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ありさくまじ
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1 KLT はエネルギを集約するカルーネンレーベ変換 (KLT) で情報を集約する要点分散 KLT 前集約分散 KLT 後分散 = エネルギ密度エネルギと表現最大を 55, 最小を 0 に正規化して表示した情報圧縮に応用できないか? エネルギ集約データ圧縮分散 ( 平均 ) KLT 前 :. KLT 後 :. 圧縮指標圧縮指標 ( 平均 ) KLT 前 : 4.4 KLT 後 :.0 log 分散同じ圧縮大事な結論カルーネンレーベ変換 (KLT) で情報を集約する数式表現と一般化

2 言葉の定義 ( 詳細 ) 分散共分散行列と固有ベクトル位置 (n,n ) における画素値 x (n,n ) 全ての画素について x 平均分散 (=エネルギ密度) H(x) ヒストグラム (= 度数分布 ) P(x) 確率密度関数エネルギ (= 分散全画素数 ) H エントロピ ( 平均符号長 ) H log 確率密度関数に依存画素あたりの平均符号長(=データ量全画素数 ) 画像全体でのデータ量(= 平均符号長全画素数 ) 情報量エネルギ広義に情報圧縮指標ここでの使い方 log 分散共分散行列に対する固有ベクトル変換係数 P = AX 分散共分散行列但し ij N N x i N N x( n, x( n, X x6( n, 6 N N n 0 n 0 N N i n 0 n 0 6 x ( n, n ) xi ( n, xi x j ( n, x j KLT の後の分散共分散行列はスペクトル対角化されるスペクトル ( 無相関化 ) スペクトル 6 行列 B {R,G,B} を {Y, C b, C r } に変換する行列行列 A 共分散行列に対する 6 つの固有ベクトル分散共分散行列 (KLT の前 ) A T = = 具体的な値 B = KLT= PCA = 軸の入力入力入力 3 3 第成分第成分第 3 成分分散共分散行列 (KLT の後 ) = ( 無相関 ) ( 無相関 ) co : in in co

全体では / N N n n 相乗平均カルーネンレーベ変換 (KLT) で情報を集約する隣接画素間に適用奇数列と偶数列に分類

3 分散が偏る圧縮できる入力入力 : 入力 N 分散圧縮指標 N log N n n 相加平均成分成分 : 成分 N 分散 n エネルギ保存則 N n N n 符号化符号化符号化 n 圧縮テータ圧縮テータ : 圧縮テータ N log 個別には log n 全体では / N N n n 相乗平均カルーネンレーベ変換 (KLT) で情報を集約する隣接画素間に適用奇数列と偶数列に分類奇数列と偶数列に分類列 8 列

