Microsoft Word - 問題３完

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1 問題 三角形の内部に中心があり三辺すべてに接する円を三角形の内接円とい う 内接円の中心 ( 内心 ) はこの三角形の つの角の 等分線の交点であ る (つの角の 等分線が 点で交わることは説明なしで使ってよい ) 一般に ABCに対して各辺の長さをそれぞれ BC, CA, AB c と表す ここでは, C 90 である直角三角形 ABCについて考える () ABCの内接円の半径 r を,, c を用いて表しなさい () 三角形の内部に中心をもち, 辺 BC,BA にともに接する円をO とする 円 O の半径を r とし円 O の中心 ( 中心もO と表す ) から辺 BC () の図 に引いた垂線の交点 ( 垂線の足という ) をH とする このとき, BH の c 長さが r となることを説明しなさい () ABCの内部に中心を持つ同じ半径 r の二つの円 ( 辺 BC と辺 BA (4) の図 の両方に接する円 O, 辺 AC とAB の両方に接する円 O ) があり二つの円は外接しているものとする 解答用紙の ABC の図の中にこのよ うな つの円を描きなさい (free hnd でよい ) また, このときの半径 r の値を,, c を用いて表しなさい ここからは,, 4, c 5 の直角三角形 ABC( C 90 ) に ついて考える (4) ABCについて辺 BC と辺 BA の両方に接する円 O ( 半径 r ) 及び辺 AC とAB の両方に接する円 O ( 半径 r ) があり二つの円は外接し ているとする ( r と r の値は一致しているとは限らない ) このとき, (5) の図 r, r の間に成り立つ式を書きなさい (5) ABCの辺 CB,CAの両辺に接する円 O( 半径 r ) を定め, 円 Oと辺 BC と辺 BA に接する円 O ( 半径 r ), 円 Oと辺 ACと ABに接する円 O ( 半径 r ) を描く ただしどの円も三角形の外部 の点は通らないものとする このとき, 半径 r と半径 r の値をそれぞ れ r を用いて表しなさい O, O, O が外接するときこのつの円はいずれも円の内部で三角形 の 辺と接してお互いに外接する 一般にこのような円をマルファッチ の円という マルファッチは 8-9 世紀のイタリアの数学者だが, 江戸 (6) の図 時代の日本の和算家安島直円 ( あじまなおのぶ ) はマルファッチより先 にこの分野の研究を行い独自に結果を出している (6) ここまでの結果を用いて,(4)(5) の条件のもとで,O, O, O がマ ルファッチの円になるときの r の値を求めなさい ヒント :(5) で得られた式を (4) の式に代入する

2 着眼点 江戸時代の和算についての本 日本の幾何 - 何題解けますか (99 年初版 深川英俊, ダン ペドー共著 森北出版 ) に出ている算額の問題をヒントに考えた この問題の () は, 昨年話題になった江戸時代の和算家 にして天文 暦学者 渋川春海 を主人公にした小説 天地明察 の中に出てくる問題と実質的に同じである 小説中では主人公がこの問題がなかなか解けなくて苦労するところを, あっという間に解いてしまう男がいて, それが算聖 関孝和 だったという設定になっている 分野的にいえば現在数 A の教科書に載っている平面幾何の内容だが, 数 Ⅰ の三角比 ( 正弦定理 余弦定理 面積の公式など ), 数 Ⅱ の三角関数 ( 半角の公式 ), 数 B のベクトルを用いて解くことも可能 () 直角三角形の内接円の半径については 円外の点から引いた接線の長さが等しいことを使う方法 内接 円の半径を高さとする つの三角形の面積の和を用いる方法の 種類ある どちらでも OK 式は 通りあ るが実は一致している () 角の 等分線の性質 ( 数 A) を使うのが一般的 () 条件を満たす図が描けるだろうか, 図をもとに式を作ってみよう (4) O, O の中心から辺 AB に引いた垂線の足をそれぞれ H, H とすると BH が成り立つ H H は台形の図を描いて三平方の定理を用いると求められる HH H A BA (5) 基本的な考え方は (4) と同じだが, r をrの式で表すには r t とおいて t についての 次方程式を解 けばよい r はt の 乗で求められる 同様に r sとおくことによって r も求められる (6) マルファッチの条件を満たすときは r, r, r を含む連立 次方程式を解けばよい 根号を含む式で計算は 大変だが, 最終的には 次方程式を解く問題に帰着する なお, 一般の三角形についてマルファッチの円を 求めるにはヘロンの公式 ( 面積 ) と半角の公式 ( 三角関数 ) を用いるが, 計算が膨大で一般的に解くのは大 変になる しかし, 安島直円はマルファッチの条件を満たす, 三辺の長さが整数であるような三角形につい て結果を出している 解答例 () 方法 内心を I, 点 I から辺 BC,CA,AB に垂線を引き, 垂線と 辺の交点 ( 垂線の足という ) をそれぞれ M, M, M とする IM BC, IM CA, IM IM r さらにC=90 より四角形 IM CM は隣り合う 辺の長さが等しい長方形なので正方形である よって, IM IMMCMC r 円外の点から引いた接線の長さは等しいので BM BM r, 同様に, AM AM r よって, AB BM M A c より c r r c ゆえに, r 方法 ABC の面積を内心 I によって IBC, ICA, IAB の つの三角形の和にすると IBC r, ICA r, IAB cr で ABC ( 直角三角形 )

