日本語論文タイトル

Size: px

Start display at page:

Download "日本語論文タイトル"

やすはるあさま
5 years ago
Views:

1 RAND 関数による擬似乱数の生成魚住龍史浜田知久馬東京理科大学大学院工学研究科経営工学専攻 Geeratig pseudo-radom umbers usig RAND fuctio Ryuji Uozumi Chikuma Hamada Departmet of Maagemet Sciece Graduate School of Egieerig Tokyo Uiversity of Sciece 要旨ある臨床試験デザインに対して予め見積もった症例数の妥当性を評価するつの方法として乱数を用いたモンテカルロシミュレーションによる評価が挙げられる.SAS では擬似乱数を生成させるための関数として V9 から RAND 関数が正規版として導入された. 本発表では RAND 関数で利用できる確率分布を整理した上でそれぞれの確率分布に従う擬似乱数を生成する方法について取りあげる. キーワード :RAND 乱数 Mersee TwisterCALL STREAMINIT 確率分布正規分布テーブル分布モンテカルロ法逆関数法はじめに乱数とはある特定の確率分布を持つ数列である. モンテカルロ法とは乱数を利用する技法の総称でありシミュレーションや確率計算においてランダムな要素を含むものはモンテカルロ法の対象である [4 6]. 例えば医薬品開発においてある臨床試験デザインに対する症例数を統計学的に見積もることが求められる. このとき見積もった症例数は検出力が名義水準を満たすことが求められ検出力を評価するためのつの方法として擬似乱数を生成させて実施するモンテカルロシミュレーションによる評価が挙げられる. 本ユーザー総会においても症例数設計法に対してモンテカルロシミュレーションによる性能評価が多く行われている [9]. またより複雑な臨床試験デザイン [8] に対する症例数設計を行う場合モンテカルロシミュレーションは非常に有用である. SAS では擬似乱数を生成させるための関数として RAND 関数が提供されている. 本稿では RAND 関数で採用されている擬似乱数生成アルゴリズムについて述べる. そして RAND 関数で利用できる確率分布を整理した上でそれぞれの確率分布に従う擬似乱数を生成する方法について取りあげる. なお本稿で取りあげる確率分布は単変量の場合 [ 3 4] としいは SAS Istitute Ic. (008) を参照されたい [ 7]. 多変量の確率分布については Getle (003) ある

2 RAND 関数による擬似乱数の生成 RAND 関数は V8. で評価版の機能として提供され V9 から正規版として提供されている.RAND 関数が提供される前は RANUNI 関数や RANNOR 関数で擬似乱数生成の関数が提供されていた.RAND 関数では Mersee Twister と呼ばれるアルゴリズムに基づいて擬似乱数が生成される [6]. このアルゴリズムは旧来の RANUNI 関数などで採用されている乗算合同法に基づく方法と比較して以下の点で優れている. 周期性旧来の RANUNI 関数などが生成する乱数の周期は 3 である一方 RAND 関数による乱数は 9937 と極めて長い周期をとる. 統計的性質生成された乱数は 63 次元超立方体の中に均等に分布する. これは乱数を組み合わせてベクトル形式で使用したとしてもその乱数に偏りがほとんど見られないことを意味する. 生成速度旧来の RANUNI 関数などの関数と比べて生成速度は同程度以上の速さである. RAND 関数による擬似乱数の生成はデータステップ内で実施する.RAND 関数の構文を図に示す. data radom; call streamiit(seed); /* シードの指定 */ do i= to 0000; /* 生成させる擬似乱数のオブザベーション数 */ =rad('distributio' param-... param-k); output; ed; ru; 図 : RAND 関数の構文 RAND 関数は第引数で確率分布を指定し第引数以降で確率分布に対応する数のパラメータを指定する. 図のプログラムではデータステップ内で RAND 関数を用いることによって 0000 個の擬似乱数を生成することができる. また擬似乱数の満たすべき条件として再現性が挙げられる.RAND 関数に加え CALL ルーチン CALL STREAMINIT を記述することでシードを指定した再現性のある擬似乱数を生成することが可能である. なお指定できるシードの範囲は 3 未満の整数である.. RAND 関数で指定できる確率分布 RAND 関数において第引数で指定できる確率分布のうち離散型の確率分布について確率関数及び RAND 関数の記述方法を表に示す. さらに RAND 関数で指定できる確率分布のうち連続型の確率分布について確率密度関数及び RAND 関数における記述方法を表に示す.

