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1 全学共通授業科目 物理学実験平成 3 年度前期測定値の扱い方と誤差論 講義 神戸大学大学院理学研究科物理学専攻原俊雄

2 測定値を他人に提示するとき なぜ 誤差を考えなければならないのか? なぜ 誤差を測定値に付けなければならないのか? そもそも 誤差とは何か?

3 人間は 測定により真の値を知ることができるか? 人間は 真の値を知ることはできない 人間は 工夫することによって 限りなく真の値に近づくことができる 工夫 : 良い測定器具を開発する ( 技術的手法 ) 工夫 : 何回も測定して 平均をとる ( 統計的手法 ) それならば どこまで真の値に近づいたかを 明示する必要がある 誤差の明示の必要性

4 有効数字 : 近似計算 一般に最小目盛りの 1 目の 1/10 まで目分量で読む ( 判定する ) 1mm 目盛りの物差しで縦と横を測り その面積を求めたい 縦 a=3.6mm 横 b=18.7mm と読んだとき 3.55<a< <b<18.75 面積は < a b < 差 :-.115 差 : 面積の計算値には ± 程度の ( 最大 ) 誤差がある? 故に の 1 位の桁が少し怪しい ( 誤差が出始めた ) 0.1 位以下の桁は信頼できない どこまで信頼できるか? このとき 面積は 441mm ( 有効数字は3 桁 ) と表現する ( 誤差が出始めた桁は有効としましょう!)

5 有効数字 : 近似計算 第一則 : 計算結果の有効数字の桁数は 計算材料たる測定値の桁数 ( の少ない方 ) と等しくとる = または ただし かけ算 割り算の場合 第二則 : 計算に使用する定数 ( 例えば π g 等 ) は 他の材料数たる測定値の桁数より一桁程度多く取る π π 3.14 第三則 : 中間計算の結果の桁数は 材料数たる測定値の桁数より一桁程度多く取る ただし 同一測定を数回繰り返して行う場合は 最小二乗法で誤差を求めるが そのときは 上の 3 則で それぞれもう一桁程度多く取らねばならない

6 誤差の分布と平均二乗誤差 誤差の定義 εi = xi-x (i=1,,3, ) (i 番目の誤差 )=(i 番目の測定値 )-( 真の値 )

7 誤差 ε の確率密度関数 ε と ε+dε の間に誤差がある確率が f(ε)dε で表されるとき f(ε) を確率密度関数と呼ぶ ( 誤差 ε が出る確率が f(ε) ) 確率密度関数 f(ε) が どのような性質を持つかを考えよう ( すなわち 誤差の性質を考えよう )

8 確率密度関数 f(ε) の性質 ( 要請 ) 1 ε1 < ε のとき f(ε1) > f(ε) 小さい誤差の方が起こりやすい ε のとき f(ε) 0 誤差が無限大にはならない 3 f(ε) = f(-ε) プラスの誤差とマイナスの誤差は同じ確率 で起こる f (ε) は なめらか な関数 微分可能な関数

9 確率密度関数 f(ε) の形 ( 直観 ) f(ε) - から + まで積分すると 1 面積は ε

10 確率密度関数 f(ε) の数式化 求め方は 実験書を参照! f(ε) = exp( ) ε: 誤差 1 π σ 1 f(x) = exp( ) π σ X: 測定値 X: 真の値 ε σ 正規分布またはガウス分布 σ は何か? (x-x) σ

11 exp 表示とは -ε exp(-ε ) = e exp( x ) = e x e =.7188 ( 自然対数の底 )

12 平均二乗誤差と標準偏差 ε の平均値 ε を求める + ε = ε f(ε) d ε - ε の平均は ε にεの出現する確率 f(ε) をかけて それをεについて- から+ まで積分したもの ( 足したもの ) である