3 より, ( c) r ゆえに, r c ABCは C=90 の直角三角形であるから c が成り立つので, 代入して有理化すると方 法 の式は方法 の式と一致することがわかる () 辺 BA,BCに内接する円の中心 O は Bの 等分線上にあるので B の二等分線と辺 AC の交点を P とすると, 点 P は AC を c: に内分 する点である AC=より PC c c BO H と BCP は相似なので, BH : O H BC : PC より c よって, BH r BH : r : c () 円 O ( 半径 r とする ) の中心から辺 ACに引いた垂線の交点を H と c すると,() と同様に相似を用いて, AH r BH 円 O と辺 ABの接点を Q, 円 O と辺 ABの接点を Q とすると c c, AH AQ r BQ r r r r であるから, O Q AB, OQ AB よりO Q と OQ は平行で, OQ OQ r より四角形 OQQ O は平行四辺形 さらに, 隣り合う 角が 90 の平行四辺形なので長方形である O, O は外接しているので OO r よってQQ r c c AB AQ QQ BQ r r r c より ( c) ( c) r c よって, r ( )( c) c c (4) ()() より, BQ r, AQ r c( ) ( )( c) r r c ここで, 4, c 5 より, BQ r r, AQ r r 4 四角形 OQQ O は r r のときは台形となる ⅰ) r r のとき点 O から半径 O Q に垂線を引いて交点を R とすると O RO は直角三角形で RO r r, OO r r 三平方の定理より O R ( r r ) ( r r ) 4r r Q Q OR r r 4 r r

4 ⅱ) r r のとき点 O から半径 O Q に垂線を引いて交点を R とすると O RO は直角三角形で RO r r, OO r r 三平方の定理より O R ( r r ) ( r r ) 4r r Q Q OR r r ⅲ) r r のとき 4 r r () よりQQ r r r となっているので上に含めてよい よって, いずれの場合も BQ QQ AQ AB より, r r r r 5 が成り立つ (5) 円 O, O の中心から辺 BCに引いた垂線の交点をそれぞれ S, S とすると BS SS CS BC が成り立つ ここで, C=90 よりCS r また,(4) と同様に SS r r, BS r が成り立つので, r rr r r t とおくと, t rt r 0 より, 次方程式を解いて r r r r 6 r 6 r r t t 0 より, t よって, r 6 r r ゆえに, r r 6 r r r(6 r) 同様に, 円 O,O の中心から辺 ACに引いた垂線の交点をそれぞれ T, T とすると AT TT CT AC が成り立つ CT r, TT r r, AT r であるから, r rr r 4 s とおくと, s rs r 4 0 より, 次方程式を解いて r r r 4 r r r s s 0 より s r r よって, r r r ゆえに, r r r r r r(6 r) 9 (6) (5) の結果を (4) の式 r r r r 5 に代入すると

5 r(6 r) 6 r r r r r r(6 r) 5 9 両辺を 倍して 9 r(6 r) (6 r) r(6 r) r(6 r) r r r(6 r) r (4 ) r(6 r) 両辺を 乗して 6 7 r 7 4r r (4 4 )(6r r ) (6 4 ) r (8 56 ) r 両辺を で割って ( ) r (9 ) r を両辺にかけて ( )( ) r (9 )( ) r ( )( ) 0 r (5 ) r 0 5 (5 ) よって, r ここで,() よりBC=,CA=4,AB=5のときの内接円の半径が であるから r 0 5 ゆえに, r 5 配点 () 6 点 () 6 点 () 8 点 (4) 6 点 (5) 6 点 (6) 8 点 講評この問題 ( マルファッチの円 ) については, 平面幾何 ( 平面図形 ) 分野の問題で以前から数学コンテスト向きではないかと考えて出題を検討していた問題です マルファッチがこのような円を考えた理由 ( 仮説 ) については, 面白い話が 004 年にハヤカワ文庫から出た 数学はインドのロープ魔術を解く ( この本は数学が得意でない人が読んでも面白いと思うので入手できたら読んでみてください ) という本に載っています 今回は最初からつの円について考えるのも大変なので, 簡易版として三角形の内部にある外接するつの円の問題, および入門編として三角形の内接円の半径を求める問題も添えました また, このような問題は江戸時代の数学愛好者にとっても手ごろな問題だったとみえて, 当時算額の問題としても実際に様々な形で出題されています 着眼点にも書きましたが,() の問題は小説 天地明察 にも出てきて主人公を悩ませた問題ですが, 実際に算額で出題されたものです 江戸時代の問題と同じだからといって昔の人と同じ方法で解く必要もありませんが, 当時の人がどのように問題を解いていたかを想像力を働かせると楽しいものです ご存知のとおり江戸時代は鎖国によって海外との交流が途絶えていたこともあり, このような日本の和算家たちの発見はようやく明治以降に海外に伝えられて

