ = β ) x ) = γx βx ).37) x ) = γx βx ).38) J ) = γj βj ).39) J ) = γj βj ).4) J..3 J µ Dirac ψ η µν dx µ dx ν x µ x µ = x µ + ω µν x ν.4) ω µν η µν dx µ dx ν η µν dx µ dx ν = η µν dx µ + ω µµ dx µ ) dx ν + ω νν dx ν η µν dx µ dx ν = η µν dx µ dx ν + η µν ω µµ dx µ dx ν + η µν dx µ ω νν dx ν = η µν ω µµ + ω µ µ ) dx µ dx ν.4) ω µµ = ω µ µ ω µν 6 boost 3 ω µν ) 3 x = γx vt), t = γt v c x) boost x y z

35 .. Dirac 3 ω il z = ω x x = x + ω x = x ω x x x = x + ω x = x + ω x.43) ct x y z = ) iω L z θ ct x y z = exp [ iθl z ] ct x y z ct x y z.44).45) exp [ iθl z ] = exp θ θ = cos θ sin θ sin θ cos θ.46) ω 3, ω 3 ω x x = x + ω x = x ω x x x = x + ω x = x ω x.47) exp cosh θ sinh θ sinh θ cosh θ.48) cosh θ = γ, sinh θ = βγ cosh θ sinh θ = J µ = ψγ µ ψ ψ ψ = + ω µν S µν ) ψ.49)

36 3 S µν 4 4 ψ ψ = ψ ) + ω µν S µν.5) J µ ψγ µ ψ ψ + ω αβ S αβ) γ γ ) µ + ω αβ S αβ ψ.5) ω αβ ψ + ω αβ S αβ) γ γ µ + ω αβ S αβ ) ψ = ψ γ γ µ ψ + ψ ω αβ S αβ γ γ µ ψ + ψ γ γ µ ω αβ S αβ ψ = ψ γ γ µ ψ + ω αβ ψ.5) S ) αβ γ γ µ + γ γ µ S αβ ψ J µ J µ +ω µν J ν S αβ γ γ µ + γ γ µ S αβ = γ δ µ αγ β δ µ β γ α S αβ γ µ ).53) S αβ = 8 [γ α, γ β ].54) γ µ γ 8 [ γ α, γ β ] γ γ µ + γ γ µ 8 [γ α, γ β ] = 8 γ [γ α, γ β ] γ µ γ µ [γ α, γ β ]).55) S [γ α, γ β ] = [ γ α, γ β [γ α, γ β ] γ µ γ µ [γ α, γ β ] = γ α γ β γ µ γ β γ α γ µ γ µ γ α γ β + γ µ γ β γ α = γ α {γ β, γ µ } γ β {γ α, γ µ } {γ µ, γ α } γ β + {γ µ, γ β } γ α = 4γ α δ µ β 4γ βδ µ α.53) ψ ψ = ].56) + i ωµν S µν ) ψ.57) S αβ = 4i [γ α, γ β ].58) S = 4i [γ, γ ] = [ ) ) σ σ σ 4i σ σ σ = [ ) )] σ σ σ σ 4i σ σ σ σ ) σ σ )].59)

37 .. Dirac 33 σ σ = iσ 3 S = σ3 σ 3 ).6) ω ψ = + i )) σ3 ω ψ.6) σ 3 ψ = e i θ e i θ e i θ e i θ ψ.6) θ = π ψγ µ ψ ψ π..4 u a s b s ) ūk i, s)uk i, s ) = γ µ k µ + m ) γ γ µ k µ + m ) a s b s ) a s b a s s ) = γ γ µ k µ + m) b s a s b a s s ) = γ ) k + m + mγ µ b k µ s a s b s a s b s.63) γ i γ k = m mm + k )δ ss u m + k uk i, s) = a s b m + k ) γµ k µ + m) s.64)

38 34 ūk i, s)uk i, s ) = mδ ss.65) v ) vk i, s) = k m γµ k µ m) a s b s.66) k > m vv = mδ ss.67) u, v ūv, vu 4 u s, v s k Ψk) Ψk) = s Ψ s k)uk, s) + Ψ s k)vk, s)).68) Ψ s = mūk, s)ψ, Ψ s = vk, s)ψ m Ψ = uk, s)ūk, s)ψ vk, s) vk, s)ψ).69) m s m u s ū s v s v s ) =.7) s u, v ) u u m u s ū s = s 4mm + k ) γµ k µ + m) + γ γ µ k µ + m)γ.7) + γ a s a s b s ) b s s =.7) /k + m)/k m) = /k + m)/k + m) = /k + m)/k m + m) = m/k + m).73) /k + m)γ /k + m) = /k + m)k γ k i γ i + m)γ = /k + m)k γ k µ γ µ + m)γ = k /k + m).74) m u s ū s = s 4mm + k ) γµ k µ + m)m + k ) = m γµ k µ + m).75)

39 .. Dirac 35 v m s v s v s = m γµ k µ m).76) s u s ū s = /k + m, s v s v s = /k m γ γ γ 4 iγ γ γ γ 3 = γ 5 i ) γ 5 γ 5 ) = Dirac i/ ψ = γ 5 ψ γ 5 γ 5 = ) γ 5 = )..5 Dirac Dirac Dirac Dirac Dirac Dirac Dirac Dirac Dirac ψ ψ Klein-Gordon

40 36.3 Klein-Gordon.3. Klein-Gordon ϕx) ϕx) = π) d 4 pϕp)e ipµxµ.77) ϕx) x x, y, z, t) ϕp) pp, p, p, p 3 ), ) Klein-Gordon η µν µ ν + m ) ϕx) = π) d 4 p η µν p µ p ν + m ) ϕp)e ipµxµ =.78) ϕp) η µν p µ p ν m = p = p = p + m ϕp) ω = p + m p + m ϕp) = A p)δp ω) + B p)δp + ω).79) ϕx) = π) p A p) = d 3 p A p)e iωt+i p x + B p)e iωt+i p x).8) π ω a p), B p) = π ω b p).8) ϕx) = π) 3 d 3 p ω a p)e iωt+i p x + b p)e iωt+i p x).8) b p p ϕx) = π) 3 ϕ x) = π) 3 d 3 p ω a p)e iωt+i p x + b p)e iωt i p x).83) d 3 p ω b p)e iωt+i p x + a p)e iωt i p x).84) e iωt+i p x ) Klein-Gordon

41 .3. Klein-Gordon Klein-Gordon ϕ x, t = ) t ϕ x, t = ) ϕ x, t = ) =.85) ϕ x, t) ϕ x, ) = π) 3 d 3 p ω a p)e i p x + b p)e i p x) =.86) a p) + b p) =.87) a p) = b p) = ) b ϕx) t ϕ x, ) = ϕ x, t) = t ϕ x, t = ) = δ 3 x).88) x = ) ϕ t ϕ x, ) = i ω d 3 p a p)e i p x b p)e i p x) = δ 3 x).89) π) 3 π) 3 i ω a p) b p) ) = π) 3 d 3 pe i p x = δ 3 x).9) a p) b p) = π) 3 i π) 3 ω.9) a p) = b p) = i π) 3 ω.9) ϕx) = π) 3 d 3 p e iωt+i p x e iωt+i p x).93) ω ϕx) = J π ϵt)δx ) m m x ) 4π ϵt) m x x x.94)

42 38 x η µν x µ x ν = c t x y z > ct < x.4 Green D Dϕx) = DGx) = δx) Gx) D Green Klein-Gordon η µν µ ν m )ϕ = η µν µ ν m )ϕx) = Jx).95) Jx) source) ϕ Jx) ϕ Jx) Klein-Gordon Green η µν µ ν m )Gx) = δ 4 x).96) ϕx) = d 4 ygx y)jy).97) η µν µ ν m ) η µν µ ν m )ϕx) = d 4 y η µν µ ν m )Gx y)jy) = d 4 yδ 4 x y)jy) = Jx) Gx) = π) Fourier π).98) d 4 pgp)e ipx.99) d 4 xe ipx ) p m )Gp) = π).) Gx) = π) 4 dp 4 p m e ipx.)

