7. 曲面の第 1 基本形式と第 2 基本形式の関係 これまで, 曲面 f(u,v) があたえらえたとき, 第 1 基本形式 Ⅰ=Edu +2Fdudv+Gdv 2 2 Ⅱ=Ldu +2Mdudv+Ndv が定義でき, いろいろな量を計算してきました. すなわち, 曲面 f(u,v)

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1 7. 曲面の第 基本形式と第 基本形式の関係 これまで, 曲面 (u,v) があたえらえたとき, 第 基本形式 Ⅰ=Edu +Fdudv+Gdv Ⅱ=Ldu +Mdudv+Ndv が定義でき, いろいろな量を計算してきました. すなわち, 曲面 (u,v) からE,F,G,L,M,N が決まり, 実際の計算は, 次元ユークリッド平面 (u,v) の各点に E,F,G,L, M,N が定義されたものとして扱っているのです. 当然逆が成り立つかは興味ある問題です. すなわち 問題 次元ユークリッド空間 ( u, v) に6つの関数 E, F, G, L, M, Nを定義したとき, 第, 第 基本形式が,で与えられる曲面 (u,v) が唯一つ存在するか です. この問題を曲面の基本定理といいます. 結論を先に言ってしまうと, この定理はあ る条件のもとで正しいのです. 証明は偏微分方程式を解く問題に帰着され, ここでは偏微 分方程式の理論には触れず, 偏微分方程式が解けるための条件を証明することだけをきち んと示します. 偏微分方程式は後で触れるとして, 問題を眺めてみましょう. 曲面 3 (u,v)=( (u,v), (u,v), (u,v) 3 を求めるとは,3つの関数 (u,v), (u,v), (u,v) を求めること です. 一方条件を見るとE( u, v), F( u, v), G( u, v), L( u, v), M( u, v ),N(u,v) と6つあります. たとえて言えば,3 元連立方程式なのに, 条件が6 つもあるようなものです. 方程式でも微分方程式でもこれはおかしいことです. そこで, まずE(u,v ),F(u,v),G(u,v),L(u,v),M(u,v),N (u,v) の関係式を調べます. なお, そこから出てくる関係式が, 偏微分方程式の解を 持つための条件と一致することが分かります. うまくいっているものなのです. さて, 本論に入りましょう. まず, これからの計算のために, 記号を少し変えます. 今まで, 曲面を 3 (u,v)=( (u,v), (u,v), (u,v) のように表しましたが, これからは座標変数は u,u を用い 3 (u,u )=( (u,u ), (u,u ), (u,u ) のように異なる文字を表す数字は上に書きます. 右下に使う数字はすべて偏微分に用いま す. 当然 乗や 3 乗を用いるときもありますが, そのときはたとえば - -

2 ( (u,u ) のように必ず括弧を使います. つぎに和についてですが, 指標の と の和をとることが非常に多いので, 式の上下に重 複して同じ文字があるとき, その文字の と の和をとることにします. この規則をアイ ンシュタインの規約といいます. i たとえば,ab +ab はaib と表します. 最初はびっくりしますがすぐなれ とても便利です. 第 基本量 E,F,G, 第 基本量 L,M,N は E =g, F =g=g, G =g L =h, M =h=h, N =h とします. すなわち第 基本形式 Ⅰ, 第 基本形式 Ⅱ は次のようになります. Ⅰ=g Ⅱ=h i j ijdu du i j ijdu du さらに,g=gg-g,h=hh-h とします. ij また, 行 列の行列 (g ij) の逆行列を (g ) で表します. すなわち g g g g = 0 g g g g 0 が成り立ちます. これからの内容は次の通りです. まず, の偏導関数 i, ij, ij は i=(,, ) ij=(,, ) ij=(,, ) のことです. このとき,,, = / は 次独立 ですから, それらで任意のベクトルが表せます. そこで, ij, ij を, u i u i u j 3 u i u i u j u, で表すことを通じて g,h の関係を求めます. ij ij u i u i u j 3 3 u i u j u i u j u 3 3 u i u j u 3 それでははじめます. ij は,, で表せますから ij =Γij +Hij とおきます. ここで, ij =hij ですから ( 定義 ), H = =h ij ij ij が成り立ちます. - -