13 サイコロを振り 出る目の数の平均値を求める サイコロの出た目の分布 目 回数 ( 合計 30 回 ) 出る目の平均値 =( ) 30 =1 (6/30)+ (4/30)+3 (5/30)+4 (7/30)+5 (3/30)+6 (5/30) =( 目の値 ) ( その目が出る確率 ) を足し合わせる ( 積分する )

14 平均二乗誤差と標準偏差 ε の平均値 ε を求める + ε = ε f(ε) d ε - ε の平均は ε にεの出現する確率 f(ε) をかけて それをεについて- から+ まで積分したものである

15 平均二乗誤差と標準偏差 ε の平均値 ε を求める ε = ε f(ε) d ε = ε 1 ε exp( )d ε= σ - π σ σ これを誤差としようか? 故に ε =σ σ = ε

16 1 f(ε) = exp( ) の性質 π σ 面積 =1 ( 全確率 =1) σ が大 大きい誤差が多くなる σ σ が小 大きい誤差が少なくなる f (ε) ε 0 ε

17 +σ ( 面積 )= f(ε) d ε σ f(ε) 誤差が -σ から +σ の間にある確率が 68.3% である - -σ 0 +σ + ε

18 x±σ (x は測定値 ) と書いたとき x- σ< 真の値 <x+σ の確率が 68.3% である f(ε) この σ を ( 統計 ) 誤差 と定義する - -σ 0 +σ + ε

19 ( 統計 ) 誤差 : 平均二乗誤差 ( 標準偏差 ) σ = ε = (x i -X) i = 1 x i : i 番目の測定値 X : 真の値 誤差の 乗の平均のルート ( 平方根 ) 真の値が分かれば誤差を計算できる

20 最確値 ( 一番もっともらしい値 ) を求めるには? 測定値 x i (i=1,,3,,) ; 互いに独立 真の値 X x i の測定値を得る確率は f(x i ) 1 f(xi) = exp( ) π σ (xi-x) σ

21 (x1, x,, X) の一組の測定値を得る確率は P= f(x1) f(x) f(x3) f(x) 1 1 =( ) exp[ {(x1-x) + π σ σ (x-x) + + (x-x) }] この確率 P を最大にする X の値が もっともらし い値 ( 最確値 ) と考える Maximum Likelihood Method (x i -X) を最小にする X がもっともらしい i = 1

22 P P を最大にする X の値を求めるには? X 極大値を求めるには接線の傾きがゼロ dp/dx =0

23 最確値を求める dp d (x i -X) i = 1 =0 または =0 dx dx x i i = 1 Xm = ( 算術 ) 平均値 これを計算すると

24 平均値の誤差の求め方 xi i = Xm= = x1 + x + + x 誤差伝播の法則 ( 後で詳しく説明する ) より σm= σ1 + σ + + σ ここでσ1 =σ = =σ=σとすると σ σm = : 測定回数を増やせば 算術平均値 Xm の誤差は 1/ に比例して小さくなる

25 ( 統計 ) 誤差 : 平均二乗誤差 ( 標準偏差 ) σ = ε x i = (x i -X) i = 1 : i 番目の測定値 X : 真の値 誤差の 乗の平均のルート ( 平方根 ) 真の値は分からないのでこの誤差は計算できない

26 ( 以前に講義した ) 平均 乗誤差 ( 標準偏差 ) は 真の値が分からなければ計算できない 真の値 X の代わりに 平均値 Xm を使う εi = xi-x= (xi-xm)+(xm-x) 両辺を 乗する εi = (xi-xm) +(Xm-X) + (xi-xm)(xm-x) 回の測定値を足し合わせて平均をとる εi (xi-xm) (Xm-X) i = 1 = + i = 1 σ の 乗 σm の 乗 i = 1 (Xm-X) (xi-xm) + i = 1 理想的には Zero

27 σm = σ = (xi-xm) +σm i = 1 σ 連立させて解く 個々の測定値の誤差 電卓に有り σ と σ-1 σ = 平均値の誤差 σ m = 電卓に無し (xi-xm) i = 1-1 (xi-xm) i = 1 (-1) これなら 計算 できる

