第3章図形と方程3章図形と方程式18 三平方の定理直角三角形の斜辺の長さの 2 乗は残る 2 辺の長さの 2 乗の和に等しいこのことから一般の直角三角形でもその斜辺 ( 一番長い辺 ) を一辺とする正方形の面積 S 1 は残りの 2 辺を一辺とする正方形の面積 S 2 と S 3 の和

Size: px

Start display at page:

Download "第3章図形と方程3章図形と方程式18 三平方の定理直角三角形の斜辺の長さの 2 乗は残る 2 辺の長さの 2 乗の和に等しいこのことから一般の直角三角形でもその斜辺 ( 一番長い辺 ) を一辺とする正方形の面積 S 1 は残りの 2 辺を一辺とする正方形の面積 S 2 と S 3 の和"

めぐのしもね
5 years ago
Views:

1 第章図形と方程章図形と方程式8 三平方の定理直角三角形の斜辺の長さの乗は残る辺の長さの乗の和に等しいこのことから一般の直角三角形でもその斜辺 ( 一番長い辺 ) を一辺とする正方形の面積 S は残りの辺を一辺とする正方形の面積 S と S の和に等しいと思われますつまり S = S = = + ( 注 ) 逆も成立しますつまり三角形において辺の長さの乗の和が残りの辺の長さの乗に等しいときこの三角形は直角三角形となる S = S + S この式で直角三角形の斜辺を他の辺をとし辺の長さで表現すると = + となり三平方の定理の予感がします ( 注 ) バビロニアでは紀元前年頃までには三平方の定理が発見され使われていた S = = + 解説タイルに補助線を引く三平方の定理 ( ピタゴラスの定理 ) は床に敷き詰められたタイルを見てピタゴラス (B.C.58 頃 ~ B.C.5 頃 ) 自身あるいはピタゴラス学派の人々が発見したといわれています式正方形のタイルの床に対角線を描いてみると ( 右下図 ) 青い正方形 A の面積は青い二つの三角形 B の面積の和に等しくグレーの正方形 C の面積はグレーの二つの三角形 D の面積の和に等しいことが分かりますしたがって四つの三角形で作られた大きな正方形の面積 ( 斜辺の乗 ) は青とグレーの小さな正方形の面積 ( 斜辺でない辺の乗 ) の和になっているといえます 5 55 数学で最重要な定理この三平方の定理は数学のいろいろな分野の土台となる極めて重要な定理といえます距離の公式をはじめこの三平方の定理なしでは語れない数学がたくさんあるからですなぜ三平方の定理は成り立つのか? 三平方の定理は実に多くの証明がありますがここでは数式を使わずに直観的に理解できるものを一つ紹介しておきます第まず斜辺の長さがで他の辺の長さがである直角三角形 ( 下図 ) を一辺の長さが + である正方形の四隅に配置します ( 下図 ) + 三平方の定理8

2 章図形と方程式次にこの同じ正方形の枠内で直角三角形を下図のように配置換えしますこのとき図と図の白い部分の面積は等しいはずですしたがって図の白い正方形の面積 = 図のカ所の白い部分の正方形の面積の和となりますこれを式で書くと = + となります整数と分数で成り立っていると考えたピタゴラスピタゴラスが活躍したのは紀元前 6 世紀の古代ギリシャ時代 ( 日本は弥生時代 ) のことピタゴラスは直角三角形の性質をはじめあらゆる事柄の背後に数の秩序が潜んでいると考え万物は数であると主あが張し数を崇める宗教としてピタゴラス教団を設立していますピタゴラス教団はこの世界は整数とその比 ( 分数 ) によって秩序を保っていると主張していたのですが皮肉なことに自らが発見した三平方の定理は整数でも分数でもない数の存在を示していました例えば辺の長さがで斜辺がの直角三 = 角形の場合ですこれを満たす斜辺は整数や分数では表せません ( 前ページを参照 ) ピタゴラスはこのような数の存在を決して口外してはならないとして隠してしまったのです例題次の⑴~⑶の直角三角形においての値を三平方の定理を使って求めてくださいピタゴラス数とフェルマーの大定理 ⑴ ⑵ ⑶ +y =z を満たす自然数 y z をピタゴラス数といい (= y= z=5) (=5 y= z=) (=8 y=5 z=7) 第8三などがあります平奇数 m に対して m m - m + はピタゴラス数にな方のるのでピタゴラス数は無数に存在することが分かります定ところが理 +y =z を満たす自然数 y z となると事情が [ 解 ] 一変しますなぜなら以上の自然数について +y =z ⑴ = + = ゆえに = ] g を満たす自然数 y z の組は存在しない ( フェルマーの大定 ⑵ + = よって = - = ゆえに = ] g 理 ) からですこの定理は 995 年アンドリューワイルズ ⑶ = + =5 よって =5 ( > ) (95 ~) によって証明されたばかりです 56 57