6 驚きの目を持って見られています 関孝和を西洋の微分積分学の祖ニュートンと並べ評する人もいるくらいで す 分野によっては当時のヨーロッパより日本の方が進んでいたところもあると思います () つの円 ( 三角形の内接円 ) の半径については, 数 A( 平面図形 ) 及び数 Ⅰ( 三角比 ) で学んでいます が, 通りの計算方法があり異なる つの式で表せます ただし, つの式は変形してみると一致すること がわかります () はほとんどの人が手をつけてくれて出来もよく, 正解率 77.5% でした 間違えた人の中 では, 外接円と取り違えて正弦定理を用いて表そうとした人が目立ちました 幾何の問題としては比較的や さしい部類なので答えのみを描いた人もいましたが, ほとんどの人が説明も含めて書いてくれていました 解答例に載せた つの答え方ですが, 圧倒的に後の形で書いている人が多かったのですが, 中に 人だけ つの解答が一致することにまで述べていた人もいました () 内接円の中心は角の二等分線上にあるので, 円の半径を表すのに角の二等分線の性質を使うのが一般的 かと考えて出題したのが () ですが, 面積を用いてこのことを説明した解答もありました いずれにしても () 以降のヒントになることを考えての問題です 正解率は 47.5% でした 説明せよという問題なので () がで きてなくても () の結果を () で用いた人もいましたが, それについては可としました しかし, 問題を逆に 考えて,() の結果を満たすとき円が 辺に接することを示した人もいましたが, 論理としてはまずいので 評価していません ( 逆は必ずしも真ならず ) () 作図 ( 点 )+ 半径の計算 (6 点 ) としましたが, 予想外に図で手こずった人が多かったように思いました (4) の場合の図 ( 半径が異なる場合の図 ) が問題の本文の中にあったので, それを参考にすれば易しいと思って の出題だったのですが, 作図ということで定規とコンパスを用いた作図が必要だと思わせてしまったとする と出題者の配慮不足でした 問題文中には ( 条件を満たす ) つの円を描きなさい (free-hnd でよい ) として定規とコンパスを用いた作図を求める意図はなかったので, ここで作図法で悩んでしまった人には申 し訳ないです ごめんなさい 実際に定規とコンパスで作図するとすれば, 半径を計算で求めた上で辺の内 分を作図でしなければならず, かなり手間がかかります こちらの意図としては,() の結果 + 図を描くこ とによって つの円の半径が斜辺と直角で長さが等しいから長方形ができる, ということに気が付くと後の 式が処理しやすいと考えての出題でした 作図の採点については, 角の 等分線上に円の中心があるということが図示できて, つの円の半径がほ ぼ等しく描けてあれば 点与えていますが,(4) 以降が出来ている人の中にも作図のなかった人が何人もい たので惜しいと感じました 円が描けていても円の中心が角の 等分線から明らかにずれている人, 円が大 きく三角形からはみ出ている人などには点は与えていません 半径の計算については,() を使う方法のほかに面積を利用する方法, 相似三角形を用いる方法など様々 な方法があります どの方法でも説明が十分であれば満点としています また () のように式の形が違って いても正解の場合もありましたのでそれらの人は正解としています 作図も含めた () の正解率は.0% でした (4) これ以降は, 4, c 5 としています () からこの形でもよかったのですが, これだと () は 易しすぎではないでしょうか () との違いは つの円の半径でできる四角形が台形になるという点です この場合は三平方の定理で円の中心から引いた垂線の辺との交点間の距離を求めればよい ( 類題はけっこう 多く出題されています ) ので () を参考にできると考えたのですが, 誤答例としては,() の図に引きずられ て四角形を長方形として考えた人が目立ちました また, 別解として,() と同じように面積を用いて考え た人もいました ( その方法による正解者もいました ) この問題の正解率は.5% でした (5) 実質 (4) と同様の計算を, 円 Oと円 O の間で考えて関係式を作り, r をrの式で表すとよいのですが根 号を含む 次方程式なので工夫が必要です いずれにしてもけっこう計算が大変です

7 こちらで当初考えた解答は, 解答例のように r t とおいてt についての 次方程式を解く方法ですが, 皆 さんの解答は移項して 乗することによって根号を消去して r を求める方法が圧倒的に多かったです ただ し, (6) で r も使うので解答例のほうがあとあと楽です この問題の正解率は.5% でした (6) さすがに時間の制約もあり (6) の最後までできていた人はいませんでしたが, もう少し時間があればでき た人もいたかもしれません 採点者としてはここまでやってくれたという点でも大したものだと感心してし まいました 残念ながら (6) の正解者はいませんが, 何人か惜しいところまでいっていた人もいました 平 面幾何の問題の中には今でも未解決問題やまだ知られてない定理が隠れている可能性もありますのでこれ からもさらなる精進をお願いしたいと思います ( 北海道札幌旭丘高等学校佐々木光憲 )