2011年度 東京大・文系数学

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1 東京大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ x の 次関数 f( x) = x + x + cx+ d が, つの条件 f () =, f ( ) =, ( x + cx+ d) dx= をすべて満たしているとする このような f( x) の中で定積分 I = { f ( x) } dx を最小にするものを求め, そのときの I の値を求めよ ただし, f ( x) は f ( x) の導 関数を表す --

2 東京大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 実数 x の小数部分を, y< かつx y が整数となる実数 y のこととし, これを記号 x で表す 実数 に対して, 無限数列 { n} の各項 n( n=,,, ) を次のよ うに順次定める (i) = (ii) n のとき, n+ = n n= のとき, n+ = () = のとき, 数列 { } を求めよ n () 任意の自然数 n に対して n = となるような 以上の実数 をすべて求めよ --

3 東京大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ, q を つの正の整数とする 整数,, c で条件 q, c を満たすものを考え, このような,, c を [, ; c] の形に並べたものを (, q) パタ ーンと呼ぶ 各 (, q) パターン [, ; c] に対して w( [, ; c] ) = q ( + ) とおく () (, q) パターンのうち, w( [, ; c] ) w( [, ; c] ) = となる (, q) パターンの個数を求めよ 以下, = q の場合を考える = q となるものの個数を求めよ また, () s を 以下の整数とする (, ) パターンで w( [, ; c] ) = + s となるもの の個数を求めよ --

4 東京大学 ( 文系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ座標平面上の 点 P (, ) 4 をとる 放物線 y= x 上の 点 Q( α, α ), R(, ) β β を, 点 P, Q, R が QR を底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき, PQR の重心 G( X, Y) の軌跡を求めよ -4-

5 東京大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ 次関数 f( x) = x + x + cx+ d に対して, f () =, f( ) = より, また, + + c+ d=, + c+ d= ( x + cx+ d) dx= より, ( d) + =, + 6d= +より, + d= となり, と合わせて, -より, + c=, c= このとき, f ( x) = x x + ( ) x+, 4 4 I = { f ( x) } dx= ( 6x ) 9 x x + d dx= となり, ( ) =, 4 d= 4 f ( x) = x x+ ( ) から, dx= 9 ( ) 4 x x dx = x 9x + = = = 7( + ) これより, = のとき, すなわち f( x) = x x + 5 x+ のとき, I の値 は最小となり, 最小値は 8 である ( ) ( ) 9 ( ) [ 解説 ] 定積分の計算問題からスタートです 計算量は少なめです -- 電送数学舎

6 東京大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () = のとき, < < より, = = = = + = すると, 帰納的に, n= である () 任意の自然数 n に対して n = である条件を求めると, まずn=, に対して 成立する必要があるので, = =, = = 逆に, が成立すると, 任意の自然数 n に対して, 帰納的に n = が成り立つ さて, のとき, より < であり, < となる (i) < < ( ) << のとき = = となるので, より, =, + = << から, = + 5 (ii) = ( = ) のとき = = となり, n= に反する (iii) < < ( << ) のとき = = となるので, より, =, + = << から, = + (iv) = ( = ) のとき = = となり, n= に反する (i)~(iv) より, = + 5, + [ 解説 ] 実数の小数部分が題材です 記号の意味を把握し, 具体的な問題に適用する力が問 われています なお, () は () のヒントになっています -- 電送数学舎

7 東京大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 正の整数, q, 整数,, c に対して, q, c とする まず, w( [, ; c] ) = q であるとき, q ( + ) = q, + = よって, を満たす, は, (, ) = (, ) のみである すると, c を満たす c は+ 個存在するので, と なるものの個数は+ である 次に, w( [, ; c] ) = であるとき, q ( + ) =, + = q よって, を満たす, は, (, ) = (, q) のみである すると, q c を満たす c はq+ 個存在するので, となるものの個数はq+ である () s をs である整数とし, q= のときを考える w( [, ; c] ) = + s に対して, ( + ) = + s, + = s (i) s> ( s<) のとき を満たす, は存在しないので, となるものの個数 は である (ii) s ( s ) のとき を満たす, は (, ) =( s, ), ( s+, ), ( s+, ),, (, s) である すると, c を満たす c は, それぞれ s+ 個, s+ 個, s+ 5 個,, + s+ 個存在し, その和は, ( s+ ) + ( + s+ ) ( s + ) = ( + )( s + ) よって, となるものの個数は, ( + )( s+ ) である q q s s q s s [ 解説 ] 東大らしい読解力が要求される問題です 上の解答例では, 与えられた条件を満たす場合の数を, 格子点の個数に対応させて考えています なお, () の (i) のときは, 当たり前すぎて, うっかり忘れてしまいそうです -- 電送数学舎

8 東京大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ 点 Q( α, α ), R( β, β ) を結ぶ線分の中点を M とする α+ β α + β 4 に対して, QR = ( β α, β α ) α+ β PM α + β = (, ) 4 (, = α+ β α + β ) 4 と, M (, ) となり, P (, ) さて, PQR がQR を底辺とする二等辺三角形である条件は, QR PM から, QR PM= ( β α)(α+ β ) + ( β α )(α + β ) = α β から, (α+ β ) + ( α+ β)(α + β ) = ( α+ β)(α + β + ) = ここで, PQR の重心をG( X, Y) とおくと, ( = α+ β+ ), Y ( α β ) X = よりα+ β= X 4, よりα + β = Y をに代入すると, ( X )( 6Y+ ) =, ( X )( Y+ ) = 6 9 よって, Y= 6 9( X ) 6 ところで, α, β は, 45 を満たす異なる実数であり, αβ= α+ β α + β = 7 4 {( ) ( )} {( X ) ( Y )} 47 より, α, β を解とする t に関する 次方程式は, ( ) {( ) ( )} t X t+ X Y = 4 この方程式が, 異なる 実数解をもつことより, D= ( X ) {( X ) ( Y )} = ( X ) + ( Y ) > 4 4 よって, Y > ( X ), Y> ( X ) より, PQR の重心 G の軌跡は, y= 9( x ) 6 y> x , ( ) さらに, 曲線 6 と領域 8 の境界線の交点は, Q α y M P β R x -4- 電送数学舎

9 東京大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 ( ) = x + 9( x ) 6 6 ( x ) + ( x ) = ( x ){( x ) + ( x ) + } = この方程式の実数解はx= + = であるので, 重心 6 y 4 G の軌跡を図示すると, 右図の実線部となる ただし, 点 (, ) 4 は除く 6 x [ 解説 ] 少し前になりますが, 4 年の文理共通の第 問を思い浮かべながら解きました このときは, 題材が正三角形でしたが, 本年は二等辺三角形です ただ, 点 P が固定されている本年の方が, 方針は定まりやすかったと思います なお, 問題文が 軌跡を図示せよ となっていないのは, 分数関数のグラフが数 Ⅲであることに配慮したためでしょうか -5- 電送数学舎

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