28 ( 問題 1) 針金の直径を測定して以下の結果を得た 針金の直径の平均値とその誤差を求めよ ( 平均 )±( 平均値の持つ誤差 ) の形式で答えよ 針金の直径の平均値の有効桁数は何桁か 測定値 ( 単位 mm)

29 例題 : 直径 D=18.65±0.13mm, 高さ h=4.36±0.5mm の円筒の体積を求めよ D h V=π( D ) h=(π/4)(18.65) (4.36)= このとき 体積 V の誤差はどうなるのか? 直径 D と高さ h の誤差が 体積 V にどのように伝播するのか?

30 誤差の伝播則 Taylor 展開を考える f(a+ε) f(a)+εf(a)+ f(a+ε) f(a) y y= f(x) ε a a+ε L=εf(a) f(a) 関数は y= f(x) L ε f(a+ε) =f(a) x

31 一回の測定値 X±εx,Y±εy, より計算して W=F(X±εx,Y±εy, ) を得るとき その誤差 σw Talor 展開 (1 変数から多変数の場合を推測 ) W=F(X±εx,Y±εy, ) = F(X,Y, )+(±εx)( F )+(±εy )( F )+ X Y Wの ( 一回測定の ) 誤差 εw は εw =W- F(X,Y, ) =(±εx)( F )+(±εy )( F )+ X Y 両辺を 乗する F F εw = εx ( ) + εy ( ) + X Y F F +(±εx εy)( )( ) + X Y

32 N 回の測定をして それらを加えて平均する εw εx F εy F = ( X )+ ( Y ) + N N N εx εy +(±) ( F )( F )+ N X Y まとめると理想的にはゼロ F F σw = σx ( ) + σy ( ) + X Y 誤差の伝播の法則

33 平均値とその誤差 (Xm± σmx,ym±σmy, ) が求まったとき 求めるべき Wm の最確値 ( 平均値 ) は Wm=F(Xm,Ym, ) の関係式で計算する 平均値 Wm の持つ誤差 σmw は σmw = σmx ( F ) + σmy ( F ) + X Y の偏微分をして その結果に X=Xm, Y=Ym, を代入して計算する

34 例題 : 直径 D=18.65±0.13mm, 高さ h=4.36±0.5mm の円筒の体積を求めよ D h V =π( D ) h =(π/4)(18.65) (4.36)= σmv = σmd ( V ) + σmh ( V ) D h = σmd ( π/ Dh) + σmh (π/4 D ) =(0.13) (π/ ) +(0.5) (π/ ) =1370. σmv= 115. ( 平均値 )±( 平均値の誤差 ) の表現はどうする

35 ( 平均値 )±( 平均値の誤差 ) の表現はどうする 平均値 V= 平均値の誤差 σmv= 115. 一般に 誤差の桁数は 桁とする σmv= 平均値は 誤差の最下位桁までを書く ±) 四捨五入 四捨五入 故に V = ( 6.65±0.1 ) 10 3 mm 3

36 例題 : 直径 D=18.65±0.13mm, 高さ h=4.36±0.5mm の円筒の体積を求めよ D h V =π( D ) h =(π/4)(18.65) (4.36)= σmv = σmd ( V ) + σmh ( V ) D h = σmd ( π/ Dh) + σmh (π/4 D ) =(0.13) (π/ ) +(0.5) (π/ ) =1370. σmv= 115. 故に V=(6.65±0.1) 10 mm 3 3

37 ( 問題 3) 質量の無視できる糸の先に小さい物体がついている振り子 ( 単振り子 ) がある この振り子を測定したところ 長さは 5.75±0.5 cm 物体の質量は 1.05±0.036 kg 周期は 1.019±0.03 秒 であった この結果より 重力の加速度を求めよ

