ワースペクトルの離散フーリエ逆変換として以下の式で与えられる XkY k rm IDFT Xk Y k 信号の位相スペクトルが変量確率分布に従う場合の POC 関数の統計的性質 3 3. 著者らのグループがこれまでに行ってきた POC 関数の XkY k W mk Xk Y k 統計的解析では

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こうだいごちょう
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1 第30回信号処理シンポジウム 05年月4日 6日いわき変量確率分布に従う位相スペクトルをもつ信号間の位相限定相関関数の統計的性質 Statistical Properties of Phase-Only Correlation Functions Between Two Signals With Phase Spectrum Following Bivariate Probability Distributions 鈴木亮八巻俊輔川又政征吉澤誠東北大学大学院工学研究科東北大学サイバーサイエンスセンター Ryo Suzuki Shunsuke Yamaki Masayuki Kawamata Makoto Yoshizawa Graduate School of Engineering, Tohoku University Cyberscience Center, Tohoku University アブストラクト位相限定相関関数 POC 関数: PhaseOnly Correlation Functions の性質に数学的根拠を与えペクトル差を変量確率変数と仮定して POC 関数の統るため POC 関数の統計的解析を行う本稿では信計的解析を行った 4 また位相スペクトル差が直線上号の位相スペクトルがともに確率的に変化する場合を考で与えられる変量確率分布に従うと仮定して POC 関数え信号の位相スペクトルが変量確率変数であると仮の期待値と分散を導出した著者らのグループではこれまでに信号間の位相ス定する信号の位相スペクトルが変量確率分布に従うこれらに対して本稿では信号の位相スペクトルをとした時の POC 関数の期待値と分散を導出するこのと変量確率変数と仮定して POC 関数の統計的解析を行うき POC 関数の期待値と分散の一般式は次元の特性関具体的には信号の位相スペクトルが平面上で与えられ数を用いて導出できることを証明するる変量確率分布に従うと仮定して POC 関数の期待値と分散を導出するその結果 POC 関数の期待値と分散のはじめにつの信号の類似度を評価する方法の一つとして信一般式は次元特性関数を用いて導出できることを証明する号のもつ位相情報を用いる位相限定相関関数 POC 関 POC 関数の統計的解析数:Phase-only-Correlation Functions を用いる方法がある POC 関数は振幅スペクトルをに正規化した信号位. 相限定信号に対して相関を計算することで求められるつの信号が類似しているときに POC 関数は鋭いピークが観測されるまた POC 関数は信号間の幾何学的な関係を求めることができる例えば POC 関数のピークの出現する位置のずれを信号の位置ずれに変換して表 POC 関数の定義まず最初に位相限定相関関数 POC 関数を定義する信号長がのつの複素信号を xn と yn とする. これらの信号 xn と yn の次元離散フーリエ変換は以下の式で表される現することができるこれらの特徴から POC 関数は指紋認証技術や画像マッチング技術周期性のある DA 配列の探索 3 などに応用されてきたつの評価したい信号が等しいときはそれぞれの信号の持つ位相情報は等しくつの信号の位相スペクトル差 Xk DFT xn xnwnk Xk ejθk n0 Y k DFT xn ynwnk Y k ejϕk n0 はデルタ関数になるまたつの信号の位相スペクトルここで k 0,, は離散周波数インデックスであり W exp jπ/ は離散フーリエ変換の回転因子を差が 0 ではない時 POC 関数はデルタ関数と異なるし表すまた Xk は信号 xn の振幅スペクトルでありかしこれまでの研究では信号間の位相スペクトル差が 0 ではない時に POC 関数がどれだけデルタ関数と異 θk は xn の位相スペクトルである同様に Y k は信号 yn の振幅スペクトルであり ϕk は yn の位相スペなるかについて数学的な根拠が与えられていなかったクトルである POC 関数はつの信号の正規化クロスパは 0 である位相スペクトル差が 0 となる時の POC 関数

