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ありおきよどぎみ
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1 第 6 回基礎ゼミ資料 Practice NL&MXL from R 平成 30 年 5 月 18 日 ( 金 ) 朝倉研究室修士 1 年小池卓武

2 使用データ 1 ~ 横浜プローブパーソンデータ ~ 主なデータの中身トリップ ID 目的出発, 到着時刻総所要時間移動距離交通機関別の時間, 距離アクセス, イグレス時間, 距離費用代表交通手段代替手段生成可否性別, 年齢等の個人属性 etc..

3 NL モデルによる推定 -NL の効用関数 2 公共時間費用 U train = β time time train + β cost cost train + ε Public_train U bus = β time time bus + β cost cost bus + ε Public_bus 誤差項 ( 選択肢間相関あり?) U car = β time time car + β cost cost car + ε Private_car 私有 U bike = β time time bike + β cost cost bike + ε Private_bike U walk = β time time walk + β cost cost walk + ε Private_walk 公共 μ 1 1 私有鉄道バス自動車自転車徒歩下位ネストのスケールパラメータは 1 に固定し, 上位ネストのスケールパラメータ μ を推定. その際,0 < μ < 1 が条件.

4 NL モデルによる推定 - 初期設定 3 ~ 初期設定 ~ nl_maxlik_1.r を展開! Session Set Working Directory To Source File Location をしてから実行 ( 交通手段数 -1) 個の定数項 + パラメータ β( 時間, 料金 )2 つ + スケールパラメータ (μ) 1 つ推定値 7 つ初期値として 0 を与えておく読み込むデータの 1 行目がデータでなく列名なら header=t データから始まるなら header=f nrow( 行列 ): 引数行列の行数を返す numeric( 引数 ): 引数個の 0 を返すパラメータ推定値の初期値

5 NL モデルによる推定 - 対数尤度関数の設定 4 ~ 対数尤度関数を定義 ~ function( 引数 ){ 算術式 } を用いて対数尤度を計算するための関数をあらかじめ定義. 初期値として対数尤度 LL=0 を設定しておく.

6 NL モデルによる推定 - 対数尤度関数の設定 5 ~exp(v) を定義 ~ Data$ 代替手段生成可否 train には,train が代替交通手段として生成されうるなら 1, そうでなければ 0 が入る. SOL 変数を同程度のオーダーにして推定結果を安定させるためにそれぞれ 100 で除す.(100 分,100 円単位にする )

7 NL モデルによる推定 - 対数尤度関数の設定 6 ~ 上位ネストでの公共私有選択確率 ~ ログサム変数 :V d = ln m exp(v m ) 上位ネストでの ( 公共私有 ) 選択確率 :P(d) = exp(μ V d+v d ) d: 上位ネスト,μ: 上位ネストのスケールパラメータ d exp(μ(v d +V d ))

8 NL モデルによる推定 - 対数尤度関数の設定 7 ~ 下位ネストでの交通機関選択確率 ~ 下位ネストでの ( 交通機関 m) 選択確率 :P(m d) = exp(v m) m exp(v m ) 交通機関選択確率 :P m d P d = exp(v m) m exp(v m ) exp(μ V d + V d ) d exp(μ(v d + V d ))

9 NL モデルによる推定 - 対数尤度関数の設定 8 ~ 対数尤度の計算式を定義 ~ log P の計算時に真数条件 :log P : P > 0 に反してエラーになるのを防止代表交通手段が i ならば C. i には 1 が入る対数尤度 LL:(LogLikelihood): n N i J d i ln P n (i) N: 全サンプル数,n: 個人,J: 全交通機関選択肢数, i: 交通機関選択肢,di: 交通機関選択ダミー (1or0),Pn(i): 交通機関選択確率未知パラメータに対して最大化することでパラメータ推定 :maxlik 関数

10 NL モデルによる推定 -MaxLik 関数 9 ~ 対数尤度の最大化 ~ maxlik 関数を用いて最尤推定 (Optim 関数の代替案!) maxlik( 対数尤度関数,start= パラメータ初期値,method= ~ ) ヘッセ行列 (hess=), 勾配 (grad=), 制約条件 (constraint=) も引数として入れられるが, 今回は単純なケースとして上記の式形で計算. Method... 最大化手法にも様々ある... NM(Nelder-Mead) 計算が粗い.. NR(Newton-Raphson) 勾配 (grad=) が必要 BFGS(Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) gradient が無くても大丈夫 Etc.. 今回は BFGS を採用今回は method について考える機会を設けるためにあえて関数内に method を設定したが, 何も設定しなければ最適な method が自動適用される仕様になっている.