3 表 : RAND 関数で利用できる離散型の確率分布確率分布 RAND 関数における確率関数 RAND 関数における記述二項分布 = RAND('BINOMIAL' p ) p ( p) 0... ベルヌーイ分布 f ( ) p ( p) 0 = RAND('BERNOULLI' p ) ポアソン分布超幾何分布負の二項分布幾何分布 ep( ) 0...! R N R N ma( 0 R N) mi( R) k ) k k ( p p 0... p( p 0... ) = RAND('POISSON' ) = RAND('HYPER' N R ) = RAND('NEGBINOMIAL' p k ) = RAND('GEOMETRIC' p ) テーブル分布 f ( i) p... f ( ) i p i i = RAND('TABLE' p p...) 順序カテゴリカルデータを生成表 : RAND 関数で利用できる連続型の確率分布確率分布 RAND 関数における確率密度関数 RAND 関数における記述正規分布対数正規分布 t 分布 ( ) ep (log ) ep 0 = RAND('NORMAL' ) = RAND('LOGNORMAL') = RAND('T' ) コーシー分布分布ガンマ分布 f ( ) ( ) a ep( ) 0 ( a) = RAND('CAUCHY') = RAND('' ) = RAND('GAMMA' a )

4 アーラン分布 a ep( ) 0 ( a) = RAND('ERLANG' a ) a : 整数カイ二乗分布 ep 0 = RAND('CHISQUARE' ) 指数分布 ep( ) 0 = RAND('EXPONENTIAL') ワイブル分布 ep 0 = RAND('WEIBULL' ) ベータ分布 ( a b) a b ( ) 0 ( a) ( b) = RAND('BETA' a b ) 一様分布 0 = RAND('UNIORM') 三角分布 h ( ) h (0 h) ( h ) = RAND('TRIANGLE' h ) SAS プログラム data radom; call streamiit(03078); do i= to 0000; do case=; =rad('tabled' );output;ed; do case=; =rad('tabled' );output;ed; do case=3; =rad('tabled' );output; ed; ed; ru; 乱数のヒストグラム理論式 i i p i p i i f ( i) p i i... f ( ) p i j f ( i) p i i... j f ( j) p i i 図 : テーブル分布に従う擬似乱数の生成

5 SAS プログラム data radom; call streamiit(03078); do i= to 0000; do case=; =rad('ormal'0);output;ed; do case=; =rad('ormal');output;ed; do case=3; =rad('ormal'0.5);output;ed; ed; ru; 乱数のヒストグラム理論分布図 3 : 正規分布に従う擬似乱数の生成ここで離散型の確率分布に従う擬似乱数の例としてテーブル分布に従う擬似乱数 X Table( p p... p ) ~ 連続型の確率分布に従う擬似乱数の例として正規分布に従う擬似乱数 X ~ N( ) を考える. それぞれの擬似乱数を生成させる SAS プログラム理論分布理論式及び生成させた擬似乱数の分布を図図 3 に示す. なおヒストグラムの作成には SGPLOT プロシジャを用いた [0 3]. 理論分布理論式を対照にすると求める擬似乱数を生成できたことがわかる. また正規分布のパラメータを指定せずに実行すると標準正規分布 X ~ N(0 ) に従う擬似乱数が生成される. さらにテーブル分布のパラメータの指定を i pi の状態の下第 ( + ) パラメータを指定せずに実行すると f ( ) p i を求めた上で X ~ Table p p... p p i に従う擬似乱数が生成される. i なお RAND 関数で指定できる確率分布のうち確率 ( 密度 ) 関数を求めるための PD 関数を簡略化したパラメータで定義されているものがある. 例えば各関数で定義されている指数分布及びワイブル分布の確率密度関数を表 3 に示す. 表 3 の場合 RAND 関数でパラメータの指数分布に従う擬似乱数を生成させるつの方法としてそれぞれの確率分布間の関係を活用することが挙げられる. 一部の確率分布の間にはパラメータに特定の値を代入した特別な場合変数変換漸近近似などによって関連付けられるものがある [5]. i