2 ワースペクトルの離散フーリエ逆変換として以下の式で与えられる XkY k rm IDFT Xk Y k 信号の位相スペクトルが変量確率分布に従う場合の POC 関数の統計的性質 3 3. 著者らのグループがこれまでに行ってきた POC 関数の XkY k W mk Xk Y k 統計的解析では信号 xn の位相スペクトル θk を確定信号とし一方信号 yn の位相スペクトル ϕk を確率 k0 jαk mk e W 信号の位相スペクトルにおける仮定 3 k0 m 0,,..., ここでは複素共役を表し αk θk ϕk はつの信信号であると仮定をおいていたしかし実際の信号処理においては信号 xn と yn の位相スペクトル θk と ϕk がともに確率信号である場合も考えられる本研究では信号の位相スペクトル θk と ϕk が確率的に変動号の位相スペクトル差を表すつまり位相スペクトル差すると仮定して POC 関数の統計的解析を行うこの時 αk がわかると POC 関数を求めることができる信号の位相スペクトル θk, ϕk は変量の確率変数で. あると仮定している POC 関数の期待値と分散の一般式著者らのグループでは文献 4 で位相スペクトル差 αk を確率変数と仮定して POC 関数の期待値と分散を導出した POC 関数の期待値 Erm および分散 Varrm の一般式は以下の式で表される Erm Aδm Varrm A 5 αk θk ϕk の関係式を式 6 に代入すると以下のように位相因子 ejαk の期待値を表すことができる A E ejαk E ejθk ϕk 9 ここで信号の位相スペクトル θk, ϕk はすべての周波数インデックス k に関して独立かつ同一な確率分布に従うと仮定している式 9 と 4 5 より位相スペクト 6 とおいているここで位相スペクトル差 αk はすべての周波数インデックス k に関して独立かつ同一な確率分ル θk, ϕk の変量確率密度関数を与えることで POC 関数の統計的性質を表すことができる 3.3 布に従うと仮定している式 4 と 5 6 より位相スペクトル差 αk の確率密度関数を与えることで POC 関数の統計的性質を表すことができる.3 POC 関数の期待値と分散の一般式 4 jαk ここで位相因子 e の期待値を jα AE e k 3. 特性関数を用いた POC 関数の期待値と分散の次元の特性関数を用いた POC 関数統計的性質の記述信号の位相スペクトル θk, ϕk の確率密度関数が与えられたとき次元の特性関数を用いて POC 関数の期待値と分散を表すことができる信号の位相スペクトルの確率密度関数を pθk, ϕk としたときその次元特性関導出数 ψθ,ϕ t, t は以下の式で与えられる 5 jθk t +ϕk t ψ t, t E e θ,ϕ き式 6 の計算にその特性関数を用いることができる確率変数 αk の確率密度関数 pαk の特性関数 ψα t は以 pθk, ϕk ejθk t ejϕk t dθk dϕk 0 下で定義される jαk t ψα t Ee ejαk t pαk dαk 7 次に式 0 において t, t を代入することで以下のように位相因子の期待値を導出することがでここで t とすることで位相因子の期待値を以下のきるように求めることができる ψθ,ϕ, E ejθk ϕk ejαk pαk dαk ψα Eejαk pθk, ϕk ejθk e jϕk dθk dϕk A 8 A 従って位相スペクトル差 αk の確率密度関数が与えられ位相スペクトル差 αk の確率密度関数が与えられたとたとき式 8 を用いることで POC 関数の期待値と分散従って確率密度関数 p θk, ϕk の次元特性関数を導を導出することができる出できる場合には式を用いることで POC 関数の

