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しなつすずがみね
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1 Schrödinger I

2 Bohr Schrödinger A Planck 20 A.1 Reileigh-Jeans A A.2 Planck

3 [1]

4 ν 1902 Lenard * ν W *2 hν c 1905 Einstein *3 ν λ E = hν (1.1) p = h λ (1.2) 1.1 *1 Philipp Eduard Anton von Lenard ( ) *2 *3 Albert Einstein ( )

5 1.1 5 E p h Planck * 4 1 K max K max = hν W (1.3) 1916 Millikan *5 Millikan *6 K max V b V b K max K max = ev b (1.4) K max ν A B A B h A B ν c ν = 0 A B W A W B 1.2 (1.3) AB *4 Max Karl Ernst Ludwig Planck ( ) *5 Robert Andrews Millikan ( ) *6

6 1 1.2 1912 Laue *7 X X X X 1.3 NaCl X *8 Laue Laue 1913 Bragg *9 Laue 1.4 X X A θ X θ B A B 2 X X 1.3 NaCl X 1.4 Bragg 2d sin θ = nλ (n = 1, 2, ) (1.

6 Laue *7 X X X X 1.3 NaCl X *8 Laue Laue 1913 Bragg *9 Laue 1.4 X X A θ X θ B A B 2 X X 1.3 NaCl X 1.4 Bragg 2d sin θ = nλ (n = 1, 2, ) (1.5) d λ X Bragg X X *7 Max Theodor Felix von Laue ( ) *8 *9 William Henry Bragg ( )William Lawrence Bragg( )

7 1.2 電子線回折物質波電子は粒子だと思っていたのにドブロ 7 イ 1923 年 de Broglie*10 は運動量 p の粒子が λ= h p (1.6) ぶっしつはで与えられる波長の波として振る舞うとの仮説を発表した*11 この考え方を物質波といいドブロイはちょう (1.6) 式で計算される波長をde Bloglie 波長というここで 100 V で加速した電子を考えると加速のためのエネルギー ev がそのまま電子の運動エネルギーに変わるから ev = me v 2 2 (1.7) が成り立つこのとき電子の運動量は p = me v = 2me ev (1.8) であるからこれを de Broglie 波長に換算すると h λ= 2me ev (1.9) Js = kg C 100 V = m (1.10) を得るこれは X 線の波長とほぼ同じであるから 100 V で加速した電子を結晶にあてると Laue の斑点と同じような干渉縞が観測されると期待される実デビスンジャーマー際に 1927 年Davisson*12 とGermer*13 は Ni 単結晶による電子線回折を発見した図 1.5 は Al-Cu-Fe 準結晶の電子線回折パターンである*14 図 1.5 Al-Cu-Fe 準結晶の電子線回折 *10 *11 *12 *13 *14 Louis-Victor Pierre Raymond, 7th duc de Broglie ( ) 前節では Einstein が波長 λ の光が運動量 p = h/λ の粒子として振る舞うとして光量子仮説を提唱したことを述べたが de Broglie の仮説は光量子仮説の逆に相当する Clinton Joseph Davisson ( ) Lester Halbert Germer ( ) 出典 php

8 第 1 章古典力学の破綻と前期量子論光のエネルギーは離散的である黒体輻射高温の物体に手をかざすと温かく感じるのは物体が電磁波を出しているからでありこねつふくしゃれを熱輻射という熱輻射によって発する光の色は物体の温度により異なる鍛冶職人が溶かした鉄の温度を測らずとも次の作業へと移るタイミングを知ることができるのは単なる感ではなく鉄の発する色と適切な温度との対応を長年の経験から知っているからである図 1.6 鍛冶職人は温度を測らなくても加熱した鉄の色を見るだけで作業に適した温度かどうかを判断できる 19 世紀後半には工業の発展とともに熱輻射の色と物体の温度との関係を厳密に知る必要が生じ科学の対象となったこの問題の最も大きな障害は高温の物体から観察される光が熱輻射による光だけでなく余計な反射光を含むことであったもしも外部からの光を全く反射せず全ての波長の光を吸収する物体があればそれは熱輻射の研究に最こくたい適な物体であるこのような物体を黒体といこくたいふくしゃい黒体より放射される電磁波を黒体輻射という現実には黒体など存在しないが図 1.7 図 1.7 空洞による光の吸収に示すような小さな穴があいた空洞が黒体と同じように振る舞うことがわかった小さな穴から入った光は空洞の内壁で反射を何回となく繰り返しやがて内壁に吸収されて熱平衡状態となるすなわちこの小さな穴から光が出て来たとすればその光には反射光は含まれず熱輻射だけと考えることができるこれをくうどうふくしゃ空洞輻射というすなわち空洞輻射は近似的に黒体輻射とみなすことができるので空洞を用いた黒体輻射の研究が進められたウィーン 1893 年 Wien*15 は実験結果を再現する経験式として ( ) bν 3 ρ(ν, T ) = aν exp kb T (1.11) を提案したここで a と b はできるだけ実験結果をうまく再現できるように定める定数で *15 Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien ( )

