( 4) ( ) (Poincaré) (Poincaré disk) 1 2 (hyperboloid) [1] [2, 3, 4] 1 [1] 1 y = 0 L (hyperboloid) K (Klein disk) J (hemisphere) I (P

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ひろきかやぬま
5 years ago
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1 4) ) Poincaré) Poincaré disk) hyperboloid) [] [, 3, 4] [] y 0 L hyperboloid) K Klein disk) J hemisphere) I Poincaré disk) : hyperboloid) L Klein disk) K hemisphere) J Poincaré) I y 0 x + y z 0 z x, y, z ) x, y, z) x x z, y y z, z ) z x, y, z ) x, y, z) x x, y y, z x y ) 0, 0, ) x 0

2 x, y, z ) x, y, z) x x z +, y y z +, z 0 3) y + y + + y n y n+ 4) ds L ds L dy + dy + + dy n dy n+ 5) [] [4] ds K ds K dy + dy + + dy n y y n [4] ) y dy + y dy + + y n dy n y y n ) 6) x i y i i,, n) 7) x n+ y y n 8) 7) 8) dx i dy i 9) y y n x n+ 0) y dy + y dy + + y n dy n x n+ dx n+ ) 0) ) 6) 9) 0) ) y dy + y dy + + y n dy n ) y y n ) dx n+ x n+ ) ds K dx + dx + + dx n + dx n+ x n+ ds J 3) ds J ds J ds I x i y i y n+ + i,, n), x n+ 0 4) y + + y n + y n+ 5)

3 y i ds J dy + dy + + dy n + dy n+ y n+ 6) 4) y i dy i x i dy n+ + y n+ + )dx i 7) n n n dyi dyn+ x i + y n+ + )dy n+ i i i i 4) 5) n x i dx i + y n+ + ) n dx i 8) n i x i y n+ y n+ + 9) n x i dx i y n+ + ) dy n+ 0) i 9) y n+ + y n+ n i x i 9) 0) 8) n i dy i y n+ y n+ + dy n+ y n+ + )dy n+ dy n+ y n+ + ) + y n+ + ) dy n+ + y n+ + ) n i dx i n i dx i ) n+ dyi y n+ + ) i n i dx i ) n + 6) ds J n+ i dy i y n+ y n+ + ) y n+ n dx i 3) ) n ds i J 4 i n i x i ds I 4) ds I i ds I 4 dx + + dx n x 5) x n ) ds I 4 dx + dy x y ) 6) 3

4 3 t t [3] t t [3] x 0 y θ z ϕ α tan θ β / α t ) x αβ cos ϕ cosh t sin ϕ sinh t 7) y αβ sin ϕ cosh t + cos ϕ sinh t 8) z β cosh t 9) x α cos ϕ sin ϕ tanh t 30) β y α sin ϕ + cos ϕ tanh t 3) β ϕ 0 a) ϕ 0 b) x ϕ α 30)3) x y α α ) tanh t α ) sech t γ α x α cos ϕ sin ϕ tanh t 3) β y α sin ϕ + cos ϕ tanh t 33) β z γ sech t 34) 3) 34) 3) α cos ϕ γ sin ϕ tanh t x + γ sech t α sin ϕ + γ cos ϕ tanh t y + γ sech t 35) 36) : a) ϕ 0 x α b) ϕ 0 a) ϕ 4

