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1 サンプルテキスト FEM 原理講座 サイバネットシステム株式会社 8 年 月 9 日作成

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3 対象とする構造系 物理モデル 連続体 固体 弾性体 / 弾塑性体 / 粘弾性体 / 固体 構造の FEM 構造物の境界値問題を定義する支配方程式 数理モデル 連立偏微分方程式平衡方程式 運動方程式 / 変位 -ひずみ関係式 / 応力ーひずみ関係式 / 変位境界条件 / 荷重境界条件 / 初期条件 離散化解析手法 古典的近似解法 重み付き残差法 選点法 / モーメント法 /Garki 法 Ritz 法 有限要素法 Fiit Emt Mtod: FEM 弱形式 大域形 / 要素単位の離散化 仮想仕事の原理 / 変分法 / エネルギー原理 差分法 Fiit Diffrc Mtod: FDM 強形式 局所形 / 格子点周りの離散化境界要素法 Bodary Emt Mtod: BEM 境界積分方程式 /Gr 関数の利用 構造 ばね / 骨組み / 板 シェル 剛性方程式一般化力と変位関係 / 支持条件 / 荷重条件 マトリックス構造解析法 構造力学 行列計算 要素 部材 ごとの剛性方程式から全体系の剛性方程式へ マトリックス構造解析手法と FEM マトリックス構造解析法 構造力学 解析対象を元々離散的な構造系としてモデル化 有限要素法 FEM 解析対象の数理モデル化 空間の離散化 固体力学 支配方程式の離散化 部材 要素 ごとに剛性方程式 全体系の剛性方程式 求解共通 連立一次方程式を解く 後処理 部材 要素 に働く力や変形などを算定 応力のつり合い式 方向の力のつり合い : σ τ y σ + d dy σdy + τy + dy d τyd + bddy y σ τ y + + b y y 方向の力のつり合い : τy σy + + b y y σ 物体力 b :[ 力 / 体積 ] [F L ] 応力 :[ 力 / 面積 ] [F L ] σ y b σ y + b y τ y y OR σ+ b y ここで y 強形式 弱形式 仮想仕事式 弱形式 : 大域形の支配方程式 d d a + c b i, d d δ d a d d d a d + c d b d + d d δ ad ;

4 dv d d + v d v d d δ ad v; v U U [ N N N ] N U U 離散化 V V v v [ N N N] N V V 形式的にはGarki 法 KU F 剛性方程式 dn dn K a d+ c d d d N N F N b δ c d+ N 5 支配方程式の離散化 ~ 無限次元から有限次元へ ~ 無限次元の問題における支配方程式 仮想仕事式 弱形式 d d a d+ c d b d+ d d δ ad ; 各点 での変数が未知 未知数 自由度が無限個 有限次元の問題に変換 離散化 事前に, 既知の関数の重ね合わせとして未知数の関数形を仮定する { φ φ φ } φi 無限次元の問題におけ i i る支配方程式に代入 基底関数 離散化 basis fctio K K K F 未知パラメータ K K K F 基底関数の組は一次独立 K 基底関数に乗ずるパラメータが未知 K K F 未知数 自由度が有限個 離散化方程式 要素 の形状関数 a 変位関数を a+ b { } # と仮定 近似 する. b 各節点上で 変位値を取るように要請すれば a : a+ b { } b a b a : a+ b { } b a b 要素における節点の番号付けと形状関数 N N この係数をもとの仮定した変位 # に戻せば { } { N N } Nd のように新たに未知変数を節点変位として近似関数を定義できる ここで N, N が 形状関数形状関数 sap fctio となる β N β δβ β N

5 形状関数による変位の補間近似とひずみ 応力の近似 9 要素による領域分割 { } Nd { N N } dn ε d { } d σ Eε E 節点値を用いた変位の補間近似 Not: 形状関数 補間関数 内挿関数 itrpoatio fctio 全体 節点座標 : 等価 節点力 節点変位 : 全体 節点座標 要素 要素番号 簡単のため要素は左から順に番号付け 等価 節点力 節点 dv d d d 要素 についての方程式 L a d cvd vbd v v v dv d d d + + wit 要素,, について成り立つ弱形式 仮想仕事式 a d+ cvd vbd + v P + v P Not: if i.., if i.., P dv d dv d a d a d d d d d dv d d d a d+ cv d v bd+ v P + v P Nd ad v Nδd v wr N { N N }, d, δd v d N δd d Nd a d+ c δ d d d N d N d N δd bd + N δdp + N δdp 代入して 形状関数を用いた変位の近似関数を仮想仕事式に代入 d N δd d Nd a d+ c Nδd Nd d d d δ bd δ P δ P N d + N d + N d

6 cotid cotid δd d d N N a d+ c d d d N N d δd N + N + N bd P P δd が任意だから, d d N N a d + c d bd + P + P d d N N d N N N Kd F wr K dn dn a d c d d d + N N bd + P + P F N N N ここで なので 要素内で N N, a a, c c, b b が一定と仮定すれば dn dn K a d+ c d d d N N a c a c { } bd+ P + P F N N N b d P + + P b P N + N P N N N 要素荷重ベクトル N 要素剛性行列 要素 - の第 節点の変位 変位の連続条件 全体節点番号 の変位 要素 の第 節点の変位 5 変位の連続条件を用いた剛性行列の組み立て アセンブリング の例 c のとき [ 自由度 ]

7 要素で分割 分布ばねを無視 する場合 a b P + Kd F P EA b P mt : + P EA b P mt : + P EA b P mt : + P 組み立て 全体剛性方程式 アセンブリング Kd F 全体節点変位ベクトル P EA b P P + + P P + P 全体剛性行列全体荷重ベクトル 7 節点荷重 荷重境界条件 変位境界条件の反映 P : ractio kow P P + P EA b + P + P P 拘束条件 変位境界条件 : δ を考慮して, 方程式を縮約 δ P EA b + 特異 Kd F K R d R F R 縮約された剛性方程式 正則 δ EA b EA 線形弾性体の FEM メインルーチン / ソルバー 解析データ FEM モデル の読み込み 全体剛性方程式の組み立て 全要素についてループ 要素に関する仮想仕事式 弱形式 Ω δt [ i] ds δt [ i] Ω i ds Kd Kd F F : 要素剛性方程式 K B DB d Ω 剛性方程式を解いて節点変位 d を求める 後処理 ポストプロセス : 応力 ひずみの算定 d ε N d B d σ Dε DB d Ω dω+ Ω Ω F N b N dγ : 全体剛性方程式の組み立て A B δ D da δ bda + δ tds δ Ω Ω Ω D D D δ δv δv δ v + D D D da Ω y y y D D D dv d + d dy b { δ δv} s δ da { δ δv} ds + Ω b Ω y t δv ただし 要素のz 方向の厚さを dv da ad ds ds とおいた として 5

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