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1 線形代数 演習 Ⅰ コンピュータ グラフィックス, 次曲面と線形代数 指南書第壱の巻 モチベーションとゴール行列の和と積, 転置行列, ベクトルの内積行ベクトル 列ベクトル 池田勉龍谷大学理工学部数理情報学科 アルジェブラさんとリニアーくん ( Ms. Algebr nd Mr. Liner) アルジェブラさんとリニアーくんは, 線形代数 演習 Ⅰ の講義 演習 実習の手助けをするキャラクターです. アルジェブラさん リニアーくん 線形代数は, ほとんどすべての科学技術分野と社会科学分野おいて必要な基礎知識です. この講義 演習では, コンピュータ グラフィックス という視点から線形代数にアプローチします. コンピュータ グラフィックスでは, 図形の回転, 拡大 縮小, 対称変換, 平行移動図形を傾ける操作などが必要ですが, その多くが, 線形変換と呼ばれるものに対応し, 行列で表現されます. 線形代数で最も有用なのは 行列の固有値 固有ベクトルと対角化 です. こ の有用性を 次曲線と 次曲面を例として採用し, ビジュアルに説明します. 指南書第壱の巻 ( スライド数 :0)

2 線形代数 演習 Ⅰ のゴール : 次曲線の典型例 x x bx c dx e f 平面上で 次式 = 0 が表す図形を 次曲線という. ただし, fはすべて定数, bc,, のうちの少なくともつは零でない. ( x ) ( + ) + = ( だ円 ) ( ) ( x + ) = ( 双曲線 ) 4 ( ) ( x + ) = 0 ( 交差する 直線 ) 4 5 ( ) = x ( 放物線 ) 4 線形代数 演習 Ⅰ のゴール (): 次曲面の典型例 次元空間で x + + z + x+ z+ zx+ bx+ b + b z+ c = 0 が表す図形を 次曲面という. ただし,, b, c はすべて実数, ij k,,,,, のうちの少なくともつは 0 でない定数である ( 単葉双曲面 ) ( だ円面 ) x + + z = 4 ( ) ( 双葉双曲面 ) z x + = ( ) z x + = ( ) 指南書第壱の巻 ( スライド数 :0)

3 線形代数 演習 Ⅰ のゴール (): 次曲面の典型例 x + = 4 ( ) ( だ円柱 ) x z = ( 双曲放物面 ) ( ) ( だ円放物面 ) x z = + 4 ( ) ( 放物柱 ) ( = x ) 線形代数 演習 Ⅰ のゴール (4): 次曲線と 次曲面 x 平面上でつぎの 次式が表す 次曲線はどんなもの? x x+ + x+ = x + 4 x + + 9= = 0 x x x xz 空間内でつぎの 次式が表す 次曲面はどんなもの? 4 0 x + + z + x+ z+ zx+ x+ z+ = x + x z+ zx+ z+ = 4x + + z + 4x z+ 4zx+ x z = 0 x z x z zx x z = 0 このような問に対して, 行列の固有値 固有ベクトル実対称行列の直交行列による対角化などの知識を用いて, 的確に答えられるようになることが到達点 指南書第壱の巻 ( スライド数 :0)

4 お知らせ 線形代数 演習 I に関する資料は下記から入手できます : hp:// 演習問題と解答例, 実習課題とその実行結果, 実習用のサンプルプログラムがこの web sie から入手できます. 定期試験や模擬試験の過去問や解答例, 評価点の分布や学生による授業評価集計結果もここから入手できます. 成績評価平常点 0%: 演習 実習の達成状況 ( 遅れた場合もチェックして貰えます ) ミニテスト 0%:4 回行う予定 ( 資料の持込可,TAへの質問可) 定期試験 60%: 筆記用具以外は持込不可さらに, 他の学生に教えてあげたり, 黒板で例題を解くことなどによって得られるボランティア ポイントを最高評価 00 点の範囲内で成績に加算します. 不特定小数の学生に対して出席の確認を行うことがあります. 欠席の場合は成績評価の際に減算します. 期末に実施される< 学生による授業評価調査 >の結果はウェブを通して公表します. この授業の改善すべき点は何ですか への記述内容と担当者の反応および あなたのこの授業への取り組みを振り返って自由に書いてください への 7 記述内容もウェブを通して公表します. 演習 実習はセルフチェック 演習や実習ができたと思ったら,TA から解答例を貰って, 自分自身で確認し,OK ならば自分自身でチェックリストにサインしなさい ( ただし,TA チェックの演習 実習を除く ). この際, 鉛筆ではなく, ボールペンなどを使用しなさい. 遅れてできた課題や演習については,8 時 0 分以降に, 古いチェックリストへの記録を担当教員に申し込みなさい. いろいろ考えても分からない場合は, 解答例を貰って, それを見ながら考え直しても構いません. 解答例を見ても合っているどうか分からない場合や自分のやり方や答えで良いのか分からない際には,TA や担当教員に質問しなさい. 早くできても帰ってはいけません ( 欠席扱いになることがあります ). 早くできた学生には他の学生の指導をして貰います. ボランティア ポイン 8 トとして成績にも反映します. 指南書第壱の巻 ( スライド数 :0) 4

