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- えつみ さわなか
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3 . lim + + 3) ) lim sin 5 sin cos 5) s5496).3 3 e ) e sin 5) s5497).4 log d ) cos d 5) s5498).5 y = a a >,, y ) P p, y p ) P A P, ) y = k) ) A 3) y = a P S 4) P Q q, y q ) q 5) s5499).6 y = a + b =, = y = D a, b a >, b D ) y S 3) D y V y V a = b = 4) b = V y = V a.7 e d 5) s549) 5) s549) d 5) s549).9 tan = arctan tan ) = / + ) 6/π /π cos/) d ) + 4 d 5) s5493).3 /9 4) ) /4 + ) 3
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10 .78., adj A A, E, det A A. n A adj A)A = Aadj A) = det A)E detadj A) = det A) n. ) A = 3, det A, adj A, detadj A), A..79. ) a + A =. 3 a ) a A,. { a + ) + y = 3 + ay = 3 6 s6499) 6) s6493).8. { 4 3y = 3 y = 6) s6493).8,.,.,, ) s6493).8 R A 3 a R 3 A = 4 3, a = 3., f : R 3 R 3 f) = A R 3 ) R 3. A A. ) ffa)).
11 u 3) fu) = a u = v R 3. w 4) f) = = y R 3. 5) A. z 6) s64933).83 R V S V,, y S α R, ) + y S, ) α S. V = R 3,,. S = y R 3 ; + y z =, z S = y R 3 ; + y z, z S 3 = y R 3 ; + y z =. z 6) s64934).84 f), g) f, g. n. fg) n) = n k= n! k!n k)! f k) g n k),, h n h n),h ) = h. 7) s749).85,). a = 3, b = 3. ). 3 3 c = 5 7 5, d = 4
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18 .6 y = + 8) s8496).7 lim sin 3 8) s8497).8 3 e + log ).9.3 e D log d log + y ) ddy D : + y ) 8) s8498) 8) s8499) 8) s849) + y + z =.3 y + y + 4z = 3 + y + z = 3.3 A = 8) s849) ) s849).33 = cos 4 t, y = sin 4 t dy d, d y t d 8) s8493).34 cos 3 n g) = cos a a > ) g n) ) = a n cos a + n ) π 8) s8494).35 π cos + cos d 8) s8495).36 z = tan u + v), u = y, v = y z, z y, y 8) s8496).37 g, y) = f, y) g, y) = + y, f, y) = + y.38 D y ddy, D = {, y) y < } 8) s8497) 8) s8498) 8
19 [ ].39 A = 3 4, B = AB, BA A =.4 A = ranka) det A A 8) s8499) 8) s849) 8) s849).4 a, a,..., a r r n) R n.43 A = a, a,..., a r 8) s849) A ) P A.44 dy/d 8) s8493) y = ) y = / 3) y = ln 4) y = sin3) 5) y = /e 8) s8494).45 T P V,) a, b, R P + a/v )V b) = RT P/ T ) V ) P/ V ) T 8) s8495).46 ep ep) = e ) cos) 3) 4 ep ) 4) / 9) 5) ln.47 dy/d) + y = ) dy/d) + y = 8) s8496) 8) s8497).48 a t a = π cos πt t t = 8) s8498) [ ] i.49 i i 8) s8499) 9
20 .5 f) = f) = e ) g) = g) = 3) lim f) g).5 y = dy d, y = d y d.5 A = y 4y y = ) y 4y y = 8 3) ), B = A B ) t A t B 3 4 3) A A 4) t B det t B) ) t A t B A B 8) s8493) dy d + y = y cos sin ) 8) s8493).53 ).54 A =, = + p + 3 = p + = 8) s8493) p 8) s84933) A λ, λ ) λ, λ 3) A 8) s84934).55 lim ) lim ) s84935).56 y = 3 + ) 3 ) y = sin 4) log 3) 8) s84936).57 C 3 + ) sin d ) sin cos 3 d t = sin ) 8) s84937)
21 .58 I y = 3 +, I = [, 3 ] 8) s84938).59 lim 3 8) s84939).6 D + y ddy,.6 dy d = + y y ) d y d + 4 dy d + 3y = D : + y cm, cm 9) 8) s8494) 8) s8494) 9 cm 9 cm cm cm 8) s8494).63 + y + z 9 z = z y + 3z = 5 + y + z = 7 + 3y + 4z = 8) s84943) 8) s84944).65 P y, ) y 75 y P y 75 = ) s84945).66 dy/d. y = ) y = sin 3) y = + ) 3 4) y = log 5) y = ep)/ 9) s949).67 f) = ep), f ) f ). ) f) = ep), f), f ), f ).
22 3). f) = f) + f ) + f ) /! + + f n ) ) n /n )! + f n) θ) n /n! < θ < ) f) = ep) 4., ep) = e. 4) 4, ep. 9) s949).68. 3/7 d ) 4) log d 5) cos3) d 3) 4 d 9) s9493) tan d.69 y = y = ),..7 =, 3. ) y ) + 9y) =. 3) f) = π π f) = a +, a, a n, b n. 9) s9494) 9) s9495) [ a n cosn) + b n sinn) ] n= 9) s9496).7. log d. C. ) 4) D sin e 3 d 3) d { }) y ddy, D =, y), y 9) s9497).73 3 A) = A, y, z), A y, y, z), A z, y, z)). A) A)) = A) ) A) ) A).74., log. sin lim 3 ) lim log + 9) s9498) ) 9) s9499)
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24 .85 A =, A + A 8E = O. ), A A., E, O, A,,, A.., A = A ) 9) s949).86 α, = 5 4 = = = α.87,., log e. 9) s949) y = sin 3 cos 3 ) y = sin ) 3 3) y = log ) 4) y =.88 n y n). y = sin a ) y = e a sin b 9) s949) 9) s9493).89., C. d + d ) + a 9) s9494).9 a ) + y b ) = V., a, b,. 9) s9495) lim ) y = log +. 3) e d. 4) f, y) = 5y + 3y,, y. f f., 3, ) y 9) s9496).9. dy = y) d ).93. d y dt dy 3t = 5 sin t dt 9) s9497) + y z = 3 + y + z = 7 y + z = 9) s9498) 4
25 .94., y z z, i, j, k)., i + j + k =. i, j, k) m y i, j, k.,,, i >, j >, k <. m 5m 9) s9499).95. cos d ) e e d ) s49).96 y + y ) = A 3. A = 4 ) y B. ) 4 B = 3),. ).. 4) C t. t. ) 4 C = t.97., y = dy d, y = dy d. y = a ) y + y + y = e cos ) s49) ) s493).98 y, y P,, y). A, a, ), AP θ AP., y = dy dt, θ = dθ dt.. ) P. v. 3) tan θ, t,..99 a, b,.. π fa sin + b cos )d = π ) s494) ) f a + b sin d 5
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27 4) y = A, y, y) = N, )., N..3 f) = + ) log + ),. n, n f n) ). ) f) f) = a + a + a + a a n n + ) s494), a, a, a, a 3 a n., < <..4 z = f, y), = r cos θ, y = r sin θ, z = + y, z y = ) s495) y + y. z r, z θ. ) s496).5 f) = tan., tan tan. ) 3 f)d = tan + + tan + C., C. f)d..6 3 a =,, ), b =,, 3) R 3,. c =,, ), c = pa + qb p, q. ) d =,, ) a, b a, b. 3) a, b, c, d a, b, c, d..7 3 A =, B = P AP = B 3 P. ) A, 3) n, B n. 4) n, A n. ) s497) ) s498),. ) s499).8 f f + h) f) ) ) = lim =. h h 3 ) = 3 sin t 9 d. ) s49) 7
