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あやかなかじゅく
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B R, G, B è d : ø è s : ø èb : 5, øe 3 : : e» m» : ( epto ) t» レプトン : e :.

1 / 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) 第章 :U() 群 SU() 群 Ⅰ. 標準模型の素粒子素粒子の分類図 3 世代素粒子の標準理論に含まれる素粒子は素粒子の分類図から R, G, B R, G, B R, G, B u : 5 c :, 6 t :75,e 3 クォーク( quark ) : R, G, B R, G, B R, G, B è d : ø è s : ø èb : 5, øe 3 : : e» m» : ( epto ) t» レプトン : e :.5 m :5 è ø è ø è t :,7ø e ( 質量の単位はMeV) とまとめられる重い素粒子は軽い素粒子に崩壊し重い荷電レプトンは電子やニュートリノに崩壊し重いクオークは u クォーク ( や d クォーク ) に崩壊するこの崩壊過程では W ± の弱ボゾンが放出されるこれの放出過程は行列を用いて記述されクォークやレプトンを x e u,, x e d è ø è ø è ø (.) x と表し変化後を x と表すと行列で演算でき è ø

2 / 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) 行列 x x x x è ø è ø è ø ± W の寄与を表す (.) であるこの行列での記述は U という群で表され行列の大きさに従って ìu U íu U î 行列 3 3 3行列 4 4 4行列 5 5 5行列とまとめられる一般にユニタリー群 : U ( ) というここに U はユニタリー (Utary) を表している行列を持つ群は群 (Utary Group) Ⅱ. 行列 :U() 群 U( ) 群に属する行列は行 m 列 ( m, ) に要素を持つ行列 m è ø で表す事ができ全部で個あるので (.3) (.4) U( ) 群に属する行列の総数はである正確にはこの総数を持つ群は単位行列それ以外の個の行列と分けることができ単位行列を除いた行列で作られる群を特殊ユニタリー群 : SU( ) 群 (Speca Utary Group) という U ( ) 群とは次の関係 : U : ( ) : ì 個の行列個の行列 í îu 個の単位行列 SU : (.5)

3 3/ 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) があり ( ) U SU U (.6) と表記する U ( ) 群と SU( ) 群との数学的な違いは後ほど説明するこの行列表記を用いて素粒子の物理を記述するには ( 電荷などの ) 観測できる物理量が必要になる素粒子は量子力学に従うので物理量はエルミート演算子 ( 今の場合エルミート行列 ) で表される量子力学は複素数の力学であるが観測される物理量は実数で表わせないといけない量子力学では観測される物理量はエルミート行列の固有値として定義されるのでその結果観測される物理量が実数であると自動的に保証がされる U ( ) 群 ( 或いは SU( ) 群 ) が素粒子の理論になるために個の行列をエルミート行列に組み直すエルミート行列 A とは A A A T (.7) を満たす行列でありその固有値を a 固有状態を a とすると ( a ) a (.8) 多くの場合 U ( ) では a は列ベクトルとして表され a x x è ø (.9) であり a は T x a ( a ) ( x x ) ( x x ) (.) x è ø なので ( ) a x x (.) と表されるエルミート行列 A に対して成立する

4 4/ 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) T a a T a a a A a a a Þ A a a a Þ a A a a a a (.) を用いると A a a a に対して a A a a a a a a a (.3) 一方 a A a a に対して (.7) の A A を用いると A A a A a a a a a a a Þ a A a a A a a a a (.4) が成り立つ (.3) と (.4) より ì í î a A a a a a a A a a a a Þ a a Þ a : 実数 (.5) がわかるのでエルミート行列の固有値が実数であるが証明された U ( ) 群の (.4) から作られるエルミート行列は次の 3 種類あり ( 行列に表示されたや ± 以外の要素は ) m T m Þ è ø è ø è ø è ø m T (.6) m Þ è ø è ø è ø è ø とつの対角成分にをもつ ( 行列に表示された以外の要素は ) (.7)