5 行列とは?( 成分の表現方法 行と列 ) 行列とは実数を矩形 ( 長方形状 ) に並べたもの N 列 M 行 N N N M M M MN M 行 N 列の行列 ( 例 ) 0 A = ( 4 5 ), A = (. 0 ), A =, A4 0. = A5 =, A 6 0, A 7 0 5, A = = = スカラーと行列の積 行列と行列の和 j N j N c cj cn c i ij in = i ij in c = ci cij c in c c c M Mj MN M Mj MN M Mj MN c : 数 成分ごとに積 j N b b j b N + b j + b j N + b N i ij in + bi bij b in = i + bi ij + bij in + b in b b b + b + b + b M Mj MN M Mj MN M M Mj Mj MN MN 行の長さも列の長さも等しいときに限って, 行列の和が定義される 成分ごとに和 0 指南書第壱の巻 ( スライド数 :0) 5

6 行列の積 行列 A の列の長さと行列 B の行の長さが等しいときに, 積 AB が定義される N c c K b b j b K i in = cij bn bnj b NK M MN cm c MK A : M 行 N 列 B : N 行 K 列 AB : M 行 K 列 N c = b ( i =,,, M; j =,,, K) ij in nj n= 行 列 行 列 行 列 = 4 0+ ( 5) ( 5) 0 4 ( ) + ( 5) = 0 8 ( ) ( ) ( ) 行列演算の線形性 A : M 行 N 列の行列, B, C : N 行 K 列の行列, p, q : 数 ApB ( + qc) = pab + qac 0 ( 例 ) A=, B =, C =, p =, q = A( pb + qc) 0 = = = = 9 pab + qac 0 0 = + = = 4 + = 指南書第壱の巻 ( スライド数 :0) 6

7 転置行列 () 行列 A の行と列を入れ替えた行列を A の転置行列といい, A で表す N M N M = N = A A M M MN N N N MN ( 例 ) =, = = 0, 転置行列 () ( AB) = B A である ( ij ) ( ij ) A= : M 行 N 列の行列, B = b : N 行 K 列の行列 ( ij ), ( ) ( ij), ( ij), ( ij), BA= ( c ij) AB = c AB = c A = B = b N c = b, c = c = b, ij in nj ij ji jn ni n= n= =, b = b, ij ji ij ji N N N c = b = b = b = c ij in nj ni jn jn ni ij n= n= n= N と置く ( AB) = B A 0 ( 例 ) A= 0, B = の場合 0 AB = ( ) 0 = AB = 0 0 B = A B A ( AB) 0, = = = = 0 4 指南書第壱の巻 ( スライド数 :0) 7

8 ベクトルは行列の一種 M 行 列の行列 :( 縦 ) ベクトル M M = のとき平面上の点に対応 M = のとき空間内の点に対応 ( ) 行 N 列の行列 N :( 横 ) ベクトル N N b b =, b= : M 次元空間の 点に対応 M bm = のとき平面上の点に対応 = のとき空間内の点に対応 θ b b b b = ( ) = b + b + + b 5 bm M M M ベクトルの長さと内積 ( スカラー積 ) b b =, b= M bm ベクトル の長さ = M ベクトル と b の内積 ib= b cosθ 第二余弦定理 b = + b b cosθ ( n =,,,, 何次元でもOK) θ b { } b i = bcosθ = + b b = { M + b + b + + bm } ( ) + ( ) + + ( ) = b + b + + b = b { b b bm M } M M ベクトルの成分による内積の表現 = 転置ベクトルとベクトルとの積 6 指南書第壱の巻 ( スライド数 :0) 8

9 行列の行ベクトル 列ベクトル 行列 N M MN の行ベクトルと列ベクトル列ベクトル N 本 j N M Mj MN 行ベクトル M 本 ( ) N ( ) i ( ) M in MN c c K N b b b j K cij = i in b b b N Nj NK cm c MK M MN 行ベクトルと列ベクトルの内積で行列の積が計算 b j ci j = ( i in ) : i 番目の行ベクトルと j 番目の列ベクトルの内積 7 b Nj 次式の実対称行列による表現 () N A = M MN 実行列 : すべての成分 が実数である行列 ij ji ij 正方行列 : 行の数と列の数が等しい ( M = N) 行列 実対称行列 : 実行列であって, A= A を満たす行列 ( =, 必然的に正方行列 ) 実対称行列 x x = ( 7x x+ ) +4 x+ 4 7 x ( x ) ( ) = x x+ + x 実対称行列 b x x b c ( ) ( ) x + bx + c + dx + e + f = x + d e + f 指南書第壱の巻 ( スライド数 :0) 9

10 次式の実対称行列による表現 () 実対称行列 x x x z z z x = ( x + + z x+ + z x+ + 4z ) + x+ z+ z ( ) ( ) 4 = x + + z + x+ z+ zx+ x+ z+ x + + z + x+ z+ zx+ bx+ b + b z+ c x x = x z + b b b + c ( ) ( ) z z 実対称行列 定期試験の問題 ( 案 ) を募集しています 成績評価の 60% を占める定期試験の問題 ( 案 ) を募集します. 応募できるのは受講学生と担当 TA です. 今年度の線形代数 演習 I にふさわしい問題の提案をお待ちします. 6 月 日までに, 紙に書いた案を担当教員に手渡して下さい. 提案いただいた問題がそのまま出題されることはありませんが, 採用されたら, よく似た問題が出題されます. また, 問題文には 謝辞 ( 感謝の言葉 ) が書かれます. 0 指南書第壱の巻 ( スライド数 :0) 0