43 .4. Green 39 で消える積分 p Klein-Gordon p = ± p + m < p < 計算したい積分 p Green で消える積分 e ip x = e ipt t > Imp ) t < Imp ) dp p m = p ) ω = ω p ω ) p + ω.) p = ω p = ω p = ω p = ω p = ω p = ω p = ω p = ω t < t < Green Green Green t > Green Green source t > p = ω t < p = ω Green Feynman t > p p = ω iϵ z=a dz fz) z a = πifa).3)

44 4 Gx) = i π) 3 d 3 p ω e iωx +i p x.4) πi πi t < πi.) Gx) = i π) 3 d 3 p ω eiωx i p x.5) t = x sourcejx) Jx) ϕx) ϕx) Jx) Jx) エネルギーは減っている ) エネルギーは増えている ) エネルギーは増えている ) 未来 J φ 正エネルギー ) J 再解釈 φ 負エネルギー ) φ 正エネルギー ) J J J J ϕ ϕ Feynman sourcejx)

45 field) E x, t) x E x, t) t div E x, t) = ρ ε, div B x, t) =, rot E x, t) = B x, t) t, rot B x, t) = µ j x, t) + D x, t) t 3.) ρ = j = ) µ ε t + E x, ) t) = µ ε t + B x, t) = 3.) c = µ ε hν z x E x ) c t E z x = 3.3) E x E x x, y, z, t) = π) 3 dk x dk y dk z E x k x, k y, k z, t)e ikxx+kyy+kzz) 3.4) ) c t ) dk z π) 3 x dk y dk z E x k x, k y, k z, t)e ikxx+kyy+kzz) = dk π) 3 x dk y dk z ) c t k z) E x k x, k y, k z, t)e ikxx+kyy+kzz) = 3.5)

46 4 3 ) c t k z) E x k x, k y, k z, t) = 3.6) t E xk x, k y, k z, t) = c k z ) E x k x, k y, k z, t) 3.7) d dt xt) = ω xt) 3.8) ω = ck z E x k x, k y, k z, t) xt) x p E H k x, k y, k z ) hω ) ψ x i t) p i t) i x i, p i ˆx i, ˆp i x ˆx i x i ˆp i = I h x i L = ) dx m dt kx p = L dx dt ) = m dx dt H = p dx dt = p m + kx A ϕ

47 dp dt = H x = kx, dx dt = H p = p m [ˆx i, ˆp j ] = δ ij I h t ψ = Ĥψ = m ˆp) + ) kˆx) ψ ϕ x, t) x ϕ dt q ) ω q 3.9) ) N N N q q q 3... q N N i= dt q i ) ω qi 3.) N x ) N i= dt q i ω qi ) Ω q i+ q i ) 3.)

48 44 3 q N+ = q N N L x = L N, x i = x i L N dx = lim x 3.) N i= q i = ϕx i ) x q i+ q i ) = ϕx i+ ) ϕx i )) x = ϕx i) x x) 3 3.3) N dt ϕx i ) ω ϕx i ) ) ϕ Ω x x 3.4) x i= x Ω Ω x ) Ω = k x dt dx ) ϕ ϕ k ω ϕ 3.5) x k =, ω = m Klein-Gordon m E p E = m p i) 3.6) E i t, p i i Schrödinger xi i t ψ = ) ψ 3.7) m x i e p i ) = m ) ) + ϕ = m ϕ 3.8) t x Klein-Gordon ϕ = Ce iωt+i k x + C e iωt i k x ω = k + m ) 3.9)

49 k = ) q p [qt), pt)] = i 3.) Klein-Gordon ϕx) ϕx) πx) L ϕ ϕx) [ϕt, x), πt, x )] = iδx x ) 3.) δ- 3.. Schrödinger Schrödinger Schrödinger x x x x x ± x x ) p p m p p p m + p m p p p p 3 m + p m + p 3 m... bose p {p, p,, p N } N

50 46 3 H = ωa a H = dpωp)a p)ap) [ap), ap )] = [ a p), a p ) ] =, [ ap), a p ) ] = δp p ) 3.) p p a p) m p p p m + p a p )a p ) m p p p p 3 m + p m + p 3 m a p )a p )a p 3 ).. ωp) p p m H H a p) [ ] a p), dp ωp )a p )ap ) = dp ωp )a p ) [ a p), ap ) ] = dp ωp )a p )δp p ) 3.3) = ωp)a p) a p) H ωp) p H = dpωp)a p)ap) ωp) H = ˆp p m p H ψ = dp p ψp) 3.4) p H dpdp ψ p ) p ˆp m p ψp) =. dp p m ψ p)ψp) 3.5) ψp) ap) ψ p) a p) H.

51 3.3. Schrödinger Klein-Gordon Schrödinger Klein-Gordon 3.3. Schrödinger Bose Poisson L = d 3 xψ i ) t H ψ, H = m Euler-Lagrange L ψ d ) L dt ψ = i t ) H ψ = L ψ d ) L dt ψ = i t ) H ψ = d dx 3.6) 3.7) Schrödinger H = d 3 xψ Hψ 3.8) H = d 3 pψ p) p ψp) 3.9) m ψp) ap), ψ p) a p) ψ ψ ψp) iψ p) [ψp), iψ p )] = iδp p ) 3.3) i [ ap), a p ) ] = δp p ) 3.3) a a p) p ) Schrödinger a ψ a ψ ap), a p) ψ, ψ ψt, x) t x ψ t, x) t x ψ t, x) t x ψ ψ ψ = R + ii R I ψ = R + i ) I

52 Schrödinger Fermi Schrödinger Bose a p )a p ) = a p )a p ) 3.3) a ψp, p ) Fermi {ap), ap )} = { a p), a p ) } =, {A, B} = AB + BA 3.33) { ap), a p ) } = δp p ) 3.34) a p)a p) = ap), a p) [ a p), ] dp ωp )a p )ap ) = = = ωp)a p) dp ωp )a p ) { a p), ap ) } dp ωp )a p )δp p ) 3.35) 3 fermionic Euler-Lagrange H = p q L p q, q ṗ = RH q, q = LH p bosonic Klein-Gordon Schrödinger Schrödinger Klein-Gordon Klein-Gordon 4 L = d 3 x µν ϕ ϕ η x µ x ν m ϕ ) 3.36) η µν 3.) H = d 3 x π ϕ ) x L = ) 3.37) ϕ d 3 x π + + m ϕ x i 3 [A, BC] = {A, B} C B {A, C} [A, BC] = [A, B] C + B [A, C]

53 3.3. Schrödinger Klein-Gordon 49 ϕ x, t) = π) 3 Fourier p d 3 p ϕ p, t)e i p x 3.38) η µν µ ν ϕ + m ϕ = 3.39) ) d ϕ p, t) = p + m ) ϕ p, t) 3.4) dt ϕ p, t) ± p + m ω = +ω, ω ϕ x, t) = π) 3 p + m d 3 p ω [ a p)e iωt+i p x + a p)e iωt i p x] 3.4) a, a ϕ a a Hermite ϕ ω a, a π x, t) = d ϕ x, t) = i dt π) 3 3.) ω [ d 3 p a p)e iωt+i p x a p)e iωt i p x] 3.4) [ a p), a p ) ] = δp p ) 3.43) Klein-Gordon a, a ϕ, π a p) a p) = ω π) 3 d 3 x [ϕx) + i ] ω πx) e i p x 3.44).63) Fourier ) a p) H = π) 3 d 3 p ω a p)a p) + ) 3.45) Klein-Gordon Klein-Gordon ϕ ϕt, x) a p) a p) x t

54 5 3 ϕx) ϕx) n ψ n ϕx) ϕx) x ϕx) ψ n = C ψ n+ + C ψ n 3.46) ) ϕ n n +, n n ϕ ) 4 ψ n x C = ψ n ϕx) ψ n 3.47) ψ ) T y x Schrödinger ψx)ψ y) 3.48) Klein-Gordon ϕx)ϕy) 3.49) 5 x y T ψx)ψ y)), T ϕx)ϕy)) 3.5) T Time-ordered product) T ϕx)ϕy)) = θx y ) ϕx)ϕy)) + θy x ) ϕy)ϕx)) 3.5) ϕ Fermi 3.5) T ϕx)ϕy)) = θx y ) ϕx)ϕy)) θy x ) ϕy)ϕx)) 3.5) i x H i ) x ) T ψx)ψ y)) = iδ 4 x y) 3.53) η µν µ ν m ) T ϕx)ϕy)) = iδ 4 x y) 3.54) 4 5 ϕy) ) ϕx) )

