2009 IA I 22, 23, 24, 25, 26, a h f(x) x x a h
|
|
|
- みちしげ にばし
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 009 IA I, 3, 4, 5, 6, h fx) x x h
2 e e sin x sin x
3 3 10 C [, b] fx) gx), b) f) fb) f x) g x), b) 0 1 gb) g) fb) f) = g c) f c) c, b) fx) = x fx) gx) fb) f) = f c)b ) c, b) gb) g) = g c )b ) c, b) c c ) fb) f) g c) gb) g) ) f c) = 0 φx) = fb) f) ) gx) gb) g) ) fx) 1 0
4 4 fx), gx) φx) φx) φ) = φb) φ c) = fb) f) ) g c) gb) g) ) f c) = 0 c, b) f c) 0 f c) = 0 fb) f) ) g c) = 0 f) fb) g c) = 0 f x) g x) 0 f c) y y y = gt) y = ft) y = ft) O c b t O b c?? t 1:?? x, y) = ft), gt) ) t ft), gt)) t t ft), gt)) t = c f c), g c) ) fc), gc) ) x t
5 5 fc), gc) ) f c), g c) ) fc), gc) ) f c) 0 y = x 1 y = g c) ) x fc) + gc) f c) f), g) ) fb), gb) ) f), g) ), fb), gb) ) fc), gc) ) f), g) ) fb), gb) ) y gc) l gb) l g) O f) fc) fb) x : ft) = cos t, gt) = sin t, b fb) f))g c) = gb) g))f c) b c. f t) = sin t, g t) = cos t c cos b cos ) cos c = sin b sin ) sin c) cos cos cos b cos ) cos c = cos b cos c cos cos c = cosb + c) + cosb c) cos + c) + cos c)
6 6 sin cos sin b sin ) sin c = sin b sin c + sin sin c = cosb + c) cosb c) cos + c) cos c) cos b cos ) cos c sin b sin ) sin c) = cosb c) cos c) b c = c) 0 c c c = +b c = + b sin b sin cos b cos = sin c cos c 3 t = + b cos t, sin t) t = b t = 0 3: 1.3 b fb) f) b
7 7 fb) f) b = f c) b de l Hôpitl) ft) gt) [, b), b), b) t f t) 0 g t) t f t) gt) g) t ft) f) = g t) t f t). t t, b) f [, t], t) [, t] ft) f) = f c)t ) c, t) f t), b) 0 0 ft) f) f t) 0 f t) g t) 0 t, b) [, t] t gt) g) ft) f) = g c) f c) c, t) c t < c < t t g t) c t f t) gt) g) t ft) f) = g c) t f c) = g t) t f t) 3 9 g t) gt) g) t f t) t ft) f)
8 8 g t) t f t) g t) t f t) gt) g) t ft) f) gt) = t sin 1 t, ft) = sin t gt) g0) t 0 ft) f0) = t sin 1 t t 0 sin t = ) t t 0 sin t t sin 1 ) = 1 0 = 0 t 0 t g t) t 0 f t) = t sin 1 t cos 1 t t 0 cos t 1.4. ft) gt) t = f ) g ) f t) g t) t t ) ) ft) f) = gt) g) = 0 t 0/0 t
9 9 t gt) g) ft) f), t t t t = f ) g ) 0 3 gt) g) t ft) f) = t gt) g) t ft) f) t = gt) g) t t t ft) f) t f t) g t) t = g t) g t) t f t) = t f t) = g ) f ) t = g ) f ) g ) = f ) = 0 0/0 f t) g t) g t) t f t) g t) t f t) = g t) t f t) 1 0/0 3 0/0 4. 0/0 NO e x 1 x x tn x 1) x 0 x + x 3 ) x 0 x 3 1 e x + 1 3) x 0 x e x 1 ) x 5) x + x log x x + 3 f ) = 0 O.K. ) 1 log1 + x) 4) x 0 x1 + x) x 1 6) x 0 sin x 1 ) x
10 10. 1) ) 1) x 0 0 e x 1 x) = e x 1 x + x 3 ) = x + 3x x 0 e x 1 x + 3x x 0 0 e x 1) = e x x + 3x ) = + 3x x 0 e x + 3x = 1 e x 1 x x 0 x + x 3 = 1 ) x x 3 ) = 3x ) = 6x) = 6 x tn x) = tn x ) = tn x1 + tn x) ) = 1 + tn x ) 4 tn x 1 + tn x ) x 0 3 x tn x x 0 x 3 = 6 = 1 3 3) 1 e x + 1 x e x 1 ) = x )ex + x + x x e x 1) x 0 0 x e x 1)) = x + x)e x x x 0 0 x e x 1)) = x + 4x + )e x x 0 0 x e x 1)) = x + 6x + 6)e x x 0 6
11 11 3 x )e x + x + ) = x 1)e x + 1) = xe x ) = x + 1)e x 3 x )e x + x + x 0 x e x = 1 1) 6 x 0 1 4) 1 log1 + x) x x + 1) log1 + x) xx + 1) x = x x + 1) x 0 0 x x + 1) = x 3 + x x 3 + x ) = 3x + x) = 6x + x 0 x x + 1) log1 + x)) = log1 + x)) = 1 x x ) 1 log1 + x) x 0 xx + 1) x = 1 5) y = 1/x y y 0 log x 1 x + = log y 1 y = log y 1 y = log1 y) log1 + y) log1 y) log1 + y) y 0 y log1 y)) log1 + y)) = y 0 y) = y 0 1 y 1 1+y = 6) 1 sin x 1 x = x sin x x sin x
12 1 x 0 0 x sin x ) = x sin x + x sin x x 0 0 x sin x ) = sin x + 4x sin x + x cos x x 0 0 x sin x ) = 6 sin x + 1x cos x 4x sin x x 0 0 x sin x ) = 4 cos x 3x sin x 8x cos x x x sin x ) = x sin x) = cos x) = 4 sin x) = 8 cos x x x 0 sin x 1 ) x = 8 4 = t 0/0 t / t 0/0 t / O.K. t t 0/0 / t / ε-δ ε-δ f ) 0 f), g) ) f ) = g ) = 0 t = 0
13 13 y ft), gt)) t g ) f ) f), g)) O x 4: ) f), g) g )/f ) f), g) ) ft), gt) ) t 4 g )/f ) t ft), gt) ) t F x) [, b] F x) b F x)dx = F b) F ) F x) = fx) b fx)dx = fc)b )
14 14 c, b) fx) F x) fx) F b) F ) x b fx)dx 5 b fx) fx) 5 y = fx) x c y y y = fx) y = fx) = O b x O b c x 5: fx) c. fx) [, b] M, m [, b] x m fx) M mb ) = b mdx b fx)dx b fx) [m, M] Mdx = Mb ) c fc) = 1 b b fx)dx
15 15 5 forml 1.6? IA )/ = )/3 = fx) φx) [, b] φx) x φx) 0 φx) b fx)φx)dx b φx)dx = fc) c, b) b φx)dx b fx)φx)dx φx) 1 1 ψx). fx) [, b] M, m m fx) M x x φx) 0 φx) mφx) fx)φx) Mφx)
16 16 x b m b φx)dx b fx)φx)dx M b φx)dx x φx) = 0 0 c 0 = b fx)φx)dx = fc) b φx)dx φx) > 0 x b φx)dx > 0 b m fx)φx)dx b φx)dx M m M fx) b fx)φx)dx b φx)dx = fc) c, b) 1 1 Tylor) fx) k f k) x) fx) k f 1) = f, f ) = f, f 3) = f,... f 0) = f f k+1) x) f k) x) f k+1) x) f k) x) f k+1) x) f k) x) C k f k k f k) f C k f f C C C C n
17 17 fx) x = fx) n f), f ), f ),..., f n) ) f n+1) x) 4 1) ) 3) 1) fx) x = f ) y = fx), f)), f)) y = fx) fx) x = n 5 fx) n x 1) ) 1) n p n x) p n x) x fx) x x p n x) fx) fx) p n x) R n+1 x) := fx) p n x) fx) p n x) n n + 1 R n+1 x) n + R n+1 x) ) 4? 5
18 18 R n+1 x) f n+1) x) 3) p n x) ) x n ) R n+1 x) x fx) p n x) p n x) fx) 3) x n p n x) fx) x n p nx) = fx) C n n + 1 x p1) = 3, p) = 8, p3) = 1 x )x 3) 3)x 1) 1)x ) px) = 3 + 8x 1x 1 )1 3) 3) 1) 3 1)3 ) = 7x + 6x 16 x x = I n I fx) f n+1) = 0 0 fx) n. n n fx) n fx) = c 0 + c 1 x + c x + c 3 x c n x n
19 19 6 f x) = c 1 + c x + 3c 3 x + + nc n x n 1 f x) = c + 6c 3 x + + nn 1)c n x n f n 1) x) = n 1)!c n 1 + c n x f n) x) = c n f n+1) x) = 0 f n+1) x) 0 gx) g gx) = g) + g t)dt 7 gx) I x I n + 1 I x f n+1) x) = 0 f n) x) f n) x) = f n) ) + = f n) ) + = f n) ) f n+1) t)dt f n) ) f n) ) x f n 1) x) = f n 1) ) + f n ) x) = f n ) ) + = f n ) ) + = f n 1) ) + 0dt f n) t)dt f n) )dt = f n 1) ) + f n) )x ) f n 1) t)dt ) f n 1) ) + f n) )t ) dt = f n ) ) + f n 1) )x ) + f n) ) x ) 6 n 7
20 0 n + 1 fx) = f) + = f) + f t)dt f ) + f )t ) + + f n) ) ) t )n 1 dt n 1)! = f) + f )x ) + f ) x ) + + f n) ) x ) n x n x ) k n fx) n. f n+1) = 0 fx) n b g x)dx = gb) g) 0 gx) g = 0 gb) g) = g c)b ) c g c) = 0 gb) = g) x gx) gx) f n+1) = 0 fx) n f n) x) 0 f n) = c n c n = f n) ) I f n) ) c n f n 1) x) c n c nx f n 1) x) c nx f n 1) x) c nx f n 1) x) c nx) = f n) x) c n = c n c n = 0 f n 1) x) c nx c n 1 f n 1) x) = c n 1 + c n x f n ) x) c n 1 +c n x c n 1 x+ c n x f n ) x) f n ) x) c n 1 x + c n x)) = f n 1) x) c n 1 + c n x) = c n 1 + c n x) c n 1 + c n x) = 0 c n n + 1 f n ) x) = c n + c n 1x + cn x fx) = c 0 + c 1 x + c x + + c n xn
21 1 f n+1) = 0 n x k f k) )/k! k f k) ) x ) k k /k! = 0 I 0 = 0 n 0, 1,..., n n + 1 n p n x) p k) n 0) = k k = 0, 1,....n p n x) = x + x + 3 3! x3 + + n xn. p n x) p n x) = c 0 + c 1 x + c x + + c n x n p k) n 0) = k k = 0, 1,..., n k = 0 k = 0 p0) = c 0 + c c n 0 n = c 0 c 0 = 0 p x) = c 1 + c x + + nc n x n 1 k = 1 k = c 1 = 1 p x) = c + 6c 3 x + + nn 1)c n x n c =