3 ij =Γij +hij = ですからΓ =Γ が成り立ちます. ij ji ij ji 次にΓij を求めます. 求める方針は,gij=i jの両辺をuで偏微分することです. =i j+i j =Γi j+i Γ j ( i =0) =gjγi +giγj ここで gγij =Γ ij, と書けば =Γ i,j となる. +Γ j,i ここでΓi,j=Γi,jより g ij u g ij u =Γj,i+Γi,j とすると見やすい. i,j, を入れ替えて g i u j =Γj,i+Γji, g j +3- より Γ ij, = =Γi,j+Γij, 3 を得る. したがって Γij =g Γij, = u i を得る. この Γ ( g j + g i - g ij u i u j u ) g ( g j + g i g ij - ) u i u j u ij をクリストッフェルの 3 添字記号という. なお, 式から分かるように Γij は第 基本形式 gijだけで決まる. このことは重要なことです. 次に法線ベクトルについて同じことを行います. =よりi =

4 ここで, =A i i とおきます. 一方 i =0よりij +i j=0 h = = =- =-A g ij ij ji j i i j j j Ai =-hig したがって i=-hig j j を得る. 以上で ij =Γij +hij j i=-hig j を得ました. をガウスの誘導方程式, をワインガルデンの誘導方程式といいます. 各点で,{,, } で表せるので,,の関係式さえ分かればどんな微分でも出 来るわけです. 曲線論で言えばフレネの公式です. 次に, さらに微分します. その中でgijとhijの関係が求まります. =( ) =(Γ +h ) ij ij ij ij =(Γ ) +Γ +(h ) +h ij ij ij ij =(Γ ij ) +Γ ij (Γ +h ) +(h ) -h h g ij ij ={ ( Γ ) + Γ Γ -h h g } ij ij ij + {Γij h+(h ij) } j と を交換すれば ={ ( Γ ) + Γ Γ -h h g } ij i j i j i j + {Γi hj+(h i) j} ij = ij より (Γ ) -(Γ ) +Γ Γ -Γ Γ ij i j ij i j -hijhg +hi hjg =0 3 (h ij) -(h i) j +Γij h-γi hj =0 4 3 をガウスの積分可能条件,4 をコダッチの積分可能条件といいます. 積分可能条件という理由は, 後で第, 基本形式より偏微分方程式を解くことにより曲 面を求めるのですが, 偏微分が解けるための条件が 3,4 であることが示されます. 偏微 分方程式が解けるための条件を積分可能条件といいます. 3,4 の中で独立な式がいくつあるかを調べましょう. j= の時は恒等式ですから j=,= だけ調べればよい. 4 のコダッチの積分可能条件を調べると i=,j=,= のときが (h ) -(h ) +Γ h-γ h=0 で i=,j=,= のときが - 4 -

5 (h ) -(h ) +Γ h-γ h=0 である. このつの条件がコダッチの積分可能条件です. 次のガウスの積分可能条件を調べます. (Γ ) -(Γ ) +Γ Γ -Γ Γ ij i j ij i j クリストッフェル記号は第一基本形式 g -hijhg +hi hjg =0 3 ij だけで決まる量です. したがって, 最初の 4 項 は第 基本形式だけで決まり, あとの 項は第, 第 基本形式両方関係しています. 3 より少なくとも第 基本量と第 基本量に関係があることが分かります. これが, 思わ ぬ結果に発展し, ガウスをして 最もすばらしい定理 ( Theore egregiu) と言わしめた 定理に到達します. 計算は少し面倒ですがもう少しです. 3 を計算するために,3 の前半の 4 項を R ij=(γ ij ) -(Γ i ) j +Γij Γ -Γi Γ j 5 とおき, さらに Rij=g R ij 6 と定義します.5 を第 曲率テンソルといい,6 を第 曲率テンソルといいます. 5,6 は共に曲面の第 基本形式より決まります. (gγ ij ) =(g ) Γij +g (Γ ij ) より g (Γ ij ) =(gγ ij ) -(g ) Γij =(Γ ij,) -Γ ij (Γ,+Γ,) ( この節の最初のほうのΓ, の定義を参照 ) したがって, Rij=g R ij = (Γ ij,) -Γ ij (Γ,+Γ,) -( Γ i,) j+γ i (Γj,+Γ j,) +( Γij r r Γr, -Γi Γ rj, ) =(Γ ) -( Γ ) -Γ Γ +Γ Γ ij, i, j ij, i j, ={ ( g j) i+(g i) j-(g ij) -(g ) ij-(g i) j+(g i) j}/ -Γ Γ +Γ Γ ij, i j, したがって, Rij ={ ( g j) i-(g ij) -(g ) ij+(g i) j}/ p -g (Γij,pΓ, -Γi,pΓ j, ) = { } p -g (Γij,pΓ, -Γi,pΓ j, ) となる. g j u i u g ij u u 式から分かるように, 第 曲率テンソル R ij g u i u j g i u u j は前の つ,i を交換すると符号が変 - 5 -