55 3.3. Schrödinger Klein-Gordon 5 i x H i ) x ) ψx) =, η µν µ ν + m ) ϕx) = ψ ϕ T θx y ) Schrödinger i θ x d i dx θx y )ψx)ψ y)+ d dx θy x )ψ y)ψx) = iδx y ) [ψx), ψ y)] 3.55) iδ 4 x y) Fermi Klein-Gordon ) θ ) θx y )ϕx)ϕy) + θx y ) ϕx)ϕy) ) 3.56) + ) θy x )ϕy)ϕx) + θy x )ϕy) ϕx) d θx) dx = δx) 3.57) d δx)fx) dx = d δx) fx) dx f) = ) 3.58) δx y ) [ϕy), ϕx)] ) 3.59) δx y ) x, y iδx 3 y 3 ) iδ 4 x y) D Dϕ = DGx, y) = δx y) Gx, y) Green T i x + H i ) x ) η µν µ ν + m ) Green i Klein-Gordon [ϕx), ϕy)] = = π) 3 π) 3 π) 3 d 3 p d 3 p d 3 [ q a p)e iω px +i p x + a p)e iωpx i p x, a q)e iωqy +i q y + a q)e ] iωy i q y ωp ωq d 3 q δ 3 p q) e iωpx +iω qy +i p x i q y e ) iωpx iω qy i p x+i q y ωp ωq d 3 p ω p e iω px y )+i p x y) e iωpx y ) i p x y) ) 3.6)

56 5 3 i x y) x y) = i π) 3 d 3 p ω p e iω px y )+i p x y) e iωpx y ) i p x y) ) x y x = y x y x y = x y = π) 3 d 3 p ω p e i p x y) e i p x y)) 3.6) p p Schrödinger x y Green Schrödinger Kx, y) = δx y) i y H i ) y ) 3.6) I = d 4 xd 4 yψ x)kx, y)ψy) 3.63) Klein-Gordon I = d 4 xϕx) η µν µ ν m ) ϕx) 3.64) x η µν x µ x ν Kx, y) δx y) y m ) 3.65) K 6 I = dx dyϕx)kx, y)ϕy) 3.66) K K K dykx, y)k y, z) = δx z) 3.67) Green K x, y) x, y K x, ) 6 K x y

57 3.3. Schrödinger Klein-Gordon 53 Schrödinger i x + m K x, ) = π) Fourier ) K x, ) = δ 4 x) 3.68) x d 4 pk p)e ipx 3.69) p m p )K p) = π) 3.7) K x, ) = π) 4 Klein-Gordon dp 4 p e ipx p m 3.7) x + m )K x, ) = δx) 3.7) K x, ) = π) Fourier x < x > d 4 pk p)e ipx 3.73) p m )K p) = π) 3.74) K x, ) = π) 4 dp 4 p m e ipx 3.75) p Schrödinger p = m p Klein-Gordon p = ± p + m < p < Green T Green Schrödinger T T ψ x)ψy)) x y > ψ x)ψy) ψ e ipx x > Imp ) x < Imp )

58 54 3 x < x < iϵ K x, ) = π) 4 dp 4 p m p + iϵ e ipx ϵ K x, ) = i π) 3 θx ) 3.76) d 3 p i pe m t+i p x 3.77) Klein-Gordon p m p m + iϵ m m iϵ T Green p T x > K x, ) = π) 4 d 4 p ω p ω ) e ip x e i p x 3.78) p + ω p x > Imp ) < p e ip x p = ω iϵ K x, ) = i π) 3 d 3 p ω e iωx +i p x 3.79) x > T i t < K K T K K Feynman Schrödinger Klein-Gordon

59 Schrödinger Dψ Dψe i d 4 xd 4 yψ x)kx,y)ψy) 3.8) Klein-Gordon Dϕe i d 4 xd 4 yϕx)kx,y)ϕy) 3.8) K T Feynman Klein-Gordon ϕx) ϕy) T T ϕx)ϕy)) Dϕϕx)ϕy)e i d 4 xl 3.8) T ϕx)ϕy)) dϕx) ϕx) ϕx) = 3.83) dπx) πx) πx) = 3.84) π 7 ϕx)ϕy) T T ) ) Dϕϕx)ϕy)e i d 4 x d 4 y ϕx )Kx,y )ϕy ) 3.85) generating function n Dϕe i d 4xJx)ϕx) e i d 4 x d 4 y ϕx )Kx,y )ϕy ) 3.86) J n i δ d δjy) ei 4xJx)ϕx) = ϕy)e i d 4 xjx)ϕx) 3.87) ϕx) δ i δjy) J = 3.86) J 3.86) n 7

60 56 3 exp d 4 xjx)ϕx) + d 4 x d 4 y ϕx )Kx, y )ϕy ) = ) ) d 4 x d 4 y ϕx ) + d 4 xk x, x)ϕx) Kx, y ) ϕy ) + d 4 xk y, y)ϕy) d 4 xd 4 yjx)k x, y)jy) 3.88) ax + bx = ax + b a ) b 4a ) ϕx ) ϕx ) d 4 xk x, x)jx) e i d 4 xd 4 yjx)k x,y)jy) Dϕe i d 4 x d 4 y ϕx )Kx,y )ϕy ) 3.89) J J N ZJ) = N e i d 4 xd 4 yjx)k x,y)jy) 3.9) i δ δjx) i δ δjy) ZJ) J= = ik x, y) 3.9) 3.4. Schrödinger x dx = x + C 3.9) ) =. fx) + gx) fx)dx + gx)dx afx) a fx)dx. fx)dx = x 3. fx)dx = fx y)dx 3.93)

61 fx) = a + bx 3.94) x bdx = 3.95) dxa + bx) = dxa + bx y)) 3.96) dxbx = b dxx 3.97) dxx ) dx =, dx x = 3.98) x =, x x = 3.99) ˆx ˆx x = x x 3.) x x = δx x ) 3.) dx x x = 3.) ) ˆη ˆη) = ϕ + ˆη ψ 3.3) +, ˆη + = 3.4) ˆη = + 3.5) ˆη = 3.6) ˆη + = 3.7)

62 B, + F + = + =, + + = = 3.8) + + = + F = ˆη B ˆη) = + F +, B ) = + F F + B + B 3.9) ˆη η F = η η F 3.) η F η F = + F + β B β ) ˆη + F = ˆη + F + β B ) = η + F + β B ) 3.) β + F = η + F + β B ) 3.) β = η 3.3) η F = ˆη η) B 3.4) hermite η B = F ˆη η) 3.5) η η = F ˆη η)ˆη η ) B = F ˆηη ηˆη + ηη ) B = F η ˆη ηˆη + ηη ) B = F η η) + F = + η η ) = η η 3.6) η η = δη η ) boson dη η F dη η B = η F dη η B = = ˆη η) B dη F ˆη η) + F η B ) dη + B F η) 3.7)

63 dη ) =, dηη = ηdη = η F dη η B = B + B + + F F = 3.8) η F dη η B = 3.9) η F dη η η = η F dηη η ) = η + η dηη = η 3.) trâ = dx x  x 3.) + F, B trâ = + B B + F  + F 3.) dη η  η F = dη F ˆη + η)âˆη η) B = F ˆη B + ˆη F B 3.3) = F ˆ + F + + B  B η η dxdx e ax x = a 3.4) a ) dxdx e ax x = π a π a Dψ Dψe i dxdyψ x)kx,y)ψy)+i dxj x)ψx)+ψ x)jx)) 3.5) 3.6) ψ, ψ )