22 n k p k) n 0) = k!c k c k = k k! p n x) = x + x + + n xn x = 0 k k x = 0 k k x k x ) k p n x) = x ) + x ) + + n x )n p n x) x x p n x) 3. x = 0 n n n n x = 0, 1,..., n 3.3 fx) x = n f k) ) n p n x) = f) + f )x ) + f ) x ) + + f n) ) x ) n 1)
23 3 1) fx) n 8 x = 0 n x = 0 e x ) = e x, sin x) = cos x, cos x) = sin x, log1 + x)) = 1 + x) 1 n n e x 1 1 1/ 1/3! 1/4! 1/5! 1/6! 1/7! sin x /3! 0 1/5! 0 1/7! cos x 1 0 1/ 0 1/4! 0 1/6! 0 log1 + x) 0 1 1/ 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 4 p n x) x = fx) 1 n p n x) fx) x = n fx) fx) n x = n 8
24 4 4.1 n p n x) fx) n p k) n ) = f k) ) 0 n k p n x) = f) + f )x ) + f ) x ) + f ) x ) 3 3! + + f n) ) x ) n fx) p n x) x x ) n = 0 ) ) p n x) fx) n x fx) p n x) x ) n x fx) p n x) x ) n 0 x fx) p n x) n 9 φx) fx) fx) φx) b fx) φx) dx x fx) f) = f ) x x 9
25 5 fx) f) f )x ) = 0 x x p n x) = f) + f )x ) x fx) p n x) x 1 n y = fx) x = n 4. = 0 p n x) 0 fx) n fx) p n x) x x n = 0 fx) p nx)) = f0) p0) = 0 x 0 x 0 xn = 0 n = 0 0/0 x 0 fx) p nx)) = f x) p x)) = f 0) p 0) = 0 x 0 x 0 x 0 xn ) = nx n 1 = 0 x 0 0/0 x 0 f x) p x)) = f x) p x)) = f 0) p 0) = 0 x 0 x 0 x 0 nxn 1 ) = nn 1)x n = 0 x 0 0/0 n x 0 f n) x) p n) n x) = f n)0) p n) n 0) = 0
26 6 n 0 = f n) 0) p n) n 0) = f x) p x) = x 0 nn 1)x n = x 0 f n) x) p n) n x) f n 1) x) p n 1) n x) = x 0 x 0 x f x) p x) fx) p n x) nx n 1 = x 0 x n. fx) C f n) x) f n) x) f n) x) = f n) 0) x 0 x 0 f n) x) p n) n x) = f n) 0) p n) n 0) n fx) n 1 f n 1) x) x = 0 p n x) C f n 1) x) f n 1) 0) = f n) 0) x 0 x f n 1) 0) = p n 1) n 0) x 0 f n 1) x) p n 1) n x) x = 1 x 0 = 1 x 0 f n 1) x) f n 1) 0) x f n 1) x) f n 1) 0) x = 1 f n) 0) p n) n 0)) = 0 pn 1) n ) x) p n 1) n 0) x p n 1) n x) p n 1) n 0) x 0 x n 0 n q n x) fx) q n x) x 0 x n = 0 q n x) x = 0 fx) n q n x) q n x) = x + + n 1 x n 1 + n x n p n x) x = 0 n ) p n x) = f0) + f 0)x + f 0) fx) p n x) x 0 x n = f n) 0)
27 7 n k fx) p n x) x 0 x k fx) p n x) = x 0 x n fx) p n x) = x 0 x n fx) q n x) x 0 x n = 0 x n k ) x 0 xn k) = 0 fx) p n x) n k fx) q n x) x 0 x k = 0 fx) q n x) = fx) p n x)) + p n x) q n x)) 0 = x 0 fx) q n x) x k fx) p n x)) + p n x) q n x)) = x 0 x k fx) pn x) = x 0 x k + p ) nx) q n x) x k = x 0 p n x) q n x) x k p n x) q n x) x 0 x k = 0 n k k = 0 f p n x) q n x) = f0) 0 + f n) 0) 0) 1 )x = x 0 p n x) q n x)) = p n 0) q n 0) = f0) 0 0 = f0) f p n x) q n x) = f 0) 0) 1 )x + n ) x n ) f x n) ) 0) + + n x n
28 8 k = 1 f 0) p n x) q n x) = p n x) q n x) 0 = = f 0) 1 x 0 x 1 = f 0) k = ) f x ) 0) f + 3 x 3 n) ) 0) + n x n 3! p n x) q n x) 0 = x 0 x = f 0) = f 0) n 0 n k k = f k) 0) k! q n x) = p n x) p n x) p k) n 0) = f k) 0) 0 n k 4.3 x fx) e x 1 x x tn x 1) x 0 x + x 3 ) x 0 x 3 1 e x + 1 3) x 0 x e x 1 ) x 5) x + x log x x + ) 1 log1 + x) 4) x 0 x1 + x) x 1 6) x 0 sin x 1 ) x
29 9. 1) ) 1) x ) e x 1 x = 1 + x + x + R 3x) 1 x = x + R 3x) R 3 x) = e x 1 x x R 3 x) x 0 x = 0 e x x 1 x x 0 x + x 3 = + R 1 3x) x 0 x + x 3 = x 0 + R3x) x 1 + x = = 1 ) tn x tn x = 1 + tn x tn x = 1 + tn x ) = tn x 1 + tn x ) tn x = tn x 1 + tn x )) = 1 + tn x ) + 4 tn x 1 + tn x ) tn x = x + x3 3 + R 4x) x 0 R 4 x) x 3 = 0 x tn x x 3 3 x 0 x 3 = R 4x) x 0 x 3 = 1 3 3) 1 e x + 1 x e x 1 ) = x )ex + x + x x e x 1) e x 0 3 e x 0 1 e x = 1 + x + R x) = 1 + x + x + x3 3! + R R x) R 4 x) 4x) = x 0 x x 0 x 3 = 0
30 30 x )e x + x + x e x 1) = = x x )1 + x + + x3 6 + R 4x)) + x + x 1 + x + R x) 1) x x4 6 + x )R 4x) x 3 + x R x) 1 e x + 1 x 0 x e x 1 ) x 3 6 = + x4 6 + x )R 4x) x x 0 x 3 + x = 1 R x) 6 4) log1 + x) = x x + R 3x) x 0 R 3 x) x = 0 ) 1 log1 + x) x 0 x1 + x) x 1 = x 0 x x 1 x + 1 R ) 3x) x = 1 5) y = 1/x y 0 1 log x 1 y = log x y = log1 y) log1 + y) = y + R y)) y + S y)) R y) S y) = = 0 y 0 y y 0 y x log x x x + = + R y) S ) y) = y 0 y y 6) sin x sin x ) = sin x sin x ) = cos x sin x ) = 4 sin x sin x ) = 8 cos x sin x = x x4 3 + R 5x) x 0 R 5 x) x 4 = 0 1 x 0 sin x 1 ) x sin x x = x 0 x sin x = x 4 3R 5 x) x 0 3x 4 x 6 + 3x R 5 x) = 1 3
31 e x x n p n x) x = fx) n fx) p n x) x x ) n = 0 n q n x) q n x) q n x) = f) + f )x ) + f ) x ) + + f n) ) x ) n fx) f n) ) 1 x 1 x n+1 = 1 x)1 + x + x + + x n ) 1 x n+1 1 x = 1 + x + x + + x n 1 1 x 1 + x + x + + x n ) = xn+1 1 x x n x 0 x n+1 /1 x) x x 0 x n = x 0 1 x = 0 x n x 0 0 1/1 x) 1 + x + x + + x n ) x 0 x n = x + x + + x n 1/1 x) x = 0 n x k 1 ) k) 1 = k! 1 x x=0
32 3 1/1 x) fx) fx) = x x 3x + n f 0 n. fx) fx) = x 1 x) x) = 1 1 x x 1 1 x = 1 + x + x + x x n + R n+1 x) x 0 R n+1 x) x n = 0 x = 1 1 x x = 1 + x x ) x ) 3 x n x ) Rn+1 n) fx) = 1 1) ) x + R n+1 x ) x 0 x n = ) + + x ) 3 x ) x ) n x n + R n+1 x) R n+1 = 1 x x x3 + + n 1 n x n + R n+1 x) R n+1 x fx) 0 n R n+1 x) R n+1 x ) x 0 x n = 0 )
33 33 n 1 x x x3 + + n 1 n x n 5.1 fx)gx) fx) gx) fx)gx) p n x), q n x) fx), gx) n p n x) = x ) + + n x ) n, q n x) = b 0 + b 1 x ) + + b n x ) n, k = f k) ) k! b k = gk) ) k! p n x) q n x) p n x)q n x) x n r n x) = 0 b b b 0 )x ) + + n k b n k x ) n fx)gx) n k=0 Rx) = fx) p n x), Sx) = gx) q n x) fx)gx) r n x) = p n x) + Rx))q n x) + Sx)) r n x) = p n x)q n x) + p n x)sx) + q n x)rx) + Rx)Sx) r n x) p n x)q n x) r n x) x n + 1 x p n x)q n x) r n x) x x ) n = 0 Rx) x ) n = x Sx) x ) n = 0 q n x)rx) x x ) n = p n x)sx) x x ) n = Rx)Sx) x x ) n = 0
34 34 fx)gx) r n x) x x ) n = x p n x)q n x) r n x) + q n x)rx) + p n x)sx) + Rx)Sx) x ) n = 0 r n x) fx)gx) x = n r n x) r n x) x ) k p n x)q n x) fg) k) ) k! k! fg) k) ) = k! = k l=0 k l=0 = k l=0 f l) ) g k l ) l! k l)! f l) ) g k l ) k l! k l)! = k! l!k l)! f l) )g k l) ) l=0 kcl f l) )g k l) ) k = 1 5. f) = b gy) y = fx) g fx) = gfx)) n gy) b n q n y) fx) n p n x) q n p n x)) x n fx) gy) p n x) = x ) + + n x ) n q n y) = b 0 + b 1 y b) + + b n y b) n Rx) = fx) p n x), Sy) = gy) q n y)
35 35 f) = b 0 = b gy) y = fx) g fx) = gfx)) = qfx) b) + Sfx)) = b 0 + b 1 1 x ) + + n x ) n + Rx)) + + b n 1 x ) + + n x ) n + Rx)) n + Sfx)) = b b 1 x ) + b b )x ) b n n b n )x ) n + ux) + Ux)Rx) + Sfx)) ux) q n p n x ) b) x n + 1 Ux) q n p n x ) b + Rx)) Rx) Rx) Sfx)) x x ux) Ux)Rx) = 0, x ) n x x ) n = 0 x ) n = Sfx)) fx) b) n x fx) b) n x ) n ) Sy) = y b y b) n x fx) f0) x ) n = 0 f ) n = 0 r n x) := q n p n x)) x n g fx) = r n x) + ox ) n + ox ) n = r n x) + ox ) n r n x) g fx) n n fx) = e sin x cos x 0 6. sin x 0 6 p 6 x) p 6 x) = x 1 3! x ! x5