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31 .8 3). y = ). 3). ) s493).9. a) 6 9 b) 5 + 7) 5 ). tan 3). π π 4 sin d ) s493).3 + y =. ) s493).3. tan.3. ) e ) s49) y = ) s49).33. ) 3 log d + ) d ) s493).34. ddy D : + y 4, + y ) D ) s494).35. ) A = ) A =
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33 A =, P = P det P. ) P P. 3) P AP. 4) A ) A.,. ) s49).43. sin lim ). lim h cosθ + h) cosθ) h ) s493).44. ) d a a d a > ) ) s494).45 m d dt + r d dt + k = m >, r >, k >, r 4mk > t = ) d =, dt =. ) s495).46 O A, B, O, A, B. B OA H, a = OA b = OB,. OH HB a b. ) A, B,, 5), 3,, 3), H..47. lim 3 33 ) s496)
34 ) lim + 3 ) + ) s497).48 a, r, r <, a. r f) = cos 3, ) s498) f) = f) + f ) + f ) + f ) f n) ) n +!! 3! n! f) = a + a + a a a ). a, a, a. ) cos C. + 4) cos d ) cos 5 d t = sin ) ) s499).5 A = [ ],. ) s49) A. ) A λ, λ. 3) A λ, λ,. 4) A B= P AP ) P. 5) A n n. [.5 A = a a a 3 ] = 3. ) s49) A A. ) A A. 3) a a 3. 4) a a 3 θ cos θ. 3 5) b = a, a, a 3. ) s49) 34
35 .53 y dy/d. y = a + b)/c + d) ) y = n 3) y = + ) / 4) y = tan ) s493) /) d ) sin d 3) e d 4) log d ) s494).55 3 f), f)., f ) f). f ) =, f) =, f = 5, f ) =..56. y = dy/d. y = sin ) y = a + b) n 3) y = e e e + e 4) y = log ) s495) ) s496) + sin 3) s349).58 Leibniz, y = 3 sin n. ) ) ) Leibniz : uv) n) = u n) n v + u n ) v n + u n ) v n + + n, uv) n) : uv n, n r ) = nn )n ) n r + ) r! uv n) 3) s349).59. ) d ) sec d sec = / cos ) 3) ) 7/ d 4) π cos ) d 3) s3493).6 t, y. dy dt = λy λ t = y = y, y = y / p + q = 3. 3) s3494).6 sin cos d. 3) s3495) 3) s3496) 35
36 .63. ) 4 3 a d a d, a >. 3) s3497).64. dy d y = e ) d y d dy d 3y =.65 + y) y) + = 8 8,.. 3) s3498) ),. 3). 3) s3499).66. ) sin 3) cosh 3) s349).67. ) d ) 3 e ) d 3) sin cos 3) d f, y) = cos y) f, f y, f, f y, 3) s349) f,. y 3) s349).69 ρ, y) = y, M + g, g y ).,, S, ρ, y) d yρ, y) d y S S g =, g y =. M M S O 3) s3493).7 3 a =, b = 3, c = 36
37 ., c a, b. 3) s3494) y + 7z = + 5y + 8z = y + 9z = 5 + y + 5z = ) + 3y + z = 3 3 y + 3z = 3) s3495) f, y) = y + )e y,. f, f y, f y, f, f yy. ) f = f y =, y). 3) f, y)..74 t = sin, 3) s3496) 4) s449) sin ) d. ) / sin ) d. 4) s449).75 D = {, y), y }, log + y + )ddy. D 4) s4493).76 A = 3 3, = A. y z, = ) A = a =,, 3), b =,, ) R 3,. a b 3 3 c. ) a, b, c B =,. 4) s4494) 4) s4495) 37
38 B,. ) P BP 3 P. 4) s4496).79 y dy/d. y = + ) y = e 3) y = sin3) cos 4) y = log 4) s4497).8. + ) d ) 3) d 4) log ) d 3 )3 ) d 4) s4498).8 y., a b. { ) ) } 6 b b y = 4a y =. ) y <. 3) y. 4) s4499).8., a, = y = y. dy d = ay 4) s449).83 f) f ). f) = ) f) = e sin cos) 4) s449) d ) e sinπ) d 4) s449).85 f, y) = sin3y), f, f y, f y. 4) s4493).86. { 4 } 4 y)dy d 4) s4494) 38
39 .87 Aθ) = cos θ sin θ sin θ cos θ ),. Aθ) = A θ) ) Aα + β) = Aα)Aβ) y z = + 5y z = 8 y + z = 8.89 A = 4) s4495) 4) s4496),. 4) s4497) y = log 3 ) y = ) 3 + 4) s4498) 5) s549).9 a + y = πab. b 5) s549).93. f A A. ) θ = 45 f B B. [ 3) f A, f B, y. ] [ = ] + t [ ] 5) s5493).94 t J, t) X), t T t) J, t) = X)T t).,. t = J, ) T t) d X) d X) c d T t) dt = J, ) = cos 3, t > J, t). 5) s5494) 39
40 .95, y, z 3 l + my + nz =,, ). 5) s5495).96. ddy + y ) 3 +y 4 5) s5496).97 i, j,. i = i, j k., j = ) k, i, j, k. = 3 4 5) s5497).98. ) 3 ) 5) s5498).99 A,. A = A. ) ) A, P AP P. 3) A n = P XP X., n. 5) s5499).3., a >. lim e sin a ) lim 3 3) lim a a 5) s549).3 f, y), f + f yy =., log. f, y) = e sin y ) f, y) = log + y ) 3) f, y) = loge + e y ) 5) s549) 4
41 .3 ;, sin sin., ) t = cos. / sin d ) π/ sin sin d.33 3 A A = a b. 5) s549) A, A 3, n A n. ) A A a, b R 3 a =,, 3), b =,, ). a, b c =, 3, ). ) a, b d = 4, t, 3) t B =, c. c c c c c c 5) s5493) 5) s5494),. 5) s5495).36 lim log. 5) s5496).37 y = + sin dy d y3 +. 5) s5497) 5) s5498).39 f, y) = 3 7y + y f f,.,, ) y f f y. 5) s5499).3 = f). f) = f) + f )! + + f )! f n) ) n + n! 5) s549) 4
42 [.3 A = [.3 C = ] [, B = ] ] AB B T B. 5) s549). 5) s549).33 d y d + 4y = 3 sin. 5) s5493).34 y dy/d. y = log e ) y = 3 + ) 3/ 3) y = 4) y = 3 tan 5) y = log e a sin b b cos b a + b e a 5) s5494) ) /3 d ) 4) sin d 5) d 3) e 3 d d 5) s5495).36. dy d = y dy + y ) = d y + y 5) s5496).37. y = y = + 4 ) y = 4 ) 5) s5497).38 f) f ). f) = ) f) = log 4 6) s649).39 ft) = Ae λt sinωt + θ), t f. A, λ, ω, θ..3., C. e a d a ) ) d a ) + a 6) s649) 6) s6493) 4
43 .3 νt) νt) = V m sin ωt V. ωt = π V = T T T νt) dt 6) s6494) 6) s6495).33 a, b.,. 3 a ) b 3 5 = a ) = a + 4 6) s6496).34. 3,, ) s6497).35 ) 4 A =, P AP P., P AP. 6) s6498).36,,. y = + 6) s6499).37 y = 3 + y = 4. ) y = 3 + y = 4, V y V y. 6) s649).38 n A,. 43
44 A,. [ A = 5 5 ] ) P, P P T P., P T P n. 6) s649).39 N,. t, t)., a at).,, N t).. t). t =, =. d dt = an ).33 z = f, y) z = + y, = r cos θ, y = r sin θ, 6) s649) z y = y + y. z r, z θ. 6) s6493).33 n I n = e I. ) I n+ I n. 3) I, I 3. log ) n d., log..33 D = {, y), y }, D A =.334 a, b, c, d R 3. 6) s6494) ye ) ddy. A, A 3, A 4. a =,, ), b = 3,, ), c =,, p), d =, q, ) a, b, c p. ) a d q. 6) s6495) 6) s6496) 3),) p, q, a, b, c, d W = a, b, c, d dimw. 6) s6497) 44