64 6 3 ψ, ψ ψx) ψx) K x, y)jy), ψ x) ψ x) K x, y)j y) 3.7) i = i dxdyψ x)kx, y)ψy) + i dxdyψ x)kx, y)ψy) i dx J x)ψx) + ψ x)jx)) dxdyj x)k x, y)jy) 3.8) ψ, ψ N e i dxdyj x)k x,y)jy) 3.9) x µ x µ i)i =,,, ) Dϕ Dϕ = i dϕx µ i) ) 3.3) exp S Klein-Gordon ) S = δx)4 ) ϕxi) ) ϕx j) ) [±] ij m ϕxi) ) ) 3.3) δx [ij] i [ij] i j [±] ij i, j + δx)4 ) ϕx i) )ϕx j) ) 8 [±] ij δx [ij] δx + m ϕxi) ) ) 3.3) i 8 i dϕx i) )ϕx )ϕx )e i δx)4 [ij] [±] ϕx i) )ϕx j) ) ij δx 8 δx +m ) iϕx i) )) ) 3.33) { n = dxx n e ikx = Aik) n/ n )!! n = 3.34) 8 8 δx

65 A n ) 9 ) ϕx )ϕx )e i δx)4 [ij] [±] ϕx i) )ϕx j) ) ij δx 3.35) ϕx i) ) 4 ϕx ) ϕx ) ϕx ) x ϕx) x Nx ) ϕnx )) ϕnx )) ϕnnx ))) x ϕx) 4 6 non-zero ) 3 ϕx) 4 ) 3 3 ϕ 5!! = 5 6 x x ϕx) ϕ x x ) ϕ 3 9 n!! n nn )n 4) 4 nn )n 4) 5 3 double factorial

66 6 3 ) 3.5 Dirac 3.5. Dirac L = d 3 x [ i ψγ µ µ ψ m ψψ ] 3.36) ψ a = ψ b γ ) ab 3.37) i ψγ ψ = iψ αγ ) αβ γ) βγ ψ γ = iψ α ψ α 3.38) π ψ = L ψ r r l ) π ψ x) rl ψ = i ψx)γ = iψ x) 3.39) ψ ψ π ψ ψ ψ ψ {ψ α t, x), π ψβ t, y)} = iδ αβ δ 3 x y) 3.4) [x, p] = i [p, x] = i {π ψα t, x), ψ β t, y)} = iδ αβ δ 3 x y) 3.4) Heisenberg H = d 3 x [ π ψ ψ i ψγ µ µ ψ m ψψ ] = d 3 x [ i ψγ ] 3.4) i i ψ + m ψψ π ψ ψ π ψ ψ consistent Heisenberg i ψx) = [ψx), H] = d 3 y {ψx), ψ y)} [ iγ γ i i ψy) + mγ ψy) ] = iγ γ i i ψx) + mγ ψx) 3.43)

67 3.5. Dirac 63 γ iγ µ µ ψx) mψx) = 3.44) Dirac Dirac Fourier ψ α x) = π) 3 d 3 k k [ b k, s)uα k, s)e ikx + d k, s)v α k, s)e ikx] 3.45) ψ x) = π) 3 d 3 k k [ d k, s)v k, s)e ikx + b k, s)u k, s)e ikx] 3.46) {ψt, x), ψ t, y)} = π) 3 = π) 3 { b k, s), b k,s } = δss δk k ) 3.47) { d k, s), d k,s } = δss δk k ) 3.48) 3.49) d 3 k d 3 k [ uk, s)u k, s )e ikx+ik y + vk, s)v k, s )e ] ikx ik y k k ss δ ss δk k ) d 3 k [ uk, s)u k, s)e ikx y) + vk, s)v k, s)e ikx y)] k = π) 3 s d 3 k k s [ γ µ k µ + m)e ikx y) + γ µ k µ m)e ikx y)] γ uk, s)u k, s) = uk, s)ūk, s)γ,vk, s)v k, s) = vk, s) vk, s)γ uk, s)ūk, s) = γ µ k µ + m, s s k i k i π) 3 vk, s) vk, s) = γ µ k µ + m 3.5) d 3 k k [ γ k + γ i k i + m) + γ k γ i k i m) ] e ikx y) γ 3.5) [] γ k k γ ) = {ψt, x), ψ t, y)} π) 3 d 3 ke ikx y) = δ 3 x y) 3.5)

68 64 3 T ψx) ψy)) θx y ) ψx) ψy) θy x ) ψy)ψx) = θx y ) d 3 k d 3 k π) 3 bks uk, s)e ikx b k k k,s ūk, s )e iky ss θy x ) d 3 k d 3 k π) 3 dks vk, s)e iky d k k k,s vk, s )e ikx ss = θx y ) dk uk, s)ūk, s)e ikx y) π) 3 k s θx y ) dk vk, s) vk, s)e ikx y) π) 3 k s = θx y ) dk γ µ k π) 3 µ + m)e ikx y) k θx y ) dk γ µ k π) 3 µ m)e ikx y) [ k = iγ µ µ + m) θx y ) dk e ikx y) + θy x ) dk ] e ikx y) π) 3 k π) 3 k = iγ µ µ + m)ik x y) 3.53) T fermion consistent Klein-Gordon dx dy ψx)δx y) i/ m) ψy) 3.54) κ = δx y) i m) dxdy ψx)κx, y)ψy) κ ψ ψ i + m)k x y) κ i/ m)i + m)k x, y) = m ) K x, y) = δx y) 3.55) κ x, y) = i + m)k x y) T Green i Fermion S F x y) = iγ µ µ + m)k x y) S F x y) = π 4 ) d 4 p /p + m p m e ikx y) = π 4 ) d 4 p /p m e ikx y) 3.56) /p m

69 Heisenberg Schrödinger Heisenberg t Schrödinger Schrödinger ϕ S x) ϕ S x) = e iht ϕ H t, x)e iht 4.) Heisenberg ϕ H t, x) ψ ψ S t) = e iht ψ 4.) ϕ Ât) ψ Ât) ψ = ψ eiht e iht Ât)e iht e iht ψ = ψ S t) ÂS ψ S t) 4.3) H t Ht Ht )dt t i H = H F + H I 4.4) H F H I Schrödinger Heisenberg ψ S t) S = e ih F +H I )t ψ S t = ) 4.5) ψ H 4.6) Schrödinger ψt) I = e ih F t ψt) S 4.7) 4.7) i t ψt) I = i t e ih F t ψt) S ) = e ih F t H F ψt) S + ie ih F t t ψt) S 4.8) = e ih F t H F ψt) S + e ih F t H F + H I ) ψt) S = H I t) ψt) I

70 66 4 H I t) = e ih F t H I e ih F t ψt) I = T e i H I t)dt ) ψt = ) I 4.9) Heisenberg exp T H I t) H F e ih F t t = n tn ) T e ) i H I t)dt e ih It i +N t) t e ih It i +N ) t) t e ih It i + t) t e ih It i + t) t e ih It i ) t 4.) N t = t f t i ) t e ihit) t ih I t) t H I t) T Schrödinger e ih F t ϕt, x) I ϕt, x) I = e ih F t ϕ x) S e ih F t 4.) Heisenberg Heisenberg Schrödinger Heisenberg ϕ x, t) T e i H I t)dt ) Ut f, t i ) = T e i t f t i H I t)dt ) 4.) U exp H I t) e ϵ t H I t) 4.3) t ± t = ± Heisenberg ψ ) = in, ψ ) = out in- out- ϕ in, ϕ out in- out-

71 a 4.. ϕ 3 H I t) = g 3! d 3 xϕ 3 t, x) 4.4) H F Klein-Gordon ϕt, x) Free Heisenberg H I t) = g [ d 3 pd 3 q 3! π) 3 8ωp ω q ω p+q a p)a q)a p q)e iωp+ωq+ω p+q)t + 3a p + q)a p)a q)e iωp+ωq ω p+q)t + 3a p)a q)a p + q)e iωp+ωq ω p+q)t ] + a p)a q)a p q)e iωp+ωq+ω p+q)t 4.5) a a a ) a ) a a a a a a 4.6) aaa a aa hω a a a H F ϕ H F a a a H F + H I

72 68 4 H F H F H F + H I ih I t H I T e i H I dt ) H I a p)a q)a p + q)e iωp+ωq+ω p+q)t ω p + ω q + ω p+q t a p)a p)) p T Wick 4.5) Normal Product) ik x, x) T ϕ ϕx) = ϕx) +) + ϕx) ) 4.7) ϕx) +) ϕx) ) ϕx)ϕy) = ϕx) +) ϕy) +) + ϕx) ) ϕy) +) + ϕx) +) ϕy) ) ϕx) ) ϕy) ) 4.8) : ϕx)ϕy) := ϕx) +) ϕy) +) + ϕx) ) ϕy) +) + ϕy) ) ϕx) +) ϕx) ) ϕy) ) 4.9) ϕx)ϕy) : ϕx)ϕy) := [ ϕx) +), ϕy) )] 4.) ϕx)ϕy) : ϕx)ϕy) : = ϕx)ϕy) = [ ϕx) +), ϕy) )] 4.) T ik x, y) = T ϕx)ϕy)) = T ϕx)ϕy)) : ϕx)ϕy) : 4.)