36 36 sin 0 = 0 e y 0 6 q 6 y) q 6 y) = 1 + y + 1 y + 1 3! y ! y ! y ! y6 cos x 0 6 r 6 x) r 6 x) = 1 1 x + 1 4! x4 1 6! x6 e sin x cos x x = 0 6 q 6 p 6 x))r 6 x) 6 q 6 p 6 x)) 6 q 6 p 6 x)) = 1 + x 13! x3 + 15! ) x5 + 1 x 13! x3 + 15! ) x ! + 1 5! x 1 3! x3 + 1 ) 3 5! x5 + 1 x 13! 4! x3 + 15! ) 4 x5 x 1 3! x3 + 1 ) 5 5! x5 + 1 x 13! 6! x3 + 15! ) 6 x x + 1 x 1 8 x x x6 r 6 x) x 1 x3 1 3 x x x6 e sin x cos x x = 0 6 e sin x) = e sin x cos x gx) = e sin x g x) = fx) gx) 0 7 g0) + g 0)x + g 0) g 0) + g 0)x + g 0) x + g 0) 3! = f0) + f 0)x + f 0) x g6) 0) 6! x + + g6) 0) 5! x + + f 5) 0) 5! x 5 + g7) 0) x 6 6! x 6 + g7) 0) x 7 7! x 5 + f 6) 0) x 6 6! fx) 0 6 gx) e y y = sin x fx)
37 37 tn x sin x cos x tn x = sin x cos x = sin x 1 + cos x 1) 1/1 + y) y = cos x 1 sin x fx) n p n x) p n x) = f) + f ) 1! x ) + f )! x ) + + f n) ) x ) n fx) p n x) x x ) n = 0 3) fx) 3) n p n x) fx) p n x) fx) n p n x) = f) + f ) 1! x ) + f )! fx) R n+1 x) R n+1 x) = fx) p n x) fx) n x ) + + f n) ) x ) n R n+1 x) 10 fx) p n x) fx) n + 1 n + 10 R n+1 x) R nx)
38 38 R n+1 x) x x R n+1 x) 11 R n+1 x) R n+1 x) 6.1 R n+1 x) x x ) n = 0 4. R n+1 x)/x ) n 0 R n+1 x) x ) n 0 x ) n+1 3) x R n+1 x) = x ) n+1 x R n+1x) n + 1)x ) n = = x R n) n+1 x) n + 1)!x ) = Rn+1) n+1 ) n + 1)! R n+1 x) x ) n+1 = R n+1c 0 ) n + 1)c 0 ) n = R n+1c 1 ) n + 1)nc 1 ) n 1 = R n) n+1 = c n 1) n + 1)!c n 1 ) = Rn+1) c n) n + 1)! c 0 x c 1 c 0... c n c n 1 R n+1 x) fx) n n + 1 R n+1) n+1 x) = f n+1) x) R n+1) n+1 x) f n+1) x) c x R n+1 x) = f n+1) c) x )n+1 n + 1)! 11
39 39. fx) = f) + f )x )+ f ) x ) + f ) x ) 3 3! + + f n) ) x ) n + f n+1) c) x )n+1 n + 1)! c x n + 1 n = 0 fx) = f) + R 1 x), R 1 x) = f c)x ) n > 0 R n+1 x) f n+1) x) R n+1 x) c n R n+1 x) f n+1) x) 0 fx) n gx) = g) + g t)dt n + 1 fx) f n+1) x) n + 1 f n+1) x) 0 R n+1 x) fx) R n+1) n+1 x) = f n+1) x)
40 40 R n+1 x) f n+1) x) n + 1 R n+1 x) f n+1) x) f n+1) x) = R n+1 n+1) x) f n) x) R n+1 n) x) f n) x) = f n) ) + f n+1) t)dt n R n+1 n) x) fx) = f) + f )x ) + + f n) ) x ) n + R n+1 x) n f n) x) = f n) ) + R n+1 n) x) f n 1) x) R n+1 n 1) x) f n 1) x) = f n 1) ) + = f n 1) ) + f n) t)dt f n) ) + = f n 1) ) + f n) )x ) + t ) f n+1) s)ds dt t ) f n+1) s)ds dt R n 1) n+1 x) f n+1) x) x x f n+1) x) = x t sdsdt = f n ) x) = f n ) ) + = f n ) ) + 1 t )dt = 1 6 x3 3 x ) f n 1) t)dt f n 1) ) + f n) )s 1 ) + t s f n+1) s 1 )ds 1 ) ds )dt = f n ) ) + f n 1) )x ) + f n) ) x ) t s ) ) + f n+1) s 1 )ds 1 ds dt R n ) n+1 x) f n+1) x) = 0 + R n+1) n+1 x) R n+1x) R n+1 ) = R n+1) = R n+1) = = R n) n+1 ) = 0
41 41 0 n + 1 R n+1) n+1 x) = f n+1) x) gx) hx) gt)ht)) = g t)ht) + gt)h t) gb)hb) g)h) = b = b b g t)ht) + gt)h t)) dt g t)ht)dt + gt)h t)dt = gb)hb) g)h) b b gt)h t)dt g t)ht)dt fx) fx) f) = f t)dt 4) x b x t x gt) = f t), h t) = 1 1 ht) 1 t + c c ht) = t + c fx) f) = f t) t + c) dt = f x)x + c) f ) + c) f t)t + c)dt f )x ) c = x 1 fx) f) f )x c) = f t)x t)dt t x) = x t) R x)
42 4 gt) = f t), h t) = x t) ht) x t) ht) = 1 x t) f t)x t)dt = 1 f x)x x) + 1 f )x ) + fx) f) f )x ) f ) x ) = R 3 x) R n+1 x) = f n+1) t) x t) n dt f t) f t) x t) dt x t) dt f n+1) x) f n+1) x) R n+1 x) R n+1 x) = f n+1) t) x t) n dt x t) n 1.6 φt) = x t) n
43 43 φt) 0 x > x < n φt) = x t) n x > x > φt)dt R n+1 x) = f n+1) t) φt)dt = f n+1) c) φt)dt < c < x) ] x φt)dt = x t) n x t)n+1 x )n+1 dt = [ = n + 1 n + 1 R n+1 x) = f n+1) c) x )n+1 n + 1)! R n+1 x) = f n+1) c) x c) n x ) < c < x or x < c < ). x t) n x t) 0 x t) k, k = 1,,..., n 1 m n + 1 R n+1 x) = φt) = x t) m 1 f n+1) t) x t) n dt = f n+1) x c)n m+1 c) = f n+1) c) x c) n m+1 x ) m m x t) m 1 dt c x m = 1 m = n + 1. I 7
44 e e x 0 e e 3 0 < e 3. e x 0 7 e x = 1 + x + x + x3 3! + + x6 6! + ec x 7 7! c 0 x x = 1 e 0 < e 3 0 < c < 1 1 7! = e0 1 7 < ec 7! 7! < e ! 7! ! ! + 1 7! < e < ! ! + 3 7! < e < e =.718 n = 7 3 R 7 1) e = ) n n n n 1 + 1/n) n n =
45 45 3 y 3 n = 1 log y e x e x O 1 n = 0 x log e = 1 O 1 1 n = 0 x 6: e x 7. e e + e 4 9 e. e = p/q p q q > e e x 0 q x = 1 q! e = ! q! + ec q + 1)! 0 < c < 1) q!e = q! + q! + qq 1) qq 1) ec q + 1 e c /q + 1) e c /q + 1) 0 < c < 1 0 < e c < e < q < e c /q + 1) < sin x e sin 1 4 7
46 sin 1 3. sin x 0 n sin x = x x3 3! + x5 5! + 1)n 1 x n 1 n 1)! + R n+1x) R n+1 x) sin x n + 1 1) n cos x R n x) = 1) n cos c n + 1)! xn+1 c 0 x x = 1 sin 1 = 1 1 3! + 1 5! + 1)n 1 n 1)! + 1)n cos c n + 1)! c 0, 1) 0, 1) 0 < cos c < < 1 7! < 1)3 cos c 7! 1 1 3! + 1 5! = < < < sin 1 < < 0.84 sin 1 = n sin /7! < sin x = < = < sin 1 < n = 7 sin 1 3 n = 7
47 sin x sin x cos x e x e x x > 0 sin x 0 < x < π/ x 0 < x < π/ sin x cos x 1) n x π/ 0 < x < π/ n 1 p n 1 x) n p n x) x 0 n p n 1 x) = p n x) sin x n p n 1 x) = p n x) sin x 7 y p 1 = p p 5 = p 6 p 9 = p 10 p 13 = p 14 sin x O x p 15 = p 16 p 3 = p 4 p 7 = p 8 p 11 = p 1 7: x = 0 sin x n R n 1 x) = R n x) 0 n R n 1 x) = R n x) 0 R n 1 x) R n x) R n x) gx) x = m q m x) R m x) gx) = q m x) + R m x) = q m 1 x) + R m 1 x), q m x) = q m 1 x) + gm) ) x ) m m!
48 48 m m 1 R m x) = R m 1 x) gm) ) x ) m m! sin x m = n + 1 R n+1 x) = R n x) 1)n n + 1)! xn+1 R n x) = R n 1 x) R n+1 x). R n x) n n + 1 n R n+1 x) 0 n R n+1 x) 0 sin x 0 n 0, x) c sin x = 0 + 1x + 0x + 1 3! x3 + 0x 4 + 1) x 5 + 5! + 0x n + 1)n 1 n 1)! xn 1 + 0x n + 1)n cos c n + 1)! xn+1 = n 1 k=0 1) k k + 1)! xk+1 + 1)n cos c n + 1)! xn+1 R n+1 x) = sin x p n+1 x) = 1)n cos c n + 1)! xn+1 1)n n + 1)! xn+1 cos c 1 0 = 1)n x n+1 cos c 1) n + 1)! n R n+1 x) 0 n R n+1 x) e sin 1 e x sin x n e sin cos log 1+x) α fx) = 1 + x) α 0
49 49 f x) = α1 + x) α 1 f x) = αα 1)1 + x) α. f n) x) = αα 1) α n + 1)1 + x) α n. α n ) = αα 1) α n + 1) n p n x) = k=0 α n ) x n R n+1 x) = α n + 1 ) 1 + c) α n 1 x n = 1+7) 1/3 x = = = = = ) x) 1/3 0 x = 1/7 fx) = 31 + x) 1/3 f x) = 1 + x) 3 f x) = x) 5 3 f x) = x) x) 1 3 = f0) + f 0)x + f 0) x + f c) x 3 = 3 + x x 3! 3 + 5x c) 8/3 c 0 x x = 1/ = c) 8/ =
50 50 0 < c < 1/ /7) < 5 8/ c) < 5 8/ ) 5 < < 3 8 < = ) 3 8 = e sin /7) = /7) 3 = ) 0 5 6) 3 8 < c) > 5 8/ /7) = 5 8/ > > > = ) 3 8 = = /7 log1 + x) 0 log log = log1 + 1) log = log 1 = log 1 1 ) Arctn 1 = π/4 Arctn x 0 π x = )n n + 1
51 51 n π/4 1 tn π 4 = 4 Arctn 1 5 Arctn Arctn 0 1/5 1/39 π π 7.6 R n x) x x x x c x fx) x x x x + e x = 0. n e x 0 n e x = 1 + x + x + x3 3! + + xn + ec x n+1 n + 1)! c 0 x x > 0 e x > xn 0 < x e x < x x n / = x n 1 n π/4
52 5 n x x n x x n = 0 n x n x e x 8 n R n+1 x) n p n x) 8.1 fx) C n n m < n m n m C C fx) n=0 f n) ) x ) n = f) + f )x ) + f ) fx) x ) + + f n) ) x ) n + x ) n b n=0 f n) ) b ) n
