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まれあおなか
5 years ago
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1 07 年 8 月日計量経済学期末試験問. 次元ベクトル x ( x..., x)', w ( w.., w )', v ( v.., v )' は非確率変数であり一次独立である最小二乗推定法の残差と説明変数が直交することは証明無く用いてよい確率ベクトル e ( e... ) ' は E( e ) 0, V ( e ),cov( e j ) 0 ( j) とし確率ベクトル y=( y..., y ) は実数, にたいし y x w v e で定義されるその最小二乗推定量, ては y x w v を最小化するように定義しその残差を q y x w v と定義するまた, と定義する, x d w d v d d は c c は r x d w d v y c w cv d d として定義しその残差を c c として定義しその残差をとする () 0 ( y x ) r u y c w c v (4) (5) r (6) E[ ], V[ ] を求めよ (7) ru r q r ( ) y x r q y x w v と r w r v, () (4) r, r x r r x dw r w E[ ], V[ ] を求めよ

2 : E( y ) x w xr wr xr r V r E[ ], [ ] xr r 問. 次元ベクトル x ( x..., x)', w ( w.., w )', v ( v.., v )' は非確率変数であり一次独立である最小二乗推定法の残差と説明変数が直交することは証明無く用いてよい y は問と同様に定義する y cx cw cv,c c c を c, c,c u y c x c w c v と定義し残差 u をと定義する最小二乗推定量 y a x aw を最小化する, a a は a a に定義する d は x dw と定義する実数は d として定義しその残差を r x d w v x w を最小化する, に定義する a r x r と rv は証明なく用いてよい () a c c () V ( a) を求めよ問 =(0,0,0,0,0,0),w=(0,0,0,0,0,0), v=(0,0,0,0,0,0,) x=(,,4,,,5,4,) とする問の結果は証明なく用いてよい e(),,e(9) は互いに独立で E(e())=0, V(e())=σ とする y() は y()=α*()+β*w() +γ*v()+ *x()+e() で発生される () x() を被説明変数とし x()= a*()+*w()+ c*v()+ 誤差項 () の a,,c の最小二乗推定量を求めよ () q,r,s を a,,c の最小二乗推定量とするときその残差 u()=x()-q*() -r*w() -s*v() を求めよ ()y=(y(),y(),y(),y(4),y(5),y(6),y(7),y(8),y(9)) に対しての最小二乗推定量 g を求めよ V(g) を求めよ (4) y=(6,,,5,,4,,0) のとき g を求めよ

3 (5) 問の結果はどこで用いるか変数の対応関係 : w v は直交しているのでだけを使った単回帰で α を推定できる他の係数も同様,,4 u=(0,-0,-0,-) は y を u で説明すればよい g=y u/u u=(y()-y()+y(6)-y(4)+y(9)-y(7))/6 g=σ /6 問 4,, 0, 0, 0, 0,,, x (,,, ) ', x (,,, ) ', とし互いに独立で標準正規分布にしたがう確率変数を e ( e 4 ) 実数に対して,y を y ( y, y, y, y ) ' x x e 4 と定義するとき次の問に答えよただし正規分布に従う確率変数の定数倍とその和が正規分布に従うことは証明無く用いてよいまた確率変数 q,, q k が互いに独立であり標準正規分布にしたがう q q ~ ( k ) とするとき k () x, x,, が互いに直交すること,, 0, 0 0, 0,, 0 その他も同様 () a, a,, を y x x a a を満たす実数として定義するとき a, a,, を y, x, x,, を用いて表せ () a, a が期待値 0 分散を持ち互いに相関がないことを示せ (4) ê y x x とするとき x y x ( x x a a ) x x x y / x x 同様に x y / x x, x y / x x a y / a y /, V ( a ) V ( y) V ( y) V ( a ) V ( y) cov( a, a ) ( / ) cov( y y, y y ) 0 4 eˆ y x x a a eˆ eˆ a a ˆ ˆ e ' e ~ ( )

4 aa とも独立な標準正規変数なので問 5: e(),,e(t) は互いに独立で E(e())=0, V(e(t))=σ とする u(t)= r *e(t-)+ r *e(t-)+e(t), () Var(u(t)) を求めよ () Cov(u(t),u(t-)) を求めよ () Cov(u(t),u(t-)) を求めよ (4) u(t) と u(t-) の相関係数を求めよ () V(u(t))= (r + r +, () Cov(r *e(t-)+ r *e(t-)+e(t), r *e(t-)+ r *e(t-)+e(t-)) = Cov(r *e(t-)+ r *e(t-), r *e(t-)+e(t-))= (r*r+r) () Cov(r *e(t-)(t-))= r (4) (r*r+r)/ (r + r + 問 6:e(),,e(T) は互いに独立で E(e())=0, V(e())=σ とする y(t)= e(t)+ *y(t-), t = 0,,,.. と順に発生するとき () V(y(t) y(t-) を求めよ V(Y X) は X があたえられたときの Y の条件付き分散を示す () y(t+) を e(t)(t+), y(t-) で表し V(y(t+) y(t-)) をもとめよ () y(t+) を e(t)(t+)(t+), y(t-) で表せ V(y(t+) y(t-)) をもとめよ (4) を正の整数とするとき y(t+) を e(t)(t+),.,,,e(t+), y(t-) で表せ V(y(t+) y(t-)) をもとめよ :()V(y(t) y(t-)= V(e(t)+ *y(t-) y(t-)=v(e(t)= σ () y(t+)= e(t+)+ *y(t)= e(t+)+ *e(t)+ ^*y(t-) V(y(t+) y(t-))= V(e(t+)+ *e(t)+ ^*y(t-) y(t-)) = V(e(t+)+ *e(t))=(+^) σ ()y(t+)= e(t+)+*e(t+)+ ^*e(t)+ ^*y(t-) V(y(t+) y(t-))= (+^+^4) σ (4) V(y(t+) y(t-))= = (+^+^4+ +^) σ 問 7: 次の VAR にはいくつ共和分関係が存在するか y ( t), y ( t) はそれ自体非定常であるが階差をとると定常すなわち I() とする e ( t)( t)( t) で分散共分散行列一定異時点では互いに独立とする y ( t ).5 y ( t ) y ( t ) e ( t ) y ( t ) y ( t ) y ( t ) e ( t ) y ( t ) 0.5 y ( t ) y ( t ) e ( t ) : これを y=a*y(-)+a*y(-)+e とおく

5 y-y(-)=(a-i)y(-)+a*y(-) =(A-I)(y(-)-y(-))+(A+A-I)*y(-) (A+A-I)= = 独立な列は一つだけなので rak(a+a-i)= 問 8 V(e)=V(u)= cov(e,u)=0 とするとき y=a*e+*u,, V(y)= cov(e,y)=r となるように a, を定めよただし -<r< とする cov(e,y)=cov(e,a*e+*u)=a*cov(e,e)+*cov(u,e)=a a=r V(y)= の条件 =a^+^=r^+^ =±(-r^)^(/)

Microsoft Word - reg2.doc

Microsoft Word - reg2.doc 回帰分析重回帰麻生良文. 前提個の説明変数からなるモデルを考える重回帰モデル : multple regresso model α β β β u : 被説明変数 epled vrle, 従属変数 depedet vrle, regressd :,,.., 説明変数 epltor vrle, 独立変数 depedet vrle, regressor u: 誤差項 error term, 撹乱項