5 35) 36) t ds I xcosh t + γ) α cos ϕ cosh t γ sin ϕ sinh t 37) ycosh t + γ) α sin ϕ cosh t + γ cos ϕ sinh t 38) dxcosh t + γ) + x sinh t α cos ϕ cosh t γ sin ϕ sinh t 39) dycosh t + γ) + x sinh t α sin ϕ sinh t + γ cos ϕ cosh t 40) cosh t + γ) dx + dy ) + cosh t + γ) sinh txdx + ydy) + x + y ) sinh t α sinh t + γ cosh t) 4) 35) 36) x + y α cos ϕ γ sin ϕ tanh t) + α sin ϕ + γ cos ϕ tanh t) + γ sech t) α + γ tanh t + γ sech t) γ sech t + γ sech t 4) 4) x y γ cosh t + γ 43) xdx + ydy 4) 44) 4) 4) sinh t + γ sech t) cosh t sinh t 44) cosh t + γ) cosh t + γ) dx + dy ) + γ sinh t cosh +γ cosh t γ cosh t + γ + + cosh t γ cosh t + γ sinh t γ ) sinh t + cosh t + γ) dx + dy ) cosh +γ cosh t + γ) dx + dy ) + sinh t cosh t + γ) dx + dy ) + sinh t α sinh t + γ cosh t) dx + dy α sinh t + γ cosh t sinh t) cosh t + γ) γ cosh t γ sinh t) cosh t + γ) γ cosh t + γ) 45) 43) ds dx + dy 4 x y ) 46) ds 5

6 ) 36) α 0 ϕ 0 x 0 y sinh t α 0 ϕ π/ x sinh t y 0 α 0 ϕ 0 35) 36) cos ϕ sin ϕ α x cos ϕ + y sin ϕ + γ sech t x sin ϕ + y cos ϕ γ tanh t + γ sech t α + γ sech t) + γ tanh t + γ sech t) 47) 48) x cos ϕ + y sin ϕ) α x cos ϕ + y sin ϕ) + x sin ϕ + y cos ϕ) 49) x cos ϕ α ) + y sin ϕ α ) γ α 50) cos ϕ/α, sin ϕ/α) γ/α 3 50) a)ϕ 0 b)ϕ 0 3a) γ/α /α /α γ /α b) 47) 48) 3: a) ϕ 0 /α, 0) /α b) ϕ 0 a) ϕ 6

7 4: y 0 x > 0 z y x t z y 0 4 A r 0 t x 0, y 0, z 0 ) r 0 t sinh t 0, 0, cosh t 0 ) 5) 7) 9) α 0 ϕ π/ A r [3] A t A t 5) t t cosh t 0, 0, sinh t 0 ) 5) A n [4] grad n t cosh t 0, 0, sinh t 0 ) 53) 5: 7

8 q t 0,, 0) 4 t v t n i j k t n cosh t 0 0 sinh t 0 t 0, cosh t 0 + sinh t 0, 0) sinh t 0 0 cosh t 0 v t 0,, 0) 54) A u u t ϕ u t cos ϕ + v sin ϕ 55) 5 A r r r 0 cosh r + u sinh r 56) [] r A ) ) r ) r ) Ar 0 ) u O ) u π O w w r r 0 ) 0 57) w r ) 6: A 8

9 w 6 u n s s u n s t cos ϕ + v sin ϕ) n v cos ϕ + t sin ϕ t cosh t 0 sin ϕ, cos ϕ, sinh t 0 sin ϕ) 59) u s n w w n cos ω + s sin ω n cos ω v cos ϕ sin ω + t sin ϕ sin ω t sinh t 0 cos ω + cosh t 0 sin ϕ sin ω, cos ϕ sin ω, cosh t 0 cos ω + sinh t 0 sin ϕ sin ω) 60) 58) 60) sinh t 0 sinh t 0 cos ω + cosh t 0 sin ϕ sin ω) + cosh t 0 cosh t 0 cos ω + sinh t 0 sin ϕ sin ω) sinh t 0 cosh t 0 ) cos ω + sinh t 0 cosh t 0 sin ϕ sin ω 0 tan ω sinh t 0 sin ϕ ω u ) 55) 56) 6) u t cosh t 0 cos ϕ, sin ϕ, sinh t 0 cos ϕ) 6) r t sinh t 0 cosh r + cosh t 0 sinh r cos ϕ, sinh r sin ϕ, cosh t 0 cosh r + sinh t 0 sinh r cos ϕ) 63) r, r sinh t 0 cosh r + cosh t 0 sinh r cos ϕ) + sinh r sin ϕ) cosh t 0 cosh r + sinh t 0 sinh r cos ϕ) cosh r + sinh r cos ϕ + sinh r sin ϕ r 4..3 A r r x, y, z ) 63) x sinh t 0 cosh r + cosh t 0 sinh r cos ϕ, 64) y sinh r sin ϕ, 65) z cosh t 0 cosh r + sinh t 0 sinh r cos ϕ 66) 9