表 3 : 指数分布及びワイブル分布の確率密度関数確率分布確率密度関数 RAND 関数指数分布 PD('EXPONENTIAL' ) = RAND('EXPONENTIAL') ep( ) 0 ep 0 ワイブル分布 PD('WEIBULL' ) = RAND('WEIBULL' ) ep 0 ep 0 ep 図 4 : RAND 関数で指定できる確率分布の関係図 4 に

6 表 3 : 指数分布及びワイブル分布の確率密度関数確率分布確率密度関数 RAND 関数指数分布 PD('EXPONENTIAL' ) = RAND('EXPONENTIAL') ep( ) 0 ep 0 ワイブル分布 PD('WEIBULL' ) = RAND('WEIBULL' ) ep 0 ep 0 ep 図 4 : RAND 関数で指定できる確率分布の関係図 4 に RAND 関数で指定できる確率分布の関係を示す. 表 3 の場合で考えると指数分布はワイブル分布の特別な場合であるといえる. よって RAND 関数の確率分布として表 3 に示したワイブル分布のパラメータを指定することによりパラメータの指数分布に従う擬似乱数を生成することが可能である. その他の確率分布についても確率分布間の関係を活用して関連する異なった分布から擬似乱数を生成するこ

とができる. なお図 4 における一部の確率分布は表及び表で示した確率 ( 密度 ) 関数とは異なった定義の確率分布で考えている [5].. 逆関数法による擬似乱数の生成 RAND 関数では指定できない確率分布に従う擬似乱数の生成が必要な場合がある. このとき解決策のつとして逆関数法を用いることが挙げられる. いくつかある手法のうち考え方がシンプルな方法であるといえる.

逆関数法 [5] は指定する確率分布の累積分布関数 () の逆関数 ( y) if{ : ( ) y} 0y が存在する場合図 5 より標準一様分布 U ~U(0 ) からの変数変換 X ( U) として擬似乱数を生成することができる. なお X が () に従うことはよりでわかる.

7 とができる. なお図 4 における一部の確率分布は表及び表で示した確率 ( 密度 ) 関数とは異なった定義の確率分布で考えている [5].. 逆関数法による擬似乱数の生成 RAND 関数では指定できない確率分布に従う擬似乱数の生成が必要な場合がある. このとき解決策のつとして逆関数法を用いることが挙げられる. いくつかある手法のうち考え方がシンプルな方法であるといえる. 例として対数ロジスティック分布を取りあげると RAND 関数において対数ロジスティック分布は第引数に指定できる確率分布として含まれていない. そこで逆関数法を用いてワイブル分布及び対数ロジスティック分布に従う擬似乱数を生成する方法を示す. 逆関数法 [5] は指定する確率分布の累積分布関数 () の逆関数 ( y) if{ : ( ) y} 0y が存在する場合図 5 より標準一様分布 U ~U(0 ) からの変数変換 X ( U) として擬似乱数を生成することができる. なお X が () に従うことはよりでわかる. ( y) P( X ) P{ y ( ) ( U) } P{ U ( )} ( ) 図 5 : 逆関数法の原理ここで RAND 関数によって生成させた一様分布に従う擬似乱数を用いて逆関数法によりワイブル分布に従う擬似乱数を生成させる. さらに RAND 関数における確率分布としてワイブル分布を指定させて生成させた擬似乱数と比較する. それぞれの方法で生成させた擬似乱数のヒストグラムを図 6 に示す. これを見ると逆関数法によって生成させた擬似乱数は RAND 関数で生成させた擬似乱数と同様の分布であることが確認できる. また RAND 関数においてサポートされていない確率分布に従う擬似乱数の生成が必要な場合がある. 例として RAND 関数の確率分布において対数ロジスティック分布 [5 7] は第引数に指定できる確率分布として含まれていない.RAND 関数で指定できる確率分布を用いて対数ロジスティック分布のような確率分