11 NL モデルによる推定 - 結果の出力 10 ~maxlik 関数でパラメータ推定 ~ Broyden-Fletcher-Golden-Shanno メソッドを最適化メソッドとして採用. sqrt 関数 : 引数の平方根を計算 diag 関数 : 引数 ( 行列 ) の対角成分を計算 solve 関数 : 引数 ( 正方行列 ) の逆行列を計算パラメータ推定値 / 標準偏差 = t 値 Print で出力スケールパラメータ μ が 0 < μ < 1 を満たしていない!! ネスト構造の再検討が必要.. パラメータ推定値は左から定数項 4,β 2,μ

12 MXL モデルによる推定 -MXL の効用関数 11 ~ランダム係数モデルの効用関数 ~ U i = β time time i + β cost cost i + ε i = β time + σ time η time time i + β cost + σ cost η cost cost i + ε i β x : 平均,σ x : 平均,η x : 標準正規分布に従う乱数, ε i :IID ガンベル分布個人の嗜好性によってパラメータ β が確率的に変化ランダム係数と呼ぶ NL と同じ交通手段選択肢を用いてパラメータ推定!

13 MXL モデルによる推定 - 初期設定 12 ~ データの読み込み ~ nrow( 行列 ): 引数行列の行数を返すサンプル数 numeric( 引数 ): 引数個の 0 を返すパラメータ推定値の格納配列 ( 交通手段数 -1) 個の定数項 + パラメータ β( 時間, 料金 ) の平均, 標準偏差推定値 8 つ初期値として 0 を与えておく. 繰り返し計算によりパラメータ推定を行うので, その繰り返し回数 R=100 を設定.

14 MXL モデルによる推定 - 乱数の生成 13 ~ ハルトン数列法で準乱数を生成 ~ ハルトン数列法素数 x の累乗を分母においた分数を 0~1 区間で複数生成し,qnorm 関数を用いて標準正規分布に従うような順乱数にする手法. s t+1 = s t, s t + 1 x t, s t + 2 x t,, s t + x 1 x t Qnorm 関数で標準正規分布に従わせるハルトン数列

15 MXL モデルによる推定 - 対数尤度関数の設定 14 ~ 対数尤度関数の設定 ~ パラメータ β に個人嗜好性を持たせたランダム係数を表現するために, 平均, 標準偏差を推定. 対数尤度を R 回計算し, その和を R で除すことで対数尤度の平均を出すシミュレーション尤度. その和の受け皿として SimLL を定義.

16 MXL モデルによる推定 -MXL の効用関数 15 ~ ランダム係数を定義 ~ 平均標準偏差ハルトン数列法で生成した乱数 = 確率的に変化するパラメータ : ランダム係数ランダム係数 :β i = β i + ση i β i : 平均,σ: 標準偏差, η i : 乱数

17 MXL モデルによる推定 -MXL の効用関数 16 ~ 選択確率, 対数尤度の定義 ~ 対数尤度の計算, パラメータ推定を R 回 (100 回 ) 行うため, 待ち時間が長い. 暇なので結果を出力. 確認せずともよい人は print の前に # を付けてコメント化しても OK.

18 MXL モデルによる推定 - 結果の出力 17 ~ 結果の出力 ~ NL 同様, 対数尤度の最大化に maxlik 関数を使用. Print で各種推定結果を出力! パラメータ推定値は左から定数項 4, 時間のランダム係数の平均および標準偏差, 料金のランダム係数の平均および標準偏差

19 参考文献 18 参考文献 : 1) 北村隆一森川高行佐々木邦明藤井聡山本俊行, 交通行動の分析とモデリング 2) 東京大学羽藤研究室,http.//bin.t.u-tkyo.ac.jp/kaken/ 3)Rdocumentation maxlik

Probit , Mixed logit

Probit , Mixed logit Probit, Mixed logit 2016/5/16 スタートアップゼミ #5 B4 後藤祥孝 1 0. 目次 Probit モデルについて 1. モデル概要 2. 定式化と理解 3. 推定 Mixed logit モデルについて 4. モデル概要 5. 定式化と理解 6. 推定 2 1.Probit 概要プロビットモデルとは. 効用関数の誤差項に多変量正規分布を仮定したもの. 誤差項には様々な要因が存在するため,