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1 17 年 1 月 16 日 月 1 限 8:5~1:15 IB15 第 回半導体工学 * バンド構造と遷移確率 天野浩 項目 1 章量子論入門 何故 Si は光らず GN は良く光るのか? *MOSFET ゲート SiO / チャネル Si 界面の量子輸送過程 MOSFET には どのようなゲート材料が必要なのか? 1/33

2 * 量子井戸レーザ なぜ量子力学が必要か? * 結晶成長 結晶はどのように成長していくか? 何故レーザーダイオードは複雑な構造が必要なのか? 原子から固体へ : 固体中の電子のふるまいを理解するには量子力学は必須! /33

3 量子力学の つの要請 v t r ポテンシャルエネルギーが周期的な空間に粒子が存在する場合 波動関数もその周期性を持つ z y z L z y x z L y x z y L x z y x 1. 粒子の状態は波動関数で表される 波動関数は 1 価の滑らかな関数 量子力学の要請 1 価の滑らかな関数の意味 位置のエネルギーが変わる境界のところでも波動関数及びその 1 次微分が連続 但し 位置のエネルギーが無限大のところでは波動関数は零 即ち電子は存在しない また 無限遠では波動関数は零 存在する割合は確率密度関数で表す v t r t r t r P =1 のとき 波動関数は規格化されていると言う t r 3/33

4 量子力学の つの要請. 物理量と演算子 運動量演算子 pˆ j エネルギー演算子 Eˆ j t 角運動量演算子 L r j ˆ 等のように 常に演算子を用いる Q: 上の四角を埋めなさい /33

5 量子力学の つの要請 3. 波動関数と波動方程式波動関数は必ずシュレーディンガー方程式を満足する Hˆ Hˆ ˆ E Eˆ m j t V 運動エネルギー + ポテンシャルエネルギー 平面波 r t Aexp[ j k r t] 平面波を用いて 何故これが粒子の総エネルギーになるか確認しましょう 5/33

6 量子力学の つの要請. 測定値と固有値 Aˆ は定数 となるとき は 演算子 Â の固有値と呼ぶ 必ずしも この関係が成り立たないとき Aˆ Aˆ * Aˆ v * v 規格化されているとき = * Aˆ v 期待値と呼び 物理量の測定平均値を表す 6/33

7 V m I x x II Q 左図のように 幅が エネルギーの深さが V の有限の深さの一次元井戸型ポテンシャルに閉じ込められた質量 m の粒子の波動関数を以下の手順で求めなさい 計算の際 粒子のエネルギー E は V より小さいとする x III x 1 領域をに分けて それぞれの 領域での時間に依存しないシュレーディンガー方程式を導出し 波動関数を求めなさい 波動関数は 1 価の滑らかな関数である 即ち境界において波動関数およびその一次導関数が連続であることから 波動関数の係数の関係を示す連立方程式を導き出しなさい 7/33

8 解答 I II V m III x x<-/ および x>/ では V=V -/<x</ において V= 領域 I および III では x I III m V E II me 領域 II では II x 領域 II の波動関数の一般解は I III x C jkx D jkx 8/33

9 解答 x I III m V 領域 I および III では m V E E I III とおくと 領域 I I x A x B x 領域 III x F x G x III このうち 波動関数は無限遠で存在しない という量子力学の要請を用いると I x A x x G x III 9/33

10 解答 波動関数は 1 価の滑らかな関数であることから 波動関数の係数の関係を示す連立方程式を導き出しなさい x において x x II I II I k j D k j C A k j jk D k j jk C A x において x x III II III II G k j D k j C G k j jk D k j jk C 1/33

11 解答 G D C A k j jk k j jk k j k j k j jk k j jk k j k j の係数行列式 = より k の関係が求まる - k sink+kcosk tn k k k 11/33

12 解答 基底状態の波動関数 n=1 井戸層厚 1[nm] 障壁層高さ [ev] 1/33

13 解答 1 1 第一励起状態の波動関数 /33

14 解答 第二励起状態の波動関数 /33

15 [ m 水素原子中の電子のシュレーディンガー方程式 V r t] r E r +qの電荷の陽子がある場での電子に対するポテンシャルエネルギー q V r r +q 陽子 x z-q ポテンシャルエネルギーが負 エネルギー的に安定 電子 y エネルギー固有値 mq 3 1 n En 13.6[ ev ] n 1 n 13 m : 電子の静止質量 q : 電子の素電荷 : 真空の誘電率 h : ディラック定数 hはプランク定数 n : 主量子数 15/33