6 るし, 後の つ j, を交換しても符号が変る. すなわち Rij =-R ij, Rij =-Rij したがって,=i,j=のときは Rij =0. 0 でない第一曲率テンソルは R=R=-R=-R だけである. 以上の計算のもとで, ガウスの可積分条件 (Γ ) -(Γ ) +Γ Γ -Γ Γ ij i j ij i j -hijhg +hi hjg =0 を見直すと R ij-hijhg +hi hjg =0 g p をかけて g p( R ij-hijhg +hi hjg )=0 Rpij-hijh δ p+hi hjδ p =0 Rpij-hijhp+hi hjp =0 したがって, ガウスの可積分条件はただ一つの式で R=hh-(h ) となることが分かりました. 以上のことからコダッチの方程式が 個, ガウスの方程式が 個, 合わせて 3 個がわかり ました. この章の最初で, 条件が 6 つ 3 E,F,G,L,M,N に対して3つの関数,, を 求めると書きましたが,3 つの関係式があり釣り合いがとれています. 後はまとめです. 曲面の全曲率を K とすると h h -h K= = 7 g g - g R g g - g となりました. この等式 7がガウスをしてもっともすばらしい定理 ( Theore egregiu) と言わしめた式です. 簡単に説明します. 左辺の全曲率とは, その点の法曲率の最大値と最小値の積です. 円柱面と平面を第 基本形式が保たれる対応させるとき, 円柱上の円や円柱螺旋が平面では直線にうつります. このことから分かるように, 曲線の曲率や捩率は第 基本形式が同じでも保たれません. ここで, 第 基本形式より決まる量を内在量というと曲率や捩率は内在量ではありません. その曲率を用いて定義した全曲率がなんと第 基本形式だけから決まる量すなわち内在量である. という意味です. なお, 平均曲率 Hは内在量ではありません. この節の最後で曲率テンソル R を便利な座標である曲率線座標および測地線座標の - 6 -

7 とき計算しておく. これはあとで, 負の定曲率曲面の全曲率を計算するときやガウス - ボ ンネの定理の証明のとき用います, R = { } -(Γ,pΓ p p -Γ,pΓ ) です. 曲率線座標は Ⅰ=Edu +Gdv よりg=E,g=g=0,g=G Γ =E /(E),Γ =-E /(G),Γ =E /(E), Γ =G /(G), Γ =-G /(E),Γ =G /(G) Γ,=E /,Γ,=-E /,Γ,=E / Γ,=G /,Γ,=-G /,Γ,=G / R=(-Evv-G uu)/ -(-G /) (E /(E))- (G /) (-E /(G)) +(E /) (E /(E))+(G /) (G /(G)) = (-Evv-G uu)/ +(G /) (E /(E))+ (G /) (E /(G)) +(E /) (E /(E))+(G /) (G /(G)) となります. g g u u u u u u g g u u さらに,Ⅰ=du +Gdv のときは R=-G / +(G /)( G /G) = 一方 G - G + 4 G G (G ) ( G ) = - G 4G G より R = を得る. 全曲率 Kは K=R - ( G ) G /g より g=g であるから - 7 -

8 K= - G G この式は, ガウスーボンネの定理で用いられる. 例 E,F,G,L,M,N は任意でないことの例を挙げましょう. E=G=,F=0,L=, M =0として, N を調べてみよう. ガウスの可積分条件 より (Γ ) -(Γ ) +Γ Γ -Γ Γ ij i j ij i j -hijhg +hi hjg =0 で Γ ij はすべて 0 より,i,j=,== で確かめると -hh+hh=0 より h=0 を得る. したがって,h 0のとき曲面が存在しないことが分かる. ( 曲面の第 基本形式と第 基本形式の関係の項目終わり ) - 8 -