53 53 α 0 9 0, 1,, α = k 0.1 k k=0 C fx) f), f ), f ), f ) 3!, fx) = k=0 f k) ) x ) k k! x f), f) + f )b ), f) + f )b ) + f ) b ), 7) x fx) x = b 7) b b fb) x x n fx) fx) fx) fx) x = f) + f ) ) + f ) ) + = f) f)
54 54 b f) + f )b ) + f ) b ) + = fb) fx) fx) fx) n=0 n S 0, 0 + 1, ,..., n k, S n S n n=0 n S S n = S n S n S S n S S S n = 0 n n=0 n fx) x = b fb) fx) n p n x) p n x) = f) + f )x ) + f ) x ) + + f n) ) x ) n 13 k=0
55 55 x = b n p n b) S n p n b) n=0 f n) ) b ) n = fb) fb) p nb) = 0 n fb) p n b)= R n+1 b)) b c b f n b) p n b) = b b x) n f n+1) x)dx f n b) p n b) = f n+1) c) b )n+1 n + 1)! c f n b) p n b) = f n+1) c) b )b c) n 0 S S n S 0 1 n n + n n n n = r n S = 1/1 r) S 0 1 n = rn+1 1 r fb) p n b) n + fb) p n b) 0
56 56 fx) R n+1 x) = fx) p n x) R n+1 x) 0 fx) R n+1 x) fx) log1 + x) fx) n 0 n n 0 n p n x) n fx) p n x) n R n+1 x) = fx) p n x) n R n+1 x) R n+1 x) x x ) n = 0 n 0 x fx) p nx)) = R n+1x) = 0 = 0 n n n fx) x fx) n n 0 fx) 9. e x, sin x, cos x 0 x x n n = 0
57 57. x N n > N x n = x x 1 x N x x n 1 n < x x 1 x N x N x N < 1 n x n x N N! n ) n N x = 0 N e x 0 x e x x N = x N N! ) n N x N. x = 0 e x e x = 1 + x + 1 x xn + ehx n + 1)! xn+1 1 h 0 < e hx < e x e hx n + 1)! xn+1 < e x n + 1)! x n+1 n 0 0 e x x e x. e +x = e e x e x x = e +x x = 0 x = 0 e e x x e x sin x 0 x sin x. x = 0 sin x sin x = x x3 3! + x5 5! + 1)m x m+1 + 1)m+1 x m+ sin hx m + 1)! m + )! 1 h R m+ x) = x m+ sin hx m + )! R m+3 x) = R m+ x) x m+ 0 m ) m + ) R nx) = 0 n x cos x x = 0 x cos x. sin x
58 x fx) = x f D 0 3x + D D x f 0 fx) D x f 0 fx) D x fx) = 1 1 x 1 1 x 1 1 x = 1 + x + x + + x n 1 + xn 1 x = 1 + x + x ) + + x ) n 1 + x ) n 1 x f 0 n 1 R n x) = xn 1 x x ) n 1 x ) 1 = x n 1 x 1 n 1 x) x < D x < 1 x 9.4 e x log x x = 0 x = 1 x = 0 log1 + x) 1 log + x) = log 1 + x ) + log
59 log1 + x) x = 0 1 < x 1 log1 + x). x 1 < x 1 n n 0 1 < x < 0 fx) = log1 + x) f n+1) x) = 1) n 1 + x) n+1 log1 + x) x = 0 n 1) n 0 x t) n dt 1 + t) n+1 0 x 1 0 t x 1 + t x t) n 1)n 1 + t) 0 x 1 x t)n x t)n 1 + t) n+1 n+1 dt x t) n dt = xn+1 n x n+1 n n + 1 = 0 0 x 1 log1 + x) 1 < x < 0 x t 0 t 1 + x 1 + t x t n 1 + t) n x n 1 t ) n x 1 + x 1 + t 1 t x < t < 0 1 t x 1 + t < 1
60 60 x t) n 1)n 1 + t) 0 n+1 dt 0 x < x n 1 + x 1 < x < 0 x t n 0 dt 1 + t) n+1 x n x n 1 + x = 0 x n 1 + x 1 t x 1 + t n dt < x n 1 + x 1 < x < 0 log1 + x) x 0 1dt fx) = log1 + x) f n+1) x) = 1) n 1 + x) n+1 log1 + x) x = 0 n f n+1) θx) x θx) n x = 1) n 1 θ)n x n θx) n 0 < θ < 1) 1 < x 0 < θ < 1 0 < 1 θ < 1 + θx 0 < 1 θ 1 + θx < 1 x 1 1 1)n θ)n x n+1 ) n 1 θ 1 + θx) n = x n+1 n θ. log1 + x) = 0 1 dt 1 + t 1 + x)1 x + x + + 1) n 1 x n 1 ) = 1 + 1) n 1 x n x = 1 x + x + 1) n 1 x n 1 n 1 xn + 1) 1 + x 1 x log1 + x) = x x + x3 xn + 1)n 1 3 n + 1)n 0 t n 1 + t dt
61 61 log1 + x) x = 0 n n 0 x 1 0 1) n t n 1)n 1 + t dt x 1 < x < 0 t n 1)n 1 + t dt x = s n 1 s ds x t n 1 + t dt t n dt = xn x x 0 s n ds = n 0 x n+1 n 0 n + 1)1 + x) < 1 Rn+1) = 0 n R n+1 x) R n+1x) = x 1 + x x + 1) n 1 x n 1 = x) 1 x + x + 1) n 1 x n 1) 1 + x R n+10) = 0 = 1) n x n 1 + x R n+1 ) = R n+1 ) R n+1 0) = R n+1 c) = 1) n 1 + c c 0 1 < 1 1 < c < 1 n c n 0 R n+1 ) 0 c n x > 1 x < 1 log1 + x) log1 + x) k=0 k S n = n = 0 8) n n k, S = k=0 k=0 k
62 6 n = S n S n 1 n S S = log1 + x) x = 0 k 1 xk 1) k = x x + x3 3 x4 4 + x5 5 k=1 x > 1 8) x > 1 x n + 1 = 1 n n N N n n + 1 < x n N N n x n+1 n + 1 = x xn n n n + 1 = x n n x n n + 1 > N x n n x n n + 1 n n n n + 1 = x n n 0 log1 + x) 0 x > 1 x = 1 x < 1 x = 1 log1 + x) = log 0 log1 + x) 0 x x + x3 3 x = 1 + 1)n 1 xn n n + n 1/n = 0 x > 1 fx) = 1/x 8 1 n > n > n+1 1 n+1 n 1 x dx 1 n dx = logn + 1) + x
63 63 1 n y = 1 x n n + 1 x 8: n + 1 n+1 1/ n n + 1 n+1 1/ = = x) α α = 1 x < 1 1/1 + x) α 0 ) n α p n x) = n k=0 x n p nx) = 1 + x) α x < 1 n
64 64 α α n ) = αcn n > α 0 x < 1 x O.K.. R n+1 x) = f n+1) hx) xx hx) n = α n + 1 ) n + 1)1 + hx) α n 1 x n+1 1 h) n 1 h n ) ) n α k 1 h R n+1 x) = α 1 + hx) α 1 x n+1 k 1 + hx k=1 14 x < 1 1 h 1 + hx < 1 0 < h < 1 α > hx) α 1 < 1 + x ) α 1, α < hx) α 1 < 1 x ) α 1 gx) = 1 + x ) α x ) α hx) α 1 < gx) x R n+1 x) < αx gx) n 1 + α ) x k k=1 1 + α ) x m < 1 m R n+1 x) < αx gx) m 1 k=1 1 + α k ) x R n+1x) = 0 n 14 n k=1 c k = c 1 c c n n k=1 1 + α m ) x n m+1
65 x) α 0 n=0 α n tn x 1 ) x n 10 C 10.1 fx) fx) C 10. φx) φx) = { e 1 x x 0 0 x = 0 C 0 x 0 φx). x 0 C C φx) C x = 0 φx) x = 0 1 x 0 e x = 0 x 0 e 1 x 0 = 0 x
66 66 15 φx) x = 0 0 x 0 x e 1 3 x 0 = 0 x φx) x = 0 0 n x 0 e 1 x x n = 0 φx) x = 0 x = 0 0 φx) C n φ n) 0) = 0 φx) x + 0x + = 0 x 0 x 0 x 0 φx) > 0 x = 0 φx) 10.3 ψx) ψx) = e 1 x 1 x e t dt x 0 0 x = 0 ψx) C 0 ψx) 0 x 15 y = 1 x
2012 IA 8 I p.3, 2 p.19, 3 p.19, 4 p.22, 5 p.27, 6 p.27, 7 p
2012 IA 8 I 1 10 10 29 1. [0, 1] n x = 1 (n = 1, 2, 3,...) 2 f(x) = n 0 [0, 1] 2. 1 x = 1 (n = 1, 2, 3,...) 2 f(x) = n 0 [0, 1] 1 0 f(x)dx 3. < b < c [, c] b [, c] 4. [, b] f(x) 1 f(x) 1 f(x) [, b] 5.
I A A441 : April 21, 2014 Version : Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka ) Google
I4 - : April, 4 Version :. Kwhir, Tomoki TA (Kondo, Hirotk) Google http://www.mth.ngoy-u.c.jp/~kwhir/courses/4s-biseki.html pdf 4 4 4 4 8 e 5 5 9 etc. 5 6 6 6 9 n etc. 6 6 6 3 6 3 7 7 etc 7 4 7 7 8 5 59
- II
- II- - -.................................................................................................... 3.3.............................................. 4 6...........................................
DVIOUT
A. A. A-- [ ] f(x) x = f 00 (x) f 0 () =0 f 00 () > 0= f(x) x = f 00 () < 0= f(x) x = A--2 [ ] f(x) D f 00 (x) > 0= y = f(x) f 00 (x) < 0= y = f(x) P (, f()) f 00 () =0 A--3 [ ] y = f(x) [, b] x = f (y)
1 1.1 ( ). z = a + bi, a, b R 0 a, b 0 a 2 + b 2 0 z = a + bi = ( ) a 2 + b 2 a a 2 + b + b 2 a 2 + b i 2 r = a 2 + b 2 θ cos θ = a a 2 + b 2, sin θ =
1 1.1 ( ). z = + bi,, b R 0, b 0 2 + b 2 0 z = + bi = ( ) 2 + b 2 2 + b + b 2 2 + b i 2 r = 2 + b 2 θ cos θ = 2 + b 2, sin θ = b 2 + b 2 2π z = r(cos θ + i sin θ) 1.2 (, ). 1. < 2. > 3. ±,, 1.3 ( ). A
() Remrk I = [0, ] [x i, x i ]. (x : ) f(x) = 0 (x : ) ξ i, (f) = f(ξ i )(x i x i ) = (x i x i ) = ξ i, (f) = f(ξ i )(x i x i ) = 0 (f) 0.
![() Remrk I = [0, ] [x i, x i ]. (x : ) f(x) = 0 (x : ) ξ i, (f) = f(ξ i )(x i x i ) = (x i x i ) = ξ i, (f) = f(ξ i )(x i x i ) = 0 (f) 0.](/thumbs/89/98384840.jpg "() Remrk I = [0, ] [x i, x i ]. (x : ) f(x) = 0 (x : ) ξ i, (f) = f(ξ i )(x i x i ) = (x i x i ) = ξ i, (f) = f(ξ i )(x i x i ) = 0 (f) 0.")