10 x, y, z ) x, y) z 0,0,) ) x x sinh t 0 cosh r + cosh t 0 sinh r cos ϕ z cosh t 0 cosh r + sinh t 0 sinh r cos ϕ, 67) y y sinh r sin ϕ z cosh t 0 cosh r + sinh t 0 sinh r cos ϕ, 68) z z z x, y, z ) z ) 67) 68) x, y, z ) x x sinh t 0 cosh r + cosh t 0 sinh r cos ϕ cosh t 0 cosh r + sinh t 0 sinh r cos ϕ, 69) sinh r sin ϕ y y cosh t 0 cosh r + sinh t 0 sinh r cos ϕ, 70) z x y 7) cosh t 0 cosh r + sinh r cos ϕ 7) cosh t 0 cosh r + sinh t 0 sinh r cos ϕ) sinh t 0 cosh r + cosh t 0 sinh r cos ϕ) sinh r sin ϕ) cosh r sinh r cos ϕ sinh r sin ϕ x, y, z ) 3) x x z + sinh t 0 cosh r + cosh t 0 sinh r cos ϕ + cosh t 0 cosh r + sinh t 0 sinh r cos ϕ, 7) y y z + sinh r sin ϕ + cosh t 0 cosh r + sinh t 0 sinh r cos ϕ, 73) 7) 73) x t 0 7) 73) r 7) 73) x + cosh t 0 cosh r + sinh t 0 sinh r cos ϕ) sinh t 0 cosh r + cosh t 0 sinh r cos ϕ 74) y + cosh t 0 cosh r + sinh t 0 sinh r cos ϕ) sinh r sin ϕ 75) cosh r sinh r x cosh t 0 sinh t 0 ) cosh r + x sinh t 0 cosh t 0 ) cos ϕ sinh r x, 76) y cosh t 0 cosh r + y sinh t 0 cos ϕ sin ϕ) sinh r y 77) D x cosh t 0 sinh t 0 x sinh t 0 cosh t 0 ) cos ϕ D y cosh t 0 y sinh t 0 cos ϕ sin ϕ x cosh t 0 sin ϕ y sinh t 0 cos ϕ + sinh t 0 sin ϕ + y cosh t 0 cos ϕ x cosh t 0 sin ϕ + y cos ϕ + sinh t 0 sin ϕ 78) 0

11 cosh r D x y x sinh t 0 cosh t 0 ) cos ϕ y sinh t 0 cos ϕ sin ϕ D { xy sinh t 0 cos ϕ sin ϕ) + yx sinh t 0 cosh t 0 ) cos ϕ} D x sin ϕ y cosh t 0 cos ϕ) 79) sinh r D x cosh t 0 sinh t 0 y cosh t 0 x y D { yx cosh t 0 sinh t 0 ) + xy cosh t 0 } D y sinh t 0 80) cosh r sinh r xy x sin ϕ y cosh t 0 cos ϕ) y sinh t 0 ) x cosh t 0 sin ϕ + y cos ϕ + sinh t 0 sin ϕ) x sin ϕ + y cosh t 0 cos ϕ y sinh t 0 x cosh t 0 sin ϕ + y cos ϕ + sinh t 0 sin ϕ + sinh t 0 sin ϕ x cosh t 0 sin ϕ + y cos ϕ) x sinh t 0 sin ϕ + y sinh t 0 cos ϕ ) sinh t 0 sin ϕ x cosh t 0 sin ϕ + y cos ϕ) sinh t 0 sin ϕ x y x + y sinh t 0 sin ϕ x cosh t 0 sin ϕ y cos ϕ) 8) x cosh t ) 0 + y + cot ϕ ) coth t 0 + cosech t 0 cot ϕ 8) sinh t 0 sinh t 0 cosech t 0 cosec ϕ x coth t 0 ) + y + cosech t 0 cot ϕ) cosech t 0 cosec ϕ 83) x cosh t ) ) 0 cos ϕ + y + sinh t 0 sinh t 0 sin ϕ sinh t 0 sin ϕ 84) ) ) cosh t0 cos ϕ + sinh t 0 sinh t 0 sin ϕ sinh t 0 sin ϕ 7 A