9 1.3 9 * Planck Planck Wien (1.11) ν 3 ν ρ exp( bν/k B T ) ν ρ Wien 1905 Reyleigh * 17 Jeans * 18 ρ(ν, T ) = 8πν2 c 3 k BT (1.12) A.1 Wien Reyleigh Jeans K Planck Reyleigh Jeans Wien Reyleigh Wien Planck *16 *17 John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh ( ) *18 Sir James Hopwood Jeans ( )

10 10 1 Reyleigh Jeans Reyleigh Jeans Planck ρ(ν, T ) = 8πν2 c 3 hν e hν/k BT 1 (1.13) h Planck Planck ν E hν E = nhν (1.14) Planck Planck hν hν Planck 5 Reyleigh Jeans Planck * 19 *19 Reyleigh Jeans Reyleigh Reyleigh Jeans 2. Planck 3. hν 4.

11 * Balmer * 21 λ = an2 n 2 4 (a = nm) (1.15) * 22 Balmer Paschen * 23 Lyman * 24 Brackett * 25 Pfund * 26 Humphreys * 27 ( 1 1 λ = R m 2 1 ) n 2 (1.16) 1.9 *20 *21 Johann Jakob Balmer ( ) *22 Balmer nm nm nm nm 4 n = 2, 3, 4, 5 Balmer n 7 Balmer *23 Louis Carl Heinrich Friedrich Paschen ( ) *24 Theodore Lyman ( ) *25 Frederick Sumner Brackett ( ) *26 August Herman Pfund ( ) *27 Curtis Judson Humphreys ( )

12 12 1 Rydberg * 28 R Rydberg R = m 1 m = 1, n = 2, 3, 4, Lyman m = 2, n = 3, 4, 5, Balmer m = 3, n = 4, 5, 6, Paschen m = 4, n = 5, 6, 7, Brackett m = 5, n = 6, 7, 8, Pfund m = 6, n = 7, 8, 9, Humphreys Rydberg Bohr 1911 Rutherford * 29 Rutherford Rutherford Coulomb * 30 e 2 4πɛ 0 r 2 }{{} Coulomb = m ev 2 r }{{} 1.10 Rutherford (1.17) 1913 Bohr * 31 *28 Johannes Rydberg ( ) *29 Ernest Rutherford, 1st Baron Rutherford of Nelson( ) *30 Charles-Augustin de Coulomb ( ) *31 Niels Henrik David Bohr ( )

13 Bohr m e vr m e vr = n (1.18) = h/2π Planck Bohr 2 r m 2 ev 2 r 2 = n 2 2 m e v 2 = n2 2 m e r 2 e 2 4πɛ 0 r 2 = n2 2 m e r 3 r = n 2 ɛ 0h 2 πm e e 2 (1.18) 2 m e v 2 (1.17) r = n 2 a 0 a 0 := ɛ 0h 2 (1.19) πm e e2 a 0 = ɛ 0 h 2 /(πm e e 2 ) Bohr Bohr a 0, 4a 0, 9a 0, 16a 0, m e v 2 /2 U(r) e +e/(4πɛ 0 r 2 ) E = m ev 2 r ( ) +e + ( e) 2 4πɛ 0 r 2 dr = m ev 2 [ ] r e πɛ 0 r = e2 8πɛ 0 r = e2 8πɛ 0 r e2 4πɛ 0 r (1.19) 2 (1.17) 1 (1.20) E n = e2 8πɛ 0 πm ee 2 n 2 ɛ 0 h 2 (1.20) r = n 2 ɛ 0h 2 πm e e 2 = m ee 4 8ɛ 2 0 h2 1 n 2 (1.21) Bohr ν hν = E n E m (1.22)