45 B = ) s6498).336. ln 4 + ) y = e 3 cos 7) s749).337 f) = λe λ,., λ >, >. f)d ) f)d.338,. E, O. ) A = A. ) A A A 3E = O. 7) s749) 3) ) A 4 = A A A 4, A. 7) s7493).339 y dy/d. y = a + b ad bc ) ) y = log c + d e + + ) 3) y = e + ) 4) y = sin.34 z z/. 7) s7494) z = sin y ) z = y + y 7) s7495).34. ) log e d 3) e e + 4) sin 3 d 7) s7496).34. nn + ) n= ) + 3 n n= 5 n 7) s7497).343. dy d = y ) dy d = y + y) 7) s7498) 45
46 .344 a n. e = a n n n=.345. f) = log > ),,,. ),. 3)..346 A. A. f)d A = ) s7499) 7) s749) ). 3) A A d. 4) O., O T O. A d = O T AO.347 n n ±..348 y.. 7) s749) 7) s749), y) = r cos θ, r sin θ) φ, y ) = r cosθ+φ), r sinθ+φ) ) Rφ). ) φ, Rφ). ) φ Rφ) = φ.349. yddy, D = { + y a, y o a > )}. ). D.35 f, y) = 3 6y + y 3,. 7) s7493) 7) s7494) 46
47 f, f y, f, f y f y. ) f = f =, y). y 3) ), y), f, y),,..35 f) =,. + ) + + ),. f) = A + + B + ) + C + D A, B, C, D. + + ) f)d. 7) s7495) 3) f)d. 7) s7496).35 M, b, M = = b = a.353 A = M. ) M = b a. 3) ), M = b det A. ) A. 4,. 3) A. 4) A. 7) s7497) 7) s7498).354. d ) 3 + sin d 7) s7499).355, t,, A, A... ).,. 47
48 .356 A = 3 6 ), 7) s749) AX = X. ) AX = XA = X. 7) s749) ) s749).358 y 45, 6, f, g.. g f. ), ) g f..359, a, b, c. a b 3 3 c a + a lim a a ) lim + ).36,. y y ) f, y) = + y, y), ), y) =, ) f, f y, f y, f y. ) f, y), ). 3) f, y) f y, y), ). 4) f y, y) f y, y), )..36,., log d. + 7) s7493) 7) s7494) 8) s849) 8) s849) 48
49 ) log d. { 3) D =, y) : π, y π }, cos + y)ddy. D 8) s8493).363, y, z, k.. + y + z = k 5 + 3y z = 7 y 3z = 3 k. ),..364 A = ,. 8) s8494) A. ) A. 3) A. 8) s8495) ) 3 e 3).366 n. sin ) + ) 3 4) log 8) s8496) 8) s8497) )d ) a d log 3) sin 3 d 4) d 8) s8498).368, 4) y = +. 8) s8499).369. dy d = y ) dy d = y y 8) s849).37., e. y = ) y = e sin 3) y = log + 8) s849) 49
50 d ) A = [ 3 α ] α. ). 6 ) d 3) + ) π sin d 8) s849), λ =,. 3) P AP, P P e. 8) s8493) y + 3y + y = e ) 4 3y + = y )y u = y, D = {, y) y 3, + y }. D y)e +y ddy D. ). 8) s8494) 8) s8495) dy,. d = + y y 8) s8496).376 a, b, c. a b. a =, b = ) c 5 p., c = ).377 A, B. A = A. ) AB. 3 4, B = 8) s8497) ) s8498) 5
51 ) s8499).379 P. 3 P = P. ) P..38. e 3 ) log a log a = log ) log a 8) s849) 3) log log ) 8) s849).38., λ >. λ e λ d ).38 A = a a 5 λ e λ d 3),. a >. A a. λ e λ d 8) s849) ) a A. 3 3) a =, A = ) s8493) dy d + y = 3 y 3 8) s8494).384., a >. lim + ) sin ) ) lim 3 3 a 3) lim a a 8) s8495).385 f, y) = + y + y 8. 8) s8496).386 d + 4). π ) sin d. + sin 5
52 3) D = {, y) :, y }, yddy. D 8) s8497).387 R. R 3 a =,, 3), b =,, ), c =, 3, ),. r. ) r.,,. 3) a, b, c a, b, c. R 3 v a, b, c v..388 A = 3,. 8) s8498) deta. ) A. 3) A. 4) A B., B = P AP P P. 8) s8499).389 y dy/d. y = 3 + ) y = { ) }.39 z z/, z/ y. z = y ) z = sin cos y + y 3) y = tan 4 4) y = sin 8) s8493) 8) s8493) d ) + 3) cos 4 sin d 4) log + + ) d e d 8) s8493).39. dy d = y ) y )dy = yd 8) s84933).393,.. θ at, k, t θ. 5
53 ) θ. 3) t = θ = θ, θ. 4) lim t θ π 3 + sin ) cos d 8) s84934) 9) s949) y ddy, D + y 4. D 9) s949).396. dy d + y = sin ) d y d + dy 6y = e 3 d 9) s9493).397 A, B, C. A = A + B. ) A T B ) C. B = 3 C = 3 9) s9494) ) s9495).399 A A = y = log 5 y = ) 4 + 9) s9496) 9) s9497).4, P. θ, θ =, P. 53
54 θ, P y. ) θ, y. 3),, P. 4) π, P. 5) π, P. y P, y) θ.4 A = [ k 6 O 4 ],. 9) s9498) A k. ) k = 4, A A, 3) k = 3, A, 4) 3), A ) s9499) dy dy + y tan = sin ) d d = + y ) 9) s949).44. y = ) y = + ) 3 3) y = 4) y = e 5 5) y = sin 6) y = ln + ).45 z z/, z/ y. 9) s949) z = 3 5y + 3y + 4y + ) z = e cos y.46. 9) s949) y = ) y = > ) 3) y = e 4) y = d y dy + 6 = ) d d = y + 3 y 9) s9493) 9) s9494).48 C, k.. 54
55 t, C. ) C. 3) t = C = C, C. 4) C = /)C t /. 9) s9495).49 f) = e,, y = f)., e. 9) s9496).4 f, y) = + y ) e y,., e. f, f y, f, f y, f yy. ) f, y)..4 I = π 9) s9497) logsin )d,., log.. ) I = π log. 9) s9498).4 R. R 4,. a = 4, b = 4 7, c = 3, d = k a, b, c. ) a, b, d k..43 A = ,. 9) s9499) det A. ) A. 3) A. 4) A B., B = P AP P P. 9) s949) 55
.5 z = a + b + c n.6 = a sin t y = b cos t dy d a e e b e + e c e e e + e 3 s36 3 a + y = a, b > b 3 s363.7 y = + 3 y = + 3 s364.8 cos a 3 s365.9 y =,
[ ] IC. r, θ r, θ π, y y = 3 3 = r cos θ r sin θ D D = {, y ; y }, y D r, θ ep y yddy D D 9 s96. d y dt + 3dy + y = cos t dt t = y = e π + e π +. t = π y =.9 s6.3 d y d + dy d + y = y =, dy d = 3 a, b
() x + y + y + x dy dx = 0 () dy + xy = x dx y + x y ( 5) ( s55906) 0.7. (). 5 (). ( 6) ( s6590) 0.8 m n. 0.9 n n A. ( 6) ( s6590) f A (λ) = det(a λi)
0. A A = 4 IC () det A () A () x + y + z = x y z X Y Z = A x y z ( 5) ( s5590) 0. a + b + c b c () a a + b + c c a b a + b + c 0 a b c () a 0 c b b c 0 a c b a 0 0. A A = 7 5 4 5 0 ( 5) ( s5590) () A ()
1 2 1 No p. 111 p , 4, 2, f (x, y) = x2 y x 4 + y. 2 (1) y = mx (x, y) (0, 0) f (x, y). m. (2) y = ax 2 (x, y) (0, 0) f (x,
No... p. p. 3, 4,, 5.... f (, y) y 4 + y. () y m (, y) (, ) f (, y). m. () y a (, y) (, ) f (, y). a. (3) lim f (, y). (,y) (,)... (, y) (, ). () f (, y) a + by, a, b. + y () f (, y) 4 + y + y 3 + y..3.
Chap10.dvi
=0. f = 2 +3 { 2 +3 0 2 f = 1 =0 { sin 0 3 f = 1 =0 2 sin 1 0 4 f = 0 =0 { 1 0 5 f = 0 =0 f 3 2 lim = lim 0 0 0 =0 =0. f 0 = 0. 2 =0. 3 4 f 1 lim 0 0 = lim 0 sin 2 cos 1 = lim 0 2 sin = lim =0 0 2 =0.