3 第8 章積積分8 第8 章区分求積法図形の面積や体積などを求めるのにまずこれをいくつかに分割し個々の面積や体積を求めやすい図形のそれで近似して和を求めるその後分割をさらに細かくしたときの極限値をもってもとの図形の面積や体積を計算する方法を区分求積法という s < s < X < S < S このようにしてどんどん目の細かい方眼紙を用いて処理していき X が一定の値に収まることが見えたときこの値を池の面積としたわけです例題半径 r の円の面積は rr ですがこれを区分求積法でどう求めるかを考えてください解説区分求積法区分求積法の考え方は素朴なものです求めにくいモノは分割し求めやすいモノで近似して計算していこうという考え方です池の面積を方眼紙でこのような考え方は例えば [ 解 ] この問題を解くために円の中心角を等分割し円を細かな扇形に分割します次にその扇形を右図のように上下互い違いに配置して帯状に並べますこの分割をドンドン細かくしていくとこうしてできる図形は横が円周の半分つまり rr で縦が半径 r の長方形に近づいていくことが分かりますよって半径 r の円の面積は rr であることが分かります区分求積法8 地図上の池の面積を求める際に S も使っています右図のように r 地図上の池の上に方眼紙を載せて池の内側にある正方形 ( 面 s r 積が求められる ) の総和を s とし内側と境界線を含む正方形の面積の総和を S とします rr 池の面積を X とすればとなります s < X < S S ケプラーの樽の求積法次にさらに目の細かい方眼区分求積法は積分法の起源と紙を載せたときの内側の正方形の面積の総和を s とし内側 s なった考え方でその考えは紀元前のアルキメデス ( 取り尽くと境界線を含む正方形の面積のし法 ) や 6 ~ 7 世紀のケプラ分8 9 総和を S としますすると次の不等式が成立しますー ( ビール樽の求積法 ) も採用しています

4 積分8 解説積分とは? fd ] g を関数 f() のからまでの定積分といいます関数 f ] g が区間 EE で定義されているものとする ( 図 ) ここでこの区間を等分し各区間の境界点に定積分は fd ] g = lm f ] gd の形でも分かるとおり f( ) とと名前を付けて ( 図 ) 次の和を考える " f ] gd ただし D = - D を掛けたものつまり微小な長方形の面積を無限に足していったときその和が限りなく近づく値のことですなお f() のことを被積この分割を限りなく細かくしたときつまりにしたと分関数といいますきが一定の値に近づけば関数 f ] g は区間 EE で積分可なぜ記号 fd ] g が使われたのか第能であるといいその一定の値を記号 fd ] g で表すすなわち 8 章積分法 fd ] g = lm f ] gd " ( 注 ) 区間 EE を閉区間といい記号 [, ] で表しますまた区間 < < を開区間といい (, ) で表します y = f] g ( 注 ) 記号 R は和を表す記号で f ] gd= f( ) D+ f( ) D+ + f( ) D g ( 注 ) 本節で定義された積分はリーマン積分と呼ばれ関数が連続であることが前提になっています連続でない場合に拡張した積分法にルべーグ積分があります z - U D y = f] g f] g z 分割したときの個々の長方形の面積 f( )D は分割を細かくしていくと幅がに近い微小な長方形になりますこの長方形を f()d と表現します定積分は閉区間 [, ] にあるこれら無数の微小な長方形をすべて足していくので S( 和の意味を持つ sum の頭文字 ) を利用しこの S を縦方向に伸ばしてと書いたのですこの原理が分かるといろいろな現象を簡単に積分に置き換えることができます y = f] g lm " = f ] gd ( 注 ) 積分とは分けた長方形を積んでいくことです f ] g d 積分法8

5 積分積分の定義から導かれる定積分の性質 fd ] g は次のように定義されました " fd ] g = lm f ] gd= lm] f] gd+ f ] gd+ + f] gdg " g 例題次の定積分を計算してください ⑴ d ⑵ d このことから分かるように定積分は f( )D を無限に足す計算なのですこのように無限に足す計算のことを無限級数と呼びます定積分の定義と無限級数の性質から定積分には次の性質があることが証明できます定理関数 f() が閉区間 [, ] で連続 ( グラフが切れ目なくつながっている ) ならば f() は区間 [, ] で積分可能である第 ] + g] + g 8積8 章定理連続関数 f() g() に対して次のことが成立する = lm " 6 分法⑴ kf ] d g = k fd ] g ただし k は定数 = lm d + d+ " 6 ⑵ " f ] g g] g, d = f] d g g] gd = ] + g] + g= O 6 T - D = ⑶ fd ] g = f ] gd+ f] d g ] + g] + g ( 注 ) g+ = ( 6) 6 ( の大小は無関係 ) y y= ⑵ d = lm d " ⑷ [, ] で f ] g F ならば fd ] g F d 6] g+ g = lm " ⑸ [, ] で f ] gf g ] g ならば fd ] g F gd ] g ] + g = lm " ]g のとき fd ]g は区間 [, ] で関数 y = f]g のグラフと軸それに直線 = = によって囲まれた図形の面積の定義につながります ( 9) = lmd+ " = ] + g = O T - D = ] + g ( 注 ) g+ = ( ( 6) ( 注 ) f F [ 解 ] ⑴ " d = lm d g = lm " y d y=

<8D828D5A838A817C A77425F91E6318FCD2E6D6364>

<8D828D5A838A817C A77425F91E6318FCD2E6D6364> 4 1 平面上のベクトル 1 ベクトルとその演算例題 1 ベクトルの相等次の問いに答えよ. ⑴ 右の図 1 は平行四辺形である., と等しいベクトルをいえ. ⑵ 右の図 2 の中で互いに等しいベクトルをいえ. ただし, すべてのマス目は正方形である. 解 ⑴,= より, =,= より, = ⑵ 大きさと向きの等しいものを調べる. a =d, c = f d e f 1 右の図の長方形において,