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- よしじろう たつざわ
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1 二次関数 二次関数とは ともなって変化する つの数 ( 変数 ) x, y があります y つの変数 x, y が, 表のように変化するとき y は x の二次関数 といいます また, つの変数を式に表すと, x となります < 二次関数の例 > x y x ( 表の上の数 ) を 乗して 倍すると, y ( 表の下の数 ) になります x y x ( 表の上の数 ) を 乗して - 倍すると, y ( 表の下の数 ) になります ( x のような式も二次関数ですが, ここでは ax という形のみを扱います ) 二次関数の変域 x で, x が負の数の場合もあります x の変化する値の範囲が- から までとするとき, この ことを - x と表します x y 9-0 このような, x の変化する値の範囲を x の変域 といいます このとき, 表のように y の値も変化します y の値は x =0 のとき最小で 0, x =- のとき最大で 9 と なります したがって, y の変域 は,0 y 9 と表すことができます < 変域の例 > x で x の変域が- x のとき, y の値は x =- のとき最小で-8, x =0 のとき最 大で 0 となります したがって y の変域は,-8 y 0
2 二次関数の変化の割合 x の表で,x が から まで増加するところに着目すると,y は から 8 に増加しています このとき,x の増加量 -= に対する,y の増加量 8-=6 の割合を 変化の割合 といいます したがって, x が から まで増加するとき, 6 ( 変化の割合 )= =8 y < 変化の割合の例 > x で x が- から まで増加するとき, y の値は, x =- のとき 8 8 とき =8 なので,( 変化の割合 )= ( ) 0 = 5 =- =8, x = の < 変化の割合を簡単に求める > x で x が- から まで増加するとき,( 変化の割合 )=(-+) =- と求める方法が あります ax で, x が s からt まで増加するとき,( 変化の割合 )= a( s t) 二次関数のグラフ x で表の x, y の値の組を座標とする点をとります x y さらに点と点の間に, x となる値の組を座標とする 点をとっていくと, 図のようになめらかな曲線になります この曲線を x のグラフといいます また, このような曲線を 放物線 といいます このグラフは x <0 の範囲では y の値は減少し,x >0 の範囲では y の値は増加します また,x =0 のとき, y の値は最小になります グラフの形は 上に開いている という言い方をします
3 5 二次関数の式とグラフの交点 二次関数では, y は x に比例 します したがって, 関数の式を このことから, 二次関数のグラフ上の点の座標がわかっているとき, 二次関数の式を x と y の値を代入することによって, 式を求めることができます ax とおくことができます ax とおいて, < 例 > (,- ) を通る二次関数の式 二次関数のグラフと一次関数のグラフの交点は, つの関数の式から方程式をつくり, これを解くことによって求められます ax a a x < 例 > x と, x+ との交点 x x x x 0 ( x )( x ) 0 x =-, x =- のとき y =, x = のとき y =9 したがって, 交点の座標は,(-, ),(,9 ) 6 二次関数の応用問題 () 三角形の面積 ax のグラフと直線 lが, 点 A,B で交わって l います 点 A の座標が (-, ), 点 B の x 座標が であるとき, AOB の面積を求めましょう a を求める (-, ) を ax に代入して a ( ) a
4 点 B を求める a であることから, 点 B の x 座標 を したがって,B(, ) x に代入して, 直線 AB の式を求める A(-, ),B(, ) から,( AB の傾き )= ( ) AB の式を x b とすると,(-, ) を代入して, ( ) b からb 6 したがって,AB の式は x 6 AOB の面積を求める AB の式が x 6 であることから,OP=6 したがって, AOB= AOP+ BOP であることから, AOB= AOP+ BOP= AH OP+ BI OP = 6+ 6 =6+=8 () 文字 ( パラメータ ) を用いる x と x 0 y のグラフが 交わっています 長方形 ABCD で, CD= のとき, 点 B の座標を求めま しょう 点 A の座標を文字で表す 点 A の x 座標をt とすると, x のグラフ上の点であることから,
5 y 座標は t 点 B の座標を文字で表す 点 B の座標は CD= なので,B( t, t ) t を求める 点 B は x 0 のグラフ上の点なので,( t, t ) を代入して, t ( t ) 0 t t 6 0 ( t 6)( t ) 0 点 B の座標を求める t= であることから,B( 7, ) t =-6, () 面積の二等分線を求める平行四辺形 ABCD があります 点 D は x のグラフ上の点, 点 B,C は x のグラフ上 の点で, 点 C の x 座標が とします このとき, 平行四辺形 ABCD の面積を 等分する 傾き の直線の式を求めましょう 点 C,B の座標を求める 点 C の x 座標が なので, =- から,C(,-),B(-,-) 点 A,D の座標を求める BC=AD= から, 点 D の x 座標は なので, = から,D(, ) 面積の二等分線を求める平行四辺形 ABCD の対角線の交点は BD の中点なので, x 座標は =, y 座標は = 5