y π π O π x 9 s94.5 y dy dx. y = x + 3 y = x logx + 9 s9.6 z z x, z y. z = xy + y 3 z = sinx y 9 s x dx π x cos xdx 9 s93.8 a, fx = e x ax,. a =
[ ] 9 IC. dx = 3x 4y dt dy dt = x y u xt = expλt u yt λ u u t = u u u + u = xt yt 6 3. u = x, y, z = x + y + z u u 9 s9 grad u ux, y, z = c c : grad u = u x i + u y j + u k i, j, k z x, y, z grad u v =
( ) sin 1 x, cos 1 x, tan 1 x sin x, cos x, tan x, arcsin x, arccos x, arctan x. π 2 sin 1 x π 2, 0 cos 1 x π, π 2 < tan 1 x < π 2 1 (1) (
6 20 ( ) sin, cos, tan sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan. π 2 sin π 2, 0 cos π, π 2 < tan < π 2 () ( 2 2 lim 2 ( 2 ) ) 2 = 3 sin (2) lim 5 0 = 2 2 0 0 2 2 3 3 4 5 5 2 5 6 3 5 7 4 5 8 4 9 3 4 a 3 b
i
i 3 4 4 7 5 6 3 ( ).. () 3 () (3) (4) /. 3. 4/3 7. /e 8. a > a, a = /, > a >. () a >, a =, > a > () a > b, a = b, a < b. c c n a n + b n + c n 3c n..... () /3 () + (3) / (4) /4 (5) m > n, a b >, m > n,
1 8, : 8.1 1, 2 z = ax + by + c ax by + z c = a b +1 x y z c = 0, (0, 0, c), n = ( a, b, 1). f = n i=1 a ii x 2 i + i<j 2a ij x i x j = ( x, A x), f =
1 8, : 8.1 1, z = ax + by + c ax by + z c = a b +1 x y z c = 0, (0, 0, c), n = ( a, b, 1). f = a ii x i + i
6 2 2 x y x y t P P = P t P = I P P P ( ) ( ) ,, ( ) ( ) cos θ sin θ cos θ sin θ, sin θ cos θ sin θ cos θ y x θ x θ P
6 x x 6.1 t P P = P t P = I P P P 1 0 1 0,, 0 1 0 1 cos θ sin θ cos θ sin θ, sin θ cos θ sin θ cos θ x θ x θ P x P x, P ) = t P x)p ) = t x t P P ) = t x = x, ) 6.1) x = Figure 6.1 Px = x, P=, θ = θ P
() (, y) E(, y) () E(, y) (3) q ( ) () E(, y) = k q q (, y) () E(, y) = k r r (3).3 [.7 ] f y = f y () f(, y) = y () f(, y) = tan y y ( ) () f y = f y
![() (, y) E(, y) () E(, y) (3) q ( ) () E(, y) = k q q (, y) () E(, y) = k r r (3).3 [.7 ] f y = f y () f(, y) = y () f(, y) = tan y y ( ) () f y = f y](/thumbs/85/92979039.jpg "() (, y) E(, y) () E(, y) (3) q ( ) () E(, y) = k q q (, y) () E(, y) = k r r (3).3 [.7 ] f y = f y () f(, y) = y () f(, y) = tan y y ( ) () f y = f y")
5. [. ] z = f(, y) () z = 3 4 y + y + 3y () z = y (3) z = sin( y) (4) z = cos y (5) z = 4y (6) z = tan y (7) z = log( + y ) (8) z = tan y + + y ( ) () z = 3 8y + y z y = 4 + + 6y () z = y z y = (3) z =
x () g(x) = f(t) dt f(x), F (x) 3x () g(x) g (x) f(x), F (x) (3) h(x) = x 3x tf(t) dt.9 = {(x, y) ; x, y, x + y } f(x, y) = xy( x y). h (x) f(x), F (x
[ ] IC. f(x) = e x () f(x) f (x) () lim f(x) lim f(x) x + x (3) lim f(x) lim f(x) x + x (4) y = f(x) ( ) ( s46). < a < () a () lim a log xdx a log xdx ( ) n (3) lim log k log n n n k=.3 z = log(x + y ),
さくらの個別指導 ( さくら教育研究所 ) A a 1 a 2 a 3 a n {a n } a 1 a n n n 1 n n 0 a n = 1 n 1 n n O n {a n } n a n α {a n } α {a
... A a a a 3 a n {a n } a a n n 3 n n n 0 a n = n n n O 3 4 5 6 n {a n } n a n α {a n } α {a n } α α {a n } a n n a n α a n = α n n 0 n = 0 3 4. ()..0.00 + (0.) n () 0. 0.0 0.00 ( 0.) n 0 0 c c c c c
1 1 x y = y(x) y, y,..., y (n) : n y F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 n F (x, y, y ) = 0 1 y(x) y y = G(x, y) y, y y + p(x)y = q(x) 1 p(x) q(
1 1 y = y() y, y,..., y (n) : n y F (, y, y,..., y (n) ) = 0 n F (, y, y ) = 0 1 y() 1.1 1 y y = G(, y) 1.1.1 1 y, y y + p()y = q() 1 p() q() (q() = 0) y + p()y = 0 y y + py = 0 y y = p (log y) = p log
(3) (2),,. ( 20) ( s200103) 0.7 x C,, x 2 + y 2 + ax = 0 a.. D,. D, y C, C (x, y) (y 0) C m. (2) D y = y(x) (x ± y 0), (x, y) D, m, m = 1., D. (x 2 y
[ ] 7 0.1 2 2 + y = t sin t IC ( 9) ( s090101) 0.2 y = d2 y 2, y = x 3 y + y 2 = 0 (2) y + 2y 3y = e 2x 0.3 1 ( y ) = f x C u = y x ( 15) ( s150102) [ ] y/x du x = Cexp f(u) u (2) x y = xey/x ( 16) ( s160101)
Chap9.dvi
.,. f(),, f(),,.,. () lim 2 +3 2 9 (2) lim 3 3 2 9 (4) lim ( ) 2 3 +3 (5) lim 2 9 (6) lim + (7) lim (8) lim (9) lim (0) lim 2 3 + 3 9 2 2 +3 () lim sin 2 sin 2 (2) lim +3 () lim 2 2 9 = 5 5 = 3 (2) lim
211 kotaro@math.titech.ac.jp 1 R *1 n n R n *2 R n = {(x 1,..., x n ) x 1,..., x n R}. R R 2 R 3 R n R n R n D D R n *3 ) (x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) f D *4 n 2 n = 1 ( ) 1 f D R n f : D R 1.1. (x,
高校生の就職への数学II
II O Tped b L A TEX ε . II. 3. 4. 5. http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/ 7 9 i .......................................................................................... 3..3...............................
(1) (2) (3) (4) HB B ( ) (5) (6) (7) 40 (8) (9) (10)
2017 12 9 4 1 30 4 10 3 1 30 3 30 2 1 30 2 50 1 1 30 2 10 (1) (2) (3) (4) HB B ( ) (5) (6) (7) 40 (8) (9) (10) (1) i 23 c 23 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b d e f g h i (2) 23 23 (3) 23 ( 23 ) 23 x 1 x 2 23 x
K E N Z U 01 7 16 HP M. 1 1 4 1.1 3.......................... 4 1.................................... 4 1..1..................................... 4 1...................................... 5................................
2 7 V 7 {fx fx 3 } 8 P 3 {fx fx 3 } 9 V 9 {fx fx f x 2fx } V {fx fx f x 2fx + } V {{a n } {a n } a n+2 a n+ + a n n } 2 V 2 {{a n } {a n } a n+2 a n+
R 3 R n C n V??,?? k, l K x, y, z K n, i x + y + z x + y + z iv x V, x + x o x V v kx + y kx + ky vi k + lx kx + lx vii klx klx viii x x ii x + y y + x, V iii o K n, x K n, x + o x iv x K n, x + x o x
4 4 4 a b c d a b A c d A a da ad bce O E O n A n O ad bc a d n A n O 5 {a n } S n a k n a n + k S n a a n+ S n n S n n log x x {xy } x, y x + y 7 fx
4 4 5 4 I II III A B C, 5 7 I II A B,, 8, 9 I II A B O A,, Bb, b, Cc, c, c b c b b c c c OA BC P BC OP BC P AP BC n f n x xn e x! e n! n f n x f n x f n x f k x k 4 e > f n x dx k k! fx sin x cos x tan
( ) 2.1. C. (1) x 4 dx = 1 5 x5 + C 1 (2) x dx = x 2 dx = x 1 + C = 1 2 x + C xdx (3) = x dx = 3 x C (4) (x + 1) 3 dx = (x 3 + 3x 2 + 3x +
(.. C. ( d 5 5 + C ( d d + C + C d ( d + C ( ( + d ( + + + d + + + + C (5 9 + d + d tan + C cos (sin (6 sin d d log sin + C sin + (7 + + d ( + + + + d log( + + + C ( (8 d 7 6 d + 6 + C ( (9 ( d 6 + 8 d
I No. sin cos sine, cosine : trigonometric function π : π =.4 : n =, ±, ±, sin + nπ = sin cos + nπ = cos sin = sin : cos = cos :. sin. sin. sin + π si
I 8 No. : No. : No. : No.4 : No.5 : No.6 : No.7 : No.8 : No.9 : No. : I No. sin cos sine, cosine : trigonometric function π : π =.4 : n =, ±, ±, sin + nπ = sin cos + nπ = cos sin = sin : cos = cos :. sin.
r III... IV.. grad, div, rot. grad, div, rot 3., B grad, div, rot I, II ɛ-δ web page (
r 8.4.8. 3-3 phone: 9-76-4774, e-mail: hara@math.kyushu-u.ac.jp http://www.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/lectures-j.html Office hours: 4/8 I.. ɛ-n. ɛ-δ 3. 4. II... 3. 4. 5.. r III... IV.. grad, div,
1 12 ( )150 ( ( ) ) x M x 0 1 M 2 5x 2 + 4x + 3 x 2 1 M x M 2 1 M x (x + 1) 2 (1) x 2 + x + 1 M (2) 1 3 M (3) x 4 +
( )5 ( ( ) ) 4 6 7 9 M M 5 + 4 + M + M M + ( + ) () + + M () M () 4 + + M a b y = a + b a > () a b () y V a () V a b V n f() = n k= k k () < f() = log( ) t dt log () n+ (i) dt t (n + ) (ii) < t dt n+ n
A (1) = 4 A( 1, 4) 1 A 4 () = tan A(0, 0) π A π
4 4.1 4.1.1 A = f() = f() = a f (a) = f() (a, f(a)) = f() (a, f(a)) f(a) = f 0 (a)( a) 4.1 (4, ) = f() = f () = 1 = f (4) = 1 4 4 (4, ) = 1 ( 4) 4 = 1 4 + 1 17 18 4 4.1 A (1) = 4 A( 1, 4) 1 A 4 () = tan
1 I p2/30
I I p1/30 1 I p2/30 1 ( ) I p3/30 1 ( ), y = y() d = f() g(y) ( g(y) = f()d) (1) I p4/30 1 ( ), y = y() d = f() g(y) ( g(y) = f()d) (1) g(y) = f()d I p4/30 1 ( ), y = y() d = f() g(y) ( g(y) = f()d) (1)
sin cos No. sine, cosine : trigonometric function π : π = 3.4 : n = 0, ±, ±, sin + nπ = sin cos + nπ = cos : parity sin = sin : odd cos = cos : even.