73 T ik T ϕx)ϕy)) ϕx)ϕy) ϕx) ϕy) c T T ϕx )ϕx )ϕx 3 )) =: ϕx )ϕx )ϕx 3 ) : +ϕx ) ϕx )ϕx 3 ) +ϕx 3 ) ϕx )ϕx ) + ϕx )ϕx 3 ) ϕx ) 4.3) T Wick T ϕ ϕ ϕ n ) = ϕ k ϕ k ϕ k3 ϕ k4 ϕ km ϕ km : ϕkm+ ϕ km+ ϕ kn : 4.4) {,, 3,, n} {k, k, k 3,, k n } T ϕx )ϕx )ϕx 3 )ϕx 4 )) = : ϕ ϕ ϕ 3 ϕ 4 : + ϕ ϕ : ϕ 3 ϕ 4 : + ϕ ϕ 3 : ϕ ϕ 4 : + ϕ ϕ 4 : ϕ ϕ 3 : + ϕ ϕ 3 : ϕ ϕ 4 : + ϕ ϕ 4 : ϕ ϕ 3 : + ϕ 3 ϕ 4 : ϕ ϕ : + ϕ ϕ ϕ 3 ϕ 4 + ϕ ϕ 3 ϕ ϕ 4 + ϕ ϕ 4 ϕ ϕ 3 4.5) ϕx ) = ϕ ) T 4.. T e i H I dt ) g H I ) Og ) Og ) T i g ) ϕ 3 dx a, a 3! ig) Og ) ) T ϕ 3 x)d 4 x ϕ 3 y)d 4 y 3!3!! ϕ 6 C 4 C /3! = 5 ϕx) ϕy) 3! = 6 ϕx) 3 ϕy) 3 ϕx)ϕy) ϕ = 9

74 7 4 ik a) b) i 3! g i g dx dx dy K x, y) ) 3 4.6) dyk x, x)k x, y)k y, y) 4.7) x y x y K a) b) b) H I self-contraction H I self-contraction b) 3!, ) ) Og 3 ) Og) Og 4 )... ) H I self-contraction Og 5 ) 4..3 T ϕx)ϕx )e i H I dt ) g x x Og ) T ϕx)ϕx )) = ik x, x ) 4.8) propagator Og ) T ϕx)ϕx ) ig ) ϕy) 3 d 4 y 3!

75 4.. 7 Og ) T ϕx)ϕx )! I= ig 3! 5 dx I ϕx I )) 3 ) ) 4.9) a) x y g dx dy K x, x ) K x, y ) ) K y, y) b) x y g c) x y 4 g dx dy K x, x )K x, y )K y, y )K x, y) dx dy K x, x )K x, x )K y, y )K y, y) d) x y g K x, y) dx dy K x, y ) ) 3 e) x y 8 g K x, y) dx dy K x, x )K x, y )K y, y ) a) b) ) c) d) e) ) c) e) d) e) x y a) b) x x ) ) = T e ) i H I dt g Zg) = + g Z ) + g 4 Z 4) + Z Zg) = g Z ) + g ) 4 ) Z 4)) + 4.3) Gg) Gg) Zg) = G ) + g G ) + g 4 G 4) + ) Gg) = G ) + g G ) + g 4 G 4) + 4.3) Z g Z ) + g ) ) 4 ) Z 4) ) + ) = G ) + g G ) G ) Z )) + g 4 G 4) G ) Z ) + G ) Z ) ) Z 4) ) + 4.3)

76 7 4 g G ) G ) Z )) x y + x y + + x y + x y x y x a) y x b) y x y x = + x y ) d) e) c) y 4.3 Feynman Rule 4.3. Feynman : ϕx) ik x, y) ik ϕ 3 g n- n self-contraction K x, y) x y ) n i H I dt n H I ig n! 3! ϕ3 ϕ ϕ n! 3! n! 3! a) 3 3! x, y g 3!

77 4.3. Feynman Rule 73 3! ) i i g i K i ik ig. ik, ). ig J ) Feynman Feynman Rule 4.3. Og ), Og ) ik x, y) = π) 4 d 4 i p p m e ipx y) 4.34) g dx dy K x, x ) K x, y ) ) K y, y) = g d 4 x d 4 y d 4 i ) p π) 4 p m e ipx x d 4 i q π) 4 q m e iqx y ) d 4 i r π) 4 r m e irx y ) d 4 i y) s π) 4 s m e isy 4.35) Fourier x - y - δ π) 4 δp q r), π) 4 δq + r s) s- r- g π) 8 d 4 i p d 4 i q p m q m i i p q) m p m e ipx y) 4.36) d 4 i i q q m p q) m ) π) 4 d 4 i i p p m i)σp ) p m e ipx y) 4.37) Σp ) = ig π) 4 d 4 i q q m i p q) m 4.38)

78 74 4 q p µ p Og )... Σp ) π) 4 = π) 4 = π) 4 d 4 pe ipx y) i i iσp) p m N= p m d 4 pe ipx y) i p m iσp i )) d 4 pe ipx y) i p m Σp ) ) N p m 4.39) m m + Σp ) m m + Σp ) quantum correction) a p Feynman Rule n Gx, x,, x n ) Gp, p,, p n ) = dx dx dx n e ip x e ip x e ipnxn Gx, x,, x n ) 4.4) Fourier Gp, p,, p n ) 3 n Gp) π) 4 δ p i ) i= Gp, p, p 3,, p n ) = Gp n, p, p 3,, p n )π) 4 δ p i ) 4.4) i= G Feynman ik x, y) = π) 4 dp 4 i p m e ipx y) 4.4) 3 Fourier π

79 4.3. Feynman Rule 75 i π) 4 p m e ipx y) x, y x, x,, x n d x I K x I, y)e ip Ix I = i p I m e ip Iy 4.43) i p I m ig d 4 x π) 4 δ p) p i p m i π) 4 p m igπ) 4 δ p) N M M N N N N N M N + M N + π) 4 π) 4 N M Gp) π) 4 N M ) π) 4 i p m i p m ig d 4 p π) 4 Gp).. i p m

80 ig π) 4 d 4 p Gp) π) 4 δ p) Gx, x,, n ) = π) 4n d 4 p d 4 p d 4 p n e ip x e ip x e ipnxn Gp)π) 4 δ p) 4.44) 4 n π) 4 i i i Feynman Rule Gp) Gx) iπ) 4 δ p) 4.4 ϕ 3 e i g 3! d 4 xϕx) 3 J Z[J] = e i g 3! d 4 x i δ δjx )) 3 N e i Og ) ) 3 δ d 4 y δjx ) i d 4 xd 4 yjx)k x,y)jy) 4.45) ) 3 N e i d 4 xd 4 yjx)k x,y)jy) J= Z[J] = i g ) d 4 x δ! 3! i δjy ) 4.46) ϕx)ϕy) ik x, y) K ijk J J K 4.5 ϕ 3 L = iψ ψ t m ψ ψ + µϕ µ ϕ µ ϕ gϕψ ψ 4.47) 4 Fourier Fourier π) 4

81 ψ ψ- ϕ ϕ- i ψ t = m ψ + gϕψ 4.48) µ µ ϕ m ϕ = gψ ψ 4.49) 4.48) gϕ m 4.48) gϕ 4.49) source gψ ψ Kleing-Gordon gϕψ ψ ψ ψ- ψ ψ- ϕ ϕ- ψ ϕ 4.49) d 4 y δx y) µ µ ϕ m ) ϕy) = gψ x)ψx) 4.5) }{{} Kx,y) d 4 ykx, y)k y, z) = δ 4 x z) 4.5) K ϕx) = d 4 yk x, y)gψy)ψy) 4.5) 4.48) i ψx) t = m ψx) + g dyk x, y)gψ y)ψy)ψx) 4.53) ψx) x ψ- y ψ y)ψy) y 5 DψDψ Dϕ exp [ i h d 4 x iψ ψ t ψ m ψ + µϕ µ ϕ )] µ ϕ gϕψ ψ 4.54) 5 K x, y)