16 原子から分子へ共有結合の考え方 水素分子 H 中の電子のエネルギー 1 b: 陽子 1: 電子 b 分子になると相互作用項が増える ハミルトン演算子も複雑 Q: 水素分子のハミルトン演算子を求めなさい 陽子の運動は無視して良い Hˆ m 1 m q r 1 q r q r b1 q r b q r 1 q r b 16/33

17 水素分子 H 中の電子のエネルギー 反結合状態 二つの解が存在 ポテンシャルエネルギー E E -.7A r b E - のときの電子の波動関数 r b 陽子間距離 陽子の間にも存在! E + 結合状態 -.5eV スピンが異なっている! r b E + のときの電子の波動関数 共有結合と呼ぶ 17/33

18 Q: メタンの分子式は CH である 炭素原子の中で 結合に寄与している電子の量子状態を答えなさい また 下記の図は炭素 C の基底状態の電子配置である 同様に CH の電子配置を描きなさい エネルギー E s p 炭素と水素の結合メタンの例 1s 18/33

19 解答 解答例 炭素の電子配置 1s s p もし pだけが結合に寄与するのであれば CH ところがメタンはCH なぜか? s p s 1 p 3 sp 3 混成軌道と変化し つは全く等価となって正四面体構造を形成する 19/33

20 解答 s p x p y p z s p x p y p z 電子が昇位している途中の電子の波動関数の様子矢印は スピンを表す /33

21 解答 正確に書くと こんな形 反対側も少しある 最終的なメタンの電子の波動関数 sp 3 混成軌道 1/33

22 解答 解答例 赤は水素原子の電子 /33

23 原子 分子から結晶へ シリコン結晶中の電子の状態 mb/9/9f/sp3-orbitl.svg/px-sp3-orbitl.svg.png 3s 3p 3sp 3 エネルギー E s p 1s エネルギー E s 1s p シリコン原子の電子配置 Si:1s s P 6 3s 3p 3sp 3 軌道の場合 3/33

24 一つの原子に注目すると正四面体構造であることが良く分かる! シリコン結晶について Q: 結合長は? 3. 35nm シリコンの結晶構造 ダイヤモンド構造 最近接の Si 同士で共有結合を形成 =8 ひとつの Si で最外殻に電子 8 個を持つのと同様 /33

25 x y z =.53 nm 各原子の座標 シリコン結晶について Q: 充填率は? 5/33

26 シリコン結晶中の電子のエネルギー ポテンシャルエネルギー E ひとつのSi 原子につの 3sp 3 電子 Si-Si 分子を構成したときの電子エネルギーの様子 仮想図 つの反結合状態こちらは空 つの結合状態 r si-si パウリの排他律により 3sp 3 の電子のエネルギーが少し分裂する 基底状態では こちらに つの電子がつまる 6/33

27 原子から固体へ : 最外殻電子のエネルギーの変化 エネルギー sp 3 混成軌道 原子 :s 軌道と p 軌道 分子 : 結合軌道と反結合軌道半導体 : 伝導帯と価電子帯 大学院物性物理 1 量子物性伊達宗行監修 7/33

28 Si 結晶中での結合の密度 この立方体中の原子の個数は [ cm =5.3A : 格子定数と呼ぶ 結合軌道密度はこの 倍 ] 8/33

29 Q: ダイヤモンド シリコン ゲルマニウムは いずれもダイヤモンド構造を形成する それぞれの物性値は以下の通りである 最も比重が小さいものを答えなさい アボガドロ数 N A は [mol -1 ] とする 格子定数 [A ] 原子量 比重 [g/cm 3 ] ダイヤモンド C シリコン Si ゲルマニウム Ge /33

30 解答 解答例 比重 = 8 N 3 A 原子量 格子定数 [A ] 原子量 比重 [g/cm 3 ] ダイヤモンド C シリコン Si ゲルマニウム Ge シリコンが最も軽い 比重が少ない 3/33

31 この面の原子配置.35 3 r Si Si [A ] r Si-Si 解答 31/33

32 この面の原子配置 A B B cos A B A より 3 1 cos 19.7 解答 3/33

33 まとめ 1. 量子力学の四つの要請をまとめよう. 演算子とは? 3. 波動関数とは?. 存在確率とは? 5. 境界条件の意味 33/33

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