() 6 f(x) [, b] 6. Riemnn [, b] f(x) S f(x) [, b] (Riemnn) = x 0 < x < x < < x n = b. I = [, b] = {x,, x n } mx(x i x i ) =. i [x i, x i ] ξ i n (f) = f(ξ i )(x i x i ) i=. (ξ i ) (f) 0( ), ξ i, S, ε >
Chap11.dvi
. () x 3 + dx () (x )(x ) dx + sin x sin x( + cos x) dx () x 3 3 x + + 3 x + 3 x x + x 3 + dx 3 x + dx 6 x x x + dx + 3 log x + 6 log x x + + 3 rctn ( ) dx x + 3 4 ( x 3 ) + C x () t x t tn x dx x. t x
f(x) = x (1) f (1) (2) f (2) f(x) x = a y y = f(x) f (a) y = f(x) A(a, f(a)) f(a + h) f(x) = A f(a) A x (3, 3) O a a + h x 1 f(x) x = a
3 3.1 3.1.1 A f(a + h) f(a) f(x) lim f(x) x = a h 0 h f(x) x = a f 0 (a) f 0 (a) = lim h!0 f(a + h) f(a) h = lim x!a f(x) f(a) x a a + h = x h = x a h 0 x a 3.1 f(x) = x x = 3 f 0 (3) f (3) = lim h 0 (
[] x < T f(x), x < T f(x), < x < f(x) f(x) f(x) f(x + nt ) = f(x) x < T, n =, 1,, 1, (1.3) f(x) T x 2 f(x) T 2T x 3 f(x), f() = f(t ), f(x), f() f(t )
![[] x < T f(x), x < T f(x), < x < f(x) f(x) f(x) f(x + nt ) = f(x) x < T, n =, 1,, 1, (1.3) f(x) T x 2 f(x) T 2T x 3 f(x), f() = f(t ), f(x), f() f(t )](/thumbs/85/91744595.jpg "[] x < T f(x), x < T f(x), < x < f(x) f(x) f(x) f(x + nt ) = f(x) x < T, n =, 1,, 1, (1.3) f(x) T x 2 f(x) T 2T x 3 f(x), f() = f(t ), f(x), f() f(t )")
1 1.1 [] f(x) f(x + T ) = f(x) (1.1), f(x), T f(x) x T 1 ) f(x) = sin x, T = 2 sin (x + 2) = sin x, sin x 2 [] n f(x + nt ) = f(x) (1.2) T [] 2 f(x) g(x) T, h 1 (x) = af(x)+ bg(x) 2 h 2 (x) = f(x)g(x)
, 1 ( f n (x))dx d dx ( f n (x)) 1 f n (x)dx d dx f n(x) lim f n (x) = [, 1] x f n (x) = n x x 1 f n (x) = x f n (x) = x 1 x n n f n(x) = [, 1] f n (x
![, 1 ( f n (x))dx d dx ( f n (x)) 1 f n (x)dx d dx f n(x) lim f n (x) = [, 1] x f n (x) = n x x 1 f n (x) = x f n (x) = x 1 x n n f n(x) = [, 1] f n (x](/thumbs/93/113428934.jpg ", 1 ( f n (x))dx d dx ( f n (x)) 1 f n (x)dx d dx f n(x) lim f n (x) = [, 1] x f n (x) = n x x 1 f n (x) = x f n (x) = x 1 x n n f n(x) = [, 1] f n (x")
1 1.1 4n 2 x, x 1 2n f n (x) = 4n 2 ( 1 x), 1 x 1 n 2n n, 1 x n n 1 1 f n (x)dx = 1, n = 1, 2,.. 1 lim 1 lim 1 f n (x)dx = 1 lim f n(x) = ( lim f n (x))dx = f n (x)dx 1 ( lim f n (x))dx d dx ( lim f d
x () g(x) = f(t) dt f(x), F (x) 3x () g(x) g (x) f(x), F (x) (3) h(x) = x 3x tf(t) dt.9 = {(x, y) ; x, y, x + y } f(x, y) = xy( x y). h (x) f(x), F (x
[ ] IC. f(x) = e x () f(x) f (x) () lim f(x) lim f(x) x + x (3) lim f(x) lim f(x) x + x (4) y = f(x) ( ) ( s46). < a < () a () lim a log xdx a log xdx ( ) n (3) lim log k log n n n k=.3 z = log(x + y ),
18 ( ) I II III A B C(100 ) 1, 2, 3, 5 I II A B (100 ) 1, 2, 3 I II A B (80 ) 6 8 I II III A B C(80 ) 1 n (1 + x) n (1) n C 1 + n C
8 ( ) 8 5 4 I II III A B C( ),,, 5 I II A B ( ),, I II A B (8 ) 6 8 I II III A B C(8 ) n ( + x) n () n C + n C + + n C n = 7 n () 7 9 C : y = x x A(, 6) () A C () C P AP Q () () () 4 A(,, ) B(,, ) C(,,
4................................. 4................................. 4 6................................. 6................................. 9.................................................... 3..3..........................
I, II 1, 2 ɛ-δ 100 A = A 4 : 6 = max{ A, } A A 10
1 2007.4.13. A 3-312 tel: 092-726-4774, e-mail: hara@math.kyushu-u.ac.jp, http://www.math.kyushu-u.ac.jp/ hara/lectures/lectures-j.html Office hours: B A I ɛ-δ ɛ-δ 1. 2. A 0. 1. 1. 2. 3. 2. ɛ-δ 1. ɛ-n
II No.01 [n/2] [1]H n (x) H n (x) = ( 1) r n! r!(n 2r)! (2x)n 2r. r=0 [2]H n (x) n,, H n ( x) = ( 1) n H n (x). [3] H n (x) = ( 1) n dn x2 e dx n e x2
![II No.01 [n/2] [1]H n (x) H n (x) = ( 1) r n! r!(n 2r)! (2x)n 2r. r=0 [2]H n (x) n,, H n ( x) = ( 1) n H n (x). [3] H n (x) = ( 1) n dn x2 e dx n e x2](/thumbs/101/149159646.jpg "II No.01 [n/2] [1]H n (x) H n (x) = ( 1) r n! r!(n 2r)! (2x)n 2r. r=0 [2]H n (x) n,, H n ( x) = ( 1) n H n (x). [3] H n (x) = ( 1) n dn x2 e dx n e x2")
II No.1 [n/] [1]H n x) H n x) = 1) r n! r!n r)! x)n r r= []H n x) n,, H n x) = 1) n H n x) [3] H n x) = 1) n dn x e dx n e x [4] H n+1 x) = xh n x) nh n 1 x) ) d dx x H n x) = H n+1 x) d dx H nx) = nh
f(x) = f(x ) + α(x)(x x ) α(x) x = x. x = f (y), x = f (y ) y = f f (y) = f f (y ) + α(f (y))(f (y) f (y )) f (y) = f (y ) + α(f (y)) (y y ) ( (2) ) f
22 A 3,4 No.3 () (2) (3) (4), (5) (6) (7) (8) () n x = (x,, x n ), = (,, n ), x = ( (x i i ) 2 ) /2 f(x) R n f(x) = f() + i α i (x ) i + o( x ) α,, α n g(x) = o( x )) lim x g(x) x = y = f() + i α i(x )
body.dvi
..1 f(x) n = 1 b n = 1 f f(x) cos nx dx, n =, 1,,... f(x) sin nx dx, n =1,, 3,... f(x) = + ( n cos nx + b n sin nx) n=1 1 1 5 1.1........................... 5 1.......................... 14 1.3...........................
I, II 1, A = A 4 : 6 = max{ A, } A A 10 10%
1 2006.4.17. A 3-312 tel: 092-726-4774, e-mail: hara@math.kyushu-u.ac.jp, http://www.math.kyushu-u.ac.jp/ hara/lectures/lectures-j.html Office hours: B A I ɛ-δ ɛ-δ 1. 2. A 1. 1. 2. 3. 4. 5. 2. ɛ-δ 1. ɛ-n
04.dvi
22 I 4-4 ( ) 4, [,b] 4 [,b] R, x =, x n = b, x i < x i+ n + = {x,,x n } [,b], = mx{ x i+ x i } 2 [,b] = {x,,x n }, ξ = {ξ,,ξ n }, x i ξ i x i, [,b] f: S,ξ (f) S,ξ (f) = n i= f(ξ i )(x i x i ) 3 [,b] f:,
x i [, b], (i 0, 1, 2,, n),, [, b], [, b] [x 0, x 1 ] [x 1, x 2 ] [x n 1, x n ] ( 2 ). x 0 x 1 x 2 x 3 x n 1 x n b 2: [, b].,, (1) x 0, x 1, x 2,, x n
![x i [, b], (i 0, 1, 2,, n),, [, b], [, b] [x 0, x 1 ] [x 1, x 2 ] [x n 1, x n ] ( 2 ). x 0 x 1 x 2 x 3 x n 1 x n b 2: [, b].,, (1) x 0, x 1, x 2,, x n](/thumbs/92/108343288.jpg "x i [, b], (i 0, 1, 2,, n),, [, b], [, b] [x 0, x 1 ] [x 1, x 2 ] [x n 1, x n ] ( 2 ). x 0 x 1 x 2 x 3 x n 1 x n b 2: [, b].,, (1) x 0, x 1, x 2,, x n")
1, R f : R R,.,, b R < b, f(x) [, b] f(x)dx,, [, b] f(x) x ( ) ( 1 ). y y f(x) f(x)dx b x 1: f(x)dx, [, b] f(x) x ( ).,,,,,., f(x)dx,,,, f(x)dx. 1.1 Riemnn,, [, b] f(x) x., x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1
2009 IA 5 I 22, 23, 24, 25, 26, (1) Arcsin 1 ( 2 (4) Arccos 1 ) 2 3 (2) Arcsin( 1) (3) Arccos 2 (5) Arctan 1 (6) Arctan ( 3 ) 3 2. n (1) ta
009 IA 5 I, 3, 4, 5, 6, 7 6 3. () Arcsin ( (4) Arccos ) 3 () Arcsin( ) (3) Arccos (5) Arctan (6) Arctan ( 3 ) 3. n () tan x (nπ π/, nπ + π/) f n (x) f n (x) fn (x) Arctan x () sin x [nπ π/, nπ +π/] g n
名古屋工業大の数学 2000 年 ~2015 年 大学入試数学動画解説サイト
名古屋工業大の数学 年 ~5 年 大学入試数学動画解説サイト http://mathroom.jugem.jp/ 68 i 4 3 III III 3 5 3 ii 5 6 45 99 5 4 3. () r \= S n = r + r + 3r 3 + + nr n () x > f n (x) = e x + e x + 3e 3x + + ne nx f(x) = lim f n(x) lim
y = f(x) y = f( + h) f(), x = h dy dx f () f (derivtive) (differentition) (velocity) p(t) =(x(t),y(t),z(t)) ( dp dx dt = dt, dy dt, dz ) dt f () > f x
I 5 2 6 3 8 4 Riemnn 9 5 Tylor 8 6 26 7 3 8 34 f(x) x = A = h f( + h) f() h A (differentil coefficient) f f () y = f(x) y = f( + h) f(), x = h dy dx f () f (derivtive) (differentition) (velocity) p(t)
4 4 4 a b c d a b A c d A a da ad bce O E O n A n O ad bc a d n A n O 5 {a n } S n a k n a n + k S n a a n+ S n n S n n log x x {xy } x, y x + y 7 fx
4 4 5 4 I II III A B C, 5 7 I II A B,, 8, 9 I II A B O A,, Bb, b, Cc, c, c b c b b c c c OA BC P BC OP BC P AP BC n f n x xn e x! e n! n f n x f n x f n x f k x k 4 e > f n x dx k k! fx sin x cos x tan
2011de.dvi
211 ( 4 2 1. 3 1.1............................... 3 1.2 1- -......................... 13 1.3 2-1 -................... 19 1.4 3- -......................... 29 2. 37 2.1................................ 37
1 1 sin cos P (primary) S (secondly) 2 P S A sin(ω2πt + α) A ω 1 ω α V T m T m 1 100Hz m 2 36km 500Hz. 36km 1
sin cos P (primary) S (secondly) 2 P S A sin(ω2πt + α) A ω ω α 3 3 2 2V 3 33+.6T m T 5 34m Hz. 34 3.4m 2 36km 5Hz. 36km m 34 m 5 34 + m 5 33 5 =.66m 34m 34 x =.66 55Hz, 35 5 =.7 485.7Hz 2 V 5Hz.5V.5V V
A S hara/lectures/lectures-j.html ϵ-n 1 ϵ-n lim n a n = α n a n α 2 lim a n = 0 1 n a k n n k= ϵ
A S1-20 http://www2.mth.kyushu-u.c.jp/ hr/lectures/lectures-j.html 1 1 1.1 ϵ-n 1 ϵ-n lim n n = α n n α 2 lim n = 0 1 n k n n k=1 0 1.1.7 ϵ-n 1.1.1 n α n n α lim n n = α ϵ N(ϵ) n > N(ϵ) n α < ϵ (1.1.1)
M3 x y f(x, y) (= x) (= y) x + y f(x, y) = x + y + *. f(x, y) π y f(x, y) x f(x + x, y) f(x, y) lim x x () f(x,y) x 3 -
M3............................................................................................ 3.3................................................... 3 6........................................... 6..........................................