8 布に従う擬似乱数を生成させる方法のつとして逆関数法を用いることが挙げられる. そこで逆関数法を用いて対数ロジスティック分布に従う擬似乱数を生成する方法をワイブル分布に従う擬似乱数を生成する方法とともに表 4 に示す. 表 4 : 各関数で定義されている指数分布及びワイブル分布の確率密度関数確率密度関数累積分布関数累積分布関数の逆関数確率変数ワイブル分布 ep 0 ( ) ep 0 / log( ) ( ) U / X logu 対数ロジスティック分布 0 ( ) 0 U ( ) U U X U / / 図 6 : それぞれの方法で生成させたワイブル分布に従う擬似乱数の分布 3 まとめ本稿では SAS で提供されている RAND 関数で採用されている擬似乱数生成アルゴリズムについて旧来の RANUNI 関数などで採用されている方法と比べ周期の長さ生成速度そして統計的性質の点から優れていることを述べた. 次に RAND 関数による擬似乱数生成方法について RAND 関数で指定できる確率分布及びそのパラメータを詳述した. また RAND 関数において PD 関数とは異なったパラメータで定義されている確率分布があることを取りあげた. さらに対数ロジスティック分布のように RAND 関数においてサポートされていない確率分布に従う擬似乱数を生成させる方法として逆関数法について取りあげた. 以上より医薬品開発で見積もった症例数に対する検出力の評価のようにモン

9 テカルロ法による擬似乱数を用いたシミュレーションが求められる場合 RAND 関数によって生成させた擬似乱数を用いることは有用であるといえる. 参考文献 [] Getle JE. Radom Number Geeratio ad Mote Carlo Methods Secod Editio. Spriger-Verlag; 003. [] Johso NL Kotz S Balakrisha N. Cotiuous Uivariate Distributios Vol. Secod Editio. New York: Joh Wiley ad Sos; 994. [3] Johso NL Kotz S Balakrisha N. Cotiuous Uivariate Distributios Vol. Secod Editio. New York: Joh Wiley ad Sos; 995. [4] Johso NL Kemp AW Kotz S. Uivariate Discrete Distributios Third Editio. New York: Joh Wiley ad Sos; 005. [5] Leemis LM McQuesto JT. Uivariate Distributio Relatioships. The America Statisticia 008; 6: [6] Matsumoto M Nishimura T. Mersee Twister: A 63 Dimesioally Equidistributed Uiform Pseudo-Radom Number Geerator. ACM Trasactios o Modelig ad Computer Simulatio 998; 8: [7] SAS Istitute Ic. SAS/IML(R) 9. User s Guide Cary NC USA: SAS Istitute Ic; 008. [8] Uozumi R Hamada C. A Adaptive Subpopulatio Selectio Desig Usig Time-to-Evet Edpoits. Abstracts for the XXVIth Iteratioal Biometric Coferece 6-3 August 0 Kobe Japa. Iteratioal Biometric Society ( ISBN [9] 魚住龍史水澤純基浜田知久馬. 生存時間解析における Lakatos の症例数設計法の有用性の評価. SAS ユーザー総会論文集 009; 9 8. [0] 魚住龍史浜田知久馬. SG (Statistical Graphics) Procedures による Kapla-Meier プロットの作成. SAS ユーザー総会論文集 [] 魚住龍史浜田知久馬. がん臨床試験における腫瘍縮小効果の検討に有用なグラフの作成 SGPLOT プロシジャの最新機能を活用. SAS ユーザー総会論文集 [] 高浪洋平. SG プロシジャと GTL によるグラフの作成と ODS PD による統合解析帳票の作成 ~TQT 試験における活用事例 ~. SAS ユーザー総会論文集 [3] 高浪洋平. SAS と HTML アプリケーションによる CDISC ADaM 形式の解析用データセットを用いた有害事象の解析帳票グラフ簡易作成ツールの開発事例. SAS ユーザー総会論文集 [4] 津田孝夫. モンテカルロ法とシミュレーション. 培風館 995. [5] 東京大学教養学部統計学教室. 自然科学の統計学. 東京大学出版会 99. [6] 伏見正則. 乱数. 東京大学出版会 989. [7] 蓑谷千凰彦. 確率統計ハンドブック. 朝倉書店 003. 連絡先 uozumi@ms.kagu.tus.ac.jp

Statistical inference for one-sample proportion

Statistical inference for one-sample proportion RAND 関数による擬似乱数の生成魚住龍史 * 浜田知久馬東京理科大学大学院工学研究科経営工学専攻 Generating pseudo-random numbers using RAND function Ryuji Uozumi * and Chikuma Hamada Department of Management Science, Graduate School of Engineering,