4 偶数列と奇数列の分散はほぼ同じ KLT = の約 3 千大きく第成分分散 :, 分散 :5,736 第成分第成分分散を最小化分散が偏る情報圧縮分散 :3,00 3,039 約 3 千分散 :3,00 再生画像第成分 67 小さく clear all; cloe all; Fn='C: Uer iwa 岩橋ソフトウェア標準画像 mono '; % Fn='C: Uer iwa 岩橋研究室ソフトウェア標準画像 mono '; w=; Th=0/80*pi; In=7; witch(i; cae ; Fn='couple.bmp'; cae ; Fn='girl.bmp'; cae 3; Fn='aerial.bmp'; cae 4; Fn='airplane.bmp'; cae 5; Fn='parrot.bmp'; cae 6; Fn='mandrill.bmp'; cae 7; Fn='lena.bmp'; cae 8; Fn='earth.bmp'; cae 9; Fn='balloon.bmp'; cae 0; Fn='milkdrop.bmp'; cae ; Fn='ailboat.bmp'; cae ; Fn='pepper.bmp'; cae 3; Fn='tree_log.bmp'; end; % original image --> X0 N =3; Th=0; Th=0; Th3=0; Th4=0; Th5=0; Th6=0; Th7=0; xx=imread(trcat(fn,f); [N N N3]=ize(xx); L0=N/; L=N/; X0(:,:)=double(xx(L0-N/+:L+N/,L0-N+:L+N)) -8; clear xx; P(:,:)=double(X0(:N,::N*)); P(:,:)=double(X0(:N,::N*)); x(,:n*n)=rehape(p(:n,:n),,n*n); x(,:n*n)=rehape(p(:n,:n),,n*n); var(x') % component figure(); ubplot(,,3); imhow(nrmimg(x0)); xlabel(' ','Fontize',); ubplot(,,4); imhow(nrmimg(p)); xlabel(' ','Fontize',); ubplot(,,); imhow(nrmimg(p)); xlabel(' ','Fontize',); ubplot(,,); plot(x(,:n*n),x(,:n*n),'.'); axi('quare'); axi([ ]); ylabel(' ','Fontize',); xlabel(' ','Fontize',); % PCA [P P Th]=PCA(P,P,w,Th,+); [var(p(:)) var(p(:))] [Q Q Th]=PCA(P*0,P,w,Th,-); [var(q(:)) var(q(:))] x(,:n*n)=rehape(q(:n,:n),,n*n); x(,:n*n)=rehape(q(:n,:n),,n*n); X(:N,::N*)=Q(:N,:N); X(:N,::N*)=Q(:N,:N); x(,:n*n)=rehape(p(:n,:n),,n*n); x(,:n*n)=rehape(p(:n,:n),,n*n); % component figure(); ubplot(,,3); imhow(nrmimg(x)); xlabel(' 再生画像 ','Fontize',); ubplot(,,4); imhow(nrmimg(p)); xlabel(' 第成分 ','Fontize',); ubplot(,,); imhow(nrmimg(p)); xlabel(' 第成分 ','Fontize',); ubplot(,,); plot(x(,:n*n),x(,:n*n),'.'); axi('quare'); axi([ ]); ylabel(' 第成分 ','Fontize',); xlabel(' 第成分 ','Fontize',); var(x(:)) figure(3); ubplot(,,); imhow(nrmimg(x0)); xlabel(' ','Fontize',); ubplot(,,4); imhow(nrmimg(p)); xlabel(' 第成分 ','Fontize',); ubplot(,,); imhow(nrmimg(p)); xlabel(' 第成分 ','Fontize',); ubplot(,,3); imhow(nrmimg(x)); xlabel(' 再生画像 ','Fontize',); % % % PCA % % function [Q Q Th]=PCA(P,P,w,Th,FB) % if(fb==+); % [N N]=ize(P); % x(,:n*n)=rehape(p(:n,:n),,n*n); % x(,:n*n)=rehape(p(:n,:n),,n*n); % % covariance matrix % Av=mean(x'); % (,)=(x(,:)-av())*(x(,:)-av())'; (,)=(x(,:)-av())*(x(,:)-av())'; % (,)=(x(,:)-av())*(x(,:)-av())'; (,)=(,); =/(N*N-); % % optimum angle % if(w==); % [A B]=eig(); A=A'; % if(ign(a(,))~=ign(a(,))); A(,:)=-A(,:); end; % Houholder -> Given % if(ign(a(,))~= ); A =-A ; end; % Th=atan(A(,),A(,)); % end; % A=[co(Th) -in(th); in(th) co(th)]; % fprintf('%6.f degree n',th/pi*80); % % rotation % y=a*x; % Q(:N,:N)=rehape(y(,:N*N),N,N,); % Q(:N,:N)=rehape(y(,:N*N),N,N,); % end; % if(fb==-); % [N N]=ize(P); % x(,:n*n)=rehape(p(:n,:n),,n*n); % x(,:n*n)=rehape(p(:n,:n),,n*n); % A=[co(Th) -in(th); in(th) co(th)]; % % rotation % y=inv(a)*x; % % covariance matrix (after) % Q(:N,:N)=rehape(y(,:N*N),N,N,); % Q(:N,:N)=rehape(y(,:N*N),N,N,); % end; % % % % % covariance of quare matrix % % % function =Covqm(Q,Q,Q3) % [N NN]=ize(Q); % x(,:n*n)=rehape(q(:n,:n),,n*n); % x(,:n*n)=rehape(q(:n,:n),,n*n); % x(3,:n*n)=rehape(q3(:n,:n),,n*n); % Av=mean(x'); % (,)=(x(,:)-av())*(x(,:)-av())'; % (,)=(x(,:)-av())*(x(,:)-av())'; % (,3)=(x(,:)-Av())*(x(3,:)-Av(3))'; % (,)=(x(,:)-av())*(x(,:)-av())'; % (,3)=(x(,:)-Av())*(x(3,:)-Av(3))'; % (3,3)=(x(3,:)-Av(3))*(x(3,:)-Av(3))'; % (,)=(,); % (3,)=(,3); % (3,)=(,3); % =/(N*N-); % % カルーネンレーベ変換 (KLT) でデータ量を圧縮できる演習問題を解く

5 軸を成分の分散を最小化問題 y y co in in x co x とする y ( の分散第成分 co 第成分 in in co 分散を最小化分散を最小化分散が偏る情報圧縮 N N n0 y y を最小とする角度は? where y N y ( n N n0 ) 分散が偏る圧縮できる log 分散奇数列偶数列圧縮指標 ( 全体 ) 成分成分 log 偏るエネルギ保存則符号化符号化 H H 圧縮テータ圧縮テータ圧縮指標 ( 個別 ) log log 圧縮指標 ( 全体 ) / log 相加平均 > 相乗平均 KLT 前の分散 KLT 後の分散エネルギ保存則エントロピのとき問題 KLTによりエントロピが下がる ( データ量を圧縮できる ) ことを示せ log 分散