12 A 84) x cosh t 0 / sinh t 0 ϕ 7 x x 84) y 0 x sinh t 0 /cosh t 0 + ) 7) r 0 t 0 0 x ϕ 0 ϕ π/ A / sinh t 0 x 4. α ϕ γ sinh t 0 α cosh t 0 sinh t 0 α cosh t 0 γ 85) 86) 87) 5 l dl t dx ) dl + ) dy 88) 35) 36) α cos ϕ cosh t γ sin ϕ sinh t x cosh t + γ α sin ϕ cosh t + γ cos ϕ sinh t y cosh t + γ 89) 90) 7: A

13 dx dy α cos ϕ sinh t γ sin ϕ cosh t)γ γ sin ϕ cosh t + γ) 9) α sin ϕ sinh t + γ cos ϕ cosh t)γ + γ cos ϕ cosh t + γ) 9) ) dx + 85) ) dy α sinh t + γ cosh t + γ cosh t + cosh t + γ) 4 γ γ ) cosh t) + γ cosh t + γ cosh t + cosh t + γ) 4 γ cosh t + γ cosh t + γ cosh t + γ) 4 γ γ cosh t + γ) 93) dx ) dl + ) dy γ 94) cosh t + γ P Q t t l Q P dl t t [ γ γ γ cosh t + γ α tan α tanh t )] t 95) t γ/α t t P Q P Q x θ θ 95) γ/α)θ θ ) θ θ γ tan α tanh t ) γ tan α tanh t ) t 0 0 t 0 O x θ 0 γ θ θ 0 ) tan α tanh t ) 97) γ θ θ 0 ) tan α tanh t ) 98) 96) tan θ θ 0 tan θ θ 0 γ α tanh t γ α tanh t 99) 00) 35) 36) ϕ 0 t 0 x x θ 0 θ 0 0 3a) 35) 36) α x γ + cosh t y γ sinh t γ + cosh t 0) 0) 3

14 3 8 Q x, y) t A B t x O Q O θ tan θ y α, αy sin θ γ, cos θ α γ 03) tan θ tan θ / tan θ ) tan θ 03) tan θ α + γ y αy αx + γ αy α cosh t + γ )γ + cosh t) αγ sinh t γ)cosh t ) α sinh t tan θ cot θ + cosec θ 04) γ γ ) cosh t + γ + γ αγ sinh t sinh t tanh t tanh t, cosh t + tanh t tanh t tan θ γ) tanh t α tanh t γ α tanh t 99) 00) t t lt, t ) 05) 06) 07) lt, t ) lt, 0) + l0, t ) 08) lt, 0) l0, t ) 09) t t 8: t 4

15 9: α 0 α 0 sinh t sin ϕ x cosh t + sinh t cos ϕ y cosh t + 0) ) dx ) dl + l dl ) dy + cosh t tanh t ) + cosh t y ϕ 9 A P Q B P Q t t A B t t AP QB AQ PB a b p q a p t t + cosh t + tanh t, b + cosh t tanh t, q t pq/ab t 3) + cosh t tanh t, 4) + cosh t + tanh t, 5) pq ab tanh t ) + tanh t ) + tanh t ) tanh t ) cosh t sinh t ) cosh t + sinh t ) e t t 6) t t PQ dp, Q) dp, Q) t t ln pq ab 7) 6) tanh t )+tanh t ) tanh t sech t 5