14 14 1 E n E m n m (1.21) (1.22) hν = m ee 4 1 ( 8ɛ 2 0 h2 n 2 m ee 4 ) 1 8ɛ 2 0 h2 m 2 = m ee 4 1 8ɛ 2 0 h2 n 2 1 m 2 (1.23) c = νλ 1 λ = ν c = hν h hc = 1 m e e 4 1 hc 8ɛ 2 0 h2 n 2 1 m 2 (1.23) = m ee 4 1 8ɛ 2 0 h3 c n 2 1 m 2 (1.24) (1.16) m e e 4 /(8ɛ 2 0h 3 c) Rydberg R m e e 4 8ɛ 2 0 h3 c = kg ( C) 4 8 ( F/m) 2 ( Js) m/s = m 1 (1.25) R * 32 *32 C = s AV = W/A W = J/sF = C/V

15 Young * Young * * 35 Young 1 * (a)young (b) *33 Thomas Young ( ) *34 2 *35 ( ) *

が粒子であるから右か左のスリットを通過して検出器に捉えられ輝点として検出される 1 つの電子が輝点として検出されたあと電子源から次の電子を放出するすると前

12(a) がこの様子を表しているこれを続けていくとはじめのうち (b) はランダムに輝点が観察されるように見えるが次第に (c) 縦方向に縞のようなものが観察されるように

る縞模様は 2 つのスリットから検出器に到達した波の山と谷の重ねあわせすなわち干渉効果として説明されるしかし外村の実験で用いたのは粒子であるから電子源から放出された 1

16 第 1 章古典力学の破綻と前期量子論 16 図 1.12 (a) 検出に到達した電子は輝点として観測される (b) 輝点がランダムに観測されるように見えるが (c) 縦方向にうっすらと縞模様が見え始め (d) 鮮明な縞模様が現れるが粒子であるから右か左のスリットを通過して検出器に捉えられ輝点として検出される 1 つの電子が輝点として検出されたあと電子源から次の電子を放出するすると前と同じように電子は右か左のスリットを通過して検出器に捉えられて輝点が観察される図 1.12(a) がこの様子を表しているこれを続けていくとはじめのうち (b) はランダムに輝点が観察されるように見えるが次第に (c) 縦方向に縞のようなものが観察されるようになりしまいには (d) 明白に縦方向に縞模様が観察されるこれは Young の行った二重スリット実験に酷似した結果である Young の実験では波である光を用いたから観察される縞模様は 2 つのスリットから検出器に到達した波の山と谷の重ねあわせすなわち干渉効果として説明されるしかし外村の実験で用いたのは粒子であるから電子源から放出された 1 つの電子が同時に 2 つのスリットを通過することなどあり得ない電子は 1 つであるから右か左どちらかのスリットを通過するのであるにもかかわらず電子は 2 つのスリットを同時に通過した波が引き起こす干渉効果と同じ現象を示すのであるこれでんしはどうせいを電子の波動性というミクロな粒子は電子に限らず波動性を示すことが知られているミりゅうしにじゅうせいクロな粒子が波動性をあわせせ持つことを粒子の二重性という

17 17 2 Schrödinger 1 Schrödinger Schrödinger Schrödinger Schrödinger Schrödinger Schrödinger Schrödinger

18 18 2 Schrödinger 2.1 ψ(x, t) = Ae i2π(x/λ νt) = Ae i(kx 2πνt) k = 2π λ (2.1) k λ ν E p E = p2 2m Einstein λ ν (2.2) E = hν Einstein = ω ω = 2πν (2.3) p = h λ Einstein = k k = 2π λ (2.4) ω (2.1) t ψ(x, t) t i (2.3) ψ(x, t) i t = i2πνψ(x, t) (2.5) = i( i }{{} 2πν )ψ(x, t) =ω = ωψ(x, t) (2.1) x 2 = Eψ(x, t) (2.3) (2.6) ψ(x, t) = ikψ(x, t) x (2.7) 2 ψ(x, t) x 2 = k 2 ψ(x, t) (2.8)

19 (2.8) 2 /2m (2.4) (2.2) 2 2 ψ(x, t) 2m x 2 = 2 2m k2 ψ(x, t) ψ(x, t) 2m (2.4) = Eψ(x, t) (2.2) (2.9) = p2 (2.6) (2.9) Schrödinger Schrödinger 2 2 ψ(x, t) ψ(x, t) 2m x 2 = i t (2.10) 2.2 (2.7) i (2.4) ψ(x, t) i x = kψ(x, t) = pψ(x, t) (2.4) (2.11) (2.11) ψ(x, t) i( / x) p ψ(x, t) i x ψ(x, t) = p ψ(x, t) (2.12) }{{} ψ(x, t) i( ψ(x, t)/ x) ψ(x, t) p i( / x) (2.9) ( 2 /2m)( 2 / x 2 )