9 5 ( α+ ) = (α + ) α (log ) = α d = α C d = log + C C 5. () d = 4 d = C = C = 3 + C 3 () d = d = C = C = 3 + C 3 =
5 5. 5.. A II f() f() F () f() F () = f() C (F () + C) = F () = f() F () + C f() F () G() f() G () = F () 39 G() = F () + C C f() F () f() F () + C C f() f() d f() f() C f() f() F () = f() f() f() d =
i
i 3 4 4 7 5 6 3 ( ).. () 3 () (3) (4) /. 3. 4/3 7. /e 8. a > a, a = /, > a >. () a >, a =, > a > () a > b, a = b, a < b. c c n a n + b n + c n 3c n..... () /3 () + (3) / (4) /4 (5) m > n, a b >, m > n,
0 1-4. 1-5. (1) + b = b +, (2) b = b, (3) + 0 =, (4) 1 =, (5) ( + b) + c = + (b + c), (6) ( b) c = (b c), (7) (b + c) = b + c, (8) ( + b)c = c + bc (9
1-1. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,, 100,, 1000, n, m m m n n 0 n, m m n 1-2. 0 m n m n 0 2 = 1.41421356 π = 3.141516 1-3. 1 0 1-4. 1-5. (1) + b = b +, (2) b = b, (3) + 0 =, (4) 1 =, (5) ( + b) + c = + (b + c),
入試の軌跡
4 y O x 4 Typed by L A TEX ε ) ) ) 6 4 ) 4 75 ) http://kumamoto.s.xrea.com/plan/.. PDF) Ctrl +L) Ctrl +) Ctrl + Ctrl + ) ) Alt + ) Alt + ) ESC. http://kumamoto.s.xrea.com/nyusi/kumadai kiseki ri i.pdf
1/1 lim f(x, y) (x,y) (a,b) ( ) ( ) lim limf(x, y) lim lim f(x, y) x a y b y b x a ( ) ( ) xy x lim lim lim lim x y x y x + y y x x + y x x lim x x 1
1/5 ( ) Taylor ( 7.1) (x, y) f(x, y) f(x, y) x + y, xy, e x y,... 1 R {(x, y) x, y R} f(x, y) x y,xy e y log x,... R {(x, y, z) (x, y),z f(x, y)} R 3 z 1 (x + y ) z ax + by + c x 1 z ax + by + c y x +
v er.1/ c /(21)
12 -- 1 1 2009 1 17 1-1 1-2 1-3 1-4 2 2 2 1-5 1 1-6 1 1-7 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 c 2011 1/(21) 12 -- 1 -- 1 1--1 1--1--1 1 2009 1 n n α { n } α α { n } lim n = α, n α n n ε n > N n α < ε N {1, 1,
i 6 3 ii 3 7 8 9 3 6 iii 5 8 5 3 7 8 v...................................................... 5.3....................... 7 3........................ 3.................3.......................... 8 3 35
7. y fx, z gy z gfx dz dx dz dy dy dx. g f a g bf a b fa 7., chain ule Ω, D R n, R m a Ω, f : Ω R m, g : D R l, fω D, b fa, f a g b g f a g f a g bf a
9 203 6 7 WWW http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lectue/tahensuu-203/ 2 8 8 7. 7 7. y fx, z gy z gfx dz dx dz dy dy dx. g f a g bf a b fa 7., chain ule Ω, D R n, R m a Ω, f : Ω R m, g : D R l, fω D, b fa,
1
1 1 7 1.1.................................. 11 2 13 2.1............................ 13 2.2............................ 17 2.3.................................. 19 3 21 3.1.............................
Riemann-Stieltjes Poland S. Lojasiewicz [1] An introduction to the theory of real functions, John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 1988.,,,,. Riemann-S
![Riemann-Stieltjes Poland S. Lojasiewicz [1] An introduction to the theory of real functions, John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 1988.,,,,. Riemann-S](/thumbs/94/118569863.jpg "Riemann-Stieltjes Poland S. Lojasiewicz [1] An introduction to the theory of real functions, John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 1988.,,,,. Riemann-S")
Riemnn-Stieltjes Polnd S. Lojsiewicz [1] An introduction to the theory of rel functions, John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 1988.,,,, Riemnn-Stieltjes 1 2 2 5 3 6 4 Jordn 13 5 Riemnn-Stieltjes 15 6 Riemnn-Stieltjes
r 1 m A r/m i) t ii) m i) t B(t; m) ( B(t; m) = A 1 + r ) mt m ii) B(t; m) ( B(t; m) = A 1 + r ) mt m { ( = A 1 + r ) m } rt r m n = m r m n B
1 1.1 1 r 1 m A r/m i) t ii) m i) t Bt; m) Bt; m) = A 1 + r ) mt m ii) Bt; m) Bt; m) = A 1 + r ) mt m { = A 1 + r ) m } rt r m n = m r m n Bt; m) Aert e lim 1 + 1 n 1.1) n!1 n) e a 1, a 2, a 3,... {a n
webkaitou.dvi
( c Akir KANEKO) ).. m. l s = lθ m d s dt = mg sin θ d θ dt = g l sinθ θ l θ mg. d s dt xy t ( d x dt, d y dt ) t ( mg sin θ cos θ, sin θ sin θ). (.) m t ( d x dt, d y dt ) = t ( mg sin θ cos θ, mg sin
5. [1 ] 1 [], u(x, t) t c u(x, t) x (5.3) ξ x + ct, η x ct (5.4),u(x, t) ξ, η u(ξ, η), ξ t,, ( u(ξ,η) ξ η u(x, t) t ) u(x, t) { ( u(ξ, η) c t ξ ξ { (
![5. [1 ] 1 [], u(x, t) t c u(x, t) x (5.3) ξ x + ct, η x ct (5.4),u(x, t) ξ, η u(ξ, η), ξ t,, ( u(ξ,η) ξ η u(x, t) t ) u(x, t) { ( u(ξ, η) c t ξ ξ { (](/thumbs/92/107866626.jpg "5. [1 ] 1 [], u(x, t) t c u(x, t) x (5.3) ξ x + ct, η x ct (5.4),u(x, t) ξ, η u(ξ, η), ξ t,, ( u(ξ,η) ξ η u(x, t) t ) u(x, t) { ( u(ξ, η) c t ξ ξ { (")
5 5.1 [ ] ) d f(t) + a d f(t) + bf(t) : f(t) 1 dt dt ) u(x, t) c u(x, t) : u(x, t) t x : ( ) ) 1 : y + ay, : y + ay + by : ( ) 1 ) : y + ay, : yy + ay 3 ( ): ( ) ) : y + ay, : y + ay b [],,, [ ] au xx
微分積分 サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. このサンプルページの内容は, 初版 1 刷発行時のものです.
微分積分 サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. ttp://www.morikita.co.jp/books/mid/00571 このサンプルページの内容は, 初版 1 刷発行時のものです. i ii 014 10 iii [note] 1 3 iv 4 5 3 6 4 x 0 sin x x 1 5 6 z = f(x, y) 1 y = f(x)
,. Black-Scholes u t t, x c u 0 t, x x u t t, x c u t, x x u t t, x + σ x u t, x + rx ut, x rux, t 0 x x,,.,. Step 3, 7,,, Step 6., Step 4,. Step 5,,.
9 α ν β Ξ ξ Γ γ o δ Π π ε ρ ζ Σ σ η τ Θ θ Υ υ ι Φ φ κ χ Λ λ Ψ ψ µ Ω ω Def, Prop, Th, Lem, Note, Remark, Ex,, Proof, R, N, Q, C [a, b {x R : a x b} : a, b {x R : a < x < b} : [a, b {x R : a x < b} : a,
2016 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1 16 2 1 () X O 3 (O1) X O, O (O2) O O (O3) O O O X (X, O) O X X (O1), (O2), (O3) (O2) (O3) n (O2) U 1,..., U n O U k O k=1 (O3) U λ O( λ Λ) λ Λ U λ O 0 X 0 (O2) n =
( ) 2.1. C. (1) x 4 dx = 1 5 x5 + C 1 (2) x dx = x 2 dx = x 1 + C = 1 2 x + C xdx (3) = x dx = 3 x C (4) (x + 1) 3 dx = (x 3 + 3x 2 + 3x +
(.. C. ( d 5 5 + C ( d d + C + C d ( d + C ( ( + d ( + + + d + + + + C (5 9 + d + d tan + C cos (sin (6 sin d d log sin + C sin + (7 + + d ( + + + + d log( + + + C ( (8 d 7 6 d + 6 + C ( (9 ( d 6 + 8 d
y π π O π x 9 s94.5 y dy dx. y = x + 3 y = x logx + 9 s9.6 z z x, z y. z = xy + y 3 z = sinx y 9 s x dx π x cos xdx 9 s93.8 a, fx = e x ax,. a =
[ ] 9 IC. dx = 3x 4y dt dy dt = x y u xt = expλt u yt λ u u t = u u u + u = xt yt 6 3. u = x, y, z = x + y + z u u 9 s9 grad u ux, y, z = c c : grad u = u x i + u y j + u k i, j, k z x, y, z grad u v =
1.2 y + P (x)y + Q(x)y = 0 (1) y 1 (x), y 2 (x) y 1 (x), y 2 (x) (1) y(x) c 1, c 2 y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) 3 y 1 (x) y 1 (x) e R P (x)dx y 2
1 1.1 R(x) = 0 y + P (x)y + Q(x)y = R(x)...(1) y + P (x)y + Q(x)y = 0...(2) 1 2 u(x) v(x) c 1 u(x)+ c 2 v(x) = 0 c 1 = c 2 = 0 c 1 = c 2 = 0 2 0 2 u(x) v(x) u(x) u (x) W (u, v)(x) = v(x) v (x) 0 1 1.2
z f(z) f(z) x, y, u, v, r, θ r > 0 z = x + iy, f = u + iv C γ D f(z) f(z) D f(z) f(z) z, Rm z, z 1.1 z = x + iy = re iθ = r (cos θ + i sin θ) z = x iy
f f x, y, u, v, r, θ r > = x + iy, f = u + iv C γ D f f D f f, Rm,. = x + iy = re iθ = r cos θ + i sin θ = x iy = re iθ = r cos θ i sin θ x = + = Re, y = = Im i r = = = x + y θ = arg = arctan y x e i =
( ) f a, b n f(b) = f(a) + f (a)(b a) + + f (n 1) (a) (n 1)! (b a)n 1 + R n, R n = b a f (n) (b t)n 1 (t) (n 1)! dt. : R n = b a f (n) (b t
5 1 1.1 ) f, b n fb) = f) + f )b ) + + f n 1) ) n 1)! b )n 1 + R n, R n = f n) b t)n 1 t) n 1)! dt. : R n = f n) b t)n 1 t) n 1)! dt ] b b b t)n 1 + n 1)! = f n 1) b )n 1 ) + R n 1. n 1)! R n = [f n 1)
X G P G (X) G BG [X, BG] S 2 2 2 S 2 2 S 2 = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 1 } R 3 S 2 S 2 v x S 2 x x v(x) T x S 2 T x S 2 S 2 x T x S 2 = { ξ R 3 x ξ } R 3 T x S 2 S 2 x x T x S 2
() x + y + y + x dy dx = 0 () dy + xy = x dx y + x y ( 5) ( s55906) 0.7. (). 5 (). ( 6) ( s6590) 0.8 m n. 0.9 n n A. ( 6) ( s6590) f A (λ) = det(a λi)
0. A A = 4 IC () det A () A () x + y + z = x y z X Y Z = A x y z ( 5) ( s5590) 0. a + b + c b c () a a + b + c c a b a + b + c 0 a b c () a 0 c b b c 0 a c b a 0 0. A A = 7 5 4 5 0 ( 5) ( s5590) () A ()
I y = f(x) a I a x I x = a + x 1 f(x) f(a) x a = f(a + x) f(a) x (11.1) x a x 0 f(x) f(a) f(a + x) f(a) lim = lim x a x a x 0 x (11.2) f(x) x
11 11.1 I y = a I a x I x = a + 1 f(a) x a = f(a +) f(a) (11.1) x a 0 f(a) f(a +) f(a) = x a x a 0 (11.) x = a a f (a) d df f(a) (a) I dx dx I I I f (x) d df dx dx (x) [a, b] x a ( 0) x a (a, b) () [a,
熊本県数学問題正解
00 y O x Typed by L A TEX ε ( ) (00 ) 5 4 4 ( ) http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/. ( ) (009 ) ( ).. http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/eng.html 8 i i..................................... ( )0... (
II 2 II
II 2 II 2005 yugami@cc.utsunomiya-u.ac.jp 2005 4 1 1 2 5 2.1.................................... 5 2.2................................. 6 2.3............................. 6 2.4.................................