16 P Q O P O p q + s a b s s Q 7) do, Q) t ln + s s 8) α 0 α 0 36) 37) ϕ 0 ϕ 0 0 A ) B ) Pt ) Qt ) K x θ a θ b θ θ A P A Q P B Q B a q p b Q A a lq, A) AQ lq, A) 95) la, Q) Q A γ α dl [ γ α tan [ γ tan α tanh t γ α tanh t )] t ) + tan γ α )] 9) I θ 0 la, Q) la,i) li,q) 07) tan θ γ α tanh t tan θ a γ α P B tan θ γ α tanh t tan θ b γ α KQA q 0) ) 0) q γ α sin θ θ a γ α cos θ cos θ a tan θ tan θ ) q 4γ α cos θ cos θ a γ tanh t ) α + ) 3) 0: 6

17 p γ α sin θ b θ a γ α sin θ θ a b γ α sin θ b θ 4γ α cos θ b cos θ γ tanh t α 4γ α cos θ cos θ a γ α 4γ α cos θ b cos θ γ α ) tanh t ) + tanh t ) 4) 5) 6) 3) 6) pq ab tanh t )tanh t + ) tanh t + ) tanh t ) cosh t sinh t ) cosh t + sinh t ) e t t 7) 6) α 0 8) dp, Q) t t ln pq ab 8) 6 z z z, z ) d [5] d ln + g g 9) g z z z z 30) z x + iy z x + iy ϕ 0 89) 90) x i α cosh t i cosh t i + γ y i γ sinh t i cosh t i + γ i, ), 3) i, ), 3) d t t 9) g tanh d tanh t t 33) 30) g z z z z x x ) y y ) 34) x x y y ) + x y x y ) 7

18 x x ) y y ) cosh t + γ) cosh t + γ) α [cosh t cosh t + γ) cosh t cosh t + γ)] + γ [sinh t cosh t + γ) sinh t cosh t + γ)] α [γcosh t cosh t )] + γ [sinht t ) + γsinh t sinh t )] 4α γ sinh t + t sinh t ) t + 4γ sinh t t cosh t t [ 4γ sinh t t γ ) sinh t + t + cosh t t + γ cosh t + t x x y y ) + γ cosh t + t ) ] cosh t + γ)cosh t + γ) α cosh t cosh t γ sinh t sinh t sinh t ) t 35) γ + γcosh t + cosh t ) + γ cosht t ) 36) x y x y ) α cosh t γ sinh t α cosh t γ sinh t αγ sinht t ) 37) x x y y ) + x y x y ) [γ + γcosh t + cosh t ) + γ cosht t )] + α γ sinh t t ) [ γ + γ cosh t + t cosh t )] t + γ cosh t t + 4γ γ ) sinh t t 4γ cosh t t [ cosh t + t cosh t t + γ cosh t t ) + γ ) sinh t t ] 38) cosh t + t + γ cosh t + t + sinh t + t cosh t t + γ cosh t t ) + γ cosh t + t cosh t t + γ + cosh t t + γ cosh t + t cosh t t cosh t t + γ cosh t + t ) + γ ) sinh t + t + γ ) sinh t t ) cosh t t + γ cosh t + t sinh t + t ) + sinh t + t 35) x x ) y y ) x x y y ) + x y x y ) 35) 39) 39) g x x ) y y ) x x y y ) + x y x y ) tanh t t tanh d 40) 33) 7 A x 7) 73) 8

19 : A u v A g h ϕ ϕ u v x g h 7) 73) ϕ ϕ A g h u v u v ϕ ϕ AP AQ P Q g h 84) 7 ) cos ϕ sinh t 0 sin ϕ, cosh t 0 4) sinh t 0 A ) ) sinh t0 cosh cosh t 0 +, 0 t0, 0 sinh t 0 u v AP AP, sinh t 0 ) cot ϕ, sinh t 0 AQ, sinh t 0 ) cot ϕ sinh t 0 AQ π/ u cot ϕ ),, v cot ϕ ), sinh t 0 sinh t 0 sinh t 0 sinh t 0 4) 43) 44) u, v u v u v sinh cot ϕ cot ϕ + ) t 0 sinh cos ϕ cos ϕ + sin ϕ sin ϕ ) t 0 sin ϕ sin ϕ cosϕ ϕ ) sinh t 0 sin ϕ sin ϕ 45) u u sinh cot ϕ + ) t 0 sinh t 0 sin, ϕ 46) v v sinh cot ϕ + ) t 0 sinh t 0 sin, ϕ 47) u v u v cosϕ ϕ ) 48) 9