6 平行四辺形の対角線の交点を通る直線は, 平行四辺形の面積を 等分する したがって, 傾き の直線の式を x b とおくと,(,) を通るので, bから,b =- したがって, 直線の式は x 補足 () 平行四辺形の二等分線 A E D 平行四辺形 ABCD の対角線 AC,BD の交点を O とします このとき, 平方四辺形 ABCD は, 点 O を O 中心として点対称になっている このとき, 点 O を通るように直線 EF をひくと, B F C 四角形 ABFE 四角形 CDEF となる したがって, 直線 EF は平方四辺形 ABCD の面積を 等分する () 変化の割合 ax で, x の値が, s からt まで増加するとします as at このとき,( 変化の割合 )= s t x s t y as at a( s t ) a( s t)( s t) = a( s t) s t s t < 例 > x で, x が-.5 から.5 まで増加するとき, ( 変化の割合 )= (.5.5) = = 6
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を利用した多項式や単項式の乗除の計算ができるようにする 式の値では, できるだけ式を簡単にしてから代入し, 式の値を求めるようにする 等式変形や連立方程式を解けるようにする 導入 この課では, 多項式の加減や単項式の乗除, 式の値や等式変形, 連立方程式を復習する これらは中学 3 年の学習においても多く利用するものであり, 今まで以上に正確に, より素早く計算できるようにしたい 基本的な計算方法などは既習内容と同じだが,
More information頻出問題の解法 Check Exercize 1. 四角形 ABCD において 辺 AB, BC,CD, DA の中点をそれぞれ P,Q, R, S とすると 四角形 PQRS は平行四辺形であることを証明せよ 2. AB=2, BC =4,CA=3 である ABC において 辺 BC の中点を M
第 4 章平面図形 1. 三角形の性質 1-1 平行線と線分の比 平行線と線分の比一般に 平行線において次の定理が成立する 頻出問題の ABC の辺 AB, AC またはその延長上の点を それぞれ D, E とするとき DE BC AD AB = AE DE (= AC BC ) DE BC AD DB = AE EC 中点連結定理上の定理において D, E を辺 AB, AC の中点にとる ABC
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7 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面上の点 O(, ), A ( a, a ), B( b, b ), C( b, b) を考える さらに,, に対し, D( acos asi, asi + acos ), E( bcos bsi, bsi + bcos ) とおく () OA = OD を示せ () OA OC = かつ OA OB = OD OE ¹ であるとする
More information() () () F において, チェバの定理より, = F 5 F F 7 これと条件より, = よって, = すなわち F:F=7:0 F 7 F 0 FO F と直線 について, メネラウスの定理より, = F O 5 7 FO これと条件および () より, = 0 O FO よって, =
図形の性質演習題 解法例 //F,F// より, 四角形 F は平行四辺形である よって,=F は の中点だから,= ~ より, 四角形 F は平行四辺形である したがって, 平行四辺形 F の対角線の交点を P とすると, 平行四辺形の性質より,P=P P= 5 より,P は F の頂点 から辺 F に引いた中線である 6 また, 条件より,= であることと 5 より,:P=: 7 よって,6,7
More information学習指導要領
(1) 数と式 ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な無理数の四則計算をすること 自然数 整数 有理数 無理数 実数のそれぞれの集 合について 四則演算の可能性について判断できる ( 例 ) 下の表において それぞれの数の範囲で四則計算を考えるとき 計算がその範囲で常にできる場合には を 常にできるとは限らない場合には を付けよ ただし 除法では 0 で割ることは考えない
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数学 A 図形の性質発展問題 (1) ( 平行線と線分比 ) 3 角形の角の 2 等分線の定理 問 1 ABC の内角 Aの 2 等分線が辺 BCと交わる点を Dとする 内角 Aの外角の 2 等分線が辺 BCの延長線と交わる点を Eとする AB:AC=BD:CD AB:AC=BE:EC が成り立つことを証明せよ ( 証明 ) 点 Cから辺 ABに平行線を引いて ABの延長線と交わる点を Fとする 点
More information相加平均 相乗平均 調和平均が表す比 台形 の上底 下底 の長さをそれぞれ, とするとき 各平均により 台形の高さ はどのように比に分けられるだろうか 相乗平均は 相似な つの台形になるから台形の高さ を : の 比に分ける また 相加平均は は : の比に分けます 調和平均は 対角線 と の交点を
台形に潜むいろいろな平均 札幌旭丘高校中村文則 台形に調和平均 相加平均をみる 右図の台形 において = = とする の長さを, を用いて表してみよう = x = y = c とすると であることから : = : より c y = x + y であることから : = : より c x = x + y を辺々加えると x + y c + = より + = x + y c となる ここで = = c =
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GeoGebra5.0Beta には 3D のグラフィックスビューの機能が備わっています これにより 立体図形についても扱うことが出来ます 3.1 3D 画面まず 通常と同じように GeoGebra を起動させましょう そして メニューバーの表示から グラフィックスビュ-3D を選択します ( または Ctrl+Shift+3 でも同様 ) すると グラフィックスビューの隣にグラフィックスビュー 3D
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