(1) (2) (3) (4) HB B ( ) (5) (6) (7) 40 (8) (9) (10)
2017 12 9 4 1 30 4 10 3 1 30 3 30 2 1 30 2 50 1 1 30 2 10 (1) (2) (3) (4) HB B ( ) (5) (6) (7) 40 (8) (9) (10) (1) i 23 c 23 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b d e f g h i (2) 23 23 (3) 23 ( 23 ) 23 x 1 x 2 23 x
Part () () Γ Part ,
Contents a 6 6 6 6 6 6 6 7 7. 8.. 8.. 8.3. 8 Part. 9. 9.. 9.. 3. 3.. 3.. 3 4. 5 4.. 5 4.. 9 4.3. 3 Part. 6 5. () 6 5.. () 7 5.. 9 5.3. Γ 3 6. 3 6.. 3 6.. 3 6.3. 33 Part 3. 34 7. 34 7.. 34 7.. 34 8. 35
No2 4 y =sinx (5) y = p sin(2x +3) (6) y = 1 tan(3x 2) (7) y =cos 2 (4x +5) (8) y = cos x 1+sinx 5 (1) y =sinx cos x 6 f(x) = sin(sin x) f 0 (π) (2) y
No1 1 (1) 2 f(x) =1+x + x 2 + + x n, g(x) = 1 (n +1)xn + nx n+1 (1 x) 2 x 6= 1 f 0 (x) =g(x) y = f(x)g(x) y 0 = f 0 (x)g(x)+f(x)g 0 (x) 3 (1) y = x2 x +1 x (2) y = 1 g(x) y0 = g0 (x) {g(x)} 2 (2) y = µ
= π2 6, ( ) = π 4, ( ). 1 ( ( 5) ) ( 9 1 ( ( ) ) (
+ + 3 + 4 +... π 6, ( ) 3 + 5 7 +... π 4, ( ). ( 3 + ( 5) + 7 + ) ( 9 ( ( + 3) 5 + ) ( 7 + 9 + + 3 ) +... log( + ), ) +... π. ) ( 3 + 5 e x dx π.......................................................................
( )
18 10 01 ( ) 1 2018 4 1.1 2018............................... 4 1.2 2018......................... 5 2 2017 7 2.1 2017............................... 7 2.2 2017......................... 8 3 2016 9 3.1 2016...............................
O f(x) x = A = lim h f( + h) f() h A (differentil coefficient) f f () y = f(x) y = f( + h) f(), x = h dy dx f () f (derivtive) (differentition) * t (v
I 2 7 4 2 2 6 3 8 4 5 26 6 32 7 47 8 52 A 62 B 66 big O f(x) x = A = lim h f( + h) f() h A (differentil coefficient) f f () y = f(x) y = f( + h) f(), x = h dy dx f () f (derivtive) (differentition) * t
f(x) x = A = h f( + h) f() h A (differentil coefficient) f(x) f () y = f(x) y = f( + h) f(), x = h dy dx f () f (derivtive) (differentition) * t (velo
I 22 7 9 2 2 5 3 7 4 8 5 2 6 26 7 37 8 4 A 49 B 53 big O f(x) x = A = h f( + h) f() h A (differentil coefficient) f(x) f () y = f(x) y = f( + h) f(), x = h dy dx f () f (derivtive) (differentition) * t
2014 S hara/lectures/lectures-j.html r 1 S phone: ,
14 S1-1+13 http://www.math.kyushu-u.ac.jp/ hara/lectures/lectures-j.html r 1 S1-1+13 14.4.11. 19 phone: 9-8-4441, e-mail: hara@math.kyushu-u.ac.jp Office hours: 1 4/11 web download. I. 1. ϵ-δ 1. 3.1, 3..
1 θ i (1) A B θ ( ) A = B = sin 3θ = sin θ (A B sin 2 θ) ( ) 1 2 π 3 < = θ < = 2 π 3 Ax Bx3 = 1 2 θ = π sin θ (2) a b c θ sin 5θ = sin θ f(sin 2 θ) 2
θ i ) AB θ ) A = B = sin θ = sin θ A B sin θ) ) < = θ < = Ax Bx = θ = sin θ ) abc θ sin 5θ = sin θ fsin θ) fx) = ax bx c ) cos 5 i sin 5 ) 5 ) αβ α iβ) 5 α 4 β α β β 5 ) a = b = c = ) fx) = 0 x x = x =
x (x, ) x y (, y) iy x y z = x + iy (x, y) (r, θ) r = x + y, θ = tan ( y ), π < θ π x r = z, θ = arg z z = x + iy = r cos θ + ir sin θ = r(cos θ + i s
... x, y z = x + iy x z y z x = Rez, y = Imz z = x + iy x iy z z () z + z = (z + z )() z z = (z z )(3) z z = ( z z )(4)z z = z z = x + y z = x + iy ()Rez = (z + z), Imz = (z z) i () z z z + z z + z.. z
III ϵ-n ϵ-n lim n a n = α n a n α 1 lim a n = 0 1 n a k n n k= ϵ-n 1.1
III http://www2.mth.kyushu-u.c.jp/~hr/lectures/lectures-j.html 1 1 1.1 ϵ-n ϵ-n lim n = α n n α 1 lim n = 0 1 n k n k=1 0 1.1.7 ϵ-n 1.1.1 n α n n α lim n = α ϵ Nϵ n > Nϵ n α < ϵ 1.1.1 ϵ n > Nϵ n α < ϵ 1.1.2
II R n k +1 v 0,, v k k v 1 v 0,, v k v v 0,, v k R n 1 a 0,, a k a 0 v 0 + a k v k v 0 v k k k v 0,, v k σ k σ dimσ = k 1.3. k
II 231017 1 1.1. R n k +1 v 0,, v k k v 1 v 0,, v k v 0 1.2. v 0,, v k R n 1 a 0,, a k a 0 v 0 + a k v k v 0 v k k k v 0,, v k σ kσ dimσ = k 1.3. k σ {v 0,...,v k } {v i0,...,v il } l σ τ < τ τ σ 1.4.
, x R, f (x),, df dx : R R,, f : R R, f(x) ( ).,, f (a) d f dx (a), f (a) d3 f dx 3 (a),, f (n) (a) dn f dx n (a), f d f dx, f d3 f dx 3,, f (n) dn f
,,,,.,,,. R f : R R R a R, f(a + ) f(a) lim 0 (), df dx (a) f (a), f(x) x a, f (a), f(x) x a ( ). y f(a + ) y f(x) f(a+) f(a) f(a + ) f(a) f(a) x a 0 a a + x 0 a a + x y y f(x) 0 : 0, f(a+) f(a)., f(x)
A B P (A B) = P (A)P (B) (3) A B A B P (B A) A B A B P (A B) = P (B A)P (A) (4) P (B A) = P (A B) P (A) (5) P (A B) P (B A) P (A B) A B P
1 1.1 (population) (sample) (event) (trial) Ω () 1 1 Ω 1.2 P 1. A A P (A) 0 1 0 P (A) 1 (1) 2. P 1 P 0 1 6 1 1 6 0 3. A B P (A B) = P (A) + P (B) (2) A B A B A 1 B 2 A B 1 2 1 2 1 1 2 2 3 1.3 A B P (A
Microsoft Word - 信号処理3.doc
Junji OHTSUBO 2012 FFT FFT SN sin cos x v ψ(x,t) = f (x vt) (1.1) t=0 (1.1) ψ(x,t) = A 0 cos{k(x vt) + φ} = A 0 cos(kx ωt + φ) (1.2) A 0 v=ω/k φ ω k 1.3 (1.2) (1.2) (1.2) (1.1) 1.1 c c = a + ib, a = Re[c],
n=1 1 n 2 = π = π f(z) f(z) 2 f(z) = u(z) + iv(z) *1 f (z) u(x, y), v(x, y) f(z) f (z) = f/ x u x = v y, u y = v x
n= n 2 = π2 6 3 2 28 + 4 + 9 + = π2 6 2 f(z) f(z) 2 f(z) = u(z) + iv(z) * f (z) u(x, y), v(x, y) f(z) f (z) = f/ x u x = v y, u y = v x f x = i f y * u, v 3 3. 3 f(t) = u(t) + v(t) [, b] f(t)dt = u(t)dt
6. Euler x
...............................................................................3......................................... 4.4................................... 5.5......................................
..3. Ω, Ω F, P Ω, F, P ). ) F a) A, A,..., A i,... F A i F. b) A F A c F c) Ω F. ) A F A P A),. a) 0 P A) b) P Ω) c) [ ] A, A,..., A i,... F i j A i A
![..3. Ω, Ω F, P Ω, F, P ). ) F a) A, A,..., A i,... F A i F. b) A F A c F c) Ω F. ) A F A P A),. a) 0 P A) b) P Ω) c) [ ] A, A,..., A i,... F i j A i A](/thumbs/93/112175219.jpg "..3. Ω, Ω F, P Ω, F, P ). ) F a) A, A,..., A i,... F A i F. b) A F A c F c) Ω F. ) A F A P A),. a) 0 P A) b) P Ω) c) [ ] A, A,..., A i,... F i j A i A")
.. Laplace ). A... i),. ω i i ). {ω,..., ω } Ω,. ii) Ω. Ω. A ) r, A P A) P A) r... ).. Ω {,, 3, 4, 5, 6}. i i 6). A {, 4, 6} P A) P A) 3 6. ).. i, j i, j) ) Ω {i, j) i 6, j 6}., 36. A. A {i, j) i j }.