20 20 A Planck A.1 Reileigh-Jeans Boltzmann E e βe β β = 1/k B T E E E = 0 0 = d dβ log = d dβ log = d dβ log Ee βe de e βe de [ 0 ] e βe de [ 1 β e βe ] 0 ( ) 1 β = d log(1/β) d(1/β) d(1/β) dβ = β ( 1 ) β 2 = 1 β = k BT (A.1) E E + de E ν ν ν + dν 1 L 1 λ 1/2 L 1 0 nλ 2 = L λ = 2L n (n = 1, 2, ) (A.2)

21 A.1 Reileigh-Jeans 21 L 1 λ = 2L, L, L/2, L/3, n n L L x y z x y z x y z A.1 L ν = 1, 2, 3, 4, 5 λ x = 2L n x (n x = 1, 2, ) (A.3) λ y = 2L n y (n y = 1, 2, ) (A.4) λ z = 2L n z (n z = 1, 2, ) (A.5) ( λ ) 2 ( λ + ) 2 ( λ + ) 2 = 1 (A.6) λ x λ y λ z (A.6) (A.3) (A.4) ( ) 2 λnx + 2L ( ) 2 λny + 2L λ 2 4L 2 (n2 x + n 2 y + n 2 z) = 1 λ 2 4L 2 = n 2 x + n 2 y + n 2 z 2L λ = n 2 x + n 2 y + n 2 z ( ) 2 λnz = 1 2L (A.7) ν = c/λ (A.7) A.2 (n x, n y, n z ) 1 1 (n x, n y, n z ) = (1, 2, 3) λ = 2L/ 14

22 22 A Planck ν = c n 2 x + n 2 y + n 2 z 2L (A.8) 1 (n x, n y, n z ) n x = 1, 2, 3, n y = 1, 2, 3, n z = 1, 2, = 27 3 n x n y n z (n x, n y, n z ) νν + dν r = n 2 x + n 2 y + n 2 z n x > 0, n y > 0, n z > 0 rr + dr r < n 2 x + n 2 y + n 2 z < r + dr (A.9) r r + dr 1/ πr2 dr (A.10) (A.8) r = n 2 x + n 2 y + n 2 z ν = cr 2L r = 2Lν c dr dν = 2L c dr = 2L c (A.10) 1 8 4πr2 dr = 1 2 π ( 2Lν c = 4πL3 ν 2 dν = c 3 dν (A.11) ) 2 ( ) 2L c dν 4πV ν2 c 3 dν V = L 3 (A.12) V ν ν + dν 2 4πV ν 2 dν/c 3 V = 8π c 3 ν2 dν (A.13)

23 A.2 Planck 23 1 ν (A.1) (A.13) (1.12) ρ(ν, T )dν = k B T 8π c 3 ν2 dν = 8πν2 c 3 k BT dν (A.14) A.1.1 a = (a 1, a 2, a 3 ) x y z αβγ a cos α = l cos β = m cos γ = n (A.15) cos α = a 1 a cos β = a 2 a cos γ = a 3 a (A.16) l 2 + m 2 + n 2 = a2 1 a 2 + a2 2 a 2 + a2 3 a 2 = a2 1 + a a 2 3 a 2 = a 2 a 2 = 1 (A.17) A.2 Planck Reileigh Jeans Planck E = nhν (n = 1, 2, ) (A.18) Reileigh Jeans E = n=0 Ee βe = e βe n=0 n=0 n=0 nhνe βnhν e βnhν (A.19)

24 24 A Planck e βnhν = 1 + e βhν + e 2βhν + n=0 1(1 e kβhν ) = lim k 1 e βhν 1 eβhν = = 1 e βhν e βhν 1 (A.20) n=0 nhνe βnhν = d dβ = d dβ ( ) e βnhν n=0 }{{} = ( e βhν e βhν 1 ) (A.20) = hνeβhν (e βhν 1) 2 (A.21) 1 ν E E = hνe βhν (e βhν 1) 2 e βhν e βhν 1 hν = e βhν 1 (A.22) 1 ν (A.22) (A.13) ρ(ν, T )dν = hν e βhν 1 8π c 3 ν2 dν = 8πν2 c 3 hν e (hν/k BT ) 1 dν (A.23) (1.13)

25 25 [1] 2013 [2] 2010

II

II 28 5 31 3 I 5 1 7 1.1.......................... 7 1.1.1 ( )................ 7 1.1.2........................ 12 1.1.3................... 13 1.1.4 ( )................. 14 1.1.5................... 15