6 KLT 前のエントロヒ KLT 後のエントロヒ以下を示す H B H A H A H B 指針 log log log log なので KLT 前のエントロヒは H B エネルキ保存より H B 解答 log log log log log 解答 KLT 後のエントロヒは従ってなので H A log log log log / / H A H B 分散を最小化分散が偏る情報圧縮カルーネンレーベ変換 (KLT) は成分除去の影響が小さい隣接画素間に適用

KLT は成分除去の影響が少ない分散が偏る除去できる成分除去 / 再生画像と大きく異なる KLT なし奇数列偶数列分散成分成分偏る逆全画素再生画像再生画像再生誤差再生画像原画像 KLT 成分除去 / KLT - 再生画像と似ている KLT あり第成分第成分 co in 小さい in 原画像 co 原画像近い除去再生画像 co in 0

7 KLT は成分除去の影響が少ない分散が偏る除去できる成分除去 / 再生画像と大きく異なる KLT なし奇数列偶数列分散成分成分偏る逆全画素再生画像再生画像再生誤差再生画像原画像 KLT 成分除去 / KLT - 再生画像と似ている KLT あり第成分第成分 co in 小さい in 原画像 co 原画像近い除去再生画像 co in 0 再生画像 in co 第成分問題問題 y( x( R( ), y( x( xˆ ( 0 R( ) xˆ ( y( co R( ) in in co y y x R( ) x, co R( ) in とする y ( と y ( の相関 in co とする再生誤差 xˆ x xˆ x ( n ) を最小とする角度は? 全てのn y y y ( n y ) をゼロとする角度は?

8 画素を 4 つに分類する 4 つのグループに分けて KLT する分類 4 つの成分 3 3 画素 KLT を適用してみた再生画像 KLT 4 つの成分 3 3 画素 4 つの成分一部を削除 /4

を繰り返し適用したカルーネンレーベ変換 (KLT) を繰り返し適用する原画像奇数列偶数列 45.39 中間中間奇数列偶数列奇数列偶数列 46.48-36.56 成分成分成分 3 成分 4 原画像成分成分成分 3 成分 4 等価表現 KLT のまとめ原画像奇数列偶数列原画像 x() x() x(3) x(4) 45.39 中間中間 45.39 46.48 45.39-36.

ロスレス符号化 ( 符号量 ) y L y 変換前 : Hx log ( AM), AM 変換後 : Hy log ( GM), GM y L yl 4. ロッシー符号化 ( 符号量と符号化歪み ) ' 変換前 : Hx Hx log qx, ex qx ' 変換後 : Hy Hy log qy, ey qy H を最小化 5. 符号化利得 ( 歪みの比同じ符号量 ) ex G0log0 6.

9 を繰り返し適用したカルーネンレーベ変換 (KLT) を繰り返し適用する原画像奇数列偶数列中間中間奇数列偶数列奇数列偶数列成分成分成分 3 成分 4 原画像成分成分成分 3 成分 4 等価表現 KLT のまとめ原画像奇数列偶数列原画像 x() x() x(3) x(4) 中間中間奇数列偶数列奇数列偶数列成分成分成分 3 成分成分成分成分 3 成分 4. ブロック変換 yl x K yh x 0, t K t 00 0 t0 t. データ圧縮に適した変換は? log H Hx x [ bit] Hy 任意の入力に対して基底 "t ij " を最適化したい H y L y H 3. ロスレス符号化 ( 符号量 ) y L y 変換前 : Hx log ( AM), AM 変換後 : Hy log ( GM), GM y L yl 4. ロッシー符号化 ( 符号量と符号化歪み ) ' 変換前 : Hx Hx log qx, ex qx ' 変換後 : Hy Hy log qy, ey qy H を最小化 5. 符号化利得 ( 歪みの比同じ符号量 ) ex G0log0 6.0( H H ) x y 但し R ey AM 3.0 log GM [db] を最大化 6. カルーネンレーベ変換 (KLT) GM detr yy なので GMを最小化 R yy x : E[ YY ], yy ex eyh, T K R Kを対角化 7. 入力信号の共分散行列 R xx に対する固有ベクトルとして最適な基底行列 K が求まる xx : E[ x ], : E[( x' x) ] eyl T ey xx yl T R : E[ XX ] yh x

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untitled 主成分分析 (Prncpal Component Analy) で情報を集約するマルチスペクトル画像なしが情報を集約する 69.68 77.97 85.73 96.7 98.8 画像 : NASA 除去できる一部に集約あり.24.35 4.63 7.65 3.9 分散の比率最大を 255, 最小をに正規化して表示 3 つの成分から画像を再生した信号処理の手順行列 A 共分散行列に対する