08 No. : No. : No.3 : No.4 : No.5 : No.6 : No.7 : No.8 : No.9 : No.0 : No. : sin cos No. sine, cosine : trigonometric function π : π = 3.4 : n = 0, ±, ±, sin + nπ = sin cos + nπ = cos : parity sin = sin
.3. (x, x = (, u = = 4 (, x x = 4 x, x 0 x = 0 x = 4 x.4. ( z + z = 8 z, z 0 (z, z = (0, 8, (,, (8, 0 3 (0, 8, (,, (8, 0 z = z 4 z (g f(x = g(
06 5.. ( y = x x y 5 y 5 = (x y = x + ( y = x + y = x y.. ( Y = C + I = 50 + 0.5Y + 50 r r = 00 0.5Y ( L = M Y r = 00 r = 0.5Y 50 (3 00 0.5Y = 0.5Y 50 Y = 50, r = 5 .3. (x, x = (, u = = 4 (, x x = 4 x,
A(6, 13) B(1, 1) 65 y C 2 A(2, 1) B( 3, 2) C 66 x + 2y 1 = 0 2 A(1, 1) B(3, 0) P 67 3 A(3, 3) B(1, 2) C(4, 0) (1) ABC G (2) 3 A B C P 6
1 1 1.1 64 A6, 1) B1, 1) 65 C A, 1) B, ) C 66 + 1 = 0 A1, 1) B, 0) P 67 A, ) B1, ) C4, 0) 1) ABC G ) A B C P 64 A 1, 1) B, ) AB AB = 1) + 1) A 1, 1) 1 B, ) 1 65 66 65 C0, k) 66 1 p, p) 1 1 A B AB A 67
= M + M + M + M M + =.,. f = < ρ, > ρ ρ. ρ f. = ρ = = ± = log 4 = = = ± f = k k ρ. k
7 b f n f} d = b f n f d,. 5,. [ ] ɛ >, n ɛ + + n < ɛ. m. n m log + < n m. n lim sin kπ sin kπ } k π sin = n n n. k= 4 f, y = r + s, y = rs f rs = f + r + sf y + rsf yy + f y. f = f =, f = sin. 5 f f =.
1 1 3 ABCD ABD AC BD E E BD 1 : 2 (1) AB = AD =, AB AD = (2) AE = AB + (3) A F AD AE 2 = AF = AB + AD AF AE = t AC = t AE AC FC = t = (4) ABD ABCD 1 1
ABCD ABD AC BD E E BD : () AB = AD =, AB AD = () AE = AB + () A F AD AE = AF = AB + AD AF AE = t AC = t AE AC FC = t = (4) ABD ABCD AB + AD AB + 7 9 AD AB + AD AB + 9 7 4 9 AD () AB sin π = AB = ABD AD
微分積分 サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. このサンプルページの内容は, 初版 1 刷発行時のものです.
微分積分 サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. ttp://www.morikita.co.jp/books/mid/00571 このサンプルページの内容は, 初版 1 刷発行時のものです. i ii 014 10 iii [note] 1 3 iv 4 5 3 6 4 x 0 sin x x 1 5 6 z = f(x, y) 1 y = f(x)
S I. dy fx x fx y fx + C 3 C dy fx 4 x, y dy v C xt y C v e kt k > xt yt gt [ v dt dt v e kt xt v e kt + C k x v + C C k xt v k 3 r r + dr e kt S dt d
S I.. http://ayapin.film.s.dendai.ac.jp/~matuda /TeX/lecture.html PDF PS.................................... 3.3.................... 9.4................5.............. 3 5. Laplace................. 5....
S I. dy fx x fx y fx + C 3 C vt dy fx 4 x, y dy yt gt + Ct + C dt v e kt xt v e kt + C k x v k + C C xt v k 3 r r + dr e kt S Sr πr dt d v } dt k e kt
S I. x yx y y, y,. F x, y, y, y,, y n http://ayapin.film.s.dendai.ac.jp/~matuda n /TeX/lecture.html PDF PS yx.................................... 3.3.................... 9.4................5..............
入試の軌跡
4 y O x 4 Typed by L A TEX ε ) ) ) 6 4 ) 4 75 ) http://kumamoto.s.xrea.com/plan/.. PDF) Ctrl +L) Ctrl +) Ctrl + Ctrl + ) ) Alt + ) Alt + ) ESC. http://kumamoto.s.xrea.com/nyusi/kumadai kiseki ri i.pdf
I No. sin cos sine, cosine : trigonometric function π : π =.4 : n = 0, ±, ±, sin + nπ = sin cos + nπ = cos : parity sin = sin : odd cos = cos : even.
I 0 No. : No. : No. : No.4 : No.5 : No.6 : No.7 : No.8 : No.9 : No.0 : I No. sin cos sine, cosine : trigonometric function π : π =.4 : n = 0, ±, ±, sin + nπ = sin cos + nπ = cos : parity sin = sin : odd
II 2 3.,, A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC. 4. m m A, m m B,, m m B, AB = BA, A,, I. 5. m m A, m n B, AB = B, A I E, 4 4 I, J, K
II. () 7 F 7 = { 0,, 2, 3, 4, 5, 6 }., F 7 a, b F 7, a b, F 7,. (a) a, b,,. (b) 7., 4 5 = 20 = 2 7 + 6, 4 5 = 6 F 7., F 7,., 0 a F 7, ab = F 7 b F 7. (2) 7, 6 F 6 = { 0,, 2, 3, 4, 5 },,., F 6., 0 0 a F
c y /2 ddy = = 2π sin θ /2 dθd /2 [ ] 2π cos θ d = log 2 + a 2 d = log 2 + a 2 = log 2 + a a 2 d d + 2 = l
![c y /2 ddy = = 2π sin θ /2 dθd /2 [ ] 2π cos θ d = log 2 + a 2 d = log 2 + a 2 = log 2 + a a 2 d d + 2 = l](/thumbs/85/91372642.jpg "c y /2 ddy = = 2π sin θ /2 dθd /2 [ ] 2π cos θ d = log 2 + a 2 d = log 2 + a 2 = log 2 + a a 2 d d + 2 = l")
c 28. 2, y 2, θ = cos θ y = sin θ 2 3, y, 3, θ, ϕ = sin θ cos ϕ 3 y = sin θ sin ϕ 4 = cos θ 5.2 2 e, e y 2 e, e θ e = cos θ e sin θ e θ 6 e y = sin θ e + cos θ e θ 7.3 sgn sgn = = { = + > 2 < 8.4 a b 2
29
9 .,,, 3 () C k k C k C + C + C + + C 8 + C 9 + C k C + C + C + C 3 + C 4 + C 5 + + 45 + + + 5 + + 9 + 4 + 4 + 5 4 C k k k ( + ) 4 C k k ( k) 3 n( ) n n n ( ) n ( ) n 3 ( ) 3 3 3 n 4 ( ) 4 4 4 ( ) n n
9 5 ( α+ ) = (α + ) α (log ) = α d = α C d = log + C C 5. () d = 4 d = C = C = 3 + C 3 () d = d = C = C = 3 + C 3 =
5 5. 5.. A II f() f() F () f() F () = f() C (F () + C) = F () = f() F () + C f() F () G() f() G () = F () 39 G() = F () + C C f() F () f() F () + C C f() f() d f() f() C f() f() F () = f() f() f() d =
(1.2) T D = 0 T = D = 30 kn 1.2 (1.4) 2F W = 0 F = W/2 = 300 kn/2 = 150 kn 1.3 (1.9) R = W 1 + W 2 = = 1100 N. (1.9) W 2 b W 1 a = 0
1 1 1.1 1.) T D = T = D = kn 1. 1.4) F W = F = W/ = kn/ = 15 kn 1. 1.9) R = W 1 + W = 6 + 5 = 11 N. 1.9) W b W 1 a = a = W /W 1 )b = 5/6) = 5 cm 1.4 AB AC P 1, P x, y x, y y x 1.4.) P sin 6 + P 1 sin 45
untitled
0. =. =. (999). 3(983). (980). (985). (966). 3. := :=. A A. A A. := := 4 5 A B A B A B. A = B A B A B B A. A B A B, A B, B. AP { A, P } = { : A, P } = { A P }. A = {0, }, A, {0, }, {0}, {}, A {0}, {}.
koji07-01.dvi
2007 I II III 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 5 10 19 (!) 1938 70 21? 1 1 2 1 2 2 1! 4, 5 1? 50 1 2 1 1 2 2 1?? 2 1 1, 2 1, 2 1, 2, 3,... 3 1, 2 1, 3? 2 1 3 1 2 1 1, 2 2, 3? 2 1 3 2 3 2 k,l m, n k,l m, n kn > ml...?