38 加重 ( 異重 ) 平均 方法が異なったり 実験グループが異なったりして 多数の結果 g1±σ1, g±σ, があるとき ( 一つにまとめた ) 最終的な g0±σ0 をどのようにして求めるか? (Ⅰ) 単純に加えて単純平均をとる g0=(g1+g+ +g)/ (Ⅱ) 誤差の小さい実験値ほど重要視して 誤差の大きい実験値ほど軽視して ( 重みをつけて ) 平均をとる 加重 ( 異重 ) 平均

39 加重 ( 異重 ) 平均値 g0 = ( 1 gi ) i = 1 σi 1 i = 1 σi 加重 ( 異重 ) 平均 加重 ( 異重 ) 平均値の誤差 こうなる理由は? σi の 乗の逆数で重みを付けて平均 σ0 = 1 1 i = 1 σi 誤差伝播の法則を応用して求める

40 確率密度関数 f(ε) の数式化求め方は 実験書を参照! f(ε) = exp( ) ε: 誤差 1 π σ 1 f(g) = exp( ) π σ g: 測定値 G: 真の値 ε σ (g-g) σ 正規分布またはガウス分布

41 (g1±σ1, g±σ,, g±σ ) の一組の測定値を得る確率は P= f(g1) f(g) f(g3) f(g) 1 (g1-g) (g-g) =(π ) exp[ { + i = 1 π σi σ1 σ (g-g) + + }] σ この確率 P を最大にする G の値が もっともらし い値 ( 最確値 ) と考える Maximum Likelihood Method i = 1 (gi-g) σi を最小にする G がもっともらしい

42 最確値を求める d { } dp i = 1 σi =0 または =0 dg dg (gi-g) これを 計算すると

43 加重 ( 異重 ) 平均値 g0 = ( 1 gi ) i = 1 σi 1 i = 1 σi 加重 ( 異重 ) 平均 加重 ( 異重 ) 平均値の誤差 これが求まる σi の 乗の逆数で重みを付けて平均 σ0 = 1 1 i = 1 σi 誤差伝播の法則を応用して求める

44 加重 ( 異重 ) 平均値 g0 = ( 1 gi ) i = 1 σi 1 i = 1 σi 加重 ( 異重 ) 平均 加重 ( 異重 ) 平均値の誤差 σi の 乗の逆数で重みを付けて平均 σ0 = 1 1 i = 1 σi こうなる理由は? 誤差伝播の法則を応用して求める

45 加重 ( 異重 ) 平均値 g0 = 1 ( gi ) i = 1 σi 1 i = 1 σi g0 ( ) gi σ0 = σi = i = 1 加重 ( 異重 ) 平均 これに誤差伝播 の法則を適用 ( ) σi 1 i = 1 i = 1 1 σi σi これを 計算すると

46 加重 ( 異重 ) 平均値 g0 = ( 1 gi ) i = 1 σi 1 i = 1 σi 加重 ( 異重 ) 平均 加重 ( 異重 ) 平均値の誤差 σi の 乗の逆数で重みを付けて平均 σ0 = 1 1 i = 1 σi これが求まる 誤差伝播の法則を応用して求める

47 ( 問題 ) 重力の加速度の測定を 4 回行って 次の結果を得た g1=980.3 ± 0.84 g= ± 0.55 g3= ± 0.4 g4= ± 0.50 ( 単位はcm/sec ) これらの結果を平均して最終結果を求めよ

48 問題の解答を A4 のレポート用紙にまとめて 4 月 8 日 ( 木 ) 午後 1 時 ~1 時 0 分に提出せよ f(ε) 今日は ここまで - -σ 0 +σ + ε

49 二項分布 個の独立な試行を行ったとき,k 回成功する確率 p 平均値 : 標準偏差 : 1 回あたりの成功確率が p であり, その試行回数が ならば, 平均的に p 回の成功が生じる 二項分布のガウス近似 を増やした場合, 二項分布は平均 X=p, 標準偏差の正規分布に近づく. 中心極限定理 誤差論 011 年度前期火曜クラス 49

50 二項分布 を増やすと正規分布に近づく 中心極限定理 誤差論 011 年度前期火曜クラス 50