20 : A ϕ ϕ 6) u, v cosh t 0 cos ϕ cos ϕ + sin ϕ sin ϕ sinh t 0 cos ϕ ϕ cosϕ ϕ ) 49) u, u v, v u u u, v 8 x sinh t 0 /cosh t 0 + ), 0) r 7) 73) cos ϕ sin ϕ x sinh t 0 sinh r cosh t 0 sinh r) cos ϕ x + cosh t 0 cosh r) + sinh t 0 cosh r 50) y sinh t 0 sinh r cos ϕ sinh r sin ϕ y + cosh t 0 cosh r) 5) D x sinh t 0 sinh r cosh t 0 sinh r 0 D y sinh t 0 sinh r sinh r x sinh t 0 sinh r cosh t 0 sinh r) sinh r sinh rx sinh t 0 cosh t 0 ) 5) 0

21 cos ϕ x + cosh t 0 cosh r) + sinh t 0 cosh r 0 D y + cosh t 0 cosh r) sinh r D {x + cosh t 0 cosh r) sinh t 0 cosh r} sinh r 53) sin ϕ x sinh t 0 sinh r cosh t 0 sinh r x + cosh t 0 cosh r) + sinh t 0 cosh r D y sinh t 0 sinh r y + cosh t 0 cosh r) D {y + cosh t 0 cosh r) cosh t 0 sinh r y sinh t 0 sinh r cosh r} D ycosh t 0 + cosh r) sinh r 54) cos ϕ + sin ϕ y cosh t 0 + cosh r) + {x + cosh t 0 cosh r) sinh t 0 cosh r} sinh rx sinh t 0 cosh t 0 ) 55) x { + cosh t 0 cosh r) sinh t 0 r sinh } + y cosh t 0 + cosh r) x{ + cosh t 0 cosh r) sinh t 0 cosh r sinh t 0 cosh t 0 sinh r} sinh r cosh t 0 sinh t 0 cosh r 56) x cosh t 0 + cosh r) + y cosh t 0 + cosh r) x sinh t 0 cosh t 0 + cosh r) sinh r cosh t 0 sinh t 0 cosh r 57) x ) sinh t 0 + y cosh t 0 + cosh r sinh r cosh t 0 + cosh r ) 58) 56) 57) x + cosh t 0 cosh r) sinh sinh r + cosh t 0 cosh r + cosh t 0 cosh r sinh t 0 sinh r cosh t 0 sinh t 0 ) + cosh t 0 cosh r + cosh t 0 cosh r sinh t 0 sinh r cosh t 0 + cosh t 0 cosh r + cosh cosh r sinh t 0 + sinh r) cosh t 0 + cosh t 0 cosh r + cosh t 0 sinh t 0 ) cosh r cosh t 0 + cosh r) 58) sinh t 0 /cosh t 0 + cosh r), 0) sinh r/cosh t 0 + cosh r) 9 R 58) ) sinh t 0 cosh t 0 + cosh r, 0 59)

22 3: r r sinh r cosh t 0 + cosh r 84) P cosh t0, cot ϕ ) sinh t 0 sinh t 0 60) 6) r sinh t 0 sin ϕ Q y QR QP θ θ ) R x, y ) P x, y ) 6) x x + r sin θ + r sin θ 63) y y + r cos θ + r cos θ 64) x x ) + y y ) r + r r r cosθ + θ ) 65) cosθ + θ ) x x ) ) cosh t0 sinh t 0 sinh t 0 cosh t 0 + cosh r cosh t 0 cosh t 0 + cosh r) cosh t 0 cosh t 0 + cosh r) sinh t 0 + sinh 4 t 0 sinh t 0 cosh t 0 + cosh r) cosh t 0 sinh t 0 ) + cosh t 0 cosh rcosh t 0 sinh t 0 ) + cosh t 0 cosh r sinh t 0 cosh t 0 + cosh r) + cosh t 0 cosh r + cosh t 0 cosh r sinh t 0 cosh t 0 + cosh r) + cosh t 0 cosh r) sinh t 0 cosh t 0 + cosh r)