82 78 4 ϕ a + ab = a + b) b d 4 xd 4 yϕx)kx, y)ϕy) g d 4 xϕx)ψ x)ψx) = ) d 4 xd 4 y ϕx) g d 4 zk x, z)ψ z)ψz) Kx, y) g d 4 xd 4 yψ x)ψx)k x, y)ψ y)ψy) ϕ [ ī Dϕ exp h d 4 xd 4 y ϕx) g ϕy) g ) d 4 zk x, z)ψ z)ψz) Kx, y) ϕy) g ϕ N [ i N DψDψ exp h d 4 x iψ ψ t ψ m ψ g g d 4 xd 4 yψ x)ψx)k x, y)ψ y)ψy) 4.58) ψ x)ψx) = δ 3 x x ) + δ 3 x x ) 4.59) ) d 4 wk y, w)ψ w)ψw) 4.55) d 4 wk y, w)ψ w)ψw 4.56) d 4 xd 4 yψ x)ψx)k x, y)ψ y)ψy) 4.57) x x 4.59) x, y 4.58) g dx dy K x, x, y, x ) + K x, x, y, x ) + K x, x, y, x ) + K x, x, y, x ) ) 4.6) K x, x, y, x ) K x, x, y, x ) x x x x K x, y) g dx dy K x, x, y, x ) 4.6) )]

83 g dx dy K x, x, y, x ) g = dx dy d 4 k π) 4 k µ eik x y ) i k x x ) g = dx d 4 kδk π) 3 ) k µ eik x i k x x ) = g π) 3 dx d 3 k k µ e i k x x ) 4.6) K iϵ = = = = = d 3 k π) 3 k + µ e i k x x ) π π dkk dθ sin θ dϕ π) 3 k + µ e ik x x cos θ dkk dt π) k + µ e ik x x t i dkk e ik x x e ) ik x x π) x x k + µ i dkk π) x x k + µ e ik x x 4π x x e µ x x 4.63) g π dx 4π x x e µ x x 4.64) x x x x K K on-shell off-shell virtual e µ x x 4π x x ϕ- e µ x x Q 4πε r µ =

84 8 4 g g g

85 Maxwell div D = ρ 5.) div B = 5.) rot H = j + D t rot E = B t Maxwell 8 ) 5.3) 5.4) D = ϵ E 5.5) B = µ H 5.6) E, D, B, H µ = µ, ϵ = ϵ c = ϵ µ = A ϕ B = rot A 5.7) E = t A gradϕ 5.8) 5.) rot div = ) 5.4) 5.8) rot rot E = t rot A rot gradϕ = t B 5.9) 4 A, ϕ 4 4 3

86 Vector Potential A µ = ϕ, A x, A y, A z ) A µ = ϕ, A x, A y, A z ) 5.) F µν = µ A ν ν A µ 5.) F i = F i = F i = F i = i ϕ A i = E i 5.) F ij = ϵ ijk B k 5.3) F F F F 3 E E E 3 F F µν = F F F 3 F F F F = E B 3 B 3 E B 3 B F 3 F 3 F 3 F 33 E 3 B B Maxwell 5.) 5.4) 5.4) µ F νρ + ν F ρµ + ρ F µν = 5.5) F µν µ =, ν =, ρ = F + F + F = 5.6) B 3 + E E = 5.7) µ =, ν =, ρ = 3 div H = µ F µν = µ j ν 5.8) F + F + 3 F 3 = µ j ϵ dive = ρ 5.9) F + F + 3 F 3 = µ j E B B = µ j 5.) D H H = j Maxwell L = 4µ F µν F µν + j µ A µ 5.) Euler-Lagrange 5.8) A µ F µν A F A - F -

87 F µν = µ A ν ν A µ F µν A µ A µ A µ + µ Λ 5.) F Weyl A µ A µ Maxwell Maxwell A µ µ A ν µ ν A µ = j ν 5.3) ν ν ν j ν 4 5.3) 3 A µ A µ 4 A µ π A µ 3 A µ ) A ) Coulomb i A i = Lorenz µ A µ = n µ A µ = 5..4 p µ p µ + ea µ e m H = p i + ea i) ea m 5.4) dx i dt dp i dt = H p = p i + ea i) i m 5.5) = H x = e A j p j + ea j) + e A i m x i x i 5.6) 3

88 84 5 t d x i dt = dp i m dt + e Ai t + dx j ) e Ai x j dt m d x i dt = e A j p j + ea j) e A + e Ai m x i x i t + dx j e Ai x j dt = e Aj dx j x i dt + dx j e Ai x j dt + e A + e Ai x i t = e e i dx j ) + ϵ ijk dt Bk 5.7) p µ i µ µ µ iea µ e Klein-Gordon µ iea µ ) µ iea µ )ϕ = 5.8) iea µ iea µ ie µ Λ ie µ Λ A µ ie µ Λ ie µ Λ ϕ e ieλ ϕ ϕ e ieλ Λ µ iea µ )ϕ e ieλ µ iea µ )ϕ 5.9) Klein-Gordon Schrödinger Dirac ϕ e ieλ ϕ, ϕ e ieλ ϕ ) ϕ ϕ ϕ µ ϕ Λ Λ ) ϕ µ iea µ )ϕ Λ 4 D µ µ iea µ Λ ) Λ ) F µν [D µ, D ν ] = ie µ A ν ν A µ ) = ief µν 5.3) 4

89 ϕ D µ = µ + iea µ D µ = µ ie A µ D µ AB) = D µ A) B + A D µ B) 5.3) A, B ) AB A +B ABC e ie AΛ Ae ie BΛ Be ie CΛ C 5.3) e A + e B + e C = q Fermi I F REE = d 4 x iψ t ψ ) m iψ i ψ 5.33) ) I Charged = d 4 x iψ t iqa ψ ) m i + iqa i ) ψ i iqa i ) ψ 5.34) I EM = d 4 x ) 4 F µν F µν 5.35) i A i = õ Λ i i Λ = i à i 5.36) i i = x, y) = 5.37) 4π x y

90 Λx) = x, y) i à i y)d 3 y 5.38) Maxwell µ µ A ν µ ν A µ = j ν 5.39) i A i = ν A ν = i i A = j A = j 5.4) A A x, t) = d 3 y x, y)j y, t) 5.4) j j j A j = L ) j = qψ ψ A A = ϕ ϕ x, t) = d 3 y 4π x y j y, t) 5.4) j y, t) A x, t) A E i = i A A i ) A 4 F µν F µν = µ A ν µ A ν µ A µ ) ) 5.43) A ) A µ A i µ A i + i A i A ) 5.44) d 4 x µ A i µ A i A A ) 5.45) A d 4 x ) A A + A j 5.46) 5 ) x, y) = δ 3 x y) y x i

91 ) dtd 3 xd 3 y j x, t) x, y)j y, t) 5.47) j j i j i = L = iq ψ i iqa i) ψ i + iqa i) ψ ψ ) 5.48) A i m j µ A Noether J µ q µ j µ = 5.. ψ iψ Fermion ) {ψ x, t), ψ y, t)} = δ 3 x y) 5.49) A A i i A i = ) A i π i π i = L A i = t Ai 5.5) [ Ai x, t), π j y, t) ] = iδ j i δ 3 x y) 5.5) [ i A i x, t), π j y, t) ] = i j δ 3 x y) 5.5) [ Ai x, t), j π j y, t) ] = i i δ 3 x y) 5.53) A i i A i = A i x, t) = π) 3 d 3 ka i k, t)e i k x 5.54) k i A i k, t) = )A i A i k = k,, ) k x- δ ij δ i δ j = 5.55)