3 期待値と分散を以下の式で導出することができる量正規分布 µ, Σ の確率密度関数は以下の式で与えられる Erm Aδm Varrm A ここで位相因子 ejαk の期待値を A E ejαk E ejθk ϕk ψθ,ϕ, e Θ µσ Θ µt π Σ Θ θk ϕk µ µθ µϕ σθ ρσθ σϕ Σ ρσθ σϕ σϕ 4 とおいている 3.4 pθk, ϕk 3 8 σθ, σϕ はそれぞれ信号の位相スペクトル θk, ϕk の分散を表しているこのとき σθ, σϕ は σθ > 0 と σϕ > 0 を満たすまた ρ は相関係数と呼ばれ ρ を満信号の位相スペクトルが独立な場合の POC 関数の統計的性質信号の位相スペクトル θk, ϕk の変量確率密度関数たす相関係数 ρ の時は θk ϕk であり ρ を p θk, ϕk とし θk と ϕk の周辺確率密度関数をそれぞの時は θk ϕk となる p θk, ϕk が式 8 で与えられ p θk と p ϕk とおくこのときにれる場合その次元特性関数は以下のように導出することができる p θk, ϕk p θk p ϕk 5 が成り立つ場合信号の位相スペクトル θk, ϕk は互いに独立であるといえる式 0 において p θk, ϕk に式 5 が成り立つとするとその次元特性関数は以下のように導出することができる ψθ,ϕ t, t E ejθk t +ϕk t pθk, ϕk ejθk t ejϕk t dθk dϕk p θk p ϕk ejθk t ejϕk t dθk dϕk p θk ejθt dθk p ϕk ejϕk t dϕk ψθ,ϕ t, t ejµθ t +µϕ t e σθ t +ρσθ σϕ t t +σϕ t 9 のように位相因子の期待値を導出することができる ψθ,ϕ, ejµ e pϕk と pθk の特性関数である従って式 6 に t, t を代入することで以下のように位相因子の期待値を導出することができる A E ejαk E ejθk ϕk ψθ ψϕ σ A σ σθ 0 ρσθ σϕ + σϕ µ µθ µϕ 式 0 を式 4 と式 5 に代入すると以下のように POC 関数の期待値と分散を導出できる σ Erm ejµ e δm Varrm e σ 6 ここで ψθ t とψϕ t はそれぞれ周辺確率密度関数ここで式 9 に t, t を代入することで以下 ψθ t ψϕ t 一例として位相スペクトル θk, ϕk の分散 σθ, σϕ がそれぞれ, であるとき相関係数 ρ 及び平均差 µ の変化に対する POC 関数 rm のピークの期待値 Er0 と分散 Varrm を図とに示す分散 σθ, σϕ がそれぞれ, である場合は POC 関数のピークの期待値 7 Er0 と分散 Varrm は以下の式で表わされる σ ここで式 7 を式 4 と式 5 に代入することで POC 関数の期待値と分散を導出することができる式 3 と 4 より POC 関数のピークの期待値と分散計算例 4 4. E r0 e eρ 3 4 e σ eρ Varrm は平均差 µ に依存しないことがわかるまた相関係数 ρ 変量正規分布に従う場合の POC 関数の統計的性質が- から１に増加するに従い位相スペクトル差のばらつきが小さくなるため POC 関数のピークの期待値は増信号の位相スペクトル θk, ϕk が変量正規分布に従うと仮定するこの時平均 µ 共分散行列 Σ の変加し分散は減少する図とにもその傾向が表れている

図 : 信号の位相スペクトルの相関係数及び平均差が変図 4: 信号の位相スペクトルの分散が変化した時の POC 化した時の POC 関数のピークの期待値の挙動関数の分散の挙動次に相関係数 ρ 0.

5 である場合は POC 関数の期待値と分散は以下の式で表される σ E r0 e e σθ σθ σϕ +σϕ Varrm e σ e σθ σθ σϕ +σϕ 5 6 式 5 と 6 より POC 関数の期待値と分散は平均差図 :

4. 変量一様分布に従う場合の POC 関数の統計的性質信号の位相スペクトル θk, ϕk が変量一様分布に従うと仮定するとその確率密度関数は式 7 で定義する a < θk < a pθk, ϕk 7 a b b < ϕk < b 0