5 5/ 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) m T m Þ è ø è ø è ø の様なエルミート行列が作れる個の行列は最初のつが ( ) 最後のつ個個合計 : + 個と勘定されるこの個のエルミート行列をで識別し ( ) (,,,, ) (.8) (.9) で表す数学によると U 群の要素 U はこれらの ( ) を用いて ( ) ( ) U exp å q 複素行列 (.) è ø であるこのU はユニタリー行列であることがわかる ((.59) 以降で証明 ) つまり T U U U U U I Û (.) を満たすそして素粒子の変化 ( 崩壊や電磁相互作用 ) がユニタリー行列 U により記述されることになる ( 問題何故素粒子の変化はユニタリー行列により記述されるか?) つまり素粒子の状態を y とするとき y は列ベクトル : y 列 è ø (.) で表され変化した素粒子 y は ( ) ( ) U exp å q のように è ø が付くので注意する

6 6/ 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) 列行列列 y U y Ü è ø è øè ø (.3) と記述される U ( ) 群の要素が (.) のユニタリー行列で表されるので U ( ): U tary群という命名の起源になる Ⅲ. 群数学による群とは群れを成すから定義される例えば身近なところでがは回転である回転で移動する点はすべて円周上にあるつまり円周上に群れているになる次元の回転は座標 ( x, y) から反時計回りに角度 q 回転して座標 ( x, y ) に移動すると x x cosq y s q, y xsq + y cosq (.4) と表わせる ( 問題 (.4) を導け ) これは更に複素数 z x + y, z x + y を用いて q z e z と計算できる ( 問題 3 (.6) を導け ) そこで (.3) に習って (.5) (.6) ( q ) ( q ) z U z Ü U e q (.7) と表わせるここで角度 q を U ( q ) と明示しているこの場合 U ( q ) は行列ではないがこれを ( ) 行列とみなすことができ (.3) に倣って U ( ) U 群の要素は U ( q )( e q ) になるちなみに (.) の U U U U I q q を導け ) 群といい I は (.7) を用いて簡単に証明できる ( 問題 4 さて群とは数学によると空でない集合 G とその上の二項演算 μ:g G G 結合法則 : 任意の G の元,, 単位元 e の存在 : m (, ) m (, ) の組 (, ) g h k に対して G m が群であるとは ( g, h, k ) ( ( g, h), k) m m m m (.8) g e e g g を G のどんな元 g に対しても満たすような元 e が G のなかに存在する ( 存在すれば一意である ) これを G の単位元 e と実際には場の理論により記述される

7 7/ 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) いう逆元 g の存在 :G のどんな元 g に対しても m (, ) m (, ) (.9) g x x g e となるような G の元 x が存在する ( 存在すれば一意である ) これを g の G における逆元といいしばしば g で表される (.3) と定義される ( 群 _( 数学 ) より ) これに準じて今の場合 G U ( ) ì g U qg e 任意のG の元 íh U ( qh ) e k U ( qk ) e î q q q h k g Ü e の形に表わせる二項演算 μ 通常の掛け算 : m ( g, h) gh Þ m ( g, h) m ( h, g) と表わせる G G G とは G : e の形なので掛け算を二項演算 μ で表すと q h h ( g h ) ( e q q q q + q ) e g g G G m e, e e : e の形でかけるÞ e G と表わせることによる以上から G U ( ) 結合法則 : が群である事は ( g, h, k ) ( ( g, h), k) m m m m qh qk ( qh + qk ) q g ( qh + qk ) ( qg + qh + qk ) m h, k hk e e e Þ m g, m h, k gm h, k e e e q g q ( qg + qh ) ( qg + q h h ) q k ( qg + qh + qk ) m g, h gh e e e Þ m m g, h, k m g, h k e e e ( ) ( ) で証明終了 (.3) 単位元 e の存在 : m (, ) m (, ) m 逆元 ( g, e) m ( e, g ) g e e g g は通常のかけ算の場合常に成立 q q g g m g, e ge g Þ e e e Þ e より単位元はであるつまり e U ( ) m g の存在 : m (, ) m (, ) ( g, x) m ( e, x) g x x g e は通常のかけ算の場合常に成立 q g g e e q g, Þ Þ m g x x x x g e (.3)