23 4: ABC. A x ϕ ϕ ϕ < 0 x x ) + y y ) r r + cosh t 0 cosh r) sinh t 0 cosh t 0 + cosh r) sinh r sinh t 0 cosh t 0 + cosh r) + cosh t 0 cosh r) cosh t 0 + cosh r) sinh t 0 sinh r cosh t 0 + cosh r) sinh t 0 + cosh t 0 cosh r cosh t 0 cosh r sinh t 0 sinh r cosh t 0 + cosh r) sinh t 0 + sinh t 0 cosh r cosh t 0 sinh t 0 sinh r cosh t 0 + cosh r) sinh t 0 + sinh t 0 cosh t 0 cosh t 0 + cosh r) sinh t 0 0 cosθ + θ ) 0 θ + θ π/ A B, C A x x > 0 A A B A B x, y ) x, y ) 7) 73) A t 0 Bi ) Ci ) 3

24 x i sinh t 0 cosh r i + cosh t 0 sinh r i cos ϕ i, + cosh t 0 cosh r i + sinh t 0 sinh r i cos ϕ i 66) sinh r i sin ϕ i y i, + cosh t 0 cosh r i + sinh t 0 sinh r i cos ϕ i 67) r r AB AC ϕ ϕ A A x ABC 4 4 ϕ < 0 66) 67) x x + y y x x E y y F G E F G E sinh t 0 cosh r + cosh t 0 sinh r cos ϕ )sinh t 0 cosh r + cosh t 0 sinh r cos ϕ ) sinh t 0 cosh r cosh r + cosh t 0 sinh r sinh r cos ϕ cos ϕ + cosh t 0 sinh t 0 cosh r sinh r cos ϕ + cosh r cosh r cos ϕ ) 68) F sinh r sin ϕ sinh r sin ϕ 69) 66) 67) z i cosh t 0 cosh r i + sinh t 0 sinh r i cos ϕ i G + z ) + z ) + z + z + z z + z + z + cosh t 0 cosh r + sinh t 0 sinh r cos ϕ )cosh t 0 cosh r + sinh t 0 sinh r cos ϕ ) + z + z + cosh t 0 cosh r cosh r + sinh t 0 sinh r sinh r cos ϕ cos ϕ + cosh t 0 sinh t 0 cosh r sinh r cos ϕ + cosh r sinh r cos ϕ ) 70) E + F G sinh t 0 cosh t 0 ) cosh r cosh r + cosh t 0 sinh t 0 ) sinh r sinh r cos ϕ cos ϕ + sinh r sinh r sin ϕ sin ϕ z z cosh r cosh r + sinh r sinh r cos ϕ cos ϕ + sin ϕ sin ϕ ) z z cosh r cosh r + sinh r sinh r cosϕ ϕ ) z z 7) x x + y y cosh r cosh r + sinh r sinh r cosϕ ϕ ) z z + z ) + z ) 64) 66) 7) 73) z z z 7) 73) 66) 67) x y x i, y i i, ) x i, y i i, ) 7) x i 7) x i + z i, y i y i + z i 73) x x + y y z z cosh r cosh r + sinh r sinh r cosϕ ϕ ) 74) [] d cosh d B C r 0 cosh r 0 74) cosh r 0 cosh r cosh r sinh r sinh r cosϕ ϕ ) 75) 4

25 [] J. W. Cannon, W. J. Floyd, R. Kenyon, and W. R. Parry, Hyperbolic Geometry, Flavors of Germany, MSRI Publications, 3, ). rkenyon/papers/cannon.pdf [] 07//9 entry geo.pdf [3] 07//0 entry geo.pdf [4] 07//9 entry 3 geo 3.pdf [5] 6 5

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