4 図 : 信号の位相スペクトルの相関係数及び平均差が変図 4: 信号の位相スペクトルの分散が変化した時の POC 化した時の POC 関数のピークの期待値の挙動関数の分散の挙動次に相関係数 ρ 0.5 であるとき位相スペクトル θk, ϕk の分散 σθ, σϕ の変化に対する POC 関数 rm の期待値 Er0 と分散 Varrm を図 3 と 4 に示す相関係数 ρ 0.5 である場合は POC 関数の期待値と分散は以下の式で表される σ E r0 e e σθ σθ σϕ +σϕ Varrm e σ e σθ σθ σϕ +σϕ 5 6 式 5 と 6 より POC 関数の期待値と分散は平均差図 : 信号の位相スペクトルの相関係数及び平均差が変化した時の POC 関数の分散の挙動 µ に依存しないことがわかるまた σ の値が大きくなるに従い POC 関数の期待値は減少し POC 関数の分散は増加する図 3 と 4 にもその傾向が表れている 4. 変量一様分布に従う場合の POC 関数の統計的性質信号の位相スペクトル θk, ϕk が変量一様分布に従うと仮定するとその確率密度関数は式 7 で定義する a < θk < a pθk, ϕk 7 a b b < ϕk < b 0 otherwise ここで θk と ϕk は独立であると仮定している式 7 の次元特性関数は以下のように導出することができる ψθ,ϕ t, t sinc at sinc bt 図 3: 信号の位相スペクトルの分散が変化した時の POC 関数のピークの期待値の挙動ここで sinc 関数は以下の式で与えられる x 0 sincx sinπx x 0 πx

は信号の位相スペクトルが平面上で与えられる変量確率分布に従うと仮定して POC 関数の期待値と分散を導出したその結果 POC 関数の期待値と分散の一般式は次元特性関数を用いて導出できることを証明した参考文献 H. akajima, K. Kobayashi, T. Aoki, and T.

5 は信号の位相スペクトルが平面上で与えられる変量確率分布に従うと仮定して POC 関数の期待値と分散を導出したその結果 POC 関数の期待値と分散の一般式は次元特性関数を用いて導出できることを証明した参考文献 H. akajima, K. Kobayashi, T. Aoki, and T. Higuchi, Pattern collation apparatus based on spatial frequency characteristics USP , US patent, May 995. C. D. Kuglin and D. C. Hines, The Phase Correlation Image Alignment Method, Proc. IEEE, Int. Conf. on Cybernetics and Society, pp , 975. 図 5: a と b が変化したときの POC 関数の期待値の挙動 3 A. K. Brodzik, Phase only filtering for the massesof DA data: A new approach to sequence alignment, IEEE Trans. Signal Processing, VOL. 54, O. 6, pp , June S. Yamaki, J. Odagiri, M. Abe and M. Kawamata, Eﬀects of Stochastic Phase Spectrum Diﬀerences on Phase-Only Correlation Functions Part I: Statistically Constant Phase Spectrum Diﬀerences for Frequency Indices, Proceedings of IEEE 3rd International Conference on etwork Infrastructure and Digital Content, pp , September 0. 図 6: a と b が変化したときの POC 関数の分散の挙動よって位相因子の期待値は式 8 に t, t を 5 A. Papoulis, S. U. Pillai, Probability, Random Variables and Stochastic Processes, McGraw Hill, 00. 代入することで以下の式のように導出できる A ψθ,ϕ, sinc a sinc b sinc a sinc b 30 ここで式 30 を式 4 と式 5 に代入すると以下のように POC 関数の期待値と分散を導出できる Erm sinc a sinc b δm 3 Varrm sinc a sinc b 3 一例として a と b の変化に対する POC 関数 rm のピークの期待値 Er0 および分散 Varrm を図 5 と 6 に示す図 5 と 6 をみると a と b の値が 0 から π に増加するに従い POC 関数のピークの期待値 Er0 は減少し分散 Varrm は増加していることがわかる 5 まとめ本稿では信号の位相スペクトルを変量確率変数と仮定して POC 関数の統計的解析を行った具体的に

第31回信号処理シンポジウム 2016年11月8日 10日関西大学位相限定相関法における周波数領域の誤差に着目した画像の高精度な平行移動量推定 High Accuracy Subpixel Displacement Estimation for Images by Minimizing the

第31回信号処理シンポジウム 2016年11月8日 10日関西大学位相限定相関法における周波数領域の誤差に着目した画像の高精度な平行移動量推定 High Accuracy Subpixel Displacement Estimation for Images by Minimizing the 第3回信号処理シンポジウム 206年月8日 0日関西大学位相限定相関法における周波数領域の誤差に着目した画像の高精度な平行移動量推定 High Accuracy Subpixel Displacement Estimation for Images by Minimizing the Frequency-Domain Error of Phase-Only Correlation 岩田駿人阿部正英