92 88 5 δ i δ j = 5.56) ) k k k k k ik j P ij = δ ij k ik j k 5.57) P ij P j k = P ik 5.58) ) ) [ A i x, t), π j y, t) ] = i π) 3 d 3 k δ ij ki k j k ) e i k x y) 5.59) Dirac A T A i x)a j y) ) = π) 4 d 4 k δ ij ki k j k ) i k e ikx y) 5.6) 5..3 H = H m + H EM + H I H m = d 3 x i ψ i ψ 5.6) m H EM = d 3 x π i π i + i A j i A j ) 5.6) H I = iq d 3 x A i ψ i ψ i ψ ψ) iqa i A i ψ ψ) m + q d 3 xd 3 yψ ψ x) x, y)ψ ψ y) 5.63)

93 H I ψ ψ ψ = λ ) H I q λ m A ia i 5.64) A i M = qλ m M A A µa µ A + Klein-Gordon µϕ µ ϕ + A A i µa i µ A i e Dirac Dirac I Dirac = d 4 x i ψγ µ µ ψ m ψψ ) 5.65) µ iea µ I int = d 4 x e ψγ µ A µ ψ 5.66) j j µ = e ψγ µ ψ 5.67) 5.66) j µ A µ Maxwell I gauge = d 4 x ) 4 F µνf µν = d 4 x µa ν µ A ν + ) µa ν ν A µ 5.68)

94 Coulomb 4 A 3 I gauge = d 4 x ) 4 F µνf µν = d 4 x µa ν µ A ν + ) µa ν ν A µ 5.69) π Aµ = δi gauge δ A µ = A µ + µ A 5.7) π A = A Coulomb A 5.4. I gauge = d 4 x µa ν µ A ν + ) µa ν ν A µ 5.7) µa µ ) Lorenz µ A µ = L gauge = µa ν µ A ν = µa µ A + 3 µ A k µ A k 5.7) k= Klein-Gordon A k Klein-Gordon 3 A Klein-Gordon [ ap), a q) ] = δp q) 5.73) A k A A µ a µ [ a µ p), a ν q) ] = η µν δp q) 5.74) µ =,, 3 µ = Lorenz 4 Klein-Gordon [A µ x), A ν y)] = iη µν K x, y) 5.75)

95 x µ [ µ A µ x), A ν y)] = iη µν x µ K x, y) 5.76) µ A µ = Lorenz a µ p)a µ p) = η µν δ) 5.77) µ = Coulomb i A i = ) A 5.4. I G.F. = ) α d 4 x B + B µ A µ 5.78) B Nakanishi-Lautrup α B µ A µ = α = Lorenz Landau ) π A = B 5.79) A A µ µ A ν µ ν A µ ν B = j ν 5.8) B αb + µ A µ = 5.8) B µ µ A ν α ) µ ν A µ = j ν 5.8) α = Feynman ) µ µ A ν = j ν 5.83)

96 9 5 Klein-Gordon B Lorenz µ A µ = Lorenz B = ) A ) B = µ A µ = ) Nakanishi-Lautrap B +) phys = 5.84) +) ) B +) B B αb + µ A µ = ) Gupta-Bleuler µ A µ+) phys = Gupta-Bleuler ) 5.85) phys µ A µ phys = 5.86) Lorenz [ µ A µ, ] = 5.84) 5.8) ν B ν ν B = 5.87) )Klein-Gordon B +) phys = 6 Lorenz A 4 Klein-Gordon A µ x) = π) 3 d 3 k ω aµ k)e ikx + a µ k)e ikx) 5.88) Lorenz Lorenz µ A µ = i d 3 k k µ a π) 3 µ k)e ikx k µ a µ k)e ikx) = 5.89) ω 6 B

97 ] k = k b k) = k a k) + k i a i k) ) 5.9) k b a k) = k a k) k i a i k) ) 5.9) k [ b k), b k ) ] = 5.9) [ a k), a k ) ] = 5.93) [ a k), b k ) ] = [ b k), a k ) ] = δ k k ) 5.94) 5.95) A 4 a T, a T a k i b, a k i a, a, a, a 3 ) a, b, a T, a T ) 5.96) a a a a 3 a - a a a 3 a b a T a T a b a T a T 5.97) a, b Gupta-Bleuler µ A µ+) phys = π) 3 k d 3 k b k)e ikx) phys = 5.98) b k) phys = 5.99) phys a b ) a phys = Φ + b k) ϕ + b k )b k ) Φ + 5.) b Φ n n =,,, ) b k) Φ Φ ak) Φ n n > )

98 94 5 a j µ A µ j µ µ j µ = k µ j µ k) = A µ k µ a a T, a T Feynman Rule Green T A µ x)a ν )) Klein-Gordon Green T ϕx)ϕy)) µ µ + m ρ ρ η µν α ) µ ν ) 5.) T A µ x)a ν )) = i K ) µν x) 5.) K ρ ρ η µν α ) µ ν ) K ) νλ x) = δ λ µ δx) 5.3) µ, ν d 4 xe ikx Fourier π) k ρ k ρ η µν ) K α )k µk ) νλ ν k) = π) δ λ µ 5.4) K ) νλ k) K x) Fourier π) d 4 xe ikx K ) νλ x) 5.5) 5.4) K k µ k ρ k ρ k ν ) K α )k µk µ k ) νλ ν k) = π) kλ 5.6) α k µk µ k ν K ) νλ k) = π) kλ 5.7) k ν K ) νλ k) = α π) k λ k 5.8) k ν K ) νλ k) 5.4) k ρ k ρ K ) λ µ k) α ) α π) k λ k µ k = k K ) λ k) = µ ) K λ k) = µ π) k π) δ λ µ 5.9) δ λ π) µ α) k µk λ ) 5.) k δ λ µ α) k µk λ k ) 5.)

99 K K x) Fourier ) K µν x) = d 4 k η π) 4 k µν + α) k ) µk ν e ikx 5.) k α = Klein-Gordon ) I G.F. α 5.8) Feynman Rule i η k µν + α) k ) µk ν 5.3) k Coulomb i A i = µ µ A µ A µ = j 5.4) µ A µ A µ µ A A = j 5.5) i i A = j 5.6) A = i i A = j 5.7) j x, y) = π) 3 A t, x) = π) 3 d 3 y d 3 k k ei k x y) 5.8) d 3 k k ei k x y) j t, y) 5.9) A L = µa ν µ A ν + µa ν ν A µ = µa ν µ A ν + A A = A i A i ia i A ia j i A j 5.) = A i A i ia j i A j j j

100 96 5 j A j j j j x x, y) = δ3 x y) 5.) x, y) = π) 3 d 3 k k eikx y) 5.) x y k z k x y) = k x y cos θ d 3 k = dkdθdϕk sin θ π π x, y) = dk dθ dϕk sin θ π) 3 k eikr cos θ 5.3) r = x y k ϕ θ t = cos θ π dθ sin θ = dt x, y) = dk dte ikrt = dk e ikr e ikr) 5.4) π) π) ikr ikr eikr e ikr ) k k [, ] x, y) = dk π) ikr eikr 5.5) e ikr k dk = πi 5.6) x, y) = 4πr 5.7) j 4πr A i [A i t, x), π j t, x )] = i δ ij i j ) δ 3 x x ) 5.8) i A i = div E = ρ i π i = ρ i A i

101 Dirac L int = ie ψγ µ A µ ψ ψ, ψ, A µ Klein-Gordon µ µ iea µ µ ϕ µ ϕ µ + iea µ )ϕ µ iea µ )ϕ = µ ϕ µ ϕ iea µ µ ϕ ϕ ϕ µ ϕ) + e A µ A µ ϕ ϕ 5.9) iea µ µ ϕ ϕ ϕ µ ϕ) e A µ A µ ϕ ϕ p k q p + k q ψ a p)a µ k) ψ b q)aν p + k q) ie) i η k µρ kµ k ρ ) ) ) i i M ρλ i k cd η /p m /q m p + k q) ac db νλ p + k q)ν p + k q) λ ) p + k q) 5.3) M ρλ cd ) M cd = γce ρ i γfd λ 5.3) /p + /k m ef ) M cd = γce λ i γ ρ fd 5.3) /q /k m ef