1 29 ( ) I II III A B (120 ) 2 5 I II III A B (120 ) 1, 6 8 I II A B (120 ) 1, 6, 7 I II A B (100 ) 1 OAB A B OA = 2 OA OB = 3 OB A B 2 :
9 ( ) 9 5 I II III A B (0 ) 5 I II III A B (0 ), 6 8 I II A B (0 ), 6, 7 I II A B (00 ) OAB A B OA = OA OB = OB A B : P OP AB Q OA = a OB = b () OP a b () OP OQ () a = 5 b = OP AB OAB PAB a f(x) = (log
II A A441 : October 02, 2014 Version : Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka )
II 214-1 : October 2, 214 Version : 1.1 Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka ) http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/14w-biseki.html pdf 1 2 1 9 1 16 1 23 1 3 11 6 11 13 11 2 11 27 12 4 12 11
) a + b = i + 6 b c = 6i j ) a = 0 b = c = 0 ) â = i + j 0 ˆb = 4) a b = b c = j + ) cos α = cos β = 6) a ˆb = b ĉ = 0 7) a b = 6i j b c = i + 6j + 8)
4 4 ) a + b = i + 6 b c = 6i j ) a = 0 b = c = 0 ) â = i + j 0 ˆb = 4) a b = b c = j + ) cos α = cos β = 6) a ˆb = b ĉ = 0 7) a b = 6i j b c = i + 6j + 8) a b a b = 6i j 4 b c b c 9) a b = 4 a b) c = 7
i I II I II II IC IIC I II ii 5 8 5 3 7 8 iii I 3........................... 5......................... 7........................... 4........................ 8.3......................... 33.4...................
chap1.dvi
1 1 007 1 e iθ = cos θ + isin θ 1) θ = π e iπ + 1 = 0 1 ) 3 11 f 0 r 1 1 ) k f k = 1 + r) k f 0 f k k = 01) f k+1 = 1 + r)f k ) f k+1 f k = rf k 3) 1 ) ) ) 1+r/)f 0 1 1 + r/) f 0 = 1 + r + r /4)f 0 1 f
(1) 3 A B E e AE = e AB OE = OA + e AB = (1 35 e ) e OE z 1 1 e E xy e = 0 e = 5 OE = ( 2 0 0) E ( 2 0 0) (2) 3 E P Q k EQ = k EP E y 0
(1) 3 A B E e AE = e AB OE = OA + e AB = (1 35 e 0 1 15 ) e OE z 1 1 e E xy 5 1 1 5 e = 0 e = 5 OE = ( 2 0 0) E ( 2 0 0) (2) 3 E P Q k EQ = k EP E y 0 Q y P y k 2 M N M( 1 0 0) N(1 0 0) 4 P Q M N C EP
K E N Z U 2012 7 16 HP M. 1 1 4 1.1 3.......................... 4 1.2................................... 4 1.2.1..................................... 4 1.2.2.................................... 5................................
18 ( ) I II III A B C(100 ) 1, 2, 3, 5 I II A B (100 ) 1, 2, 3 I II A B (80 ) 6 8 I II III A B C(80 ) 1 n (1 + x) n (1) n C 1 + n C
8 ( ) 8 5 4 I II III A B C( ),,, 5 I II A B ( ),, I II A B (8 ) 6 8 I II III A B C(8 ) n ( + x) n () n C + n C + + n C n = 7 n () 7 9 C : y = x x A(, 6) () A C () C P AP Q () () () 4 A(,, ) B(,, ) C(,,
( )
18 10 01 ( ) 1 2018 4 1.1 2018............................... 4 1.2 2018......................... 5 2 2017 7 2.1 2017............................... 7 2.2 2017......................... 8 3 2016 9 3.1 2016...............................
Z: Q: R: C: sin 6 5 ζ a, b
Z: Q: R: C: 3 3 7 4 sin 6 5 ζ 9 6 6............................... 6............................... 6.3......................... 4 7 6 8 8 9 3 33 a, b a bc c b a a b 5 3 5 3 5 5 3 a a a a p > p p p, 3,
x = a 1 f (a r, a + r) f(a) r a f f(a) 2 2. (a, b) 2 f (a, b) r f(a, b) r (a, b) f f(a, b)
2011 I 2 II III 17, 18, 19 7 7 1 2 2 2 1 2 1 1 1.1.............................. 2 1.2 : 1.................... 4 1.2.1 2............................... 5 1.3 : 2.................... 5 1.3.1 2.....................................
数学Ⅱ演習（足助・09夏）
II I 9/4/4 9/4/2 z C z z z z, z 2 z, w C zw z w 3 z, w C z + w z + w 4 t R t C t t t t t z z z 2 z C re z z + z z z, im z 2 2 3 z C e z + z + 2 z2 + 3! z3 + z!, I 4 x R e x cos x + sin x 2 z, w C e z+w
Part () () Γ Part ,
Contents a 6 6 6 6 6 6 6 7 7. 8.. 8.. 8.3. 8 Part. 9. 9.. 9.. 3. 3.. 3.. 3 4. 5 4.. 5 4.. 9 4.3. 3 Part. 6 5. () 6 5.. () 7 5.. 9 5.3. Γ 3 6. 3 6.. 3 6.. 3 6.3. 33 Part 3. 34 7. 34 7.. 34 7.. 34 8. 35
di-problem.dvi
III 005/06/6 by. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3. : : : : : : : : : : : : : : 4 4. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 5. :
II (10 4 ) 1. p (x, y) (a, b) ε(x, y; a, b) 0 f (x, y) f (a, b) A, B (6.5) y = b f (x, b) f (a, b) x a = A + ε(x, b; a, b) x a 2 x a 0 A = f x (
II (1 4 ) 1. p.13 1 (x, y) (a, b) ε(x, y; a, b) f (x, y) f (a, b) A, B (6.5) y = b f (x, b) f (a, b) x a = A + ε(x, b; a, b) x a x a A = f x (a, b) y x 3 3y 3 (x, y) (, ) f (x, y) = x + y (x, y) = (, )
Note.tex 2008/09/19( )
1 20 9 19 2 1 5 1.1........................ 5 1.2............................. 8 2 9 2.1............................. 9 2.2.............................. 10 3 13 3.1.............................. 13 3.2..................................
1. (8) (1) (x + y) + (x + y) = 0 () (x + y ) 5xy = 0 (3) (x y + 3y 3 ) (x 3 + xy ) = 0 (4) x tan y x y + x = 0 (5) x = y + x + y (6) = x + y 1 x y 3 (
1 1.1 (1) (1 + x) + (1 + y) = 0 () x + y = 0 (3) xy = x (4) x(y + 3) + y(y + 3) = 0 (5) (a + y ) = x ax a (6) x y 1 + y x 1 = 0 (7) cos x + sin x cos y = 0 (8) = tan y tan x (9) = (y 1) tan x (10) (1 +
1 No.1 5 C 1 I III F 1 F 2 F 1 F 2 2 Φ 2 (t) = Φ 1 (t) Φ 1 (t t). = Φ 1(t) t = ( 1.5e 0.5t 2.4e 4t 2e 10t ) τ < 0 t > τ Φ 2 (t) < 0 lim t Φ 2 (t) = 0
1 No.1 5 C 1 I III F 1 F 2 F 1 F 2 2 Φ 2 (t) = Φ 1 (t) Φ 1 (t t). = Φ 1(t) t = ( 1.5e 0.5t 2.4e 4t 2e 10t ) τ < 0 t > τ Φ 2 (t) < 0 lim t Φ 2 (t) = 0 0 < t < τ I II 0 No.2 2 C x y x y > 0 x 0 x > b a dx
K E N Z OU
K E N Z OU 11 1 1 1.1..................................... 1.1.1............................ 1.1..................................................................................... 4 1.........................................