8 8/ 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) より逆元はと証明されるつまり g であるつまり g U ( q ) g e q (.33) U : U e q は群 (.34) である U ( ) と SU ( ) の違いは detu の時 U は SU ( ) の要素 Ⅳ. 行列 :SU() 群と記述される detu は ( ) への条件に直すことができるそのため任意の複素行列 X は複素行列 A を用いて 3 角行列 è ø に変換できる A XA è ø (,, : ) 複素数 (.35) という定理を用いるまず U exp( X ) (.36) とすると AA I ( ) ( ( X ) A) det e p detu det exp X det AA exp X det A exp x A XA (.37) に注意して ( 問題 5 A exp( X ) A exp( A XA) を証明せよ ) k k è ø k ( A XA) ( k,,3, ) (.38) を用いて e exp ( A XA) (,, : 複素数 ) (.39) e è ø

9 9/ 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) を得る ( 問題 6 (.39) を証明せよ ) (.37) に適用して e detu det d e Tr A è ø e è ø ( exp( A XA) ) et Õ exp å exp ( XA) (.4) と計算される ( 問題 7 (.4) を証明せよまた M よ ) 更に Tr A XA Tr AA X Tr X なので最終的に detu det ( exp( X )) exp( Tr ( X )) è ø のとき Tr ( M ) を求め (.4) (.4) 以上から SU ( ) の条件 detu は : de U U exp X t Þ exp Tr X Þ Tr X (.43) に置き換わる (.36) と (.) に応用すると条件 detu は ( ) ( ) ( ) ( ) å q å q å q (.44) U exp exp X Þ X Þ Tr X Tr è ø è ø より行列 ( ) に Tr が適用されるので ( ) ( ) ( ) Tr (.45) SU 群に属する行列が ( ) の条件になる (.8) において U ( ) 群に属する 3 種類の行列 ( ) について (.45) の条件を調べると Tr ( 対角化要素がすべてだから ) (.46) è ø

10 / 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) Tr ( 対角化要素がすべてだから ) (.47) è ø Tr è ø つの対角化要素がだから (.48) がわかるので条件を満たさないのは対角化要素をもつ (.48) になり全部で個あるこれらから Tr を満たす行列を作る事は対角化要素のみ持つので簡単にできて例えば Þ Tr è ø è ø Þ Tr + è ø è ø 3 Þ Tr è ø è ø (.49) (.5) (.5) の様に作れば良いこの結果 Tr ¹ を満たすのはつのみで ( 問題 8 何故一つ

11 / 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) のみか? 対角化要素を持つ行列の個数はであった (.49)~(.5) の様なタイプの行列の総数がわかればよい ) それを ( ) として ( ) 単位行列 (.5) è ø となることがわかる更に SU ( ) 群に属する個の行列 (.53) に対して ( m) ( ) m d (, ) Tr m (.54) が要請される (.46) と (.47) は (.54) を自動的に満たすが (.49)~(.5) の列は満たすために,, è ø è ø è ø (.55) になるので (.49) の行列以外は変更を受ける ( 問題 9 A)(.55) を導き (.54) を満たす事を示せ B)(.55) を採用するときを採用できないのは何故か?) 以上から SU ( ) 群では複素行列の è ø ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) に対して Tr m, (.56) Tr d m m の条件がつき ( 問題 Tr は何故必要か? ) この ( ) ( ) 単位行列に ( ) を追加すると U ( ) 群の複素行列