(3) (2),,. ( 20) ( s200103) 0.7 x C,, x 2 + y 2 + ax = 0 a.. D,. D, y C, C (x, y) (y 0) C m. (2) D y = y(x) (x ± y 0), (x, y) D, m, m = 1., D. (x 2 y
[ ] 7 0.1 2 2 + y = t sin t IC ( 9) ( s090101) 0.2 y = d2 y 2, y = x 3 y + y 2 = 0 (2) y + 2y 3y = e 2x 0.3 1 ( y ) = f x C u = y x ( 15) ( s150102) [ ] y/x du x = Cexp f(u) u (2) x y = xey/x ( 16) ( s160101)
() n C + n C + n C + + n C n n (3) n C + n C + n C 4 + n C + n C 3 + n C 5 + (5) (6 ) n C + nc + 3 nc n nc n (7 ) n C + nc + 3 nc n nc n (
3 n nc k+ k + 3 () n C r n C n r nc r C r + C r ( r n ) () n C + n C + n C + + n C n n (3) n C + n C + n C 4 + n C + n C 3 + n C 5 + (4) n C n n C + n C + n C + + n C n (5) k k n C k n C k (6) n C + nc
W u = u(x, t) u tt = a 2 u xx, a > 0 (1) D := {(x, t) : 0 x l, t 0} u (0, t) = 0, u (l, t) = 0, t 0 (2)
3 215 4 27 1 1 u u(x, t) u tt a 2 u xx, a > (1) D : {(x, t) : x, t } u (, t), u (, t), t (2) u(x, ) f(x), u(x, ) t 2, x (3) u(x, t) X(x)T (t) u (1) 1 T (t) a 2 T (t) X (x) X(x) α (2) T (t) αa 2 T (t) (4)
B [ 0.1 ] x > 0 x 6= 1 f(x) µ 1 1 xn 1 + sin sin x 1 x 1 f(x) := lim. n x n (1) lim inf f(x) (2) lim sup f(x) x 1 0 x 1 0 (
![B [ 0.1 ] x > 0 x 6= 1 f(x) µ 1 1 xn 1 + sin sin x 1 x 1 f(x) := lim. n x n (1) lim inf f(x) (2) lim sup f(x) x 1 0 x 1 0 (](/thumbs/97/133036028.jpg "B [ 0.1 ] x > 0 x 6= 1 f(x) µ 1 1 xn 1 + sin sin x 1 x 1 f(x) := lim. n x n (1) lim inf f(x) (2) lim sup f(x) x 1 0 x 1 0 (")
. 28 4 14 [.1 ] x > x 6= 1 f(x) µ 1 1 xn 1 + sin + 2 + sin x 1 x 1 f(x) := lim. 1 + x n (1) lim inf f(x) (2) lim sup f(x) x 1 x 1 (3) lim inf x 1+ f(x) (4) lim sup f(x) x 1+ [.2 ] [, 1] Ω æ x (1) (2) nx(1
Morse ( ) 2014
Morse ( ) 2014 1 1 Morse 1 1.1 Morse................................ 1 1.2 Morse.............................. 7 2 12 2.1....................... 12 2.2.................. 13 2.3 Smale..............................
さくらの個別指導 ( さくら教育研究所 ) A a 1 a 2 a 3 a n {a n } a 1 a n n n 1 n n 0 a n = 1 n 1 n n O n {a n } n a n α {a n } α {a
... A a a a 3 a n {a n } a a n n 3 n n n 0 a n = n n n O 3 4 5 6 n {a n } n a n α {a n } α {a n } α α {a n } a n n a n α a n = α n n 0 n = 0 3 4. ()..0.00 + (0.) n () 0. 0.0 0.00 ( 0.) n 0 0 c c c c c
(u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x) ( ) u(x) = u (x)v(x) u(x)v (x) v(x) v(x) 2 y = g(t), t = f(x) y = g(f(x)) dy dx dy dx = dy dt dt dx., y, f, g y = f (g(x))g (x). ( (f(g(x)). ). [ ] y = e ax+b (a, b )
1 I
1 I 3 1 1.1 R x, y R x + y R x y R x, y, z, a, b R (1.1) (x + y) + z = x + (y + z) (1.2) x + y = y + x (1.3) 0 R : 0 + x = x x R (1.4) x R, 1 ( x) R : x + ( x) = 0 (1.5) (x y) z = x (y z) (1.6) x y =
30 I .............................................2........................................3................................................4.......................................... 2.5..........................................
2019 1 5 0 3 1 4 1.1.................... 4 1.1.1......................... 4 1.1.2........................ 5 1.1.3................... 5 1.1.4........................ 6 1.1.5......................... 6 1.2..........................
untitled
0. =. =. (999). 3(983). (980). (985). (966). 3. := :=. A A. A A. := := 4 5 A B A B A B. A = B A B A B B A. A B A B, A B, B. AP { A, P } = { : A, P } = { A P }. A = {0, }, A, {0, }, {0}, {}, A {0}, {}.
n Y 1 (x),..., Y n (x) 1 W (Y 1 (x),..., Y n (x)) 0 W (Y 1 (x),..., Y n (x)) = Y 1 (x)... Y n (x) Y 1(x)... Y n(x) (x)... Y n (n 1) (x) Y (n 1)
D d dx 1 1.1 n d n y a 0 dx n + a d n 1 y 1 dx n 1 +... + a dy n 1 dx + a ny = f(x)...(1) dk y dx k = y (k) a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a n 1 y + a n y = f(x)...(2) (2) (2) f(x) 0 a 0 y (n) + a 1 y
1. (8) (1) (x + y) + (x + y) = 0 () (x + y ) 5xy = 0 (3) (x y + 3y 3 ) (x 3 + xy ) = 0 (4) x tan y x y + x = 0 (5) x = y + x + y (6) = x + y 1 x y 3 (
1 1.1 (1) (1 + x) + (1 + y) = 0 () x + y = 0 (3) xy = x (4) x(y + 3) + y(y + 3) = 0 (5) (a + y ) = x ax a (6) x y 1 + y x 1 = 0 (7) cos x + sin x cos y = 0 (8) = tan y tan x (9) = (y 1) tan x (10) (1 +
ORIGINAL TEXT I II A B 1 4 13 21 27 44 54 64 84 98 113 126 138 146 165 175 181 188 198 213 225 234 244 261 268 273 2 281 I II A B 292 3 I II A B c 1 1 (1) x 2 + 4xy + 4y 2 x 2y 2 (2) 8x 2 + 16xy + 6y 2
i
009 I 1 8 5 i 0 1 0.1..................................... 1 0.................................................. 1 0.3................................. 0.4........................................... 3
http://know-star.com/ 3 1 7 1.1................................. 7 1.2................................ 8 1.3 x n.................................. 8 1.4 e x.................................. 10 1.5 sin
n ξ n,i, i = 1,, n S n ξ n,i n 0 R 1,.. σ 1 σ i .10.14.15 0 1 0 1 1 3.14 3.18 3.19 3.14 3.14,. ii 1 1 1.1..................................... 1 1............................... 3 1.3.........................
D xy D (x, y) z = f(x, y) f D (2 ) (x, y, z) f R z = 1 x 2 y 2 {(x, y); x 2 +y 2 1} x 2 +y 2 +z 2 = 1 1 z (x, y) R 2 z = x 2 y
5 5. 2 D xy D (x, y z = f(x, y f D (2 (x, y, z f R 2 5.. z = x 2 y 2 {(x, y; x 2 +y 2 } x 2 +y 2 +z 2 = z 5.2. (x, y R 2 z = x 2 y + 3 (2,,, (, 3,, 3 (,, 5.3 (. (3 ( (a, b, c A : (x, y, z P : (x, y, x
9 2 1 f(x, y) = xy sin x cos y x y cos y y x sin x d (x, y) = y cos y (x sin x) = y cos y(sin x + x cos x) x dx d (x, y) = x sin x (y cos y) = x sin x
2009 9 6 16 7 1 7.1 1 1 1 9 2 1 f(x, y) = xy sin x cos y x y cos y y x sin x d (x, y) = y cos y (x sin x) = y cos y(sin x + x cos x) x dx d (x, y) = x sin x (y cos y) = x sin x(cos y y sin y) y dy 1 sin
A (1) = 4 A( 1, 4) 1 A 4 () = tan A(0, 0) π A π
4 4.1 4.1.1 A = f() = f() = a f (a) = f() (a, f(a)) = f() (a, f(a)) f(a) = f 0 (a)( a) 4.1 (4, ) = f() = f () = 1 = f (4) = 1 4 4 (4, ) = 1 ( 4) 4 = 1 4 + 1 17 18 4 4.1 A (1) = 4 A( 1, 4) 1 A 4 () = tan
newmain.dvi
数論 サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. http://www.morikita.co.jp/books/mid/008142 このサンプルページの内容は, 第 2 版 1 刷発行当時のものです. Daniel DUVERNEY: THÉORIE DES NOMBRES c Dunod, Paris, 1998, This book is published
211 kotaro@math.titech.ac.jp 1 R *1 n n R n *2 R n = {(x 1,..., x n ) x 1,..., x n R}. R R 2 R 3 R n R n R n D D R n *3 ) (x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) f D *4 n 2 n = 1 ( ) 1 f D R n f : D R 1.1. (x,
, 3, 6 = 3, 3,,,, 3,, 9, 3, 9, 3, 3, 4, 43, 4, 3, 9, 6, 6,, 0 p, p, p 3,..., p n N = p p p 3 p n + N p n N p p p, p 3,..., p n p, p,..., p n N, 3,,,,
6,,3,4,, 3 4 8 6 6................................. 6.................................. , 3, 6 = 3, 3,,,, 3,, 9, 3, 9, 3, 3, 4, 43, 4, 3, 9, 6, 6,, 0 p, p, p 3,..., p n N = p p p 3 p n + N p n N p p p,
sekibun.dvi
a d = a + a+ (a ), e d = e, sin d = cos, (af() + bg())d = a d = log, cosd = sin, f()d + b g()d d 3 d d d d d d d ( + 3 + )d ( + )d ( 3 )d (e )d ( sin 3 cos)d g ()f (g())d = f(g()) e d e d ( )e d cos d
.1 1,... ( )
1 δ( ε )δ 2 f(b) f(a) slope f (c) = f(b) f(a) b a a c b 1 213 3 21. 2 [e-mail] nobuo@math.kyoto-u.ac.jp, [URL] http://www.math.kyoto-u.ac.jp/ nobuo 1 .1 1,... ( ) 2.1....................................
( ) ( ) ( ) i (i = 1, 2,, n) x( ) log(a i x + 1) a i > 0 t i (> 0) T i x i z n z = log(a i x i + 1) i=1 i t i ( ) x i t i (i = 1, 2, n) T n x i T i=1 z = n log(a i x i + 1) i=1 x i t i (i = 1, 2,, n) n
p = mv p x > h/4π λ = h p m v Ψ 2 Ψ
II p = mv p x > h/4π λ = h p m v Ψ 2 Ψ Ψ Ψ 2 0 x P'(x) m d 2 x = mω 2 x = kx = F(x) dt 2 x = cos(ωt + φ) mω 2 = k ω = m k v = dx = -ωsin(ωt + φ) dt = d 2 x dt 2 0 y v θ P(x,y) θ = ωt + φ ν = ω [Hz] 2π
1 Introduction 1 (1) (2) (3) () {f n (x)} n=1 [a, b] K > 0 n, x f n (x) K < ( ) x [a, b] lim f n (x) f(x) (1) f(x)? (2) () f(x)? b lim a f n (x)dx = b
![1 Introduction 1 (1) (2) (3) () {f n (x)} n=1 [a, b] K > 0 n, x f n (x) K < ( ) x [a, b] lim f n (x) f(x) (1) f(x)? (2) () f(x)? b lim a f n (x)dx = b](/thumbs/92/108011004.jpg "1 Introduction 1 (1) (2) (3) () {f n (x)} n=1 [a, b] K > 0 n, x f n (x) K < ( ) x [a, b] lim f n (x) f(x) (1) f(x)? (2) () f(x)? b lim a f n (x)dx = b")
1 Introduction 2 2.1 2.2 2.3 3 3.1 3.2 σ- 4 4.1 4.2 5 5.1 5.2 5.3 6 7 8. Fubini,,. 1 1 Introduction 1 (1) (2) (3) () {f n (x)} n=1 [a, b] K > 0 n, x f n (x) K < ( ) x [a, b] lim f n (x) f(x) (1) f(x)?