20 9 19 1 3 11 1 3 111 3 112 1 4 12 6 121 6 122 7 13 7 131 8 132 10 133 10 134 12 14 13 141 13 142 13 143 15 144 16 145 17 15 19 151 1 19 152 20 2 21 21 21 211 21 212 1 23 213 1 23 214 25 215 31 22 33
( ) ( )
20 21 2 8 1 2 2 3 21 3 22 3 23 4 24 5 25 5 26 6 27 8 28 ( ) 9 3 10 31 10 32 ( ) 12 4 13 41 0 13 42 14 43 0 15 44 17 5 18 6 18 1 1 2 2 1 2 1 0 2 0 3 0 4 0 2 2 21 t (x(t) y(t)) 2 x(t) y(t) γ(t) (x(t) y(t))
2009 I 2 II III 14, 15, α β α β l 0 l l l l γ (1) γ = αβ (2) α β n n cos 2k n n π sin 2k n π k=1 k=1 3. a 0, a 1,..., a n α a
009 I II III 4, 5, 6 4 30. 0 α β α β l 0 l l l l γ ) γ αβ ) α β. n n cos k n n π sin k n π k k 3. a 0, a,..., a n α a 0 + a x + a x + + a n x n 0 ᾱ 4. [a, b] f y fx) y x 5. ) Arcsin 4) Arccos ) ) Arcsin
1 1 sin cos P (primary) S (secondly) 2 P S A sin(ω2πt + α) A ω 1 ω α V T m T m 1 100Hz m 2 36km 500Hz. 36km 1
sin cos P (primary) S (secondly) 2 P S A sin(ω2πt + α) A ω ω α 3 3 2 2V 3 33+.6T m T 5 34m Hz. 34 3.4m 2 36km 5Hz. 36km m 34 m 5 34 + m 5 33 5 =.66m 34m 34 x =.66 55Hz, 35 5 =.7 485.7Hz 2 V 5Hz.5V.5V V
W u = u(x, t) u tt = a 2 u xx, a > 0 (1) D := {(x, t) : 0 x l, t 0} u (0, t) = 0, u (l, t) = 0, t 0 (2)
3 215 4 27 1 1 u u(x, t) u tt a 2 u xx, a > (1) D : {(x, t) : x, t } u (, t), u (, t), t (2) u(x, ) f(x), u(x, ) t 2, x (3) u(x, t) X(x)T (t) u (1) 1 T (t) a 2 T (t) X (x) X(x) α (2) T (t) αa 2 T (t) (4)
2 (2016 3Q N) c = o (11) Ax = b A x = c A n I n n n 2n (A I n ) (I n X) A A X A n A A A (1) (2) c 0 c (3) c A A i j n 1 ( 1) i+j A (i, j) A (i, j) ã i
[ ] (2016 3Q N) a 11 a 1n m n A A = a m1 a mn A a 1 A A = a n (1) A (a i a j, i j ) (2) A (a i ca i, c 0, i ) (3) A (a i a i + ca j, j i, i ) A 1 A 11 0 A 12 0 0 A 1k 0 1 A 22 0 0 A 2k 0 1 0 A 3k 1 A rk
1/1 lim f(x, y) (x,y) (a,b) ( ) ( ) lim limf(x, y) lim lim f(x, y) x a y b y b x a ( ) ( ) xy x lim lim lim lim x y x y x + y y x x + y x x lim x x 1
1/5 ( ) Taylor ( 7.1) (x, y) f(x, y) f(x, y) x + y, xy, e x y,... 1 R {(x, y) x, y R} f(x, y) x y,xy e y log x,... R {(x, y, z) (x, y),z f(x, y)} R 3 z 1 (x + y ) z ax + by + c x 1 z ax + by + c y x +
Gmech08.dvi
63 6 6.1 6.1.1 v = v 0 =v 0x,v 0y, 0) t =0 x 0,y 0, 0) t x x 0 + v 0x t v x v 0x = y = y 0 + v 0y t, v = v y = v 0y 6.1) z 0 0 v z yv z zv y zv x xv z xv y yv x = 0 0 x 0 v 0y y 0 v 0x 6.) 6.) 6.1) 6.)
4 5.............................................. 5............................................ 6.............................................. 7......................................... 8.3.................................................4.........................................4..............................................4................................................4.3...............................................
ac b 0 r = r a 0 b 0 y 0 cy 0 ac b 0 f(, y) = a + by + cy ac b = 0 1 ac b = 0 z = f(, y) f(, y) 1 a, b, c 0 a 0 f(, y) = a ( ( + b ) ) a y ac b + a y
01 4 17 1.. y f(, y) = a + by + cy + p + qy + r a, b, c 0 y b b 1 z = f(, y) z = a + by + cy z = p + qy + r (, y) z = p + qy + r 1 y = + + 1 y = y = + 1 6 + + 1 ( = + 1 ) + 7 4 16 y y y + = O O O y = y
熊本県数学問題正解
00 y O x Typed by L A TEX ε ( ) (00 ) 5 4 4 ( ) http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/. ( ) (009 ) ( ).. http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/eng.html 8 i i..................................... ( )0... (
x (x, ) x y (, y) iy x y z = x + iy (x, y) (r, θ) r = x + y, θ = tan ( y ), π < θ π x r = z, θ = arg z z = x + iy = r cos θ + ir sin θ = r(cos θ + i s
... x, y z = x + iy x z y z x = Rez, y = Imz z = x + iy x iy z z () z + z = (z + z )() z z = (z z )(3) z z = ( z z )(4)z z = z z = x + y z = x + iy ()Rez = (z + z), Imz = (z z) i () z z z + z z + z.. z
I, II 1, 2 ɛ-δ 100 A = A 4 : 6 = max{ A, } A A 10
1 2007.4.13. A 3-312 tel: 092-726-4774, e-mail: hara@math.kyushu-u.ac.jp, http://www.math.kyushu-u.ac.jp/ hara/lectures/lectures-j.html Office hours: B A I ɛ-δ ɛ-δ 1. 2. A 0. 1. 1. 2. 3. 2. ɛ-δ 1. ɛ-n
D xy D (x, y) z = f(x, y) f D (2 ) (x, y, z) f R z = 1 x 2 y 2 {(x, y); x 2 +y 2 1} x 2 +y 2 +z 2 = 1 1 z (x, y) R 2 z = x 2 y
5 5. 2 D xy D (x, y z = f(x, y f D (2 (x, y, z f R 2 5.. z = x 2 y 2 {(x, y; x 2 +y 2 } x 2 +y 2 +z 2 = z 5.2. (x, y R 2 z = x 2 y + 3 (2,,, (, 3,, 3 (,, 5.3 (. (3 ( (a, b, c A : (x, y, z P : (x, y, x
function2.pdf
2... 1 2009, http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/ nishioka/ 2 11 38 : 5) i) [], : 84 85 86 87 88 89 1000 ) 13 22 33 56 92 147 140 120 100 80 60 40 20 1 2 3 4 5 7.1 7 7.1 1. *1 e = 2.7182 ) fx) e x, x R : 7.1)
1 (1) ( i ) 60 (ii) 75 (iii) 315 (2) π ( i ) (ii) π (iii) 7 12 π ( (3) r, AOB = θ 0 < θ < π ) OAB A 2 OB P ( AB ) < ( AP ) (4) 0 < θ < π 2 sin θ
1 (1) ( i ) 60 (ii) 75 (iii) 15 () ( i ) (ii) 4 (iii) 7 1 ( () r, AOB = θ 0 < θ < ) OAB A OB P ( AB ) < ( AP ) (4) 0 < θ < sin θ < θ < tan θ 0 x, 0 y (1) sin x = sin y (x, y) () cos x cos y (x, y) 1 c
17 ( ) II III A B C(100 ) 1, 2, 6, 7 II A B (100 ) 2, 5, 6 II A B (80 ) 8 10 I II III A B C(80 ) 1 a 1 = 1 2 a n+1 = a n + 2n + 1 (n = 1,
17 ( ) 17 5 1 4 II III A B C(1 ) 1,, 6, 7 II A B (1 ), 5, 6 II A B (8 ) 8 1 I II III A B C(8 ) 1 a 1 1 a n+1 a n + n + 1 (n 1,,, ) {a n+1 n } (1) a 4 () a n OA OB AOB 6 OAB AB : 1 P OB Q OP AQ R (1) PQ
( z = x 3 y + y ( z = cos(x y ( 8 ( s8.7 y = xe x ( 8 ( s83.8 ( ( + xdx ( cos 3 xdx t = sin x ( 8 ( s84 ( 8 ( s85. C : y = x + 4, l : y = x + a,
[ ] 8 IC. y d y dx = ( dy dx ( p = dy p y dx ( ( ( 8 ( s8. 3 A A = ( A ( A (3 A P A P AP.3 π y(x = { ( 8 ( s8 x ( π < x x ( < x π y(x π π O π x ( 8 ( s83.4 f (x, y, z grad(f ( ( ( f f f grad(f = i + j
IA 2013 : :10722 : 2 : :2 :761 :1 (23-27) : : ( / ) (1 /, ) / e.g. (Taylar ) e x = 1 + x + x xn n! +... sin x = x x3 6 + x5 x2n+1 + (
IA 2013 : :10722 : 2 : :2 :761 :1 23-27) : : 1 1.1 / ) 1 /, ) / e.g. Taylar ) e x = 1 + x + x2 2 +... + xn n! +... sin x = x x3 6 + x5 x2n+1 + 1)n 5! 2n + 1)! 2 2.1 = 1 e.g. 0 = 0.00..., π = 3.14..., 1
70 : 20 : A B (20 ) (30 ) 50 1
70 : 0 : A B (0 ) (30 ) 50 1 1 4 1.1................................................ 5 1. A............................................... 6 1.3 B............................................... 7 8.1 A...............................................