102 98 5 α- i η k µν + α) k ) µk ν α = k α α kµ k ν 5.3) k η k µρ kµ k ρ ) M ρλ k cd k ρ k ρ γ ρ = /k = /p + /k m) /p m) 5.33) /p m p Dirac /p m = /p + /k m M /p + /k m 5.3) k k ρ γ ρ = /k = /q m) /q /k m) 5.34) M 5.3) /q /k m k ρ M ρλ = Feynman p p+k p p+k k + q-p-k q q-k ) i e i /p m γµ /p + /k m) i e i /p m γµ /q /k m) i i /q m γν /p + /k m q bd ab ac q-k i k i q p k) η µν + α) k µk ν k ) ) i i /q m γν /q /k m cd η µν + α) q p k) µq p k) ν q p k) ) 5.35) ) p, p + k, q, q k a, b, c, d i η µν + α) k ) µk ν k k ) Feynman

103 Feynman 6.. d 4 p 6.) p m q p) m d 4 pp k 6.) p p k+4 6.) log p d 4 p 6.3) p m k p) m q k p) m p p [ p ] L c =, h = p = i x ) Klein-Gordon d D xη µν µ ϕ ν ϕ h = [ ) ϕ L D +] n [ T ϕx )ϕx ) ϕx n )) L n D +n] [ n ] L Dn δ D [ ] [ L D L n D +n D] n n [ ] [ ] Green L + L n [ L n D n D] ) g ϕ 3 g [ dx D ϕ 3 D g L 3] g 3! g N [ ] L N D 3N [ ] L n N) D n D+3N Fermion i ψ/ ψ [ ] ψ L D +

104 6 [ D = 4 ] L N+n 4 N = 4 Og 4 ) ) n = 4 4 ) n = n = N =,, 3 n = N =, N = D = 4 ϕ 3 [ ] g D = 4 L [ ϕ 3 D = 6 g ] L n 6 g n = 3 3 [ ϕ 4 g ] L D 4 D = 4 D = 4 [ L n 4 ] 4 ϕ 4 g ϕ ϕ 4 ) ϕ 4 g g g g Og) Og ) renormalizable) super-renormalizable)

105 6.. Feynman non-renormalizable) [ G ] L 4 Fermi g ψψ ψψ [ 4 g ] L 4 Fermi ) 6.. regularize) p p = Λ ) p m p m p M = M m p m )p M ) 6.4) M Pauli-Villars ) π) D d D p 6.5) p m Op D ) D D D ) p = m p p m + iϵ = ) ω p ω + iϵ p + ω iϵ ω p ω p = ω πi x=re iπ lim dx R x=r x 6.6) = πi 6.7) πi πi

106 6 πi πi πi dp p m + iϵ = πi 6.8) ω πi π) D p i = mx i 6.9) m D i π) D d D p 6.9) p + m dx D x + ) 6.) D π D )/ S D = ΓD )/) im D π D )/ π) D ΓD )/) r D dr r + ) 6.) r = tan θ + r = cos θ, dr = dθ cos θ m D n i 4π) D )/ ΓD )/) π dθtan D θ cos θ 6.) π dθ tan D θ cos θ = π π dθ sin D θ cos D θ sin m x cos n xdx = B m +, n + ) 6.3) m D D i 4π) D )/ ΓD )/) B, D ) 6.4) Bx, y) = Γx)Γy) Γx + y) m D i 4π) D )/ Γ )Γ D ) 6.5) π) D D d D p p m = ) im 4π) Γ D D/ ) 6.6)

107 6.. Feynman 3 p = ip D d D p π) D p m = i d D p 6.7) π) D p m d D p p d D p = dp dp dp D, p = p ) p) d D p = dp dp dp D, p = p) + p D ) D D S D = πd/ ΓD/) i d D p π) D p m = π D/ imd π) D ΓD/) dr rd r + π) D = π dθ tan D θ = = B D, D π ) = Γ D dr rd r + dθ sin D θ cos D θ ) ) Γ D Γ) 6.8) 6.9) d D md D p = i Γ ) 6.) p m 4π) D/ m n D n )! d D p π) D p m ) = ) n n im 4π) D D/ )D ) D n + )Γ D ) 6.) nγn) = Γn + ) π) D D n d D p p m ) = m ) n i )n 4π) D/ Γn) Γn D ) 6.) n n =, D = 4 ϵ π) 4 ϵ d 4 ϵ p p m = i m ϵ Γ + ϵ 4π) ϵ ) 6.3) Γ + ϵ ) = Γ ϵ ) ϵ = Γ + ϵ ) ϵ ) ϵ 6.4) ϵ + O) ϵ ) Γ + z) = zγ + [ γ + ζ) ] z + Oz 3 ) 6.5)

108 ϕ Counter-term 4 ϕ 4 m g ϕ 3 L = µϕ µ ϕ m ϕ 4! gϕ4 6.6) m, g 4 ϕ 4 4 g g Feynman Og) 4 Feynman i ig d D i i q 6.7) p m π) D q m p m i p m e n = D = 4 ϵ g d 4 ϵ q π) 4 ϵ q m = ig m ϵ Γ + ϵ 4π) ϵ ) 6.8) γ + ϵ ) = ϵ + O) igm 4π) ϵ 6.9) gm 4π) ϵ ϕ 6.3) ϕ Feynman 6.9) 6.3) m m + gm 4π) ϵ

109 6.. ϕ 4 5 Og) Og) )m m + gm 4π) ϵ lim ϵ [ m + gm 4π) ϵ g m ϵ Γ ϵ ] 4π) ϵ ) = m g γ + log m 4π 3π ) 6.3) counter term minimum subtraction) m m + ) λ ) Og ) 4 Og ) 4 Og) ) g ) 4 a) b) c) a) i i ig) p m p m π) D d D i i q p + p q) m q m i p 3 m i p 4 m 6.3) g π) D d D q 6.33) P q) m q m

110 6 6 P = p + p b) P = p + p 3 c) P = p + p 4 g dx π) D AB = dx [Ax + B x)] 6.34) d D q [P q) m )x + q m ) x)] 6.35) q pqx + p x m q q q + px g dx d D q π) D [q + P x x) m ] 6.36) g i 4π) ϵ Γ ϵ ) dx [ m p x x) ] ϵ 6.37) i g 4π) ϵ = i g 4π) ϵ 6.38) g 4! 4π ϵ 6.39) ) Og ) a) b) c) d) 4 ) a) b) d) O ) counter term ϵ

111 6.. ϕ 4 7 c) g 3! i p m π) 8 d 4 q d 4 i r q m i r m i i 6.4) p q r) m p m g 64π) Γ + ϵ) dx 4 ϵ dx dx 3 δx + x + x 3 ) x x + x x 3 + x 3 x ) ϵ [ ] m x x x ϵ 3 p x x + x x 3 + x 3 x g 64π) ) 4 ϵ dx dx dx 3 δx + x + x 3 ) [ x x + x x] 3 + x 3 x ) m x x x 3 p x x + x x 3 + x 3 x 6.4) 6.4) p p K µ ϕ µ ϕ 6.43) µ ϕ µ ϕ ϕ ϕ Zϕ ϕ L c.t. = δm ϕ + Z ) µ ϕ µ ϕ 4! δgϕ4 6.44) counter term L = µ ϕ µ ϕ m ϕ 4! gϕ4 6.45) L = Z µ ϕ µ ϕ m + δm ) ϕ 4! g + δg) ϕ4 6.46) Zϕ Φ L = µ Φ µ Φ m + δm ) Φ ) g + δg Φ ) Z 4! Z Og ) g, m, Z ) consistent supersymmetry boson fermion

112 8 6 supersymmetry string ) 33 cm) ) ) regularization ) 6.3 Schwinger Model 6.3. Schwinger Model e [ d x 4 F µν F µν + i ψγ ] µ µ iea µ ) ψ 6.48) γ- γ = ), γ = ) 6.49) γ 5 γ 5 = γ γ = ) 6.5) γ 5 γ µ γ 5 = ϵ µ νγ ν 6.5) ϵ µν ϵ = ϵ =, ϵ = ) F µν non-zero chiral F = A A 6.5) ψ e ieθ ψ 6.53) A µ A µ + µ θ 6.54) ψ e ieθ 5γ 5 ψ 6.55) A µ A µ + ν θ 5 ϵ ν µ 6.56)