12 / 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) が得られることになるまた単位行列 ( ) は (.36) の U exp( X ) 形式に適用すると ( ) ( ) ( ) U exp q exp q I è ø è ø 単位行列 (.57) になるがこれは q q とすれば通常の複素数 z exp( q ) : exp( q )( cosq sq ) z U + (.58) になるこの効果は (.34) より q 回転を表すこの要素 U を ( ) U exp q è ø を持つ群を U ( ) といい回転させるという性質から U ( ) 群や SU ( ) 群を回転群と言う場合がある群さて素粒子の変化は (.) のU ( ) ( ) exp å q で記述されるがこのU がユニタリ è ø ーであることを示す ( ) が単位行列なので行列 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I ( ) U exp q exp q q exp q q å + å + å è ø è ø è ø 行列 ( ) ( ) q ( ) exp exp å q è ø è ø その結果 (.) の U U I を計算するが ( ) é ( ) ù q ( ) U êexp å q ú exp exp å q ê è øú è ø è ø なので ë û ( ) ( ) ( ) ( ) q ( ) exp exp å q è ø è ø ( ) ( ) ( ) U U exp q exp exp q å q exp å q è ø è ø è ø è ø ( ) ( ) ( ) exp å q exp å q è ø è ø ( ) (.59) (.6) (.6)

13 3/ 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) ここで exp ( A) exp B について [ A, B ] のとき exp ( A) exp ( B) exp ( A B) である (.6) において A B なので + (.6) ( ) ( ) ( ) U U exp q + q exp I I ( ) å å è ø ( ) (.63) が証明できる従って U ( ) ( ) å q がユニタリーであるが証明された ( 問題 exp è ø W がエルミート行列である時 U exp ( ) W は U U を満たすことを証明し (.59) のU ( ) ( ) å q に適用して (.63) を示せ ) (.6) を導くには exp è ø SU の ( ) の性質 : f ( m) ( ) mk ( k ), å f ( m, ) é ù ë û mk f mk k (.64) が必要になるこの f mk を群の構造常数という実際の値は (.6) や (.7) や (.55) 等の具体的な行列の形を使って計算して求められる以上から U ( ) 群の要素 : ( ) ( ) ( ) ( ) è ø è ø ( ) ( ) ( ) U exp å q exp q + å q I ( ) ( ) ( ) exp q exp å q è ø è ø (.65) SU 群の要素 : U ( ) ( ) å q (.66) exp è ø と対応づけられる ( 問題 (.3)~(.33) に習って要素 (.66) が (.8)~(.3) の群の性質 ( ) ( ) を満たす事を証明せよ但し角度はベクトル q g k,, h : qg, k, h, qg, k, h,, qg, k, h とするときそれぞれ比例しているとするつまり比例定数を k h, k とするとき ( ) qh k h qg å å と ( ) ( ) ( ) å qk k å qg である ) ( ) SU 群の要素のユニタリー行列 exp å q とし è ø

14 4/ 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) てはとして演算するのでこれを T ( ) として表し ( ) ( ) T とする (.67) Ⅴ. 列ベクトルと行列の素粒子 :SU() 群素粒子は (.) のように列ベクトルで表されるまたその変化を記述するユニタリー行列が行列で表される実は見方を変えると SU ( ) 群での素粒子の種類として行列の素粒子も考えることができ素粒子の個数は列ベクトルの素粒子個の素粒子行列の素粒子個の素粒子と拡張できる行列の素粒子に含まれる素粒子の個数の個 (.53) の ( ) に関連するの個数列ベクトルの素粒子 y とし個の素粒子 y,,, とすると個の固有ベクトル (,,, ) : 番目に è ø を用いるここに m d m (,,, ), ( ) (.68) (.69) である従って ( ) y y y y y y y + y + + y ( ) y èø èø è è ø ø と表わせる ( ) ( ) ( ) ( ) (.7) ( ) (,,, ) また行列の素粒子を F と表し個の素粒子 Y とすると