, 1 ( f n (x))dx d dx ( f n (x)) 1 f n (x)dx d dx f n(x) lim f n (x) = [, 1] x f n (x) = n x x 1 f n (x) = x f n (x) = x 1 x n n f n(x) = [, 1] f n (x
![, 1 ( f n (x))dx d dx ( f n (x)) 1 f n (x)dx d dx f n(x) lim f n (x) = [, 1] x f n (x) = n x x 1 f n (x) = x f n (x) = x 1 x n n f n(x) = [, 1] f n (x](/thumbs/93/113428934.jpg ", 1 ( f n (x))dx d dx ( f n (x)) 1 f n (x)dx d dx f n(x) lim f n (x) = [, 1] x f n (x) = n x x 1 f n (x) = x f n (x) = x 1 x n n f n(x) = [, 1] f n (x")
1 1.1 4n 2 x, x 1 2n f n (x) = 4n 2 ( 1 x), 1 x 1 n 2n n, 1 x n n 1 1 f n (x)dx = 1, n = 1, 2,.. 1 lim 1 lim 1 f n (x)dx = 1 lim f n(x) = ( lim f n (x))dx = f n (x)dx 1 ( lim f n (x))dx d dx ( lim f d
さくらの個別指導 ( さくら教育研究所 ) A 2 P Q 3 R S T R S T P Q ( ) ( ) m n m n m n n n
1 1.1 1.1.1 A 2 P Q 3 R S T R S T P 80 50 60 Q 90 40 70 80 50 60 90 40 70 8 5 6 1 1 2 9 4 7 2 1 2 3 1 2 m n m n m n n n n 1.1 8 5 6 9 4 7 2 6 0 8 2 3 2 2 2 1 2 1 1.1 2 4 7 1 1 3 7 5 2 3 5 0 3 4 1 6 9 1
( ) x y f(x, y) = ax
013 4 16 5 54 (03-5465-7040) nkiyono@mail.ecc.u-okyo.ac.jp hp://lecure.ecc.u-okyo.ac.jp/~nkiyono/inde.hml 1.. y f(, y) = a + by + cy + p + qy + r a, b, c 0 y b b 1 z = f(, y) z = a + by + cy z = p + qy
( 12 ( ( ( ( Levi-Civita grad div rot ( ( = 4 : 6 3 1 1.1 f(x n f (n (x, d n f(x (1.1 dxn f (2 (x f (x 1.1 f(x = e x f (n (x = e x d dx (fg = f g + fg (1.2 d dx d 2 dx (fg = f g + 2f g + fg 2... d n n
#A A A F, F d F P + F P = d P F, F y P F F x A.1 ( α, 0), (α, 0) α > 0) (x, y) (x + α) 2 + y 2, (x α) 2 + y 2 d (x + α)2 + y 2 + (x α) 2 + y 2 =
#A A A. F, F d F P + F P = d P F, F P F F A. α, 0, α, 0 α > 0, + α +, α + d + α + + α + = d d F, F 0 < α < d + α + = d α + + α + = d d α + + α + d α + = d 4 4d α + = d 4 8d + 6 http://mth.cs.kitmi-it.c.jp/
I A A441 : April 21, 2014 Version : Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka ) Google
I4 - : April, 4 Version :. Kwhir, Tomoki TA (Kondo, Hirotk) Google http://www.mth.ngoy-u.c.jp/~kwhir/courses/4s-biseki.html pdf 4 4 4 4 8 e 5 5 9 etc. 5 6 6 6 9 n etc. 6 6 6 3 6 3 7 7 etc 7 4 7 7 8 5 59
ver Web
ver201723 Web 1 4 11 4 12 5 13 7 2 9 21 9 22 10 23 10 24 11 3 13 31 n 13 32 15 33 21 34 25 35 (1) 27 4 30 41 30 42 32 43 36 44 (2) 38 45 45 46 45 5 46 51 46 52 48 53 49 54 51 55 54 56 58 57 (3) 61 2 3
r 1 m A r/m i) t ii) m i) t B(t; m) ( B(t; m) = A 1 + r ) mt m ii) B(t; m) ( B(t; m) = A 1 + r ) mt m { ( = A 1 + r ) m } rt r m n = m r m n B
1 1.1 1 r 1 m A r/m i) t ii) m i) t Bt; m) Bt; m) = A 1 + r ) mt m ii) Bt; m) Bt; m) = A 1 + r ) mt m { = A 1 + r ) m } rt r m n = m r m n Bt; m) Aert e lim 1 + 1 n 1.1) n!1 n) e a 1, a 2, a 3,... {a n
1990 IMO 1990/1/15 1:00-4:00 1 N N N 1, N 1 N 2, N 2 N 3 N 3 2 x x + 52 = 3 x x , A, B, C 3,, A B, C 2,,,, 7, A, B, C
0 9 (1990 1999 ) 10 (2000 ) 1900 1994 1995 1999 2 SAT ACT 1 1990 IMO 1990/1/15 1:00-4:00 1 N 1990 9 N N 1, N 1 N 2, N 2 N 3 N 3 2 x 2 + 25x + 52 = 3 x 2 + 25x + 80 3 2, 3 0 4 A, B, C 3,, A B, C 2,,,, 7,
名古屋工業大の数学 2000 年 ~2015 年 大学入試数学動画解説サイト
名古屋工業大の数学 年 ~5 年 大学入試数学動画解説サイト http://mathroom.jugem.jp/ 68 i 4 3 III III 3 5 3 ii 5 6 45 99 5 4 3. () r \= S n = r + r + 3r 3 + + nr n () x > f n (x) = e x + e x + 3e 3x + + ne nx f(x) = lim f n(x) lim
1 1. x 1 (1) x 2 + 2x + 5 dx d dx (x2 + 2x + 5) = 2(x + 1) x 1 x 2 + 2x + 5 = x + 1 x 2 + 2x x 2 + 2x + 5 y = x 2 + 2x + 5 dy = 2(x + 1)dx x + 1
. ( + + 5 d ( + + 5 ( + + + 5 + + + 5 + + 5 y + + 5 dy ( + + dy + + 5 y log y + C log( + + 5 + C. ++5 (+ +4 y (+/ + + 5 (y + 4 4(y + dy + + 5 dy Arctany+C Arctan + y ( + +C. + + 5 ( + log( + + 5 Arctan
20 4 20 i 1 1 1.1............................ 1 1.2............................ 4 2 11 2.1................... 11 2.2......................... 11 2.3....................... 19 3 25 3.1.............................
II 2 II
II 2 II 2005 yugami@cc.utsunomiya-u.ac.jp 2005 4 1 1 2 5 2.1.................................... 5 2.2................................. 6 2.3............................. 6 2.4.................................
) ] [ h m x + y + + V x) φ = Eφ 1) z E = i h t 13) x << 1) N n n= = N N + 1) 14) N n n= = N N + 1)N + 1) 6 15) N n 3 n= = 1 4 N N + 1) 16) N n 4
![) ] [ h m x + y + + V x) φ = Eφ 1) z E = i h t 13) x << 1) N n n= = N N + 1) 14) N n n= = N N + 1)N + 1) 6 15) N n 3 n= = 1 4 N N + 1) 16) N n 4](/thumbs/92/107866707.jpg ") ] [ h m x + y + + V x) φ = Eφ 1) z E = i h t 13) x << 1) N n n= = N N + 1) 14) N n n= = N N + 1)N + 1) 6 15) N n 3 n= = 1 4 N N + 1) 16) N n 4")
1. k λ ν ω T v p v g k = π λ ω = πν = π T v p = λν = ω k v g = dω dk 1) ) 3) 4). p = hk = h λ 5) E = hν = hω 6) h = h π 7) h =6.6618 1 34 J sec) hc=197.3 MeV fm = 197.3 kev pm= 197.3 ev nm = 1.97 1 3 ev
(u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x) ( ) u(x) = u (x)v(x) u(x)v (x) v(x) v(x) 2 y = g(t), t = f(x) y = g(f(x)) dy dx dy dx = dy dt dt dx., y, f, g y = f (g(x))g (x). ( (f(g(x)). ). [ ] y = e ax+b (a, b )
f : R R f(x, y) = x + y axy f = 0, x + y axy = 0 y 直線 x+y+a=0 に漸近し 原点で交叉する美しい形をしている x +y axy=0 X+Y+a=0 o x t x = at 1 + t, y = at (a > 0) 1 + t f(x, y
017 8 10 f : R R f(x) = x n + x n 1 + 1, f(x) = sin 1, log x x n m :f : R n R m z = f(x, y) R R R R, R R R n R m R n R m R n R m f : R R f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h f : R n R m m n M Jacobi( ) m n
B. 41 II: 2 ;; 4 B [ ] S 1 S 2 S 1 S O S 1 S P 2 3 P P : 2.13:
![B. 41 II: 2 ;; 4 B [ ] S 1 S 2 S 1 S O S 1 S P 2 3 P P : 2.13:](/thumbs/94/118646867.jpg "B. 41 II: 2 ;; 4 B [ ] S 1 S 2 S 1 S O S 1 S P 2 3 P P : 2.13:")
B. 41 II: ;; 4 B [] S 1 S S 1 S.1 O S 1 S 1.13 P 3 P 5 7 P.1:.13: 4 4.14 C d A B x l l d C B 1 l.14: AB A 1 B 0 AB 0 O OP = x P l AP BP AB AP BP 1 (.4)(.5) x l x sin = p l + x x l (.4)(.5) m d A x P O