15 5/ 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) 個の固有ベクトル (,,, ) を用いて ( ) ( ) F Y + Y + + Y (.7) である実際にはを行列で表す事ができ SU ( ) 群の (.53) のを用いて ( ) ( ) ( ) ( ) F Y + Y + + Y m であるそのとき (.69) に対応して Tr で計算し ( m) ( ) m d (, ) 個の行列,,, (.7) m Tr m (.73) と表される実際の物理ではのとき (.) のように e u,, e d è ø è ø y (.74) であり ( ) ( ) ( 3) ( 3) F V + V + V である (,,3) V は ± SU のゲージボゾンという W, Z の源になる (.75) 素粒子の種類は Ⅵ. 素粒子の個数と規約表現 :SU() 群列ベクトルの素粒子 ( 個のクォークレプトン ) 行列の素粒子 ( 個のゲージボゾン ) の種類であるがそれ以外にもいくつか候補がある列ベクトル行列を SU ( ) 群の規約表現というたとえばその表記は個数を太文字を用いて ì í î (.76) と表す個の反クォーク反レプトンに対応して複素共役の記号を用いてと表す約束である規約表現が決まるとそれに含まれる素粒子の個数がきまるその個数を簡単に計算する方法が有りヤング図 (Youg tabeau)

16 6/ 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) と言われているまず列ベクトルを : 基本表現とよびヤング図では正方形で表すこれを用いるとすべての規約表現の個数がきまる例えば行列はのため行列ではこのを用いてと計算されるこの個を持つ SU 群のユニタリー行列に含まれる ( ) (,,, ) SU ( ) 群に随伴する表現 : 随伴表現の数と同じなのでと表す素粒子の言葉で言い換えると : 基本表現はクオークレプトン (y ) を記述 (.77) : 基本表現は反クオーク反レプトン (y ) を記述 (.78) ± : 随伴表現は W, Z やグルーオンを含むゲージボゾンを記述 (.79) であるヤング図で簡単なルールがある : : 基本表現はであり個のクォークレプトンを表す (.8) 列ベクトルで表すと a : y やj ( a,,, ) a a 横に並んだ : は完全対称である (.8) 個の場合 ( 対称表現 ): つのベクトルで表すと a b : y f + y f ( a, b,,, ) a b b a 縦に並んだ : は完全反対称である (.8) 個の場合 ( 反対称表現 ): つの列ベクトルで表すと a a b a b b a b y f y f : (,,,, ) 縦に並べるの数は最大個までである (.83)

17 に減7/ 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) 縦に最大個並んだ表現で成分の数はでと表し重表現 (sget) という ü ý 個 þ は SU ( ) 群のユニタリー変換を受けない特徴がある (.84) : 縦に並べるの数が個のとき基本表現とおなじになるが複素共役の反クォーク反レプトンy を表しにを付けてで表す (.85) ì Þ 個 í î ì Þ 個 í î ü ý 個 Þ : y y y þ 個 Þ C : y } の関係があるこれより y y はであるので SU ( ) 群のユニタリー変換を受けない (.86) ことがわかるである個数の計算方法は SU ( ) 群のを用いて以下のようである : 例として ( + )( + )( + 3) ( ) ( + ) ( )( ) ( 3) ( 4) を考えようまず分子の数は分子にくる数の設定右に増加下掛ける数 ( ( 少ここは群の ) + + 3) ( ) ( + ) ( ) ( ) 4 4 のようにして求める答えは分子 (.87)

18 8/ 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) であるつぎに分母の数は注目する箱のつつに分母にくる数の設定掛ける数数を書き込みたい箱に注目して右側にある箱の数 + 下側にある箱の数のように書き込む求め方の例を最上段の箱のと 3 の場合として右にある箱数 + 下にある箱数右に3 箱右にある箱数 + 下にあるは個数右に箱下に 4 箱下に箱である答えは分母 ( ) ( 6 3 ) ( 4 ) ( ) (.88) ゆえに (.87) と (.88) より ( + )( + )( + 3) ( ) ( + ) ( )( ) ( 3) ( 4) ( ) ( 6 3 ) ( 4 ) ( ) (.89) がこの規約表現の次数 ( 含まれる素粒子の数 ) になるまた縦に最大個であったが縦に個より多いときには個の分が消去されるというルールになるヤング図で表すと

19 9/ 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) ü ý 個 þ (.9) に等しくなる具体例を用いて (.89) を計算する : SU ( ) : 基本表現 Þ となり個のクォークレプトンを表す事ができる (.9) : 随伴表現 ìm + 個 í î ( ) ( + ) ( )( ) + 3 Þ となり個のゲージボゾンを表す事ができる : 基本表現 ( )( ) (.9) ìm 個 í î ( ) ( )( ) Þ となり個の反クォーク反レプトンを表す事ができる (.93) 対称表現 + ( + ) ( + ) H Þ (.94) 反対称表現 ( ) ( ) C Þ (.95) SU 基本表現 Þ (.96) 随伴表現

20 / 平成 9 年 3 月 5 日午前時 7 分第章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) ìm 個 í î 3 Þ 3 (.97) 対称表現 + ( ) + 3 Þ 3 (.98) 反対称表現 ( ) Þ (.99) 重表現個 ì í î ( ) Þ (.) SU ( 3) 基本表現 3 Þ 3 (.) 随伴表現 ìm 個 í î 8 Þ 8 (.) 対称表現 + ( ) + 6 Þ 6 (.3) 反対称表現 ( ) 3 Þ 3 ì }個 Þ 3 (.93) より 3 になる : Þ 3個 í ü (.4) ý 個個 Þ 3 î þ 重表現 ì 3 ( )( ) 個 í Þ 3 î (.5) である

1/17 平成 29 年 3 月 25 日 ( 土 ) 午前 11 時 1 分量子力学とクラインゴルドン方程式 ( 学部 3 年次秋学期向 ) 量子力学とクラインゴルドン方程式素粒子の満たす場 y ( x,t) の運動方程式 : クラインゴルドン方程式 : æ 3 ö ç å è m= 0

1/17 平成 29 年 3 月 25 日 ( 土 ) 午前 11 時 1 分量子力学とクラインゴルドン方程式 ( 学部 3 年次秋学期向 ) 量子力学とクラインゴルドン方程式素粒子の満たす場 y ( x,t) の運動方程式 : クラインゴルドン方程式 : æ 3 ö ç å è m= 0 /7 平成 9 年月 5 日 ( 土午前時分量子力学とクラインゴルドン方程式 ( 学部年次秋学期向量子力学とクラインゴルドン方程式素粒子の満たす場 (,t の運動方程式 : クラインゴルドン方程式 : æ ö ç å è = 0 c + ( t =, 0 (. = 0 ì æ = = = ö æ ö æ ö ç ì =,,,,,,, ç 0 = ç Ñ 0 = ç Ñ 0 Ñ Ñ

1/20 平成 29 年 3 月 25 日午前 11 時 7 分第 1 章 :U(N) 群 SU(N) 群 ( 学部 4 年次向 ) 第 1 章 :U(N) 群 SU(N) 群 Ⅰ. 標準模型の素粒子 素粒子の分類図 3 世代 素粒子の標準理論に含まれる素粒子は 素粒子の分類図 から R, G, B

1/20 平成 29 年 3 月 25 日午前 11 時 7 分第 1 章 :U(N) 群 SU(N) 群 ( 学部 4 年次向 ) 第 1 章 :U(N) 群 SU(N) 群 Ⅰ. 標準模型の素粒子素粒子の分類図 3 世代素粒子の標準理論に含まれる素粒子は素粒子の分類図から R, G, B